Herstellung und Charakterisierung supraleitender Mikrowellen

Technische Universität München
Fakultät für Physik
Walther-Meißner-Institut für Tieftemperaturforschung
Abschlussarbeit im Bachelorstudiengang Physik
Herstellung und Charakterisierung
supraleitender
Mikrowellen-Resonatoren für
Messungen im magnetischen Feld
Alexander Backs
Garching, 3. August 2012
Betreuer: Prof. Dr. Rudolf Gross
Erstgutachter (Themensteller): Prof. Dr. Rudolf Gross
Zweitgutachter: ............................................................
Inhaltsverzeichnis
1 Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1 Elektronen-Spin-Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Ferromagnetische Resonanz . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2 Resonatorexperimente mit Spin-Resonanz . . . . . . . . . . .
1.2.1 Verwendung in der Quanteninformationsverarbeitung . .
1.3 Eignung von Resonatortypen für Spin-Resonanz-Experimente
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1
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3
3
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2 Theorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1 Getriebene Oszillatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2 Koplanare Wellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Ersatzschaltbild und elektrische Beschreibung von Wellenleitern
2.2.2 Elektromagnetische Felder im Wellenleiter . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Geometrie und effektive Dielektrizitätskonstante koplanarer
Wellenleiter . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Supraleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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7
7
11
11
13
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15
18
3 Experimentelle Methoden . . . . . . .
3.1 Koplanare Wellenleiter-Resonatoren
3.2 Magnet-Fluss-Kryostat . . . . . . .
3.3 Vektor-Netzwerk-Analysator . . . .
3.4 Verkabelung und Probeneinbau . .
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CPWRs
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31
33
33
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48
5 Zusammenfassung und Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.1 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Ausblick . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
63
63
64
4 Messungen und Ergebnisse . . . . . . . . . .
4.1 Vorüberlegungen . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Durchführung der Experimente . . . . . .
4.2.1 Photolithographische Herstellung der
4.3 Ergebnisse . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.3.1 Resonanzfrequenz . . . . . . . . . . .
4.3.2 Qualitäts- und Transmissionsfaktor .
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iii
Inhaltsverzeichnis
Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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Danksagung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71
iv
Kapitel 1
Einleitung
Mikrowellenresonatoren sind Elemente, welche häufig im Bereich der Spektroskopie
Anwendung finden [1] [2] [3]. Hierbei wird ein zu untersuchendes Objekt in einen
Mikrowellen-Resonator eingebracht und seine Wechselwirkung mit den Moden des
Resonators untersucht. Ausschlaggebend für die Auswertung dieser Experimente
sind dabei die charakteristischen Eigenschaften des Resonators, Resonanzfrequenz
und Linienbreite.
In dieser Arbeit wird ein spezieller Typ von Mikrowellen-Resonatoren fokussiert
werden, der sogenannte koplanare Mikrowellen Resonator (coplanar waveguide resonator, CPWR). CPWRs finden seit einigen Jahren eine breite Anwendung im
Bereich der festkörperbasierten Quanteninformationsverarbeitung [4] [5] [6]. Für die
Speicherung quantenmechanischer Zustände rückten Ensembles von ungekoppelten
oder paramagnetischen zwei-Niveau-Systemen in das Interesse [22] [7] [8]. Seit zwei
Jahren wird außerdem die Verwendung von austauschgekoppelten Spin-Systemen in
diesem Zusammenhang diskutiert [9].
Zunächst soll in diesem Kapitel jedoch die zu Grunde liegende Physik der SpinResonanz betrachtet werden. Anschließend wird dieses Konzept auf die Verwendung
in der Quanteninformationsverarbeitung erweitert.
1.1 Elektronen-Spin-Resonanz
Die untersuchte Größe bei der ESR ist der Spin einzelner Elektronen unter dem
Einfluss eines äußeren Magnetfeldes . Ausgangspunkt soll hier das vereinfachte Bild
eines Elektrons sein, welches zwei energetisch entartete Spin-Zustände hat, die üblicherweise mit Spin-up und Spin-down bezeichnet werden. In einem magnetischen
Feld µ0 H wird die Entartung dieser Zustände durch den Zeeman-Effekt aufgehoben
[10]. Die Änderung der Energie ist dabei durch Ez gegeben:
EZ = g0 µB µ0 H0 mj
(1.1)
µB bezeichnet hier das Bohr-Magneton, µ0 H das externe Feld, mj = ± 21 die
1
Energie
Kapitel 1 Einleitung
mj =+1/2
ΔE=ħωres=g0μBμ0H0
mj=–1/2
μ0H0
μ0H
Abbildung 1.1: Energieaufspaltung des Spin-up- und Spin-down-Zustandes eines einzelnen Elektronen-Spins aufgrund des Zeeman Effekts. (Vergleiche(1.1))
Spin-Quantenzahl, und g0 eine Kopplungskonstante (g-Faktor), die vom untersuchten Material abhängt.
Da die Spin-Zustände nun unterschiedliche Energieniveaus haben (siehe Abbildung 1.1), kann es durch Absorbtion von Energie, hier wird die Energiezufuhr durch
Photonen mit E = h̄ω betrachtet, zu einem Spin-Flip kommen, dem Übergang des
einen Zustandes in den anderen. Dies passiert genau dann, wenn die zugeführte Energie dem energetischen Abstand ∆E = E i −E j zwischen beiden Zuständen entspricht.
Durch die Gleichung:
h̄ωres = ∆E = g0 µB µ0 H0
(1.2)
wird die Resonanzbedingung der ESR gegeben.
Aus der Beschriebenen Elektronen-Spin-Resonanz geht hervor, unter welchen Bedingungen ein Photon in eine Spin-Anregung umgewandelt wird. Daraus lässt sich zwar
eine Resonanzbedingung ableiten, es sei jedoch angemerkt, dass für diese Anregung
keine Mikrowellen-Resonatoren benötigt werden.
Der Spin-Flip der ESR stellt einen magnetischen Dipolübergang dar [10]. Daher
spielt die magnetische Komponente der elekromagnetischen Welle die leitende Rolle
für den Übergang.
Die Verwendung eines Mikrowellen-Resonators birgt nun zwei deutliche Vorteile.
Zum einen bilden sich im Resonator stehende Wellen, deren elektromagnetische
Felder eine klare Trennung in Bereiche mit ausgeprägtem elektrischem oder magnetischem Feld erlauben.Zum anderen führt die im Resonator gespeicherte Energie zu
2
1.2 Resonatorexperimente mit Spin-Resonanz
einer Erhöhung der Amplituden des elektromagnetischen Feldes.
Für die Untersuchung eines Spin-Systems ist ein Resonator jedoch deshalb unverzichtlbar, weil aus der Spektrokopierung des Resonators Rückschlüsse auf die
Antwort des Spin-Systems gezogen werden können, wenn es mit Mikrowellen angeregt wird.
1.1.1 Ferromagnetische Resonanz
In der ferromagnetischen Resonanz (FMR) werden, im Gegensatz zur ESR, SpinSysteme untersucht, die untereinander durch eine Austauschwechselwirkung gekoppelt sind. Aufgrund dessen wird durch den Drehimpulsübertrag eines absorbierten
Photons das gesamte System als Kollektiv angeregt. Diese Anregung kann sich auf
unterschiedliche Arten manifestieren, als Spinwelle, Magnon oder einfache Kollektivanregung, welche sich durch ihren Wellenvektor unterscheiden. Im einfachsten
Modell, dem sogenannten Makrospin-Modell, werden die einzelnen Spins des Ensembles, analog zur Drehimpuls-Arithmetik von Atomen zu einem Gesamtdrehimpuls,
summiert. Dabei sind weiterhin durch Photonen induzierte Übergänge mögliche,
welche die magnetische Quantenzahl um ±1 ändern.
1.2 Resonatorexperimente mit Spin-Resonanz
Bei beiden Arten der Spin-Resonanz kann im Experiment eine Resonanz zwischen Mikrowelle und Spin-System beobachtet werden, wenn die Frequenzen, beziehungsweise
Energien, der Mikrowellen mit den vom System benötigten Werten übereinstimmen.
Durch Variation der Mikrowellenfrequenz und des externen Magnetfeldes können
dabei die Resonanzkriterien festgelegt werden.
Im Experiment wird das benötigte elektromagnetische Feld mit einem Resonator
erzeugt, welcher durch Mikrowellensignale angeregt wird. Die Frequenz und Energie
der Mikrowellen ist somit durch die Resonanzfrequenz des Resonators vorgegeben
und als freier Parameter bleibt zunächst nur das externe Magnetfeld.
In dieser Arbei soll im Speziellen der Fall behandelt werden, dass das magnetische System stark an den Resonator gekoppelt ist. Nur in diesem Fall kann der in
der Quanteninformationsverarbeitung benötigte Informationsübertrag auf das SpinSystem und zurück erfolgen [11].
3
Kapitel 1 Einleitung
Die starke Kopplung zeichnet sich dabei derart aus, dass die Kopplungsrate g die
Verlustrate des Resonators κ und des Spin-Systems γ übersteigt.
g κ, γ
(1.3)
Dies wird auch über die Größe der Kooperativität K quantifiziert, wobei für eine
starke Kopplung sowohl (1.3), als auch K 1 erfüllt seien müssen.
K=
g2
κγ
(1.4)
Sowohl die Kopplung g als auch die Verlustrate γ des untersuchten Systems sind
maßgeblich durch die Eigenschaften des Systems gegeben, und können nur in geringem Umfang beeinflusst werden. Dies kann beispielsweise durch eine Veränderung
der Dotierung des Materials oder eine andere Probengröße geschehen. Dagegen kann
die Verlustrate κ des Resonators wesentlich stärker beeinflusst werden. Daher ist es
sinnvoll, Resonatoren mit einer an die Kopplungsrate g angepassten Linienbreite zu
verwenden. Die dafür charakterisierende Größe des Resonators ist der Qualitätsfaktor
(Q-Faktor) Q:
Q=
ωres
fres
=
2κ
∆f
(1.5)
1.2.1 Verwendung in der Quanteninformationsverarbeitung
Neben spektroskopischen Experimenten findet eine Anwendung der Kopplung
zwischen Mikrowellenresonatoren und Spin-Systemen auf dem Gebiet der Quanteninformationsverarbeitung statt. Analog zu herkömmlichen Computern sind die
wichtigsten Komponenten eines Quanten-Computers Rechenelemente und Informationsspeicher. Erstere werden durch Quantenbits (Qubits) realisiert, künstliche
quantenmechanische zwei-Niveau-Systeme, welche ein Analogon zum elektrischen
Bit darstellen [12]. Letztere können beispielsweise durch das Spin-System eines
Ferromagneten realisiert werden [9].
Auf eine Weise, die der ESR beim Quantenbit und der FMR für die Speichereinheit
entspricht, können beide Einheiten an einen Resonator gekoppelt werden, um sie
anzusteuern, Informationen einzuspeisen oder auszulesen. Die Kombination eines
Quantenbits mit einem Spin-Speicher und Mikrowellenresonator, quasi der Grundbaustein eines Quanten-Computers, ist schematisch in Abbildung 1.2 gezeigt.
4
0
μH
0
m
Sp
in
Sy
ste
na
to
r
Re
so
Qu
Bit
1.3 Eignung von Resonatortypen für Spin-Resonanz-Experimente
Abbildung 1.2: Schematische Darstellung eines Qubits (lila) und SpinSsystems(grün), die über einen Mikrowellenresonator gekoppelt sind. Der hier
gezeigte koplanare Resonator besteht aus den Leiterflächen (blau), welche sich auf
einem isolierenden Substrat (grau) befinden.
1.3 Eignung von Resonatortypen für
Spin-Resonanz-Experimente
Wie bereits erwähnt, gibt es Mikrowellenresonatoren verschiedener Art, die sich für
den Einsatz in ESR, FMR und ähnlichen Experimenten unterschiedlich gut eignen.
Grundsätzlich kann zwischen Hohlraumresonatoren und Mikrostreifenresonatoren
unterschieden werden. Hohlraumresonatoren bestehen aus einem von elektrischen
Leitern umschlossenen Hohlraum, welcher auch mit einem Dielektrikum gefüllt sein
kann. Die Form des Hohlraums beeinflusst dabei die Resonanzen, welche sich in
ihm bilden können [13]. Mikrostreifenresonatoren dagegen sind zweidimensionale
Systeme und bestehen aus einem dünnen Leiterstreifen, in dem elektromagnetische
Wellen resonieren können [14]. Für den Einsatz in Experimenten ist zunächst wichtig, dass die Resonatoren in die übrige Messelektronik eingebunden werden können.
Mikrostreifenresonatoren weisen dabei den entscheidenden Vorteil auf, dass sie eine
planare Struktur aufweisen und somit das zu untersuchende Objekt einfach auf der
Resonatoroberfläche fixiert werden kann. Einen weiteren Vorteil stellt die einfache
Fabrikation von Mikrostreifenresonatoren dar, welche zum Teil photolithographisch
erfolgen kann und, bei entsprechender Ausrüstung, vom Experimentator selbst übernommen werden kann. Dies ermöglicht ein Anpassen der Resonatorspezifikationen
auf die Fragestellung erheblich. Als ein wichtiger Aspekt spricht für die Verwendung
5
Kapitel 1 Einleitung
einer Planaren Resonatorgeometrie, dass in derartigen Resonatoren die elektromagnetische Mode auf kleine Volumina eingeschränkt werden kann. Dadurch kann
ein hoher Füllungsgrad des Resonators leichter erreicht werden. Zusätzlich ergeben
sich durch das geringe Modenvolumen beim Resonator höhere Feldstärken als beim
Hohlraumresonator. Allerdings ist das Feld eines kleinen Resonators auch wesentlich
inhomogener [15].
Die Variante von Mikrostreifenresonatoren, die in dieser Arbeit behandelt wird, ist
der koplanare Wellenleiter-Resonator(CPWR). Bei diesem bestehen die Masseleiter
des Resonators aus Leiterflächen, die sich beidseitig in der Ebene des Zentralleiters
erstrecken, woduch dieser Resonator gänzlich flach ist (vergleiche Abbildung 1.2).
