Begleitskript Mathe zur Vorlesung Physik I für

Begleitskript Mathe zur Vorlesung
Physik I für Materialwissenschaftler
20. Januar 2017
1 Einleitung
In diesem Begleitskript werden einige mathematische Konzepte und Rezepte eingeführt, die
in der Physik I und vielen angrenzenden Bereichen häufig benutzt werden. Hierbei steht die
Vermittlung der Grundideen sowie Beispiele im Vordergrund und weniger die mathematische
Stringenz oder Beweise. Letzteres überlassen wir den Mathematikern.
1
2 Potenzreihe
2.1 Potenzreihe in einer Dimension
Viele Funktionen lassen sich (lokal) durch eine Summe über Potenzen beschreiben
f (x) =
∞
X
cn (x − x0 )n .
(2.1)
n=0
In der Praxis wird die Summe nach endlich vielen Termen abgeschnitten, oft bei nmax = 2. In
diesem Fall würde man, wie wir gleich sehen, folgende Eigenschaften der Funktion am Punkt
x0 korrekt widerspiegeln: Wert der Funktion, Steigung und Krümmung.
Bestimmung der Koeffizienten cn
Bei x = x0 ⇒ (x − x0 )n = 0 für n > 0, also
f (x0 ) = c0 .
Für die Ableitung gilt:
f 0 (x) =
∞
X
n · cn · (x − x0 )n−1 .
n=1
Einziger Summand mit n ≥ 1, der bei x0 nicht verschwindet ist: c1
⇒ f 0 (x0 ) = 1 · c1 .
Für die zweite Ableitung gilt:
00
f (x) =
∞
X
n · (n − 1) · cn · (x − x0 )n−1 .
n=2
Alle noch verbliebenen Terme der rechten Seite verschwinden, außer der mit Index n = 2
⇒ f 00 (x0 ) = 2 · 1 · c1 .
Für den dritten Koeffizienten, das haben Sie bestimmt schon erkannt, gilt analog
f 000 (x0 ) = 3 · 2 · 1 · c1 ,
bzw. ganz allgemein
f (n) (x0 ) = n! · cn
oder nach cn aufgelöst cn = f (n) (x0 )/n!. Hierbei ist f (n) (x0 ) etwas schlampig ausgedrückt die
n-te Ableitung von f (x) ausgewertet an der Stelle x = x0 . Bitte das so nie in der Gegenwart
eines reinen Mathematikers schreiben. Der flippt aus! Zudem ist n! = n·(n−1)·1. Per Definition
ist 0! ≡ 1.
Wenn wir die letzte Gleichung in (2.1) einsetzen erhalten wir die Potenz- bzw. die TaylorReihe
∞
X
f (n) (x0 )
· (x − x0 )n
(2.2)
f (x) =
n!
n=0
2
Beispiel 1: Exponentialfunktion
Entwicklung von f (x) = ex in eine Potenzreihe um x0 = 0.
Nullter Term: f (0) = 1.
Erste Ableitung f 0 (x) = ex , womit für alle weiteren Ableitung ebenfalls f (n) (x) = ex gilt.
Ausgewertet bei x = 0 ⇒ f (n) (x0 ) = 1.
Eingesetzt in Potenzreihe:
∞
X
xn
x
e =
.
n!
n=0
8
7
exp(x)
nmax = 2
nmax = 4
6
f(x)
5
4
3
2
1
0
-2
-1.5
-1
-0.5
0
0.5
1
1.5
2
x
Abbildung 2.1: Entwicklung der Exponentialfunktion in eine Potenzreihe.
Beispiel 2: Kosinus
Entwicklung von f (x) = ex in eine Potenzreihe um x0 = 0.
f (x)
f 0 (x)
f 00 (x)
f 000 (x)
f (4) (x)
=
cos(x)
= − sin(x)
= − cos(x)
=
sin(x)
=
cos(x)
Danach iterativ, da sich der Zyklus wiederholt und somit f (4m+n) = f n .
Da cos(0) = 1 und sin(0) = 0 folgt
cos(x) = 1 −
x2 x4 x6
+
−
+ ...
2!
4!
