§3 Primzahlen

§3 Primzahlen
Die Zahl 1 hat nur einen positiven Teiler, nämlich 1. Jede Zahl a > 1 hat
mindestens zwei positive Teiler: 1 und a.
Definition. Eine Primzahl ist eine Zahl a > 1, welche nur die Teiler 1 und
a hat.
Beispiele. 2, 3, 5, 7, 11 sind Primzahlen.
Im Folgenden ist der Buchstabe p den Primzahlen vorbehalten; ebenso bedeuten p1 , p2 , . . . oder p0 , p0j , p00j , . . . stets Primzahlen.
3.1 Satz. Jedes a > 1 ist als Produkt von Primzahlen darstellbar (Primfaktorzerlegung von a):
a = p1 · p2 · . . . · pr =
r
Y
pn , r ≥ 1
n=1
Beweis. Für a = p ist die Aussage offenbar wahr. Wir beweisen 3.1 durch
vollständige Induktion nach a.
Induktionsbeginn. a = 2 ist eine Primzahl.
Induktionsannahme. Sei a ≥ 3 und 3.1 bereits bewiesen für alle b mit
1 < b < a.
Induktionsschluß. Ist a Primzahl, so ist 3.1 richtig für a. Sonst gibt es eine
Zerlegung a = a1 a2 mit 1 < a1 < a und 1 < a2 < a.
Nach Induktionsannahme haben a1 und a2 eine Primfaktorzerlegung; also
gilt dies auch für a = a1 a2 .
Frage: Wieviele“ Primzahlen gibt es?
”
3.2 Satz. (Euklid) Es gibt unendlich viele Primzahlen.
Beweis. Es ist zu zeigen: Zu jeder endlichen Menge von Primzahlen kann
man eine weitere Primzahl finden. Seien also r ≥ 1 paarweise verschiedene
Primzahlen p1 . . . pr vorgegeben.
Setze
a := 1 + p1 · . . . · pr
Dann ist a > 1 und p1 , . . . , pr sind keine Teiler von a (denn sonst wäre etwa
pi ein Teiler von 1 = a − p1 · . . . · pr , Widerspruch.) Nach 3.1 ist aber a durch
1
wenigstens eine Primzahl p teilbar. Diese kommt in der Menge {p1 , . . . , pr }
nicht vor.
3.3 Regel.
(a) Aus p - a folgt (p, a) = 1
(b) Aus p | ab folgt: p | a oder p | b.
(c) Für q > 1 gelte: Aus q | ab folgt q | a oder q | b. Dann ist q eine
Primzahl.
(d) Aus p |
r
Q
an folgt: p | an für mindestens ein n.
n=1
(e) Aus p |
r
Q
pn folgt: p = pn für mindestens ein n.
n=1
Beweis.
(a) p hat nur die positiven Teiler 1 und p und p - a. Es folgt (p, a) = 1.
(a)
(p, a) = 1
2.8
(b) p - a =⇒
=⇒ p | b.
p | ab
(c) Ist q > 1 keine Primzahl, so schreibt sich q nach 3.1 in der Form q = p·r,
p Primzahl, r ≥ 2. Also ist q | q = pr und q > p, q > r. Es folgt q - p
und q - r.
(d) folgt aus (b) durch Induktion.
(e) p |
r
Q
(d)
pn =⇒ p | pn für ein n =⇒ p = pn , da p 6= 1 und 1 und pn die
n=1
einzigen positiven Teiler von pn sind.
3.4 Bemerkung. Wegen Regel 3.3(b) und (c) hätte man Primzahl“ auch
”
so definieren können: Eine Zahl p > 1 heißt Primzahl, wenn gilt:
Aus p | ab folgt: p | a oder p | b.
3.5 Satz. Die Zerlegung jeder Zahl a > 1 in ein Produkt von Primzahlen ist
(bis auf die Reihenfolge der Faktoren) eindeutig.
2
Beweis. Es genügt zu zeigen:
r
r0
Q
Q
Aus a =
pn =
p0n mit p1 ≤ p2 ≤ . . . ≤ pr und p01 ≤ p02 ≤ . . . ≤
p0r0 folgt:
n=1
n=1
r = r0 und pn = p0n für alle n,
1 ≤ n ≤ r.
Beweis durch Induktion nach a.