In den Experimenten dieser Arbeit werden zudem Resonatoren im supraleitenden
Zustand verwendet. Dadurch verschwinden die ohmschen Verluste im Resonator,
was eine Steigerung seiner Qualität bewirkt.
Ziel dieser Arbeit ist es, den CPWR so zu gestalten, dass er einen möglichst
hohen Q-Faktor bei typischen ESR-Resonanzfeldern µ0 H ≈ 100 mT aufweist. Dabei
soll auch berücksichtigt werden, dass sich durch die Auswirkungen eines Magnetfeldes auf den supraleitenden Resonator die Qualität mit variierendem äußeren Feld
verändert. Der Ansatzpunkt, der in dieser Arbeit verfolgt werden wird, ist durch
Variation der Schichtdicke des supraleitenden Materials des Resonators dessen Güte
zu verbessern. Dies ist eine mehrerer möglicher geometrischer Variationen, welche in
Kapitel4.1 beschrieben werden, in welchem auch die getroffene Wahl begründet wird.
6
Kapitel 2
Theorie
Die Theorie, welche der Funktionsweise der verwendeten Resonatoren zu Grunde
liegt, soll in diesem Kapitel behandelt werden. Diese beinhaltet neben den Prinzipien
eines getriebenen Oszillators die Theorie von Wellenleitern und einige Eigenschaften
der Supraleitung. Auf die Wellenleiter soll dabei näher eingegangen werden, indem
zunächst allgemeingültige Aussagen getroffen und im Anschluss spezielle Details der
koplanaren Wellenleiter-Geometrie diskutiert werden.
2.1 Getriebene Oszillatoren
Die in dieser Arbeit verwendeten Resonatoren lassen sich gut als harmonische Oszillatoren beschreiben. Bei dem hier behandelten Oszillator handelt es sich um einen
elektromagnetischen Schwingkreis (siehe Abbildung 2.1), welcher den verwendeten
Wellenleitern sowie Resonatoren sehr ähnlich ist (vergleiche hierzu Kapitel 2.2.1).
Die bestimmenden Komponenten des Oszillators sind eine Spule mit Induktivität L,
ein Kondensator mit Kapazität C sowie ein ohmscher Widerstand mit elektrischer
Resistivität R [16]. Ausgehend vom zweiten Kirchhoff’schen Gesetz:
n
X
Vk (t) = 0
(2.1)
k=1
kann der Stromfluss I(t) im Schwingkreis berechnet werden. Vk steht hier für alle
Spannungen, welche auf einem geschlossenen Stromkreis abfallen. Hier sind dies die
Spannungen an der Spule VL , am Widerstand VR und am Kondensator VC .
dI(t)
Q(t)
+ R · I(t) +
=0
(2.2)
dt
C
Durch einmaliges Ableiten nach der Zeit und durch geringfügiges Umstellen der
VL + VR + VC = L ·
7
Kapitel 2 Theorie
Koeffizienten kommt man auf die folgende homogene Differentialgleichung zweiter
Art:
d2 I(t) R dI(t)
1
+
+
I(t) = 0
(2.3)
2
dt
L dt
LC
In dieser typischen Oszillatorgleichung lassen sich zwei Größen identifizieren, die
charakteristisch für harmonisch schwingende Systeme sind. Dies ist zunächst die Eigenkreisfrequenz ω0 . Sie gibt die Frequenz eines ungedämpften Oszillators an. Im
Fall des elektromagnetischen Schwingkreises ist das ungedämpfte System durch das
Vernachlässigen des ohmschen Widerstandes gegeben. Die Eigenkreisfrequenz kann
direkt mit der Resonanzfrequenz eines Mikrowellenresonators verglichen werden und
bildet daher eine hier interessierende Größe. Des Weiteren kann die Dämpfungskonstante κ des Schwingkreises definiert werden. Sie ist ein Maß dafür, wie lange die im
Oszillator gespeicherte Energie abgegeben wird. Diese Größe kann nicht äquivalent
zu der in dieser Arbeit benötigten Linienbreite eines Resonators verwendet werden,
hat jedoch eine ähnliche Aussagekraft.
ω0 = √
1
r
,κ =
2·L
L·C
(2.4)
L
I(t)
C
R
Abbildung 2.1: Schema eines isolierten elektromagnetischen Schwingkreises. Dieser
besteht aus einer Spule L, einem Kondensator C und einem Widerstand R, welche
in Reihe geschaltet und miteinander kurzgeschlossen sind.
Die Lösung von (2.3) kann mit einem einfachen Exponentialansatz gefunden werden, wobei sie jedoch stark vom Wert der Dämpfungsrate κ abhängig ist [?]. Für
8
2.1 Getriebene Oszillatoren
κ > 1 wird das System als stark gedämpft, beziehungsweise für κ = 1 als kritisch
gedämpft, bezeichnet. Im stark gedämpften Regime kommt es zu keiner Schwingung
des Systems, sondern lediglich zu einer Relaxation in den Gleichgewichtszustand. Bei
kritischer Dämpfung erfolgt der Rückgang in die Ruhelage auf dem schnellstmöglichen Weg, was auch als aperiodischer Grenzfall bezeichnet wird. Diese Fälle sind
für die beabsichtigten Experimente folglich uninteressant. Deshalb wird eine Lösung
im schwach gedämpften System mit κ < 1 gewählt. Bei dieser kann der Oszillator
mit einer leicht von ω0 verschiedenen Frequenz schwingen, während seine Amplitude
über die Zeit exponentiell abfällt [17].
q
I(t) = A · e−κt sin (ωt + φ); ω = κ2 − ω02
(2.5)
Die beiden weiteren Parameter in dieser Formel bezeichnen die Amplitude A und
einen konstanten Phasenwinkel φ der Schwingung, welche beide aus den jeweiligen
Randbedingungen eines Oszillators hervorgehen.
Diese Gleichungen, welche die freie Schwingung eines Oszillators beschreiben, sollen
nun auf einen extern angeregten Schwingkreis erweitert werden, da dies der eigentlichen Verwendung des Resonators im Experiment entspricht. Zu diesem Zweck wird
in (2.1) ein weiterer Term Vext hinzugefügt, welcher die externe treibende Spannung beschreibt [?]. Da der Resonator von Mikrowellen angeregt werden soll, wird
die externe Kraft als sinusförmig angenommen, um die folgende Gleichung weiter
auszuwerten.
d2 I(t) R dI(t)
1
Vext
+
+
I(t) =
; Vext = V0 sin (ωext t)
2
dt
L dt
LC
L
(2.6)
In einer Zeit von κ1 , der Einschwingphase, dominiert das Verhalten des Schwingkreises als gedämpfter Oszillator, während sich die Schwingung der Frequenz ωext
der antreibenden Spannung angleicht und ihre Amplitude sinkt. Anschließend ist die
Schwingung des Oszillators stabil (siehe Abbildung 2.2) [17]. Die Amplitude A wird
maximal für eine treibende Frequenz, welche der Eigenfrequenz des Oszillators entspricht. Bei zunehmender Abweichung der Werte voneinander sinkt die Amplitude
ab (siehe Abbildung 2.3). Der Phasenwinkel φ gibt beim getriebenen Oszillator einen
Versatz zwischen antreibender und Oszillatorschwingung an.
V0 x = A sin (ωext t + φ); A =
L
−1
2ω κ ext
2 − ω2
ωext
0
(2.7)
Für diese Gleichung ist es umständlich, eine Linienbreite ∆ω des Resonanzpeaks
einzuführen, und auch die Auswertung von Messdaten gestaltet sich mit ihr schwierig.
∆ω gibt die Frequenzbreite an, bei welcher der Wert der Amplitude auf die Hälfte des
Maximums abgesunken ist (full width at half maximum, FWHM). Aus diesem Grund
q
2 )2
(2ωext κ)2 + (ω02 − ωext
, φ = arctan
9
Kapitel 2 Theorie
t=1/κ
Abbildung 2.2: Dargestellt ist der Einschwingvorgang eines getriebenen Oszillators.
Dieser benötigt eine Zeit t = k1 , bis sich die Schwingung stabilisiert hat, und der
extern vorgegebenen Frequenz entspricht.
A
ω0
ωext
Abbildung 2.3: Dargestellt ist das in (2.7) gegebene Verhalten der Amplitude eines
getriebenen Oszillators in Abhängigkeit von der externen Frequenz.
10
2.2 Koplanare Wellenleiter
wird für die Datenanalyse eine Lorentzkurve verwendet, die in guter Näherung mit
der realen Amplitude übereinstimmt.
A=
V0
∆ω/2
2 )2
L (∆ω/2)2 + (ω02 − ωext
(2.8)
Mit Linienbreite und Resonanzfrequenz lässt sich auch der Qualitätsfaktor (QFaktor) Q des Resonators bestimmen.
Q=
ω0
f0
=
∆ω
∆f
(2.9)
Der Q-Faktor ist ein Maß dafür, mit welcher Rate die im Resonator befindliche
Energie abgegeben wird.
2.2 Koplanare Wellenleiter
Dieses Kapitel soll die koplanaren Wellenleiter und Mikrowellenresonatoren einführen, welche im Experiment verwendet wurden. Dabei soll zunächst der elektrische
Aufbau eines generischen Wellenleiters gezeigt werden. Anschließend soll kurz auf
die Feldverteilung in Wellenleitern eingegangen werden und abschließend die koplanare Geometrie der Wellenleiter vorgestellt und zur Berechnung einiger wichtiger
Konstanten verwendet werden.
2.2.1 Ersatzschaltbild und elektrische Beschreibung von Wellenleitern
Aus elektrischer Sicht besteht ein Wellenleiter aus der Aneinanderreihung vieler kleiner LC-Tiefpässe, die in Serie hintereinander gereiht sind[18]. Abbildung 2.4 zeigt das
Schaltbild eines solchen Elements, welches durch die Induktivität L, die Kapazität
C sowie die beiden ohmschen Widerstände R1 und R2 bestimmt wird. Da die Länge eines einzelnen elementaren LC-Gliedes im Folgenden infinitesimal klein werden
wird, sind diese Größen jeweils pro Längeneinheit definiert, anstatt Absolutwerte des
gesamten Wellenleiters anzugeben. Für einen koplanaren Wellenleiter lassen sich die
charakterisierenden elektrischen Größen relativ einfach wiederfinden, indem man die
Induktivität und den Widerstand des Zentralleiters betrachtet sowie die Kapazität
und Leckströme zwischen Innenleiter und Masseflächen. Auch die Ähnlichkeit des
elektrischen Aufbaus der Wellenleiter mit dem in Abbildung 2.1 gezeigten Schwingkreis ist hier erkenntlich.
Wie beim Schwingkreis können mit Hilfe der Kirchhoff’schen Gesetze aus dem Schaltbild des LC-Elements Bedingungen für die Ströme und Spannungen im Wellenleiter
11
Kapitel 2 Theorie
hergeleitet werden. Die Differenzialgleichungen, die daraus enstehen, können mit einem Exponential-Ansatz aufgelöst werden und führen letztendlich zu je einer Wellengleichung für Strom und Spannung im Resonator [18].
V0+ ,
V0− ,
I0+
V (z) = V0+ e−λz + V0− eλz
(2.10)
I(z) = I0+ e−λz + I0− eλz
(2.11)
undI0−
geben in diesen Gleichungen die Amplituden der Wellen an.
Die Indizes + und − stehen hier für die jeweilige Ausbreitungsrichtung entlang des
Wellenleiters. Die Werte der Amplituden lassen sich aus den Randbedingungen, denen der Wellenleiter unterliegt, berechnen. Die komplexe Größe λ lässt sich in einen
Realteil α und Imaginärteil β aufspalten. α stellt die Dämpfungskonstante der Wellen dar, analog zur Konstante κ des elektromagnetischen Schwingkreises, und β die
Wellenzahl der Welle. Diese entspricht über den Zusammenhang β = ωc , mit der
Lichtgeschwindigkeit c im Wellenleiter, der Resonanzfrequenz ω des Oszillators.
r
1
+ ıωC)
(2.12)
λ = α + ıβ = (R1 + ıωL)(
R2
R1
L
R2
C
Abbildung 2.4: Schaltbild eines LC-Tiefpasses, bestehend aus einer Induktivität I,
einer Kapazität C sowie zwei Widerständen R1 und R2 . Die elektrischen Eigenschaften eines Wellenleiters können durch eine hintereinandergeschaltete Reihe solcher
Elemente beschrieben werden.
Da es sich bei den im Wellenleiter fließenden Strömen und den Spannungen um
12
2.2 Koplanare Wellenleiter
Wechselgrößen handelt, ist auch der Wechselstromwiderstand, die charakteristische
Impedanz Z0 , eine bedeutsame Größe [18].
s
(R1 + ıωL)
Z0 =
(2.13)
( R12 + ıωC)
Diese ist vor allem für das Aneinanderkoppeln verschiedener elektrischer Elemente
wichtig. Ein Unterschied in der Impedanz kann zu Leistungsverlusten sowie Signalreflexionen oder auch Verzerrungen des Signals führen [14].
Da die verwendeten Resonatoren supraleitend sind, soll hier noch die Impedanz eines
Wellenleiters ohne ohmsche Verluste angegeben werden. Für diesen gilt R1 = R2 = 0,
und (2.13) kann folgendermaßen vereinfacht werden :
r
L
Z0 =
(2.14)
C
2.2.2 Elektromagnetische Felder im Wellenleiter
Berechnet man die Felder der elektromagntischen Wellen in einem Wellenleiter, so
kommt man zu dem Ergebnis, dass sie für viele gängige Geometrien in drei Moden
unterteilt werden können (für eine Herleitung siehe [18]). Die Bezeichnungen dieser
Zustände sind nach ihren Feldkomponenten gewählt. Diese können parallel zur Ausbreitungsrichtung der elektromagnetischen Welle stehen (Longitudinalkomponenten)
oder senkrecht dazu ausgerichtet sein (Transversalkomponenten). Die Moden sind im
Folgenden aufgeführt und benannt:
1. TEM-Mode (transversal elektro-magnetisch): die Longitudinalkomponenten
beider Felder verschwinden, wodurch beide rein transversal werden.