6!
cos(x)
nmax = 2
nmax = 6
1
f(x)
0.5
0
-0.5
-1
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
Abbildung 2.2: Entwicklung des Kosinus in eine Potenzreihe.
3
Beispiel 3: Logarithmus
Entwicklung von f (x) = ln x in eine Potenzreihe um x0 = 1.
f (x0 ) = 0
1
⇒ f 0 (1) = 1
x
1
f 00 (x0 ) = − 2 ⇒ f 00 (1) = 1
x
2
·
1
f 000 (x0 ) =
⇒ f 000 (1) = 2 · 1
3
x
...
(n − 1)!
f (n) (x) = (−1)n+1 ·
⇒ f (n) (1) = (−1)n+1 · (n − 1)!
xn
f 0 (x0 ) =
Da (n − 1)!/n! = 1/n können wir die Reihe kompakt als
∞
X
(x − 1)n
ln(x) =
(−1)n+1
n
n=1
(2.3)
schreiben.
1
0.5
0
f(x)
-0.5
log(x)
nmax=2
nmax=6
-1
-1.5
-2
-2.5
-3
0
0.5
1
1.5
2
2.5
x
Abbildung 2.3: Entwicklung des Logarithmus in eine Potenzreihe um x0 = 1.
Die Auswertung der Funktion ergibt eine immer besser werdende Näherung der Funktion
mit ansteigendem nmax – aber nur für |x − 1| < 1, siehe Abb. 2.1. Außerhalb dieses Bereiches
verschlechtert sich die Beschreibung je mehr Potenzen wir mitnehmen. Der Grund dafür ist
dass die Summanden (x − 1)n /n für |x − 1| > 1 mit steigendem Wert immer gößer werden und
für unendliche n sogar divergieren – also undendlich werden. Für |x − 1| < 1 werden die Terme
hingegen mit n exponentiell kleiner, sodass man die Reihe für diese Werte von x abschneiden
kann. Man sagt, die Reihenentwicklung hat einen Konvergenzradius von eins.
Anmerkungen:
Eine systematische Analyse der Kovergenz solcher Reihen wird in der Mathematik vorgenommen. Handelsübliche Funktionen kann man√in aller Regel so weit entwickeln, bis sie oder eine
ihrer Ableitungen divergieren. So kann man x zwar nicht um x = 0 entwickeln, da die Steigung
dort unendlich ist, aber – mit einem endlichen Konvergenzradius – um ein positives x.
4
Beispiel 4: Feld eines Dipols auf der Symmetrieachse
Betrachten wir eine Ordnung zweier entgegengesetzter Ladungen (Skizze siehe Vorlesung), wobei: Q1 = Q und r1 = (a/2)e3 sowie Q2 = −Q und r1 = −(a/2)e3 .
Wir wollen nun das Feld dieses Dipols auf der z-Achse, also der Symmetrieachse, berechnen.
Der kleine Parameter sei nun die Länge des Dipols, also a.
Aus Symmetriegründen Ex = Ey = 0. Mit dem coulombschen Gesetz erhalten wir somit:
4π0 Ez =
Q
Q
−
(z − a/2)2 (z + a/2)2
(2.4)
Entwicklung von f (ε) = 1/(z + ε)2 nach ε:
f (ε = 0) =
1
z2
2
2
→
−
für ε → 0
(z + ε)3
z3
1
2
≈ 2 − 3 ε + O(ε2 ).
z
z
f 0 (ε) = −
⇒
1
(z + ε)2
Diese Entwicklung eingesetzt in Gleichung (2.4):
1 a
1 a
1
+
−
1
−
z2
z
z2
z
2Qa
=
z3
4π0 Ez ≈
(2.5)
Wenn wir nun d = Q·a konstant halten und a gegen null schicken, erhalten wir das dann exakte
Ergebnis für einen idealen Dipol. Dass das Feld eines idealen Dipols eine sehr gute Näherung
für einen realen Dipol darstellt zeigt Abbildung 2.4.
1
Ez(z)
exaktes Feld
Dipolnaeherung (2/z**3)
0.1
0.01
1.5
2
2.5
3
3.5
4
4.5
5
z
Abbildung 2.4: Vergleich des Feldes eines realen Dipols der Länge 1 mit der idealen Dipolnäherung.