Induktionsbeginn. Für a = 2 muß offenbar r = r0 = 1 und p1 = p01 = 2
sein.
Induktionsannahme. Sei a > 2 und die Behauptung bereits bewiesen für
2, 3, . . . , a − 1.
Induktionsschluß. Ist a eine Primzahl, so ist r = r0 = 1 und p1 = p01 = a,
denn a hat keine echten Teiler (dies sind die von ±1 und ±a verschiedenen
Teiler).
Andernfalls sind r > 1 und r0 > 1 und
p01
0
Y
Y
r
r 0
pn , p1 pn .
n=1
n=1
Nach 3.3(e) gibt es dann n, m mit p01 = pn und p1 = p0m . Wegen p1 ≤ pn =
p01 ≤ p0m = p1 folgt p1 = p01 . Wegen 1 < p1 < a folgt
0
r
r
Y
Y
a
=
pn =
p0n =: a0 < a, also 1 < a0 < a
1<
p1 n=2
n=2
Wende die Induktionsannahme an auf a0 und erhalte r = r0 und pn = p0n für
2 ≤ n ≤ r.
p1 = p01 wurde bereits gezeigt. Damit ist alles bewiesen.
Man kann in der Primfaktorzerlegung noch gleiche Faktoren zusammenfassen
und erhält:
3.6 Korollar. Jede Zahl a > 1 besitzt genau eine Zerlegung
m2
mr
1
a = pm
1 · p2 · . . . · pr , p1 < p2 < . . . pr ; mρ ≥ 1 für ρ = 1, . . . , r.
(Wir sprechen auch von der kanonischen Zerlegung von a.)
3
3.7 Bemerkung. Sei a =
r
Q
n
pm
n die kanonische Zerlegung von a > 1. Dann
n=1
sind die gesamten positiven Teiler von a die Zahlen
r
Y
plnn , wobei 0 ≤ ln ≤ mn für 1 ≤ n ≤ r.
n=1
Insbesondere besitzt a genau
r
Q
(mn + 1) verschiedene positive Teiler.
n=1
Beweis. Offenbar sind die angegebenen Zahlen Teiler von a; sie sind nach 3.6
paarweise verschieden; also stimmt die Anzahlaussage, falls a keine weiteren
positiven Teiler hat. Ist nun d | a, also a = dq, so gehen in d und in q nur
Primzahlen auf, die auch in a aufgehen. Also gilt
d=
r
Y
plnn ,
q=
n=1
r
Y
pknn
=⇒
n=1
r
Y
pnln +kn
= dq = a =
n=1
r
Y
n
pm
n .
n=1
Wegen der Eindeutigkeit der Zerlegung folgt mn = ln + kn . Also ist
0 ≤ ln = mn − kn ≤ mn für n = 1, . . . r.
Wenn die Primfaktorzerlegungen von a ≥ 1, b ≥ 1 schon vorliegen, so läßt
sich (a, b) leicht bestimmen, ohne den euklidischen Algorithmus zu bemühen.
3.8 Satz. Seien p1 , . . . pr die verschiedenen Primteiler von ab, a > 1 und
b > 1. Dann kommen auch in den Zerlegungen von a bzw. b höchstens die
Primzahlen p1 , . . . , pr vor.
Schreibe:
mr
1
a = pl11 · . . . · plrr , b = pm
1 · . . . · pr , ln ≥ 0 , mn ≥ 0.
Dann gilt:
Min(l1 ,m1 )
(a) (a, b) = p1
Max(l1 ,m1 )
(b) kgV (a, b) = p1
Min(lr ,mr )
· . . . · pr
Max(lr ,mr )
· . . . · pr
Beweis.
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(a) Nach dem Beweis von 3.7 sind die positiven Teiler von a bzw. b die
Zahlen
r
Y
n=1
r
Y
pknn , 0 ≤ kn ≤ ln
pknn , 0 ≤ kn ≤ mn
für alle 1 ≤ n ≤ r,
bzw.
für alle 1 ≤ n ≤ r.
n=1
Die gemeinsamen positiven Teiler von a und b sind also die Zahlen
r
Y
pknn mit 0 ≤ kn ≤ Min(ln , mn ) für alle 1 ≤ n ≤ r
n=1
Die größte dieser Zahlen ist offenbar
r
Q
Min(ln ,mn )
pn
.
n=1
(b) folgt aus (a) und der Formel kgV (a, b) · (a, b) = ab, denn Min(ln , mn ) +
Max(ln , mn ) = ln + mn .