2. TE-Mode (transversal elektrisch): die Longitudinalkomponente des elektrischen
Feldes verschwindet, wodurch dieses rein transversal wird.
3. TM-Mode (transversal magnetisch): die Longitudinalkomponente des magnetischen Feldes verschwindet, wodurch dieses rein transversal wird.
Die TEM-Mode stellt dabei eine Besonderheit dar, da sie nur auftreten kann,
falls der Wellenleiter aus mindestens zwei voneinander isolierten Leitern besteht.
Des Weiteren kann sie bei jeder beliebigen Frequenz auftreten, wogegen TE- und
TM-Moden Grenzfrequenzen aufweisen, unterhalb derer sie nicht entstehen können.
Da koplanare Resonatoren zwei getrennte Leiter besitzen, den signalführenden
Innenleiter sowie die Masseflächen (vergleiche Abbildung 1.2), kann sich in ihnen
eine TEM-Mode bilden [14]. In Abbildung 2.5 ist die magnetische Feldstärke der
13
Kapitel 2 Theorie
TEM-Mode eines für diese Arbeit verwendeten CPWRs gezeigt. Der Querschnitt
zeigt dabei die Ebene der transversalen Feldkomponenten, während die Propagation
der Welle in die Bildfläche hinein geschieht.
15
z-Axis (μm)
10
5
0
-5
-10
-15
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
y-Axis (μm)
20
30
40
50
Abbildung 2.5: Querschnitt des Magnetfeldes in einem CPW. Die Maße des Wellenleiters betragen wc = 20 µm, wg = 12 µm und t = 100 nm. Die elektromagnetische
Welle, für die das Magnetfeld berechnet wurde, hat eine Frequenz von 10 GHz und
eine Spannungsamplitude von einem Volt.
Da die verwendeten Resonatoren nicht homogen mit einem Dielektrikum gefüllt
sind, sei angemerkt, dass die Moden dadurch nicht mehr, wie oben angegeben, bestimmt werden können. Grund dafür ist die unterschiedliche Phasengeschwindigkeit,
mit der sich Wellen im Dielektrikum ausbreiten. An den Grenzflächen kommt es
somit zu Phasenverschiebungen zwischen den Wellen in den verschiedenen Bereichen,
wodurch variierende longitudinale Komponenten im Feld auftreten. Folglich bildet
sich keine reine TEM-Mode in den verwendeten CPWs, sondern ein als Quasi-TEMMode bezeichneter Zustand [14]. In der vorliegenden Arbeit sind die Verzerrungen,
14
2.2 Koplanare Wellenleiter
bedingt durch die geringe Dicke der Dielektrika, nur schwach ausgeprägt und werden
im Allgemeinen vernachlässigt.
2.2.3 Geometrie und effektive Dielektrizitätskonstante koplanarer
Wellenleiter
Die in Kapitel 2.2.1 eingeführte Impedanz eines koplanaren Wellenleiters sowie die
Phasengeschwindigkeit der elektromagnetischen Wellen und die Resonanzfrequenz
eines Resonators lassen sich über die Geometrie des CPW bestimmen. Dazu wird
die effektive Dielektrizitätskonstante ef f des inhomogen gefüllten Wellenleiters
bestimmt. Die Berechnung der Dielektrizitätskonstante soll dermaßen vonstatten
gehen, dass zunächst die Kapazitäten innerhalb des Wellenleiters bestimmt werden.
Durch den Vergleich zu der Kapazität eines leeren CPWs soll festgestellt werden,
wie groß die dielektrische Konstante eines homogen gefüllten Wellenleiters sein
müsste, um denselben Effekt zu erzielen [14]. Die Kapazitäten sollen dabei aus den
geometrischen Abmessungen des CPWs berechnet werden. Der Querschnitt des Wellenleiters, der den Berechnungen zu Grunde liegt, ist in Abbildung 2.6 dargestellt.
Sie zeigt einen zwischen zwei dielektrischen Schichten eingeschlossenen CPW, der
zusätzlich nach oben und unten mit einem elektrisch leitenden Material abgeschirmt
ist. Dieses Schema kann auch derartig abgeändert werden, dass nur eine und/oder
keine dielektrische Schicht vorhanden ist, indem die zugehörigen Höhen h1 und h2
gleich Null gesetzt werden. Außerdem können eine und/oder beide Abschirmungen
vernachlässigt werden, indem der Grenzwert der zugehörigen Höhe, h3 und h4 , ins
Unendliche verschoben wird. Das Einfügen weiterer Dielektrika erfordert zusätzliche,
hier nicht aufgeführte Formeln [14].
Die Herleitung der erforderlichen Formeln soll in dieser Arbeit nicht durchgeführt werden, stattdessen sollen Gleichungen angegeben werden, welche sofort zur
Berechnung benutzt werden können. Für eine exakte Herleitung sowie weitere Möglichkeiten des CPW-Designs sei auf [14] verwiesen.
Zur einfacheren Berechnung der Kapazität ist die Geometrie des Wellenleiters, wie
in Abbildung 2.7 veranschaulicht, in verschiedene Teilbereiche aufgespalten. Die
Berechnung der Kapazitäten jeweils eines Dielektrikums ist durch folgende Formel
gegeben, wobei i = 1, 2 die verschiedenen Schichten bezeichnet.
Cdielectric =
X
i=1,2
20 (i − 1)
K(ki )
K(k̂i )
(2.15)
i gibt hier die relative Dielektrizitätskonstante der zugehörigen Schicht an und ki
und k̂i sind Konstanten, die von den Höhen und Breiten des Innenleiters wc sowie
15
Kapitel 2 Theorie
h1
h3
h2
wg
CPW
Dielektrikum 1
wc
h4
Dielektrikum 2
Abschirmung
Abbildung 2.6: Querschnitt eines CPWs (blau) zwischen zwei unterschiedlichen dielektrischen Schichten (gelb und rot). Der Wellenleiter wird durch zwei Leiterflächen
(grau) abgeschirmt. Eingezeichnet sind auch die relevanten Höhen im CPW.
h1
wg
a,
h2
b,
wg
h3
wc
wg
wc
h4
c,
wc
CPW
Dielektrikum 1
Dielektrikum 2
Abschirmung
Abbildung 2.7: Querschnitt der Teilbereiche des CPWs in Abbildung 2.6, welche
zur Berechnung verwendet werden. a) und b) zeigen den CPW jeweils mit einem
Dielektrikum, c) zeigt den leeren Wellenleiter.
16
2.2 Koplanare Wellenleiter
des Spaltes wg des CPWs abhängen. K(x) steht für das totale elliptische Integral
erster Art.
sinh (πwc /2hi )
sinh ((π(wc + 2wg ))/4hj )
q
k̂i = 1 − ki2
ki =
(2.16)
(2.17)
Für den leeren, beziehungsweise mit Luft gefüllten, Wellenleiter steht eine ähnliche
Gleichung zur Verfügung, um die Kapazität zu berechnen.
Cair =
X
20
j=3,4
K(kj )
K(kˆj )
(2.18)
kj und kˆj sind dabei wieder geometrieabhängige Konstanten.
kj =
tanh (πwc /2hj )
tanh ((π(wc + 2wg ))/4hj )
q
kˆj = 1 − kj2
(2.19)
(2.20)
Die obigen Teilkapazitäten lassen sich nun einfach zur Gesamtkapazität CCP W des
Wellenleiters addieren. Durch Vergleich mit der Kapazität des freien Wellenleiters
lässt sich die effektive Dielektrizitätskonstante berechnen.
Cdielectric + Cair
CCP W
=
(2.21)
Cair
Cair
Die Phasengeschwindigkeit der im Wellenleiter auftretenden Schwingungen lässt
sich wie gewohnt ermitteln.
ef f =
vph = √
c
ef f
(2.22)
Wie bereits gesagt, kann auch die Impedanz des Wellenleiters, welche in ( 2.13 )
bereits aufgrund von elektrischen Größen berechnet wurde, aus den hier verwendeten
Größen bestimmt werden, was in vielen Fällen eine einfachere Variante darstellt.
√
ef f
Z0 =
(2.23)
c · CCP W
Insbesondere sei angemerkt, dass die Impedanz nicht alleine von den Breiten des
Innenleiters wc und des Spaltes wg im CPW abhängt, sondern durch deren Verhältnis zueinander bestimmt ist. Innerhalb eines Wellenleiters lassen sich diese Breiten
folglich beliebig skalieren, ohne zu störenden Impedanzänderungen zu führen [14].
17
Kapitel 2 Theorie
2.3 Supraleitung
Da die verwendeten CPWRs aus supraleitendem Material bestehen, sollen hier einige
wichtige Effekte der Supraleitung qualitativ besprochen werden. Auf eine quantitative Berechnung wird verzichtet, da sie für die vorliegende Arbeit nicht weiter
benötigt wird. Für die hier angesprochenen Effekte sei generell auf [23] verwiesen
Der verwendete Supraleiter Niob ist ein Typ-zwei-Supraleiter, der sich durch
folgende Eigenschaften auszeichnet :
Unterhalb der Sprungtemperatur Tc = 9.5 K befindet sich das Material im supraleitenden Zustand. In diesem formen, bildlich gesprochen, jeweils zwei Leitungselektronen einen gebundenen Zustand, ein Cooper-Paar, welches bei Temperaturen
größer als Tc wieder aufgebrochen wird. Dieses Paar unterscheidet sich von einzelnen
freien Elektronen fundamental, da es Spin = null besitzt, und deshalb nicht an
das Pauli-Verbot gebunden ist. Es handelt sich jedoch nicht um Bose-Teilchen, da
den Cooper-Paaren nur ein einziger Energiezustand zur Verfügung steht. Durch
diesen Umstand können sie nicht im Material gestreut werden und erfahren daher
keinen elektrischen Widerstand. Elektrische Ströme können von Cooper-Paaren also
verlustfrei geleitet werden. Da sich nicht alle Elektronen im Material binden, kann
man den Supraleiter elektrisch als zwei parallele Stromleiter betrachten, wobei eine
Leitung supraleitend und die andere normalleitend ist. Für Gleichströme bedeutet
dies weiterhin eine uneingeschränkte Leitfähigkeit des Materials, während es für
Wechselströme zu geringen Verlusten führt.
Durch die Bindung der Cooper-Paare wird im Supraleiter Energie freigesetzt, die
sogenannte Kondensationsenergie. Beim Anlegen eines externen homogenen Magnetfeldes können mit dieser Energie Ringströme im Randbereich des Supraleiters
induziert werden, welche, der Lenz’schen Regel folgend, dem äußeren Feld entgegenwirken. Da der Supraleiter keinen elektrischen Widerstand besitzt, kann das Feld
praktisch komplett aus dem Inneren des Materials verdrängt werden, was Supraleiter
zu perfekten Diamagneten macht. Genaugenommen fällt das Magnetfeld durch die
Abschirmströme im Supraleiter auf einer Länge, die als London’sche Eindringtiefe
bezeichnet wird, auf einen Faktor 1e ab. Diese Länge beträgt bei Niob etwa 100 nm.
Ist die Energie, die zum Abschirmen des Feldes benötigt wird, größer als die zur
Verfügung stehende Kondensationsenergie, bricht die Supraleitung zusammen und
das Material geht wieder in den normalleitenden Zustand über.
Ein externes Magnetfeld beeinflusst einen Supraleiter des zweiten Typs nun derartig, dass ab einem ersten kritischen Feld µ0 Hc1 der Supraleiter in einen Zustand
übergeht, der als Shubnikov-Phase bezeichnet wird. In ihm bilden sich normalleitende Kanäle durch das Material, die parallel zum äußeren Feld verlaufen. Durch diese
18
2.3 Supraleitung
sogenannten Flussschläuche kann das Magnetfeld den Supraleiter durchdringen (siehe Abbildung 2.8). Aufgrund der Flussschläuche verringert sich dasjenige Volumen
im Supraleiter, in welchem das externe Magnetfeld verdrängt werden muss, was sich
energetisch vorteilhaft auswirkt. Die Kanäle sind darüber hinaus stets von Ringströmen umgeben, da sie Grenzflächen zwischen normalleitendem und supraleitendem
Material bilden, welche zu einer Abstoßung zwischen den einzelnen Flussschläuchen
führen. Die resultierende Bewegung der Kanäle wiederum führt zu Energieverlusten,
die einen effektiven elektrischen Widerstand erzeugen.
Mit steigendem äußeren Feld nimmt die Anzahl der Flussschläuche durch das
Material stetig zu, so dass bei einer oberen kritischen Magnetfeldstärke µ0 Hc2 das
gesamte Material normalleitend wird.
μ0H
Abbildung 2.8: Darstellung der Flussschläuche durch einen Typ 2 Supraleiter. In
rot ist das durchdringende Magnetfeld dargestellt, gelb sind die Ringströme um die
Schläuche
Für dünne Schichten eines Supraleiters, wie sie bei den CPWRs benutzt werden,
kommt es zu Verschiebungen der kritischen Felder, wenn das externe Magnetfeld
parallel zu deren Oberfläche steht. Sobald sich die Dicke des Supraleiters im Bereich
der London’schen Eindringtiefe befindet, kann es vorkommen, dass das Feld im
Inneren des Supraleiters nicht bis auf null herabsinkt, sondern im Zentrum einen
endlichen Wert annimmt (siehe Abbildung 2.9). Da die benötigte Energie für eine
19
Kapitel 2 Theorie
schwache Abschirmung des Feldes im Vergleich zu einer kompletten Verdrängung
sinkt, kann das von außen anliegende Feld wesentlich stärker sein, bevor die Kondensationsenergie nicht mehr ausreicht.
Aus diesem Grund kommt es in dünnen, aber näherungsweise unendlich großen
supraleitenden Schichten, nicht zur Ausbildung von Flussschläuchen. Da das Magnetfeld a priori nur geringfügig verdrängt werden muss, ergibt sich aus der Bildung
von normalleitenden Gebieten kein energetischer Vorteil mehr. Feldkomponenten,
die jedoch senkrecht zur Oberfläche des Supraleiters stehen, können weiterhin diesen
Effekt erzielen.