Anmerkung zum Dipol: Der nächste Term unserer Entwicklung wäre proportional zu Qa2 /z 4
gewesen. Weil das Dipolfeld aber antisymmetrisch bzgl. einer Spiegelung an der xy-Ebene ist,
kann man diesen Term auf null setzen. Der nächste Term hat dann die Ordnung Qa5 /z 5 , was
für z = 1.5 a bereits eine relativ kleine Korrektur ist.
5
2.2 Entwicklungen von Funktionen mehrerer Veränderlicher,
Gradient
Die Entwicklung von Funktionen mehrerer Veränderlicher verläuft ähnlich wie zuvor. Die Buchhaltung ist aber etwas aufwendiger, weshalb wir uns auf Entwicklungen erster Ordnung beschränken. Sprich, wir wollen eine Funktion f (r) – zunächst mit r = (x, y) – linear in der
Umgebung des Punktes r0 annähern.
f (x, y) ≈ f (x0 , y0 ) +
∂f
∂f
(x − x0 ) +
(y − y0 ),
∂x
∂y
wobei die partiellen Ableitungen nach x und y bei (x0 , y0 ) ausgewertet werden. Wir können
nun sowohl die Verschiebung als auch die Ableitung zu Vektoren zusammenfassen und wiefolgt
schreiben
f (r) = f (r0 ) + ∇f (r0 ) · (r − r0 ),
(2.6)
wobei der Gradient der Funktion f (x, y), also ∇f (r) wie folgt definiert ist
∂f (r)/∂x
∇f (r) ≡
.
∂f (r)/∂y
(2.7)
In drei oder noch höheren räumlichen Dimensionen müssen dem Vektor ∇f (r) entsprechend
mehr Komponenten hinzugefügt werden.
Der Betrag des Gradienten gibt die maximale Steigung an. Die Richtung des Gradienten entspricht der Richtung der maximalen Steigung. In einer zwei-dimensionalen Konturdarstellung
einer Funktion, sie Abb. 2.5, läuft der Gradient senkrecht zu den Linien gleicher Höhe bzw.
gleicher Farbe.
f(x,y) = (cos(x)+cos(y))*exp(-(x**2+y**2)/40)
10
2
1.5
5
1
y
0.5
0
0
-0.5
-5
-1
-10
-1.5
-10
-5
0
x
5
10
Abbildung 2.5: Konturdarstellung eines Höhenprofils f (x, y). Linien gleicher Farbe bedeuten
gleiche Höhen. Der Gradient steht senkrecht zu den Linien gleicher Farben.
Im Kontext unserer Vorlesung werden Gradienten im folgdenden Sinne eine Rolle spielen:
Das elektrische Feld ist der (negative) Gradient des elektrischen Felds und die Kraft auf ein
Atom ist der (negative) Gradient seiner potenziellen Energie. Dazu aber später mehr.
6
Beispiel 1: Gradient des harmonischen Potenzials
V (r) =
p
k 2
r mit r = x2 + y 2 + z 2
2
Partielle Ableitung nach x:
∂V
∂r
x
=k·r·
= k · r · = k · k.
∂x
∂x
r
Dieser Ausdruck ist dann die x-Komponente des Gradienten. Andere Komponenten können
analog berechnet werden ⇒
r
∇V (r) = k · r · = k · r.
r
Beispiel 2: Gradient des Coulomb/Gravitationspotenzials
Φ(r) =
1
r
Partielle Ableitung nach x:
∂Φ
1 ∂r
1 x
=− 2 ·
=− 2 ·
∂x
r ∂x
r r
Andere Komponenten analog ⇒
∇Φ(r) = −
1
r
bzw. ∇Φ(r) = − 2 · er
3
r
r
Beispiel 3: Funktion mit kubischer Symmetrie
Zur Abwechslung eine Funktion, die keine radiale sondern lediglich kubische Symmetrie hat:
1 4
x + y4 + z4
4
⇒ ∇f (r) = (x3 , y 3 , z 3 ).
f (r) =
Hier ist der Gradient weder parallel noch antiparallel zu r.
