E - Kirchhoff-Institut für Physik
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Physik IV: Atomphysik Sommersemester 2005 Hörsaal 2, INF 308 Di, Do 9h15 – 11h Dirk Dubbers, Physikalisches Institut [email protected] Physik IV SS 2005 1. Einleitung 1.1 1. Einleitung 1.1 1.2 1.3 1.4 Inhalt Atome Wdh.: Bohrs Atommodell Wdh.: Quantenmechanik Physik IV SS 2005 1. Einleitung 1.2 1.1 Inhalt Umweltphysik: 5 Doppelstunden, W. Aeschbach-Hertig Atomphysik: 16 Doppelstunden, D. Dubbers 1. Einleitung 2. H-Atom Grundlagen 3. H-Atom Einzelheiten 4. Wechselwirkung Atom-Licht 5. 1 und 2-Elektron Atome 6. Viel-Elektronen Atome 7. Laser und Spektroskopie 8. Kalte Atome 9. Moleküle 10. Chemische Bindung Physik IV SS 2005 1. Einleitung 1.3 Literatur Empfehlungen: Demtröder Mayer-Kuckuck Experimentalphysik III: Atomphysik Atomphysik In english: Beiser Ohanian Pfeffer and Nir Concepts of Modern Physics, chapters 4, 6, 7, 8 Modern Physics, chapters 4, 6, 7 Modern Physics, chapters 3, 4.2 Zur Ergänzung: Haken und Wolf Atom- und Quantenphysik Alonso und Finn Physik III: Quantenphysik und statistische Physik Fortgeschritten: Brandsen und Joachain Physics of atoms and molecules Physik IV SS 2005 1. Einleitung 1.4 1.2 Atome Existenz der Atome "4 Elemente": = 4 Aggregatzustände: Erde fest Wasser flüssig Luft Gas Feuer Plasma Gesetz der konstanten Proportionen: 100g Wasser = 11.1g Wasserstoff + 88.9g Sauerstoff: 2m3 Wasserdampf = 2m3 Wasserstoff + 1m3 Sauerstoff: 100g Kupferoxid = 79.9g Kupfer Manganoxid = 100g Mangan + 20.1g Sauerstoff: 1:8 2:1 1:4 + 29.1g Sauerstoff ≡ 2 Teile + 43.7g Sauerstoff = 3 Teile + 58.4g Sauerstoff = 4 Teile , … Physik IV SS 2005 1. Einleitung 1.5 Atom-Spektren Prismen-Spektralapparat Wasserstoff Gasentladung Spektral-Apparat Physik IV SS 2005 1. Einleitung Wasserstoff-Spektrum 1.6 Gitter-Spektralapparat Balmerserie im Wasserstoff-Spektrum Physik IV SS 2005 1. Einleitung 1.7 Absorptions-Spektrum der Sonne Physik IV SS 2005 1. Einleitung 1.8 Balmer-Formel Balmer und Rydberg fanden eine Formel für die 'Wellenzahlen' 1/λ des Wasserstoffspektrums: ⎛ 1 1 ⎞ = RH ⎜ 2 − 2 ⎟ λ ⎝2 n ⎠ Später fanden 1 ⎞ ⎛ = RH ⎜1 − 2 ⎟ λL ⎝ n ⎠ 1 1 Lyman, Paschen, Brackett ⎛1 1 ⎞ = RH ⎜ 2 − 2 ⎟ λP ⎝3 n ⎠ 1 weitere Linien bei: ⎛ 1 1 ⎞ = RH ⎜ 2 − 2 ⎟ λB ⎝4 n ⎠ 1 Allgemeine Formel für Wasserstoff-Spektrum: n, m = 1, 2, 3, … Physik IV SS 2005 1. Einleitung 1 ⎞ ⎛ 1 = RH ⎜ 2 − 2 ⎟ λL m ⎠ ⎝n 1 1.9 Diverse Spektren Physik IV SS 2005 1. Einleitung 1.10 1.3 Wdh.: Bohrs Atommodell Bohrs Annahmen: 1. Elektronen bewegen sich auf Kreisbahnen um den Kern 2. Der Bahndrehimpuls der Elektronenkreisbahn ist gequantelt: L = mυr = nħ, n = 1,2,3,... Dies ist identisch mit der Forderung, dass der Bahnumfang 2πr ein n−faches der deBroglie Wellenlänge λ = h/mυ ist: nλ = 2πr, dh. dass das Elektron auf seiner Bahn eine stehende Welle bildet. 