μ0H
μ0H
Supraleiter
x
Supraleiter
x
Abbildung 2.9: Qualitativer Verlauf der Feldstärke innerhalb eines Supraleiters. a
zeigt einen Supraleiter, der wesentlich dicker als die London’sche Eindringtiefe ist, b
einen Supraleiter mit einer zur Eindringtiefe vergleichbaren Dicke.
20
Kapitel 3
Experimentelle Methoden
Im Rahmen dieser Arbeit wurden supraleitende koplanare Resonatoren (coplanar
waveguide resonator, CPWR) bei tiefen Temperaturen vermessen und charakterisiert. In diesem Kapitel werden der Aufbau der Mikrowellen-Resonatoren, sowie
der Kryostat und der Vektor-Netzwerk-Analysator (VNA) beschrieben, die bei den
Experimenten verwendet wurden. Außerdem soll kurz auf die Einbindung der Resonatoren in den Messaufbau und die Verbindung der verschiedenen Komponenten
eingegangen werden.
3.1 Koplanare Wellenleiter-Resonatoren
Die Resonatoren, welche untersucht wurden, bestehen im Prinzip aus einem Stück
koplanarem Wellenleiter [14]. Sie sind vergleichbar mit zweidimensionalen Koaxialkabeln und aufgebaut aus einem inneren Leiterstreifen, welcher zu beiden Seiten
von Masseflächen umgeben ist, wobei der Leiter auf einem Substrat aufgebracht ist.
Ein schematisches Bild eines solchen Resonators ist in Abbildung 3.1 dargestellt
(Vergleiche dazu auch Abbildunge 2.6). Bei einem CPW wird die Ausbildung eines
Stehwellen-Feldes durch eine Unterbrechung der Signalleitung realisiert. Hier sei angemerkt, dass der Resonator bei den meisten Anwendungen durch einen Wellenleiter
mit Signalen gespeist werden muss. Da dies jedoch auf unterschiedliche Arten realisiert werden kann, wurde in diesem Schema die Zuleitung komplett weggelassen,
und wird erst in Abbildung 3.3 diskutiert. Durch das Reflektieren der em-Wellen an
den Enden eines Resonators bilden sich stehende Wellen, welche nur bei bestimmten
Frequenzen auftreten CitePozar. Diese Resonanzfrequenzen hängen von der Länge l des Resonators ab. Die Randbedingungen der elektromagnetischen Welle sind,
dass die elektrische Komponente an den Begrenzungen des Resonators maximal ist,
während die magnetische Komponente dort Nullstellen aufweist. Dies führt zu einer
maximalen Wellenlänge λ0 von λ0 = 2l, welche auch als Grundschwingung bezeichnet wird. Weitere erlaubte Wellenlängen sind die harmonischen Schwingungen zur
Grundschwingung, welche zwischen den Begrenzungen des Resonators weitere Kno-
21
Kapitel 3 Experimentelle Methoden
ten im magnetischen Feld aufweisen und nach deren Anzahl durchnummeriert sind.
Die resultierenden Frequenzen betragen:
2l
(n + 1)
(3.1)
flä
t
sb tra
sse
Ma
Inn
en
lei
ch
e
ter
λn =
Su
Abbildung 3.1: Schema eines CPWR ohne den normalerweise benötigten signalführenden Wellenleiter. Für Darstellungen mit diesem sei auf Abbildung 3.3 verwiesen.
Die Feldamplitude des magnetischen Feldes in dem oben gezeigten Resonator
kann in Abbildung 3.2 gesehen werden. Hier ist exemplarisch die erste harmonische
Schwingung gezeigt. Das elektrische Feld, welches aus Übersichtsgründen nicht auch
eingezeichnet ist, hat einen um 90◦ phasenverschobenen Verlauf, so dass an den
Rändern des Resonators stets Maxima der Ampitude zu finden sind.
Die Anregung des Resonators wird durch die kapazitive Kopplung an einen mit
Mikrowellen gespeisten Wellenleiter ermöglicht [14]. Diese Kopplung kann auf zwei
Arten erzeugt werden (siehe Abbildung 3.3 a und b). In Teilbild b wird eine parallele
Kopplung gezeigt, bei welcher der Resonator, komplett parallel zum speisenden
Wellenleiter geführt wird. Es ist auch möglich, nur einen Teil des Resonators Parallel
zu führen, was üblicherweise auch gemacht wird. Die andere Möglichkeit, welche in
Teilbild a gezeigt wird, ist das serielle Einbinden des CPWRs, bei dem der Resonator
Teil des Innenleiters der Signalleitung ist. Die Unterbrechungen im Zentralleiter,
welche den Resonator abtrennen, bilden in diesem Fall die Kopplungskapazitäten.
Die Stärke der Kopplung kann in beiden Fällen variiert werden, indem man die
22
3.2 Magnet-Fluss-Kryostat
Massefl
äche
Resona
tor
magne
tisches
Substra
t
Feld
Abbildung 3.2: Amplitude des magnetischen Feldes der ersten harmonischen Schwingung in einem CPWR mit Knotenpunkten an den Rändern des Innenleiters, sowie
in dessen Mitte. Die gelben Partien stellen die Zuleitung zum Resonator dar.
Kapazität des Kopplungskondensators ändert. Dies entspricht bei optischen Resonatoren einer Änderung der Reflektivität der Spiegel. Bei serieller Kopplung kann
die Kapazität durch unterschiedliche Gestaltung der Unterbrechung variiert werden
(siehe Abbildung 3.3 c und d).
Wichtig für die Kopplung ist, wie in kapitel 2.2.1 bereits angemerkt, dass die
Impedanzen des Resonators und der Zuleitung, an die er gekoppelt wird, identisch
sind. Bei der Verwendung eines CPW als Zuleitung kann dies durch ein gleiches
Verhältnis der Breite von Innenleiter zum Spalt bei CPW und CPWR gewährleistet werden. Die Absolutwerte der Breiten können, den Bedürfnissen entsprechend,
skaliert werden. Die zusätzliche Kapazität der Kopplung, welche die Impedanzen
leicht beeinflusst, kann normalerweise vernachlässigt werden, da sie vergleichsweise
sehr klein ist. Auch die damit einhergehende Abänderung der Resonatorfrequenzen
bleibt meist unberücksichtigt.
3.2 Magnet-Fluss-Kryostat
Bei dem verwendeten Kryostaten handelt es sich um einen Magnet-Fluss-Kryostaten,
welcher in Abbildung 3.4 skizziert ist. Verwendet wurde dieser, um den Niob CPWR
unter die Sprungtemperatur von Niob Tc = 9.5 K abzukühlen. Das Magnetfeld der
im Kryostat vorhandenen supraleitenden Spulen wird verwendet, um die Resona-
23
Kapitel 3 Experimentelle Methoden
a)
b)
c)
d)
Resonator
Zuleitung
Masseflächen
Substrat
Abbildung 3.3: Verschiedene Kopplungsarten eines CPWR an eine CPW Zuleitung.
a zeigt eine serielle Kopplung, b eine parallele. c und d stellen zwei Varianten der
Kopplungskapazität in einer seriellen Kopplung dar.
toren in einem magnetischen Feldbereich zu charakterisieren, welcher für die ESR
relevant ist (0-500 mT).
Das Arbeitsprinzip des Kryostaten ist ein gasförmiger Helium-4-Fluss, welcher die
Probe umströmt und sie dabei kühlt. Das Helium ist dabei in flüssigem Zustand in
einem dedizierten Reservoir untergebracht, welches über ein Nadelventil mit dem
Probenraum (variable temperature insert, VTI) verbunden ist. Über dieses Ventil
kann der Heliumfluss variiert werden und zusammen mit einem dort installierten
Heizelement kann die Temperatur im VTI reguliert werden. Bei dem verwendeten
Gerät ist dies in einem Bereich von circa 300 Kelvin bis 1.7 Kelvin möglich. Am
oberen Ende des Probenraums wird das Heliumgas mit einer Vakuumpumpe abgesaugt, um einen gleichbleibenden Druck sowie Gasfluss im VTI zu gewährleisten.
Zudem wird die Pumpe benötigt, um Temperaturen unterhalb von circa vier Kelvin
24
3.3 Vektor-Netzwerk-Analysator
Vakuumpumpe
Probenstab
Isolationsvakuum
Helium-Gas
Supraleitendes
Magnetspulenpaar
Magnetfeld-Richtung
Probe
Heizelement
Nadelventil
Flüssighelium-Reservoir
Abbildung 3.4: Schematischer Querschnitt durch einen Magnet-Fluss-Kryostaten
zu erzielen. Dazu wird ausgenutzt, dass mit einem niedrigen Druck innerhalb des
VTI der Dampfdruck des flüssigen Heliums herabgesetzt werden kann, was zu einer
Verringerung dessen Temperatur führt.
Innerhalb des Heliumreservoirs ist ein supraleitendes Helmholtz-Spulen-Paar installiert, welches verwendet wird, um ein möglichst homogenes Magnetfeld an der
Probenposition zu erzeugen. Das Helium wird dabei als ausreichende Kühlung der
Magnetspulen verwendet, um deren Supraleitung zu gewährleisten.
3.3 Vektor-Netzwerk-Analysator
Um die Charakterisierungen der Resonatoren durchzuführen, wurde in dieser Arbeit
ein Vektor-Netzwerk-Analysator (VNA) verwendet, welcher gleichzeitig als Quelle
für die benötigten Mikrowellensignale, wie auch als Mikrowellen-Detektor diente.
Den Kern des VNA bildet ein Breitband-Mikrowellengenerator, der das Messsignal
Vinc generiert, welches in Frequenz und Leistung variabel ist. Intern kann dieses
25
Kapitel 3 Experimentelle Methoden
Signal an verschiedenen Ports angelegt werden, die mit dem zu vermessenden elektrischen Netzwerk verbunden sind. Dabei kann jeder Port gleichzeitig sowohl als
Quelle eines Signals als auch als Detektor verwendet werden. Dies gestattet es, die
Transmission und Reflexion der Mikrowellen auf verschiedenen Pfaden durch das
untersuchte System zu bestimmen.
Die mögliche interne Verarbeitung von ursprünglichem sowie gemessenem Signal
erlaubt es, auf die oft umständliche oder unzweckmäßige Bestimmung der Ströme, Spannungen und Impedanzen zu verzichten und stattdessen mit den StreuParametern (S-Parametern) des Netzwerkes zu arbeiten [18]. Diese Parameter
sind komplexwertige Größen, welche aus dem Vergleich von ein- und auslaufenden
Mikrowellen-Signalen gewonnen werden und direkt die Transmissions- und Reflexionsraten beschreiben. Normalerweise werden die S-Parameter als Matrix notiert,
deren Dimension gleich der Anzahl der verwendeten Ports ist.
In Abbildung 3.5 ist das Schema eines zwei-Port-Netzwerkes gezeigt, wie es auch
bei den Experimenten dieser Arbeit Anwendung fand, in dem die verschiedenen
messbaren S-Parameter angedeutet und beschriftet sind.
S 21
S 22
Port 1
Netzwerk
Port 2
S11
S12
Abbildung 3.5: Darstellung der S-Parameter eines zwei-Port-Netzwerkes
Die Matrix eines solchen Systems ist folgendermaßen definiert,
S11 S12
Ŝ =
S21 S22
(3.2)
wobei die Matrixelemente durch die folgende Gleichung definiert sind.
Sij =
Vi
; i, j = 1, 2
Vj
(3.3)
Sij gibt das Verhältnis der Spannungsamplitude Vi eines gemessenen Signals an
Port i zur Spannung Vj des ausgehenden Signals, welches von Port j emmitiert wird,
26
3.4 Verkabelung und Probeneinbau
an. Sij gibt also den Transmissionsfaktor des Signals von Port j durch das Netzwerk
nach Port i an, während Sii die Reflexion eines Signals von Port i am Netzwerk
beschreibt.
Die S-Parameter enthalten die Information über Ampitude und Phase des Signals.
Der VNA bietet die Möglichkeit, die Parameter in verschiedenem Format auszugeben, wodurch wahlweise Real- und Imaginärteil betrachtet werden können, aber
auch Transmissions- und Reflexionsfaktoren, die Leistung des Signals oder dessen
Phasenverschiebung. Die transmittierte, beziehungsweise reflektierte Leistung ist bei
den Messungen dieser Arbeit die normalerweise verwendete Größe, mit der Aussagen
über die Resonatoren getroffen werden.
Die Daten von Magnitude und Phase des S-Parameters einer typischen Messung im
Rahmen dieser Arbeit sind in Abbildung 3.6 zu sehen. Diese wurde für einen CPWR
mit einer 100 nm dicken Niob-Schicht ermittelt, wobei die Temperatur 4 Kelvin
betrug und der Frequenzbereich von 2.57 GHz bis 2.61 GHz in 20 MHz Schritten durchlaufen wurde, während kein externes Magnetfeld vorlag. Hier sei darauf
hingewiesen, dass erst das Quadrat der Magnitude die transmittierte Leistung angibt.
3.4 Verkabelung und Probeneinbau
Da der Verlust von Mikrowellenleistung im Resonator vermessen werden sollte, war
es ausschlaggebend, die Verluste in anderen Bereichen des Experiments, insbesondere
in den Kabeln zwischen VNA und Resonator, möglichst gering zu halten. Innerhalb
des Kryostaten konnten optimalerweise halbstarre Koaxialkabel benutzt werden, da
sich keine beweglichen Teile darin befanden. Für die Verbindung von Kryostat und
VNA dagegen wurden flexible Koaxialkabel eingesetzt, um ein zügiges Umbauen des
Messstandes zu erleichtern.
Um den Resonator schließlich mit den Koaxialkabeln zu verbinden, wurde eine spezielle Probenbox benutzt (siehe Abildung 3.7). Sie ist aus sauerstofffreiem thermisch
hochleitendem Kupfer gefertigt, zusätzlich ist sie mit Gold beschichtet, um einer
Oxidation vorzubeugen. Die Box weist eine passende Vertiefung auf, in die der Resonatorchip gelegt werden kann. An den schmalen Seiten der Box können Verbinder
(weibliche Sub Miniatur Typ A (SMA) Verbinder) angebracht werden, die außen
an Koaxialkabel angeschlossen werden können. Im Inneren der Box weisen sie einen
Streifenleiter auf, der auf der Anschlussfläche des Resonators aufliegt und so mit
ihm verbunden wird. Die Masseleitung dagegen wird vom Kabel direkt mit der Box
verbunden, welche wiederum an die Masseflächen des Resonatorchips angeschlossen
wird. Die Verbindungen auf den Chip wurden mit Silberkleber erstellt, welcher
außerdem zur Fixierung des Chips in der Nut der Box diente.