7
3 Lineare Differentialgleichungen
3.1 Lineare DGLs mit konstanten Koeffizienten
Eine homogene, lineare DGL n’ter Ordnung mit konstanten Koeffizienten ist die Gleichung
cn f (n) (t) + ... + c1 f˙(t) + c0 f (t) = g(t),
(3.1)
wobei cn 6= 0. Außerdem steht f (n (t) für die n’te Ableitung nach der Variablen t.
Da die n-te Ableitung durch die Gleichung (3.1) bestimmt ist, kann man zu einem Anfangszeitpunkt, also z.B. bei t = 0, die Funktion f (t) sowie alle f ν mit ν < n als Anfangsbedingung
(oder auch Randbedingung, wenn die Variable nicht Zeit t sondern Ort x heisst) festgelegt
werden.
3.2 Homogene lineare DGLs
Verschwindet die rechte Seite der Gleichung (3.1), heißt die Gleichung homogen. Deren Lösungen heißen homogene Lösung fh (t). Man findet sie durch den Ansatz mit exponentiellen Funktionen
fh (t) = eλ·t ,
(3.2)
wobei λ auch Eigenwert der Lösung genannt wird. Die Werte von λ können rein reell, rein imaginär oder auch allgemein komplex sein. Demzufolge sind die Lösungen exponentiell wachsend
oder abklingend, schwingend oder gedämpdft schwingend und manchmal auch exponentiell
anwachsend schwingend. Durch den gemachten Ansatz wird die DGL zu
!
n
X
m
cm λ
eλ·t = 0.
(3.3)
m=0
Da die Gleichung zu jeder Zeit t gelten muss, ist dies nur möglich, wenn der Ausdruck in der
Klammer verschwindet. Damit haben wir die DGL auf die algebraische Gleichung
n
X
cm λ m = 0
(3.4)
m=0
reduziert. Sie hat n Nullstellen, wobei einige Nullstellen mehrfach zählen können, aber dazu
mehr in einem separaten Kapitel. Im Moment nehmen wir an, dass nur einfache Nullstellen
vorliegen.
Im Falle einer DGL zweiter Ordnung (z.B. gedämpfte Schwingung) wäre die algebraische
Gleichung
c0
c1
=0
(3.5)
λ2 + λ +
c2
c2
8
mit den Lösungen
λ1,2
c1
=
±
2c2
s
c1
2c2
2
−
c0
.
c2
(3.6)
Da jede homogene Lösung auf der linken Seite der Gleichung (3.1) eine null ergibt, können wir
sie addieren und erhalten dann weiterhin eine null. Somit lautet die allgemeine Lösung einer
homogenen DLG
n
X
fh (t) =
dm eλm ·t .
(3.7)
m=1
Man sagt auch, dass die allgemeine homogene Lösung im gegebenen Fall durch n (linear unabhängige) Funktionen aufgespannt wird.
3.2.1 Mehrfache Nullstellen
In manchen Fällen liegen bei der Lösung der Gleichung (3.3) doppelte oder mehrfache Nullstellen vor. So z.B. wenn die Koeffizienten einer DGL 2. Ordnung c21 − 4c0 c2 erfüllen, sodass die
Wurzel auf der rechten Seite der Gleichung (3.6) verschwindet. Bei einer doppelten Nullstelle
ist dann neben exp(λ · t) auch die Funktion t · exp(λ · t) eine Lösung. Der Beweis dazu ist recht
einfach. Jedoch ersparen wir ihn uns aus Zeitgründen.
Als einfaches Beispiel betrachten wir die DGL eines freien Teilchens:
s̈ = 0.
Der Ansatz s(t) = exp(λ · t) führt zu
λ2 = 0,
was eine doppelte Nullstelle zu der “Eigenfrequenz” null ist. Somit ist unsere erste Lösung
s1 (t) = exp(0 · t)
eine von null verschiedene (!) Konstante und zudem
s2 (t) = t · exp(0 · t).
In anderen Worten, die allgemeine Lösung unserer homogenen DGL (keine externe Kraft auf
das Teilchen) lautet
s(t) = s0 + v0 · t.
Die Konstanten s0 und v0 hängen von der Anfangsbedingung ab. Das klassische Beispiel einer
doppelten Nullstelle, den Fall der kritischen Dämpfung, werden wir später bei RLC Kreisen
kennen lernen.