3. Beim Übergang von der n. Bahn zur m. Bahn wird Strahlung der Frequenz ν emittiert/absorbiert mit hν = Em − En hν Physik IV SS 2005 1. Einleitung 1.11 Bohr-Radius Auf Elektron wirkt: Zentripetalkraft = Coulombkraft: mυ 2 1 Ze 2 = r 4πε 0 r 2 F +e -e v r Einsetzen der Geschwindigkeit (aus Quantisierung des Bahn-Drehimpulses) υ = nħ/mr. n=3 ergibt den Bohrradius für die erste Bahn (n=1, Z=1) r1 ≡ a0 = 4πε0ħ2/me2 = 0.053 nm n=2 Allgemein für n. Bohrradius, Kernladung Z: rn = a0n2/Z N.B.: statt Elektronenmasse m: reduzierte Masse µ = mM/(M+m) = m 1836/1837 Physik IV SS 2005 1. Einleitung me n=1 rn 1.12 Energie-Niveaus Dadurch Quantisierung der Energie Ekin= ½mυ2 = Ze2/8πε0rn= −½Epot= Coulomb-Potenzial En= Ekin+ Epot= ½Epot= −Ze2/8πε0rn Ekin 2 mit rn= a0n /Z: Energie des n. Niveaus ist En= −RH Z2/n2 mit Rydberg Konstante (M→∞) RH= e2/8πε0a0 = 13.6 eV En d.h. Bindungsenergie H-Atom: E1= − RH rn Schreibweise: Wenn ohne Leerzeichen: 1/abc=1/(abc), √abc=√(abc), etc. En damit Balmerformeln für Übergang En→ Em: En − Em = hν = RH Z2 (1/m2 − 1/n2) Physik IV SS 2005 1. Einleitung 1.13 typische 'halbklassische' Größen 1. Bohr-Radius a0 ~ ½Å für 1. Bohrsche Bahn Z=1, n=1 wegen Bahndrehimpuls 2. Bahngeschwindigkeit mit Feinstruktur-Konstante Beispiele: Z=1, n=1 Z=80, n=1 ℓ = mυr = nħ ist: υ = nħ/mr = (e2/4πε0ħc) (cZ/n) = αZ/n α= e2/4πε0ħc ≈1/137, s. Kapitel 3.3 υ0/c = α, dh. υ0 ~ 1% der Lichtgeschwindigkeit c υ/c ~ 1 3. Umlaufzeit t0 = a0/υ0 = 2.4·10−17 s 4. Umlauf-Frequenz ω0 = υ0/2πa0 = 6.6·1015 s−1 5. Bindungsenergie RH=½α2 mec2 = 13.6 eV mit mec2 = 511keV Physik IV SS 2005 1. Einleitung 1.14 1.4 Wdh.: Quantenmechanik Lichtwellen (Maxwell, Hertz) elektrisches Feld E: Wellengleichung ∑2E/∑x2 − 1/c2 ∑2E/∑t2 = 0 z.B. fortlaufende Welle E = E0 exp(i( k◊x−ωt)) Lichtgeschwindigkeit c = ω/k = (e0m0)−½ Betrag Wellenvektor k = 2π/l Wellenlänge l Materiewellen (deBroglie) Wellenfunktion Ψ, z.B. Ψ = Ψ0 exp(i(k◊x−ωt)) Impuls p = ħk Energie Ekin = p2/2m = ħ2k2/2m Gesamtenergie E = ħω Wellenlänge l = h/p = h/mυ "Dispersion" υ = υ(λ), dh. n = n(λ) Physik IV SS 2005 1. Einleitung 1.15 Schrödinger-Gleichung Materiewellen werden durch die Schrödingergleichung beschrieben (nicht relativistisch) ∂Ψ h 2 ∂ 2Ψ =− ih + V ( x ,t )Ψ ∂t 2m ∂x 2 Beispiel laufende Welle Ψ = Ψ0 exp(i(k◊x−ωt)): Es ist: iħ ∑Ψ/∑t = ħω Ψ = EΨ −iħ ∑Ψ/∑x = ħkxΨ = pxΨ dh. entspricht Energieerhaltung EΨ = (p2/2m + V)Ψ |Ψ(x,t)|2 gibt Wahrscheinlichkeitsdichte, das Teilchen zur Zeit t am Ort x zu finden Physik IV SS 2005 1. Einleitung 1.16 zeitunabhängige Schrödingergleichung Potenzial zeitlich konstant V = V(x), "stationäres" Problem: Produkt-Ansatz stehende Welle mit: Ψ(x,t) = ψ(x) e−iωt, iħ ∂Ψ/∂t = ħω Ψ = EΨ, d.h. zeitunabhängige Schrödingergleichung für ψ(x), nachdem e−iωt rausgekürzt h 2 ∂ 2ψ − + V ( x, t )ψ = Eψ 2m ∂x 2 andere Schreibweise: ∂2ψ/∂x2 + k2ψ = 0 mit Wellenvektor d.h. k(x) = [2m(E−V(x))]½ Ekin = ħ2k2/2m = E−V Physik IV SS 2005 1. Einleitung 1.17 Gebundene Zustände Beispiel : harmonischer Oszillator En = (n+½)ħω, Hauptquantenzahl n = 0, 1, 2, … Korrespondenzprinzip → Physik IV SS 2005 1. Einleitung 1.18 Energie-Zustände in Potenzialen V(r) → ∞ für r > a V(r) ~ r2 V(r) ~ 1/r V(r) ~ 1/r Beispiele: Nukleonen im Kern Atome im Molekül/Festkörper Physik IV SS 2005 1. Einleitung Elektronen im Atom 1.19 Wellenpakete 2. Satz von Fourier: hat Frequenzspektrum ebenso: hat Wellenzahlspektrum zeitliches Wellenpaket: ψ(t) = (2π)−½ Ûa(ω) e−iωt dω a(ω) = (2π)−½ Ûψ(t) eiωt dt räumliches Wellenpaket: ψ(x) = (2π)−½ Ûa(k) e−ikx dk a(k) = (2π)−½ Ûψ(x) eikx dx Da Schrödingergleichung linear, ist mit der Welle exp[i(kx−ωt)] auch jede Überlagerung von Wellen zu einem Wellenpaket eine Lösung. Physik IV SS 2005 1. Einleitung 1.20 Unschärferelation die Unschärferelation: ∆k ∆x ≥ 1 ∆ω ∆t ≥ 1 Wellenzahl und Position Frequenz und Zeit ist eine aus der Elektrotechnik wohlbekannte Eigenschaft der Fouriertrafo: kurzes Wellenpaket hat breites Frequenzspektrum langes Wellenpaket hat schmales Frequenzspektrum Unschärferelation der Quantenmechanik: mit E = ħω, p = ħk ∆p ∆x ≥ ħ ∆E ∆t ≥ ħ ∆N ∆φ ≥ 2π Impuls und Position Energie und Zeit Teilchenzahl und Phase Physik IV SS 2005 1. Einleitung 1.21 Berechnung des Schwankungsquadrats Klassisches (nicht qu.-mech.) Beispiel: Maxwell Geschwindigkeitsverteilung f(υ): mittlere Geschwindigkeit mittlere quadratische Geschwindigkeit mittlere quadratische Abweichung f(υ) ‚υÚ = Ûυ f(υ) dυ υ ‚υ2Ú = Ûυ2 f(υ) dυ ∆υ2 = ‚(υ − ‚υÚ)2Ú = ‚υ2 − 2υ‚υÚ + ‚υÚ2Ú = ‚υ2Ú − ‚υÚ2 entsprechend ist in der Quantenmechanik, mit Wahrscheinlichkeitsverteilung |ψ(x)|2: ‚xÚ = Ûx |ψ(x)|2 dx ‚x2Ú = Ûx2 |ψ(x)|2 dx ‚pÚ = iħÛψ*(x) (∂ψ(x)/∂x) dx (= Ûψ*(x) x ψ(x) dx ) (= Ûψ*(x) x2 ψ(x) dx ) (= Ûψ*(x) ∂/∂x ψ(x) dx ) und ∆x, ∆p in Unschärferelation ist def. als: (∆x)2 = ‚x2Ú - ‚xÚ2 (∆p)2 = ‚p2Ú - ‚pÚ2 Physik IV SS 2005 1. Einleitung 1.22 Interferenz wenn wir wissen, wo Teilchen langgeht: keine Interferenz: Intensität I = |ψ|2 = |ψ1|2 + |ψ2|2 = I1 + I2 wenn wir nicht wissen, wo Teilchen langgeht: Interferenz: I = |ψ|2 = |ψ1 + ψ2|2 = |ψ1|2 + |ψ2|2 + |ψ1||ψ2| cos(∆φ) Physik IV SS 2005 1. Einleitung 1.23 Naturkonstanten 1. 2. Lichtgeschwindigkeit c = 3.0 108 m/s Planck Wirkungsqu. h = 4.1 ÿ10−15 eV·s hc = 1240 eV·nm, ħc=hc/2π 3. Elementarladung e = 1.60ÿ10−19 C FSK α=e2/4πe0ħc = 1/137.0 4. Elektronmasse mec2 = 511 keV mp = 1836 me ~ 1 GeV 5. 6. Bohr Magneton µB = 0.58ÿ10−4 eV/T Boltzmann Konstante k = 0.86ÿ10−4 eV/K, 7. Avogadrozahl µN = µB/1836 T = 300 K: kT = 25 meV NA = 6.0ÿ1023/mol Beispiele: für 2.: Licht mit hν=1eV: λ = hc/hν = 1240eV nm/1eV = 1.24 µm 3.: zwei Ladungen im Abstand r=1nm: Epot=e2/4πe0r=α ħc/r=1240eV/2π/137=1.44eV 3.: Bohr's Radius a0=4πe0ħ2/me2·c2/c2= ħc/αmc2=1240eVnm137/2π/511keV=0.05nm 4.: Elektron mit Ekin=1keV: υ/c = (mυ2/mc2)½ = 2½·1keV/512keV ~ 6% (für υ<<c) 5.+ 6.: Elektron (g=2): Polarisation ≈ gµBB/2kT =7% bei B=1T, T=10K −19J/eV = 96 kJ/mol · 1.60ÿ10 3.+ 7.: 1 eV/Teilchen · 6·1023 Teilchen/Mol Physik IV SS 2005 1. Einleitung 1.24 Physik IV SS 2005 1. Einleitung 1.25