27
Kapitel 3 Experimentelle Methoden
Abbildung 3.6: Realteil (links) und Imaginärteil (rechts) eines S21 -Parameters in der
Nähe der Grundschwingung des Resonators.
28
3.4 Verkabelung und Probeneinbau
Abbildung 3.7: CPWR-Chip in einer Probenbox, komplett mit den Verbindern für
Koaxialkabel. Der passende Deckel, mit welchem die Box geschlossen wird, ist in
diesem Bild nicht gezeigt.
29
Kapitel 4
Messungen und Ergebnisse
In diesem Kapitel sollen die Charakterisierungsmessungen behandelt werden, die im
Rahmen dieser Arbeit durchgeführt wurden. Einleitend soll erklärt werden, welche
Vorüberlegungen getroffen wurden, gefolgt von einer Beschreibung der Experimente.
Der dritte Teil des Kapitels wird die Ergebnisse der Messungen sowie eine Erklärung
der visuellen Darstellung und abschließend die Diskussion der ausgewerteten Daten
beinhalten.
4.1 Vorüberlegungen
Wie bereits in der Einleitung erwähnt, war das Ziel dieser Arbeit, Spezifikationen
für CPWRs zu finden, die deren Qualitätsfaktor bei einem äußeren Magnetfeld
von etwa 100 mT optimieren. Da die Materialien sowie die Herstellungsmethode
a priori vorgegeben waren, beschränkten sich die Überlegungen auf geometrische
Variablen des Resonatordesigns, welche in Abbildung 4.1 gezeigt werden. Dies sind
explizit die Breiten des Zentralleiters wc und Spaltes wg , die geometrische Form der
Kopplungskapazität, die Dicke t der Niob-Schicht und die Länge l des Resonators.
Im Folgenden soll für die einzelnen Variablen motiviert werden, in welcher Weise sie
sich auf die Qualität des Resonators auswirken.
Das Verhältnis von wc zu wg bestimmt die Impedanz des Resonators (vergleiche
Kapitel 2.2.3). Letztere ist schlussendlich auf 50Ω festzulegen, da dies der vorherrschende Standart bei elektronischen Geräten ist. Somit besteht lediglich die Option
die Gesamtbreite wc + 2wc zu variieren. Die Verbreiterung des Innenleiters bewirkt
hauptsächlich eine Verringerung des elektrischen Widerstandes, damit einhergehend
einen geringeren Energieverlust innerhalb des Resonators, und ist folglich zuträglich
für den Qualitätsfaktor. Da die Resonatoren in dieser Arbeit jedoch im supraleitenden Zustand verwendet werden sollen, ist dieses Kriterium nicht weiter von
Bedeutung.
Die Gestaltung des Kopplungskondensators beeinflusst zunächst direkt dessen Kapazität, welche die Breite ∆ω des Resonanzpeaks modifiziert. Eine Erhöhung der
31
Kapitel 4 Messungen und Ergebnisse
ts
t
Abbildung 4.1: Schema eines CPWRmit Maßbenennung. Die Variablen sind wie folgt
benannt: die Dicke der Niob-Schicht t und des Substrates ts , die Breiten des Leiters
wc und des Spalts wg , die Länge des Resonators L sowie die Kopplungskapazität,
welche auf einer Seite mit einem roten Kreis markiert ist.
Kapazität bewirkt ein breiteres Frequenzfenster, in dem der Resonator Mikrowellensignale transmittiert [18]. Angesichts der Definition des Qualitätsfaktors (siehe (2.9))
ist jedoch erkennbar, dass durch höhere Linienbreite des Resonators dessen Qualität
negativ beeinflusst wird. Da in Kopplungsexperimenten durchaus ein breiteres Frequenzfenster erwünscht sein kann, wird meist eine mittlere Kapazität gewählt. Diese
vereint ein ausreichend breites Frequenzband mit einem guten Qualitätsfaktor.
Die Dicke der Niob-Schicht ist hauptsächlich in Hinblick auf Effekte der Supraleitung und des externen Magnetfeldes wichtig. Da sich die Dicke im Bereich der
London’schen Eindringtiefe befindet, lässt sich durch eine dünnere Niob-Schicht
das kritische Magnetfeld heraufsetzen, was eine höhere Stabilität des Resonators
im Magnetfeld verursacht. Des Weiteren tritt für solchermaßen dünne Schichten
die Bildung von Flussschläuchen erst ab einem stärkeren Magnetfeld auf, da die
energetiscchen Vorteile durch die Bildung der Fussschläuche geringer sind (vergleiche
Kapitel 2.3). Durch die geringe Dichte von Cooper-Paaren in dünnen Supraleitern
besteht jedoch auch die Möglichkeit, dass solche Resonatoren sehr anfällig gegen
Energiefluktuationen werden. Das dadurch verursachte Aufbrechen von CooperPaaren beeinflusst die Eigenschaften dünner Supraleiter wesentlich stärker, als dies
bei dickeren Supraleitern mit einer höheren Paar-Dichte der Fall ist.
Die Länge des Resonators, als letzter betrachteter Parameter, beeinflusst die Güte
dadurch, dass mit sinkender Länge L die Resonanzfrequenzen steigen. Dadurch wird
die Qualität des Resonators gesteigert (siehe (2.9)). Da die Linienbreite der Resonanz jedoch mit steigender Frequenz ebenfalls zunimmt, weisen höhere Harmonische
32
4.2 Durchführung der Experimente
meist geringere Qualtitätsfaktoren auf als die Grundschwingung.
Ziel dieser Bachelor-Arbeit war es, die Parameter der Niob-Schichtdicke derart zu bestimmen, dass der Qualitätsfaktor für eine bereits existierende Resonator-Geometrie
und unter dem Einfluss eines externen Magnetfeldes von circa 100 mT optimiert wird.
4.2 Durchführung der Experimente
4.2.1 Photolithographische Herstellung der CPWRs
Bei der Beschreibung der Experimente wird zunächst die Herstellung der CPWRs
behandelt. Diese wurden in einem standard-photolithographischen Prozess hergestellt, welcher in Abbildung 4.2 dargestellt ist. Die Vorbereitung zur tatsächlichen
Lithographie beinhaltet das Aufbringen der Niob-Schicht auf ein geeignetes Substrat, in diesem Fall hochresistives Silizium (ρ > 3000 Ωcm). Die Abmessungen
des Substrats sind vier mal sechs mm, bei einer Dicke ts von 525 µm. Die bereits
hochgradig polierte Oberfläche des Rohlings wird in einem Sputteringprozess mit
der gewünschten Dicke elementaren Niobs beschichtet. Mit Hilfe einer Lackschleuder
wird anschließend eine Schicht photosensitiven Lacks (AZ 5214 E) aufgebracht und
durch kurzzeitiges Backen bei 110◦ C für 70 s gehärtet (Abbildung 4.2 a). Die
Belichtung findet in einem Maskenjustierer statt, in welchem zunächst die Photomaske und der Chip passend zueinander ausgerichtet werden und anschließend die
eigentliche Belichtung mit UV-Licht durchgeführt wird. Durch die Verwendung einer
Chrom-Schattenmaske werden nur gewisse Teile des Lacks belichtet (Abbildung 4.2
c). Im folgenden Schritt wird der Photolack mittels AZ 726 MIF entwickelt. Das
solchermaßen freigelegte Niob wird anschließend durch reaktives Ionen-Ätzen (reactive ion etching, RIE) mit SF6 entfernt (Abbildung 4.2 c). Bei diesem Prozess
wird typischerweise eine geringe Schicht des Substratmaterials mitentfernt. Unserem
Kentnissstand nach beeinträchtigt dies die Resonanzfrequenz und die Güte des
Resonators jedoch nur unwesentlich. Nach dem Ätzen wird der restliche Photolack
entfernt und der CPWR ist fertig für den Einsatz (Abbildung 4.2 d).
4.2.1.1 Charakterisierung der Mikrowellen-Resonatoren als Funktion des
äußeren Magnetfeldes
Ziel der Charakterisierungsmessungen war es, die Güte des CPWRs als Funktion
der Niob-Schichtdicke für eine bestehende Resonator-Geometrie zu bestimmen. An
dieser Stelle sei daran erinnert, dass die Güte über:
Q=
f0
∆f
(4.1)
33
Kapitel 4 Messungen und Ergebnisse
a)
b)
c)
d)
SF6
Silizium Substrat
UV Licht
Niob
Photolack
Maske
Abbildung 4.2: Querschnitt eines koplanaren Wellenleiters in verschiedenen Phasen
der Photolithographie. a zeigt den belackten Niob-Film, b den Chip während der Belichtung. In c wird der Ätzvorgang dargestellt und d zeigt die fertiggestellte Struktur.
experimentell bestimmt werden kann.
Im Folgenden soll der Prozess der Charakerisierungsmessungen beschrieben werden, bevor die gewonnenen Daten diskutiert werden.
Wie bereits in Kapitel 3.4 bemerkt, werden die Resonatoren für die Messungen
in einem Kryostaten auf vier Kelvin herabgekühlt. In diesem wird der Resonator
ebenfalls in das Magnetfeld eines supraleitenden Magneten eingebracht und parallel
zu dessen Feld ausgerichtet. Typischerweise ist die rein geometrische Ausrichtung
nicht vollständig parallel zum angelegten Feld. Dies führt dazu, dass Komponenten
des magnetischen Feldes auch senkrecht zur Resonatoroberfläche anliegen und Flussschläuche im supraleitenden Resonator induziert werden können. Letztere führen,
wie in Kapitel 2.3 angesprochen, zu einer erhöhten Dissipation im Resonator und
34
4.2 Durchführung der Experimente
somit zu einer geringeren Güte.
Die Mikrowellensignale, welche mit dem VNA erzeugt und detektiert wurden,
waren so gewählt, dass sie einen Frequenzbereich von 100 bis 160 MHz um die
Resonanzfrequenzen abdeckten, welche vorher manuell grob bestimmt worden waren. Die Messbereiche wurden für höhere Resonanzfrequenzen größer gewählt, da
die absolute Verschiebung der Frequenz für sie zunimmt. Die Mikrowellensignale
wurden vom VNA mit einer Bandbreite von 100 Hz erzeugt und in Schritten von
20 kHz über den gewählten Bereich variiert. Zusätzlich wurden bei den Messungen
die Frequenzbereiche zwischen den einzelnen Resonanzen vermessen, was jedoch
in größeren Schritten geschah, um die Messzeit zu verringern. Dies diente nur der
Gewinnung einer kompletten Übersicht. Das statische Feld, unter dessen Einfluss
die Transmission durch den Resonator gemessen wurde, wurde von plus einem
halben Tesla bis minus einem halben Tesla, in Schritten von 20 mT, variiert. Die
komplette Messung über die Frequenz und Magnetfeldbereiche wurde wiederum bei
vier verschiedenen Mikrowellenleistungen durchgeführt, die 10−2 mW, 10−4 mW,
10−6 mW sowie 10−8 mW betrugen.
In Abbildung 4.3 ist nun eine typische Messung der Transmission |S21 |2 über ein
komplettes Frequenzspektrum gezeigt. Die abgebildete Messung wurde mit CPWR-4
durchgeführt. Die Dicke des Niobfilms beträgt 100 nm, die Leistung der Mikrowellen
10−4 mW, und die Magnetfeldstärke µ0 H = 0 mT. Bei dieser Messung sind drei
deutliche Resonanzpeaks bei den Frequenzen 2.6 GHz, 5.2 GHz und 7.8 GHz zu
erkennen. Zusätzlich sieht man zwei kleinere Peaks zwischen der zweiten und dritten
Resonanz, die vermutlich durch Resonanzen in der Probenbox entstehen können,
jedoch etwa um einen Faktor 100 schwächer sind als die Peaks des Resonators.
Frequenzmessungen für alle Magnetfeldstärken können in einem Falschfarbenplot
zusammengefasst werden, um die Abhängigkeit von beiden Größen darzustellen. Ein
solcher ist in Abbildung 4.5 gezeigt, in der mit einer roten Linie die Position der
zuvor gezeigten Frequenzmessung angezeigt wird. Abbildung 4.4 enthält den ersten
Peak der vorherigen Abbildung, einmal ohne externes Magnetfeld und einmal bei
einer Feldstärke von µ0 H = 300 mT. Diese Graphen sind mit einer Lorentzkurve
(rot) überlagert, welche zum Fitten der Daten benutzt wurde. Im Fall µ0 H0 = 0 mT
ergeben sich durch die Parameter der Lorentzfunktion die Werte f0 = 2590 MHz und
∆f = 0.3109 MHz, woraus ein Qualitätsfaktor Q = 8438 resultiert. Bei der Messung
mit µ0 H0 = 300 mT ergeben sich die Werte f0 = 2579 MHz, ∆f = 2.470 MHz und
Q = 1043.In beiden Fällen kann man eine gute Übereinstimmung der Funktion mit
den Daten sehen.
Die beschriebenen Messungen werden nun für jeden Feldpunkt µ0 H0 sowie jede
Resonanzfrequenz (Grundschwingung sowie erste und zweite Harmonische) durchge-
35
Kapitel 4 Messungen und Ergebnisse
CP
Abbildung 4.3: Transmissionsfaktor |S21 |2 des Resonators CPWR-4, mit einer NiobSchichtdicke von 100 nm, bei einer Temperatur von 4 K, einer Mikrowellenleistung
von 10−4 mW und einem magnetischen Feld der Stärke 0 mT. Die Resonanzen sind
klar ersichtlich bei 2.6 GHz, 5.2 GHz und 7.8 GHz, während die beiden kleineren
Peaks bei 6.7 GHz und 7.4 GHz Resonanzen im Hohlraum der Probenbox darstellen.
führt, um den Verlauf der Parameter als Funktion der Magnetfeldstärke zu ermitteln.