3.3 Inhomogene DGLS
Verschwindet die rechte Seite der Gleichung (3.1) nicht, g(t) 6= 0, heißt die DGL inhomogen.
Ihre Lösung wird partikuläre Lösung, fp (t), genannt. Zu ihr kann jede homogene Lösung addiert
werden, ohne die Gültigkeit der DGL zu beeinträchtigen. Für beliebige Funktionen g(t) gibt es
allgemeine Lösungswege, insbesondere die Variation der Konstanten.
9
Hier wollen wir lediglich den äußerst wichtigen Fall
g(t) = gν exp(ν · t).
(3.8)
betrachten. Er enthält die Grenzfälle ν = 0 (konstante Kraft bzw. Spannung) sowie ein periodisch getriebenes Anregung (sei es eine Kraft oder Wechselspannung) wenn ν rein imaginär
ist. Letzterer Grenzfall ist deshalb so wichtig, weil sich quasi jede Funktion von praktischem
Interesse als Summe bzw. als Integral über Schwingungen darstellen lässt. Beachte, dass ν nicht
mit einem Eigenwert λm übereinstimmen muss aber darf.
Für die partikuläre Lösung setzen wir
fp (t) = Aν exp(ν · t)
(3.9)
an und erhalten nach einsetzen in die inhomegene DGL
n
X
cm ν m Aν exp(ν · t) = gν exp(ν · t).
(3.10)
m=0
Diese Gleichung können wir mit exp(−ν · t) multiplizieren und nach Aν auflösen:
gν
.
m
m=0 cm ν
Aν = Pn
(3.11)
Die Bedeutung dieser Gleichung wird im Fall eines RLC Kreises – oder mathematisch isomorph
für einen gedämpften Massepunkt an einer Feder – besonders klar.
3.4 Lösung komplex vs. reell
Die DGLs, die wir lösen, bestehen meist aus reellen und nicht aus komplexen Zahlen. So lautet
die rechte Seite einer inhomogenen DGL oft
g(t) = gc cos(ωt + ϕ)
statt
g(t) = g0 ei(ωt) .
Zudem sind die Koeffizienten der DGLs, die wir in dieser Vorlesung verwenden, also primär
R, L und C, reell. Trotzdem ziehen wir bei der Lösung der DGLs die komplexe Funktionen
exp(iωt) rellen Funktionen vor, weil sich die Rechnung dadurch insgesamt vereinfacht, zumindest wenn die Ordnung der DGL größer ist als eins. Der Ausdruck exp(iωt) bleibt bis auf einen
Vorfaktor durch Ableiten unverändert. Dies gilt für cos(ωt) oder exp(−t/τ ) · cos(ωt) jedoch
nicht. Allerdings will man am Ende der Rechnung mit komplexen Faktoren manchmal nur den
relevanten Realteil kennen, was dann einen zusätzlichen Rechenschritt bedeutet.
Den reellen Anteil einer komplexen Funktion
g(t) = g0 exp(iωt),
also der, für den wir uns eigenlich interessieren, erhält man, z.B., indem man zu g(t) sein
komplex konjugiertes dazu addiert und das Ergebnis durch zwei teilt. Genauso können wir
bei der Lösung verfahren, denn wenn wir die Lösung zu einer Anregung exp(iωt) kennen wir
auch die Lösung zu einer Anregung exp(−iωt). Deshalb brauchen wir am Ende einer Rechnung
ledeglich den Realteil der Lösung f (t) für eine Anregung g0 exp(iωt) herauszuarbeiten.
10
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung
1
2 Potenzreihe
2.1 Potenzreihe in einer Dimension . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Entwicklungen von Funktionen mehrerer Veränderlicher, Gradient . . . . . . . .
2
2
6
3 Lineare Differentialgleichungen
3.1 Lineare DGLs mit konstanten Koeffizienten .
3.2 Homogene lineare DGLs . . . . . . . . . . .
3.2.1 Mehrfache Nullstellen . . . . . . . . .
3.3 Inhomogene DGLS . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Lösung komplex vs. reell . . . . . . . . . . .
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. 8
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. 9
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