Der größte gemeinsame Teiler von mehr als zwei Zahlen.
Bezeichnung. Sind die Zahlen a1 , . . . , ar (r ≥ 1) nicht alle 0, so wird ihr
größter gemeinsamer Teiler mit (a1 , . . . , an ) bezeichnet. δ = (a1 , . . . , ar ) ist
also die größte ganze Zahl mit δ | a1 , . . . , δ | ar−1 und δ | ar .
3.9 Satz. Seien a1 > 0, . . . , ar > 0, r ≥ 2. Dann gilt
(a) (a1 , . . . , ar ) = ((a1 , . . . , ar−1 ), ar )
(b) Jeder gemeinsame Teiler von a1 , . . . , ar teilt (a1 , . . . ar ).
Beweis. (Induktion nach r). Für r = 2 ist (a) trivial und (b) gilt nach 2.4.
Induktionsannahme. Sei r ≥ 3, (a) und (b) bewiesen für alle k mit 2 ≤
k ≤ r − 1.
Induktionsschluß. Ist t gemeinsamer Teiler von a1 , . . . , ar , so auch von
a1 , . . . , ar−1 . Nach Induktionsannahme (b) ist daher t ein Teiler von
(a1 , . . . , ar−1 ) = a0 . Ferner gilt t | ar . Nach (2.4) ist daher t | (a0 , ar ) =
((a1 , . . . , ar−1 ), ar ). Setze δ := ((a1 , . . . , ar−1 ), ar ). Wegen t | δ ist t ≤ δ.
Ferner gilt: δ | (a1 , . . . , ar−1 ) und δ | ar und daher δ | a1 , . . . , δ | ar−1 und
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δ | ar , d.h.: δ ist gemeinsamer Teiler von a1 , . . . , ar .
Damit ist gezeigt, daß δ der größte gemeinsame Teiler von a1 , . . . , ar ist, und
(a) ist bewiesen.
Im Beweis haben wir gesehen, daß jeder gemeinsame Teiler t von a1 , . . . , ar
auch δ teilt. Damit ist auch (b) bewiesen.
3.10 Korollar. Unter den Voraussetzungen von 3.9 ist (a1 , . . . , ar ) die kleinste positive Zahl, welche sich in der Form schreibt
a1 x 1 + . . . + ar x r
mit x1 , . . . , xr ∈ Z.
Beweis. (Induktion nach r.) Für r = 2 wurde dies in 2.4 gezeigt.
Nach Induktionsannahme ist δ 0 := (a1 , . . . , ar−1 ) die kleinste positive Zahl
der Form δ 0 = a1 y1 + . . . + ar−1 yr−1 . Ferner ist nach Induktionsbeginn δ =
(a1 , . . . , ar ) = ((a1 , . . . , ar−1 ), ar ) = (δ 0 , ar ) von der Form δ = δ 0 x + ar xr .
Es folgt: δ = a1 (y1 x) + . . . + ar−1 (yr−1 x) + ar xr ist von der gewünschten
Gestalt.
Ist d = a1 x1 + . . . + ar xr > 0 mit x1 , . . . , xr ∈ Z, so ist wegen δ | a1 , . . . , δ | ar
auch δ | d , also δ ≤ d.
Mit Hilfe von 3.9 kann man auch (a1 , . . . , ar ) für r ≥ 3 (iterativ) mit Hilfe
des euklidischen Algorithmus bestimmen.
(a1 , a2 , a3 ) = ((a1 , a2 ), a3 )
(a1 , a2 , a3 , a4 ) = (((a1 , a2 ), a3 ), a4 ) usw.
Wir erwähnen noch ohne Beweis:
3.10 Korollar. Seien p1 , . . . , ps die verschiedenen Primteiler des Produkts
a1 · . . . · ar von positiven Zahlen a1 , . . . , ar und
l
an = p11,n · . . . · plss,n
,
lm,n ≥ 0 für 1 ≤ m ≤ s, 1 ≤ n ≤ r.
Setze lm := Min(lm,1 , . . . , lm,r ), 1 ≤ m ≤ s. Dann gilt
(a1 , . . . , ar ) = pl11 · . . . · plss .
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