Abbildung 4.6 stellt die Resonanzfrequenz der Grundschwingung, jeweils ausgewertet für die unterschiedlichen Magnetfeldstärken, dar. Die höchste Frequenz tritt
dabei für ein abwesendes Feld auf, welche für steigende Feldstärken zunehmend
abfällt.
Der Qualitätsfaktor derselben Resonanz ist in Abbildung 4.7 aufgetragen. Die
Güte ist ohne externes Magnetfeld maximal und nimmt mit steigender Feldstärke
rapide ab.
36
4.2 Durchführung der Experimente
Abbildung 4.4: Transmissionsfaktor |S21 |2 des Resonators CPWR-4, mit einer NiobSchichtdicke von 100 nm, bei einer Temperatur von 4 K und einer Mikrowellenleistung von 10−4 mW. Die Graphen zeigen einen Frequenzausschnitt um den Resonanzpeak der Grundschwingung. Der linke Graph zeigt eine Messung ohne magnetisches
Feld, der rechte bei µ0 H = 300 mT. Des Weiteren sind in beiden Graphen sowohl die
Messwerte (blau) als auch die an die Daten gefittete Lorentz-Kurve (rot) abgebildet.
37
Kapitel 4 Messungen und Ergebnisse
Abbildung 4.5: Falschfarbendarstellung des Transmissionsfaktors |S21 |2 des Resonators CPWR-4, mit einer Niob-Schichtdicke von 100 nm, bei einer Temperatur von 4 K
und einer Mikrowellenleistung von 10−4 mW. Hier ist die Abhängigkeit der Transmission vom magnetischen Feld (x-Achse) sowie der Frequenz (y-Achse) dargestellt,
wobei die Werte des Transmissionsfaktors in der Farbe kodiert sind. Die rote Linie
zeigt die Position des Graphen aus Abbildung 4.3 an.
38
4.2 Durchführung der Experimente
C P W R -4
0 . H a r m o n is c h e
R e s o n a n z fre q u e n z (M H z )
2 5 9 0
2 5 8 5
2 5 8 0
2 5 7 5
2 5 7 0
2 5 6 5
-4 0 0
-2 0 0
0
2 0 0
4 0 0
m a g n e tis c h e s F e ld ( m T )
Abbildung 4.6: Resonanzfrequenz f0 der Grundschwingung des Resonators CPWR-4,
mit einer Niob-Schichtdicke von 100 nm, bei einer Temperatur von 4 K und einer Mikrowellenleistung von 10−4 mW, in Abhängigkeit des externen magnetischen Feldes
µ0 H0 .
39
Kapitel 4 Messungen und Ergebnisse
C P W R -4
0 . H a r m o n is c h e
8 0 0 0
Q -F a k to r
6 0 0 0
4 0 0 0
2 0 0 0
0
-4 0 0
-2 0 0
0
2 0 0
4 0 0
m a g n e tis c h e s F e ls ( m T )
Abbildung 4.7: Qualitätsfaktor Q der Grundschwingung des Resonators CPWR-4,
mit einer Niob-Schichtdicke von 100 nm, bei einer Temperatur von 4 K und einer Mikrowellenleistung von 10−4 mW, in Abhängigkeit des externen magnetischen Feldes
µ0 H0 .
40
4.2 Durchführung der Experimente
Das Betragsquadrat des Transmissionsfaktors |S21 |2 , also der Faktor der transmittierten Mikrowellenleistung der Resonanzfrequenzen, ist in Abbildung 4.8 gezeigt
und weist ein ähnliches Verhalten wie der Qualitätsfaktor auf.
0 .3 5
C P W R -4
0 . H a r m o n is c h e
0 .3 0
T r a n s m is s io n
0 .2 5
0 .2 0
0 .1 5
0 .1 0
0 .0 5
0 .0 0
-6 0 0
-4 0 0
-2 0 0
0
2 0 0
4 0 0
6 0 0
m a g n e tis c h e s F e ld ( m T )
Abbildung 4.8: Transmissionsfaktor |S21 |2 der Grundschwingung des Resonators
CPWR-4, mit einer Niob-Schichtdicke von 100 nm, bei einer Temperatur von 4 K und
einer Mikrowellenleistung von 10−4 mW, in Abhängigkeit des externen magnetischen
Feldes µ0 H0 .
41
Kapitel 4 Messungen und Ergebnisse
4.3 Ergebnisse
Im Rahmen dieser Arbeit wurden Charakterisierungsmessungen für fünf verschiedene Resonatoren durchgeführt. Der Unterschied lag dabei in der Schichtdicke des
Niobs, aus welchem die CPWRs bestehen. Verwendet wurde jeweils ein Resonator
mit Schichtdicke 10 nm, 30 nm, 60 nm, 100 nm und200 nm. Im Folgenden werden
die Resonatoren in aufsteigender Reihenfolge ihrer Niob-Schichtdicke als CPWR-1
bis CPWR-5 durchnummeriert. Das restliche Design war für alle Resonatoren gleich.
Die Charakterisierungen wurden mit den in Kapitel 4.2.1.1 aufgeführten Spezifikationen für die verwendeten Mikrowellen-Signale und das externe magnetische Feld
durchgeführt. Folglich wurden für jeden der fünf Resonatortypen Messungen bei
vier unterschiedlichen Mikrowellen-Leistungen vorgenommen. Dabei wurden jeweils
die fundamentale Resonatormode sowie die ersten beiden höheren Harmonischen
spektroskopiert.
Aufgrund der Zielstellung, die Spezifikationen mit höchster Güte bei einem magnetischen Feld von µ0 H0 ≈ 100 mT zu bestimmen, können vor einer näheren
Betrachtung der Ergebnisse einige der Messungen ausgeschlossen werden. Dies
schafft eine zweckmäßige Verringerung der auszuwertenden Datenmenge. Außerdem
werden die untersuchten Größen insbesondere für das interessierende Magnetfeld
µ0 H0 = 100 mT sowie µ0 H0 = 0 mT als Vergleichswerte betrachtet.
Im Hinblick auf die Leistung der Mikrowellen können die Messungen bei 10−2 mW
verworfen werden. Im Vergleich weisen sämtliche Harmonischen bei dieser Leistung
niedrigere Qualitätswerte auf, als bei den geringeren Leistungen (siehe exemplarisch
Abbildung 4.9). Dies weist darauf hin, dass die Energieverluste, welche mit einer
hohen Mikrowellen-Leistung einhergehen, für die verwendeten Resonatoren zu groß
sind. Obwohl für die dünneren Resonatoren eine Verringerung der Leistung teilweise
bessere Werte ergibt, lässt sich für die drei übrigen Leistungen kein eindeutiger
Trend feststellen.
Bei den gemessenen Anregungen der Resonatoren lassen sich sogar zwei der
Schwingungszustände ausschließen. Sowohl die erste als auch die zweite Harmonische ergeben bei allen Messungen niedrigere Werte als die Grundschwingung (siehe
exemplarisch Abbildung 4.10), welche im Folgenden betrachtet werden soll. In vielen
Experimenten reicht es aus, nur einen Schwingungszustand der Resonators zu verwenden, so dass man sich auf die Verwendung der Grundschwingung beschränken
kann. Die Annahme, dass die höheren Harmonischen mit zunehmendem Rang in
ihrer Güte abnehmen, wird nicht bei allen Resonatoren bestätigt. Begründet werden kann diese Annahme anhand der Definition des Qualitätsfaktors. Obwohl die
steigenden Resonanzfrequenzen für höhere Schwingungsmoden eine Verbesserung
42
4.3 Ergebnisse
1 0 ^
1 0 ^
1 0 ^
1 0 ^
7 0 0 0
6 0 0 0
-2 m
-4 m
-6 m
-8 m
W
W
W
W
Q -F a k to r
5 0 0 0
4 0 0 0
3 0 0 0
2 0 0 0
1 0 0 0
0
-4 0 0
-2 0 0
0
2 0 0
4 0 0
m a g n e tis c h e s F e ld ( m T )
Abbildung 4.9: Qualitätsfaktoren Q des Resonators CPWR-3, mit einer NiobSchichtdicke von 60 nm, bei einer Temperatur von 4 K, in Abhängigkeit des externen magnetischen Feldes µ0 H0 sowie bei unterschiedlichen Mikrowellenleistungen.
Die Güte des CPWRs ist für die höchste Leistung deutlich geringer als bei niedriger
Leistung. Der deutliche Unterschied zwischen 10−4 mW und 10−6 mW ist vor allem
bei den dickeren Resonatoren nicht zu beobachten.
43
Kapitel 4 Messungen und Ergebnisse
der Güte bewirken, wird dieser Effekt durch eine wesentlich stärkere Zunahme der
Linienbreiten umgekehrt. Eine Abnahme der Güte mit steigender Resonanzfrequenz
ist die Folge. Das anomale Verhalten mancher Resonatoren kann auf Fehler in
der Produktion geschoben werden, welche die Harmonischen unterschiedlich stark
beeinflussen.
Des Weiteren lassen sich von den fünf untersuchten Schichtdicken auch nur drei
ohne Einschränkung verwenden. Die Messungen der Resonatoren mit CPWR-5 und
CPWR-1 sind aus verschiedenen Gründen nur bedingt aussagekräftig.
Beim dicksten Resonator weicht die Messmethode von der der restlichen Resonatoren ab. Hier wurde die Stärke des magnetischen Feldes nicht in zwei getrennten
Messungen von null auf ±500 mT erhöht. Stattdessen wurde sie in einem einzigen
Durchlauf von +500 mT auf −500 mT variiert. Durch diese Vorgehensweise traten
bei den Messungen Hystereseeffekte im supraleitenden Resonator auf, auf welche
in Kapitel ?? noch kurz eingegangen wird. Diese Effekte äußern sich dadurch, dass
die Positionen der maximalen Resonanzfrequenz sowie der maximalen Güte in ihrer
Magnetfeldabhängigkeit verschoben sind. Außerdem wird der Peak beider Größen
wesentlich breiter sowie niedriger (siehe Abbildung 4.11). Insbesondere bei der Güte
kann sich der Maximalwert durchaus um 30% verringern. Dieser Wert, welcher aus
einer eigenen Messung zu Hystereseeffekten stammt (siehe Abbildung 5.1), wird im
Folgenden verwendet werden, um eine Obergrenze der tatsächlichen Güten dieses
Resonators zu geben.
Der dünnste der charakterisierten Resonatoren wies eine starke Instabilität auf,
welche auch in feldfreien Messungen auftrat. Sowohl die Position als auch die Form
der Resonanzpeaks war starken Schwankungen ausgesetzt, so dass die gemessenen
Werte einen deutlich gezackten Kurvenverlauf ergaben (siehe Abbildung 4.12). Die
Messungen für den negativen Feldbereich waren größtenteils gänzlich unbrauchbar,
da ein sinnvoller Verlauf nicht mehr erkennbar oder die Resonanz komplett aus dem
Messfenster herausgeschoben war. Grund für diese Fluktuationen ist das geringe
Volumen des Resonators und die damit verbundene niedrige Dichte an CooperPaaren im Supraleiter. Durch die Aufnahme kleiner Energiemengen, beispielsweise
aus absorbierten Strahlungsphotonen aus der Umgebung oder Verlustleistung im
Resonator, können Cooper-Paare aufgebrochen werden. Durch die geringe Dichte an
Cooper-Paaren kann dieser Effekt in dünnen Supraleitern nicht kompensiert werden
und die Supraleitung wird instabil. Durch tiefere Temperaturen und eine bessere
Abschirmung der Resonatoren kann dieser Effekt verringert werden. Der Vollständigkeit halber sind die Ergebnisse dieses Resonators im Weiteren mit aufgeführt,
obwohl über diese keine Aussagen getroffen werden können.
44
4.3 Ergebnisse
C P
0 . H a
1 . H a
2 . H a
8 0 0 0
W R
rm o
rm o
rm o
-4
n is c h e
n is c h e
n is c h e
Q -F a k to r
6 0 0 0
4 0 0 0
2 0 0 0
0
-4 0 0
-2 0 0
0
2 0 0
4 0 0
m a g n e tis c h e s F e ld ( m T )
Abbildung 4.10: Qualitätsfaktoren Q der drei Resonanzpeaks des Resonators CPWR4, mit einer Niob-Schichtdicke von 100 nm, bei einer Temperatur von 4 K und einer
Mikrowellenleistung von 10−4 mW, in Abhängigkeit des externen magnetischen Feldes µ0 H0 . Die Grundschwingung weist deutlich die höchste Güte auf. Bei diesem
Resonator zeigt die zweite Harmonische bessere Werte als die erste, wogegen bei
anderen Exemplaren diese Rangfolge vertauscht sein kann.
45
Kapitel 4 Messungen und Ergebnisse
C P W R -5
0 . H a r m o n is c h e
2 6 6 0
R e s o n a n z fre q u e n z (M H z )
2 6 5 0
2 6 4 0
2 6 3 0
2 6 2 0
2 6 1 0
2 6 0 0
2 5 9 0
-4 0 0
-2 0 0
0
2 0 0
4 0 0
m a g n e tis c h e s F e ld ( m T )
Abbildung 4.11: Resonanzfrequenz Q der Grundschwingung des Resonators CPWR5, mit einer Niob-Schichtdicke von 200 nm, bei einer Temperatur von 4 K und einer
Mikrowellenleistung von 10−4 mW, in Abhängigkeit des externen magnetischen Feldes µ0 H0 . Im Vergleich zu Abbildung 4.6 ist deutlich die durch Hysterese enstandene
Verformung des Peaks zu erkennen.
46
4.3 Ergebnisse
1 6 9 8
C P W R -1
0 . H a r m o n is c h e
R e s o n a n z fre q u e n z (M H z )
1 6 9 6
1 6 9 4
1 6 9 2
1 6 9 0
1 6 8 8
1 6 8 6
1 6 8 4
0
1 0 0
2 0 0
3 0 0
4 0 0
5 0 0
m a g n e tis c h e s F e ld ( m T )
Abbildung 4.12: Resonanzfrequenz Q der Grundschwingung des Resonators CPWR1, mit einer Niob-Schichtdicke von 10 nm, bei einer Temperatur von 4 K und einer Mikrowellenleistung von 10−4 mW, in Abhängigkeit des externen magnetischen Feldes
µ0 H0 .Der sprunghafte Verlauf der Messwerte ist hier gut zu erkennen. Die Messung
des negativen Magnetfeldes war, wie in den meisten Fällen bei diesem Resonator,
nicht zu verwenden.
47
Kapitel 4 Messungen und Ergebnisse
4.3.1 Resonanzfrequenz
Im nun folgenden Vergleich der verschieden dicken Resonatoren soll als erstes die
Resonanzfrequenz betrachtet werden.
Der Einfluss des Magnetfeldes gestaltet sich dabei mit Ausnahme von CPWR-5
bei allen Messungen qualitativ ähnlich wie die gezeigte Messung von CPWR-4
(Abbildung 4.6). Die Resonanzfrequenz wird dabei im Maximalfeld von ±500 mT
um höchstens zwei Prozent verringert. Bei den dünneren Resonatoren fällt die
Verschiebung etwas geringer aus, allerdings ist für alle Resonatoren die Veränderung
der Resonanzfrequenz so minimal, dass sie im Experiment nicht weiter stört.
Werden die Resonanzfrequenzen der unterschiedlichen Resonatoren verglichen,
ist eine Abhängigkeit von der Schichtdicke des Niob ersichtlich. Der Vergleich
wurde hier für zwei Magnetfeldstärken durchgeführt, µ0 H0 = 0 mT (siehe Abbildung 4.13) und µ0 H0 = 100 mT (siehe Abbildung 4.14). Auf den beiden annähernd
identischen Graphen ist erkennbar, dass mit abnehmender Dicke des Resonators
dessen Resonanzfrequenz verringert wird. Basierend auf den Gleichungen in Kapitel 2.2.3 ergibt sich für alle Resonatoren dieselbe theoretische Resonanzfrequenz von
v
ftheo = ph
l = 2110 MHz. Diese wird jedoch unter der Annahme bestimmt, dass der
Resonator eine verschwindende Dicke hat. Bei den charakterisierten Resonatoren
weicht die Resonanzfrequenz mit zunehmender Dicke von ftheo ab, da die NiobSchicht die effektive Dielektrizitätskonstante beeinflusst. Dass der Wert des 10 nm
Resonators weit unterhalb des theoretischen Wertes liegt, wird durch die Fluktuationen begründet. Der Verlauf der restlichen Messwerte deutet darauf hin, dass sich
die Resonanzfrequenz für dünner werdende Niob-Schichten dem theoretischen Wert
annähert.
4.3.2 Qualitäts- und Transmissionsfaktor
Der Q-Faktor und die Mikrowellen-Transmission der Resonanzen zeigen ein qualitativ sehr ähnliches Verhalten und werden deshalb zusammen diskutiert.
Zunächst werden wieder die Werte betrachtet, welche ohne den Einfluss eines magnetischen Feldes gemessen wurden(Abbildungen 4.15 und 4.16). Bei ihnen ist zu
erkennen, dass Güte und Transmission mit sinkender Schichtdicke stark abnehmen
und für den dünnsten Resonator annähernd verschwinden. Dieses Verhalten ist auf
dieselbe Ursache zurückzuführen, welche bereits als Grund für die Instabilität des
dünnsten Resonators genannt wurde. Die dickeren Resonatoren können es aufgrund
ihrer höheren Cooper-Paar-Dichten besser kompensieren, wenn einzelne Paare durch
Energieaufnahme gespalten werden. Dadurch wird ihre Supraleitfähigkeit wesentlich
weniger stark beeinflusst.
48
4.3 Ergebnisse
2 8 0 0
R e s o n a n z fre q u e n z (M H z )
2 6 0 0
2 4 0 0
2 2 0 0
2 0 0 0
1 0 ^ -4 m W
1 0 ^ -6 m W
1 0 ^ -8 m W
1 8 0 0
1 6 0 0
0
5 0
1 0 0
1 5 0
2 0 0
N io b - S c h ic h td ic k e ( n m )
Abbildung 4.13: Resonanzfrequenzen f0 der fünf verschiedenen CPWRs, bei einer
Temperatur von 4 K und einer Mikrowellenleistung von 10−4 mW, bei einer Magnetfeldstärke von 0 mT. Die Werte der unterschiedlichen Leistungsmessungen sind bei
allen Resonatoren annähernd identisch und daher in der Grafik kaum erkenntlich.
49
Kapitel 4 Messungen und Ergebnisse
2 8 0 0
R e s o n a n z fre q u e n z (M H z )
2 6 0 0
2 4 0 0
2 2 0 0
2 0 0 0
1 0 ^ -4 m W
1 0 ^ -6 m W
1 0 ^ -8 m W
1 8 0 0
1 6 0 0
0
5 0
1 0 0
1 5 0
2 0 0
N io b - S c h ic h td ic k e ( n m )
Abbildung 4.14: Resonanzfrequenzen f0 der fünf verschiedenen CPWRs, bei einer
Temperatur von 4 K und einer Mikrowellenleistung von 10−4 mW, bei einer Magnetfeldstärke von 100 mT. Die Werte der unterschiedlichen Leistungsmessungen sind bei
allen Resonatoren annähernd identisch und zeigen ein annähernd identisches Verhalte
wie die Messwerte in Abbildung 4.13 .
50
4.3 Ergebnisse
1 2 0 0 0
1 0 0 0 0
Q -F a k to r
8 0 0 0
6 0 0 0
4 0 0 0
1 0 ^ -4 m W
1 0 ^ -6 m W
1 0 ^ -8 m W
2 0 0 0
0
0
5 0
1 0 0
1 5 0
2 0 0
N io b - S c h ic h td ic k e ( n m )
Abbildung 4.15: Qualitätsfaktoren Q der fünf verschiedenen CPWRs, bei einer Temperatur von 4 K und einer Mikrowellenleistung von 10−4 mW, bei einer Magnetfeldstärke von 0 mT. Für den 200 nm Resonator wurden neben den Messwerten auch
Richtwerte aufgetragen, die das Verhalten ohne Hystereseeffekte indizieren sollen.
Mit ihnen ist eine stetige Zunahme der Güte mit der Schichtdicke zu erkennen.
51
Kapitel 4 Messungen und Ergebnisse
0 .4 0
0 .3 5
1 0 ^ -4 m W
1 0 ^ -6 m W
1 0 ^ -8 m W
0 .3 0
T r a n s m is s io n
0 .2 5
0 .2 0
0 .1 5
0 .1 0
0 .0 5
0 .0 0
0
5 0
1 0 0
1 5 0
2 0 0
N io b - S c h ic h td ic k e ( n m )
Abbildung 4.16: Transmissionsfaktoren |S21 |2 der fünf verschiedenen CPWRs, bei
einer Temperatur von 4 K und einer Mikrowellenleistung von 10−4 mW, bei einer
Magnetfeldstärke von 0 mT. Für den 200 nm Resonator wurden neben den Messwerten auch Richtwerte aufgetragen, die das Verhalten ohne Hystereseeffekte indizieren
sollen. Mit ihnen ist eine stetige Zunahme der Transmission mit der Schichtdicke zu
erkennen.
52
4.3 Ergebnisse
Die Güte (Abbildung 4.17) und Transmission (Abbildung 4.18) unter dem Einfluss
eines 100 mt starken Magnetfeldes zeigen einige Abweichungen zu den Werten in
Abbildungen 4.15 und 4.16). Das Einknicken der Werte des 60 nm dicken CPWR-3,
welches bei 0 mT bereits geringfügig zu sehen ist, tritt hier wesentlich stärker auf.
Die Gründe für dieses Verhalten werden unter Hinzunahme der gesamten Messdaten im folgenden Abschnitt genannt. Der zweite stark auffallende Unterschied
liegt im Verhalten der Werte des 200 nm Resonators CPWR-5. Dieser zeigt eine
starke Aufspaltung der Messwerte bei +100 mT und −100 mT. Dies ist auf den in
Abbildung 4.11 gezeigten anomalen Verlauf seines Resonanzpeaks zurückzuführen.
Es ist jedoch ersichtlich, dass die Werte von CPWR-5 nicht unterhalb derer von
CPWR-4 liegen und somit das für µ0 H0 = 0 mT besprochene Verhalten auch bei
dieser Magnetfeldstärke zutrifft.
Im Verhalten von Qualität und Transmission ist zunächst zu erkennen, dass beide
mit steigender Magnetfeldstärke deutlich abnehmen. Ab einem Wert von ±300 mT
befinden sich sämtliche Güten unterhalb von q = 1000. Auch die Transmissionsraten
der Resonatoren sind bei diesen Feldstärken äußerst gering, wobei diese sogar noch
stärker abfallen als die Qualitäts-Werte (siehe Abbildungen 4.19 bis 4.24).
Bei dem Vergleich der verschiedenen Resonatoren ist kein eindeutiger Trend in
Hinblick auf Qualität und Transmission unter Magnetfeldeinfluss zu erkennen. Das
in Kapitel 2.3 beschriebene Verhalten der supraleitenden Resonatoren im Magnetfeld lässt annehmen, dass dünnere Resonatoren bei höheren Magnetfeldstärken
schwächer beeinflusst werden. Dieses Verhalten ist für den 30 nm Resonator in
einigen Messungen zu beobachten. Jedoch zeigt der 60 nm CPWR einen wesentlich
schmaleren Peak in Güte und Transmission auf als das jeweils nächst-dickere und
-dünnere Exemplar. Dieses unerwartete Verhalten kann durch die Ausrichtung der
Resonatoren im Magnetfeld verursacht worden sein. Durch größere Feldkomponenten, welche senkrecht zum Resonator stehen, kann der positive Effekt der dünneren
Supraleiter-Schicht kompensiert werden und ein effektiv schlechteres Verhalten im
Feld ergeben. Des Weiteren unterliegen vor allem die dünnen Resonatoren einer
Fertigungstoleranz in ihrer Schichtdicke, welche nach ihrer Fertigung jedoch nicht
überprüft wurden.
In der verwendeten Messumgebung kann jedoch eindeutig festgestellt werden, dass
Resonatoren mit dickeren Niob-Schichten bessere Resultate in Bezug auf Güte und
Transmission erzielen. Durch ein Absenken der Temperatur, welches die supraleitenden Eigenschaften des Resonators verbessert, könnten jedoch dünnere Schichten
vorteilhaft sein. Dies ist insbesondere bei hohen Magnetfeldstärken der Fall, falls
sich die Stabilität dünner Supraleiter im Feld für ausreichend niedrige Temperaturen
bewahrheiten sollte.
53
Kapitel 4 Messungen und Ergebnisse
6 0 0 0
5 0 0 0
Q -F a k to r
4 0 0 0
3 0 0 0
2 0 0 0
1 0 ^ -4 m W
1 0 ^ -6 m W
1 0 ^ -8 m W
1 0 0 0
0
0
5 0
1 0 0
1 5 0
2 0 0
N io b - S c h ic h td ic k e ( n m )
Abbildung 4.17: Qualitätsfaktoren Q der fünf verschiedenen CPWRs, bei einer Temperatur von 4 K und einer Mikrowellenleistung von 10−4 mW, bei einer Magnetfeldstärke von 100 mT. Für den 200 nm Resonator wurden neben den Messwerten auch
Richtwerte aufgetragen, die das Verhalten ohne Hystereseeffekte indizieren sollen.
Mit ihnen ist eine stetige Zunahme der Güte mit der Schichtdicke zu erkennen.
54
4.3 Ergebnisse
0 .1 4
0 .1 2
1 0 ^ -4 m W
1 0 ^ -6 m W
1 0 ^ -8 m W
T r a n s m is s io n
0 .1 0
0 .0 8
0 .0 6
0 .0 4
0 .0 2
0 .0 0
0
5 0
1 0 0
1 5 0
2 0 0
N io b - S c h ic h td ic k e ( n m )
Abbildung 4.18: Transmissionsfaktoren |S21 |2 der fünf verschiedenen CPWRs, bei
einer Temperatur von 4 K und einer Mikrowellenleistung von 10−4 mW, bei einer
Magnetfeldstärke von 100 mT. Für den 200 nm Resonator wurden neben den Messwerten auch Richtwerte aufgetragen, die das Verhalten ohne Hystereseeffekte indizieren sollen. Mit ihnen ist eine stetige Zunahme der Transmission mit der Schichtdicke
zu erkennen.
55
Kapitel 4 Messungen und Ergebnisse
1 0 0 0 0
1 0 n
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m a g n e tis c h e s F e ld ( m T )
Abbildung 4.19: Qualitätsfaktoren Q der Grundschwingungen der fünf unterschiedlichen Resonatoren, bei einer Temperatur von 4 K und einer Mikrowellenleistung von
10−4 mW, in Abhängigkeit vom äußeren Feld
56
4.3 Ergebnisse
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m a g n e tis c h e s F e ld ( m T )
Abbildung 4.20: Qualitätsfaktoren Q der Grundschwingungen der fünf unterschiedlichen Resonatoren, bei einer Temperatur von 4 K und einer Mikrowellenleistung von
10−6 mW, in Abhängigkeit vom äußeren Feld
57
Kapitel 4 Messungen und Ergebnisse
1 0 0 0 0
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m a g n e tis c h e s F e ld ( m T )
Abbildung 4.21: Qualitätsfaktoren Q der Grundschwingungen der fünf unterschiedlichen Resonatoren, bei einer Temperatur von 4 K und einer Mikrowellenleistung von
10−8 mW, in Abhängigkeit vom äußeren Feld
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4.3 Ergebnisse
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Abbildung 4.22: Transmissionsfaktoren t der Grundschwingungen der fünf unterschiedlichen Resonatoren, bei einer Temperatur von 4 K und einer Mikrowellenleistung von 10−4 mW, in Abhängigkeit vom äußeren Feld
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Kapitel 4 Messungen und Ergebnisse
1 0 n
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0 .2 5
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0 .2 0
0 .1 5
0 .1 0
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0 .0 0
-4 0 0
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m a g n e tis c h e s F e ld ( m T )
Abbildung 4.23: Transmissionsfaktoren t der Grundschwingungen der fünf unterschiedlichen Resonatoren, bei einer Temperatur von 4 K und einer Mikrowellenleistung von 10−6 mW, in Abhängigkeit vom äußeren Feld
60
4.3 Ergebnisse
1 0 n
3 0 n
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1 0 0
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0 .3 5
0 .3 0
T r a n s m is s io n
0 .2 5
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0
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m a g n e tis c h e s F e ld ( m T )
Abbildung 4.24: Transmissionsfaktoren t der Grundschwingungen der fünf unterschiedlichen Resonatoren, bei einer Temperatur von 4 K und einer Mikrowellenleistung von 10−8 mW, in Abhängigkeit vom äußeren Feld
61
Kapitel 5
Zusammenfassung und Ausblick
5.1 Zusammenfassung
In der vorliegenden Arbeit wurden supraleitende Mikrowellen-CPWRs mit unterschiedlichen Niob-Schichtdicken hergestellt und charakterisiert. Ziel war es, die
optimale Schichtdicke zu ermitteln, um den Qualitätsfaktor des Resonators unter Einfluss eines externen Magnetfeldes zu maximieren. Insbesondere wurde auf
einen Magnetfeldbereich um 100 mT Wert gelegt, da die Resonatoren in ESR- und
FMR-Experimenten benutzt werden sollen, in welchen diese Feldstärken verwendet
werden. Die im Rahmen dieser Arbeit durchgeführten Messungen zeigen ein eindeutiges Verhalten der Resonatorgüten. Zunächst wurde festgestellt, dass die Qualitäten
eines Resonators für seine Grundschwingung am höchsten ausfallen. Für Harmonische höherer Ordnung fällt die Güte im Vergleich stark ab. Des Weiteren ergaben
die Messungen bei unterschiedlichen Leistungen der Mikrowellen-Signale, dass eine
Leistung von 10−2 mW für sämtliche Resonatoren eine zu hohe Belastung darstellt
und dass für die Resonatoren geringerer Schichtdicke auch bei 10−4 mW schon eine
Verschlechterung der Werte auftritt. Die niedrigeren Leistungen dagegen ergaben
keine nennenswerte Veränderung der Qualitätswerte. Schließlich wurde offensichtlich, dass die Güte der Resonatoren mit zunehmender Dicke der Niob-Schicht steigt.
Zurückgeführt wurde dies auf die Dichte der Cooper-Paare im Supraleiter, welche
mit sinkender Schichtdicke ebenfalls abnimmt. Die durch Aufnahme von Energie
erfolgenden Aufspaltungen von Paaren führt bei geringerer Dichte leichter zu einer
lokalen Verringerung der Supraleitfähigkeit und resultiert in höheren Verlusten der
Mikrowellen. Die Folge sind geringere Güten. Insbesondere war dieser Effekt für den
dünnsten Resonator derart stark, dass er instabil wurde.
Von weiterführendem Interesse ist die Frage, ob die Güte der Resonatoren mit
steigender Schichtdicke weiter zunimmt und ob sie sich einem Maximalwert annähert. Eine weitere Möglichkeit ist die Untersuchung der Resonatoren bei niedrigeren
Temperaturen. Dadurch könnten auch bei dünneren CPWRs brauchbare Qualitäten
nachgewiesen und insbesondere deren Stabilität im Magnetfeld könnte untersucht
werden.
Neben diesen Möglichkeiten einer weitergehenden Untersuchung der Dickeabhängig-
63
Kapitel 5 Zusammenfassung und Ausblick
keit stehen selbstverständlich weitere Parameter, wie jene in Kapitel 4.1 vorgestellten,
zur Verfügung, um die Qualitätsfaktoren von Resonatoren zu steigern.
5.2 Ausblick
Abschließend soll ein Ausblick auf die Thematik der Hystereseeffekte gegeben
werden, welche in der vorliegenden Arbeit mehrfach erwähnt wurden. Diese waren zwar durchaus von Interesse, konnten jedoch aus Zeitmangel nicht eingehend
untersucht werden. Insbesondere bei der Vermessung des Resonators mit 200 nm
Niob-Schichtdicke ist es durch hysteretische Effekte im Supraleiter zu einer extremen
Verzerrung der Messwerte gekommen, so dass sich eine etwas nähere Betrachtung
lohnt.
Der Ursprung von Hysteresen ist das in Kapitel 2.3 beschriebene Verhalten der
supraleitenden Niob-Schicht im äußeren Magnetfeld. Die sich im Supraleiter ausbildenden Abschirmströme gegen ein äußeres Magnetfeld sowie die Ringströme,
die auftretende Flussschläuche im Material begleiten, sind nach ihrer Entstehung
weitestgehend permanent. Wird das externe Magnetfeld also vom Maximalwert
aus verringert, ergeben sich andere Bedingungen für den Supraleiter als wenn das
Feld vom Nullfeld aus erhöht wird. Frequenz und Linienbreite der Resonanzen
werden dadurch beeinflusst, so dass die Messwerte eine andere Feldabhängigkeit
aufweisen (siehe Abbildung 5.1 für einen Vergleich). Es ist zu erkennen, dass die
Maximalfrequenz und Qualität des Resonators nicht mehr bei der Nullstelle des
magnetischen Feldes vorliegt, sondern eine Position einnimmt, welche auf der Seite
des zunächst angelegten Maximalfeldes liegt. Darüber hinaus sind die Maximalwerte
unter Hystereseeffekten niedriger.
Diese Veränderungen kommen durch die Magnetisierung des supraleitenden Materials und durch die von den kritischen Feldern µ0 HC1 und µ0 HC2 begrenzten Phasen
eines Typ 2 Supraleiters zustande. Im betrachteten Experiment ist die Güte des
Resonators unter Einfluss des maximalen Feldes von ±500 mT bereits derart gering,
dass angenommen werden kann, dass der Supraleiter sich weit in der ShubnikovPhase befindet. Dadurch ist die Magnetisierung des Niobs nur noch sehr schwach
ausgeprägt. Dies geht auf den großen Anteil normalleitender Partien im Supraleiter
zurück. Bei Zurückfahren des Feldes zum negativen Maximalfeld unterschreitet das
Feld den kritischen Wert wieder, das Niob geht in die Shubnikov-Phase über und
der Supraleiter wird magnetisiert. Diese Magnetisierung baut sich dabei stetig von
0 bis zur maximalen positiven Magnetisierung auf, die bei −µ0 HC1 zu finden ist.
Dort beginnt der Supraleiter wieder teilweise normalleitend zu werden und seine
Magnetisierung zu verlieren, bis sie wieder auf einen minimalen Wert abgesunken ist
64
5.2 Ausblick
65
Abbildung 5.1: Vergleich der Resonanzfrequenz f und des Qualitätsfaktors Q des
Kapitel 5 Zusammenfassung und Ausblick
[19] (siehe Abbildung 5.2). Resultat dieses Verhaltens ist, dass die Magnetisierung
auf der Seite des zu Beginn anliegenden Feldes geringer ist als auf der anderen Seite.
Da kleine Magnetisierungen auch kleinere Abschirmströme und somit geringere
Verluste im Supraleiter bedeuten, sind Resonanzfrequenz und Güte hier größer. Die
Maxima von Resonanzfrequenz und Qualitätsfaktor bilden sich circa beim ersten
kritischen Feld aus, bei dem das Material gänzlich supraleitend wird. Da die optimalen Bedingungen bei diesem Feldverlauf nicht auftreten, bei dem die Magnetisierung
des Supraleiters und das magnetische Feld beide null sind, ergibt sich eine maximal
gemessene Güte, die wesentlich geringer sein kann als bei Messungen vom Nullfeld
aus.
Abbildung 5.2: Magnetisierungsmessungen von Niob, bei einer Temperatur von 4.2 K
und für magnetische Feldstärken bis zu circa 350 mT. Die verschiedenen Kurven zeigen das Verhalten unterschiedlich behandelter Niob-Proben. Zusammenfassend kann
gesagt werden, dass die Hysterese umso geringer ausfällt, je weniger Inhomogenitäten
im Material vorhanden sind.(entnommen aus [19])
Ein Großteil des hysteretischen Verhaltens eines Typ-zwei-Supraleiters ist durch
die in der Shubnikov-Phase auftretenden Flussschläuche begründet. Diese sind frei
beweglich im Material und dissipieren bei ihrer Bewegung Energie, was die Linienbreite einer Resonanz erhöht. Bei einem perfekten Supraleiter würden die freien
Flussschläuche beim Unterschreiten von µ0 HC1 wieder verschwinden und es würden keine Hystereseeffekte auftreten. Flussschläuche können jedoch in natürlichen
oder zu diesem Zweck künstlich eingebrachten Störstellen des Materials eingefan-
66
5.2 Ausblick
gen werden (Pinning). Unbewegliche Flussschläuche erhöhen den Energieverlust
im Supraleiter nicht mehr, bleiben jedoch bei einem hysteretischen Durchlaufen
des äußeren Magnetfeldes eher permanent bestehen, so dass der oben beschriebene
Verlauf der Magnetisierung stärker ausprägt ist[19].
Im Fall der in dieser Arbeit untersuchten Resonatoren ist es generell erwünscht,
ein starkes Pinning der Flussschläuche zu erreichen. Dies erhöht die Qualität der
Resonatoren und entstehende Hystereseeffekte können weitestgehend vermieden
werden. Dies kann insbesondere dadurch erreicht werden, das externe Feld immer
vom Nullfeld aus zu variieren und den eingefangenen Fluss im Supraleiter durch
Aufwärmen zu entfernen. Bei Experimenten, welche nur ein geringes magnetisches
Feld voraussetzen, kann auf das Pinning verzichtet werden, da sich a priori keine
Flussschläuche bilden.
Eine Maßnahme, das Pinning aktiv zu verstärken, ist es, die Niob-Schicht des
Resonators zu perforieren und somit künstliche Inhomogenitäten zu erzeugen. 2011
wurden von D. Bothner et al. zwei Möglichkeiten hierzu vorgestellt und deren
Auswirkungen auf die Qualität eines CPWR im Magnetfeld untersucht [20] [21].
Bei der ersten Variante wurde eine Mono-Schicht aus Polystren-Mikrosphären auf
den Resonator aufgebracht. In einem photolithographischen Prozess wurden diese
Kugeln als Mikrolinsen benutzt, um ein feines Lochraster in den Resonator zu
ätzen. Der durchschnittliche Durchmesser der Kugeln betrug 770 nm, was in einer
Lochdichte von np ≈ 1.65 µm−2 resultierte [20]. Bei der zweiten Variante wurden
wesentlich größere Löcher, mit einem Durchmesser d = 2 µm und Abstand a = 4 µm
in gleichmäßigen Reihen an den Rändern des Zentralleiters und der Masseflächen
eingeätzt. Dabei wurden Resonatoren mit keiner, einer und dreier solcher Reihen
verglichen [21]. Die Qualitätsmessungen unter Einfluss eines Magnetfeldes, welches
für diese Versuche senkrecht zum Resonator stand und bei dem nur maximale
Feldstärken im unteren zweistelligen Milliteslabereich verwendet wurden, zeigen
ein eindeutiges Ergebnis. Die Resonatoren mit perforierten Oberflächen wiesen im
Magnetfeld teilweise doppelt so hohe Güten auf wie die unbehandelten Resonatoren,
wobei die Exemplare mit drei Reihen eine weitere Verbesserung gegenüber denjenigen mit nur einer Lochreihe aufzeigten. Diese Verbesserung der Resonatoren macht
eine nähere Untersuchung des Pinnings äußerst interessant, da sich hier mehrere
neue Parameter zur Steigerung der Güte anbieten. Beispielsweise können die Dichte
oder der Durchmesser der Perforationen auf dem Resonator variiert werden. Auch
die Art der Anordnung, ob in geometrischen Formen, zufällig verteilt oder nur in
bestimmten Regionen des Resonators, bietet vielfältige Untersuchungsmöglichkeiten.
67
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[23] Kopitzki, K. und P. Herzog: Einführung in die Festkörperphysik. B. G.
Teubner GmbH, 2007.
70
Danksagung
Zum Schluss möchte ich mich bei allen bedanken, die mich während meiner Tätigkeit
am Walther-Meißner-Institut und der Anfertigung dieser Arbeit unterstützt haben.
Insbesondere gilt mein Dank dabei folgenden Personen:
Prof. Dr. Rudolf Gross für die Möglichkeit, meine Bachelor-Arbeit am WaltherMeissner-Institut anfertigen zu können.
Dr. Hans Hübl, der mich seit der ersten Vorbesprechung zur Bachelor-Arbeit
äußerst herzlich am Institut aufnahm und mir in einigen sehr interessanten Gesprächen die Festkörper- und Tieftemperatur-Physik näherbrachte. Außerdem leistete er
umfangreiche Unterstützung in der Ausformulierung meiner Arbeit.
Christoph Zollitsch, der mich am Institut quasi rund um die Uhr betreute und
mich in die Magnetiker-Gruppe sowie die Gemeinschaft des gesamten Instituts
einführte. Durch ihn lernte ich in vielen Diskussionen alles Wissenswerte über meine
Arbeit und vieles darüber hinaus.
Moritz Greifenstein für seine Softare zur Datenauswertung, die er mir freundlicherweise zur Verfügung stellte.
Allen Personen am Institut, insbesondere aus der Magnetiker-Gruppe, die mir
in den Monaten meiner Arbeit mit Rat und Tat zur Seite standen und die Zeit dort
zu einer wunderbaren Erfahrung machten.
Meiner Kommilitonin Lisa Janker, die zur selben Zeit ihre Bachelor-Arbeit am
WMI absolvierte und mit der ich manche einsame Stunde im Reinraum oder beim
Warten auf den Kryostaten verbrachte.
Zu guter Letzt bedanke ich mich bei meiner Familie, die mich in allen Lebenslagen und insbesondere in den letzten Tagen vor dem Abgabetermin liebevoll
betreute.
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