E - Kirchhoff-Institut für Physik

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Physik IV: Atomphysik
Sommersemester 2005
Hörsaal 2, INF 308
Di, Do 9h15 – 11h
Dirk Dubbers, Physikalisches Institut
[email protected]
Physik IV SS 2005 1. Einleitung
1.1
1. Einleitung
1.1
1.2
1.3
1.4
Inhalt
Atome
Wdh.: Bohrs Atommodell
Wdh.: Quantenmechanik
Physik IV SS 2005 1. Einleitung
1.2
1.1 Inhalt
Umweltphysik: 5 Doppelstunden, W. Aeschbach-Hertig
Atomphysik: 16 Doppelstunden, D. Dubbers
1. Einleitung
2. H-Atom Grundlagen
3. H-Atom Einzelheiten
4. Wechselwirkung Atom-Licht
5. 1 und 2-Elektron Atome
6. Viel-Elektronen Atome
7. Laser und Spektroskopie
8. Kalte Atome
9. Moleküle
10. Chemische Bindung
Physik IV SS 2005 1. Einleitung
1.3
Literatur
Empfehlungen:
Demtröder
Mayer-Kuckuck
Experimentalphysik III: Atomphysik
Atomphysik
In english:
Beiser
Ohanian
Pfeffer and Nir
Concepts of Modern Physics, chapters 4, 6, 7, 8
Modern Physics, chapters 4, 6, 7
Modern Physics, chapters 3, 4.2
Zur Ergänzung:
Haken und Wolf
Atom- und Quantenphysik
Alonso und Finn Physik III: Quantenphysik und statistische Physik
Fortgeschritten:
Brandsen und Joachain
Physics of atoms and molecules
Physik IV SS 2005 1. Einleitung
1.4
1.2 Atome
Existenz der Atome
"4 Elemente":
= 4 Aggregatzustände:
Erde
fest
Wasser
flüssig
Luft
Gas
Feuer
Plasma
Gesetz der konstanten Proportionen:
100g Wasser
= 11.1g Wasserstoff + 88.9g Sauerstoff:
2m3 Wasserdampf
= 2m3 Wasserstoff + 1m3 Sauerstoff:
100g Kupferoxid
= 79.9g Kupfer
Manganoxid
= 100g Mangan
+ 20.1g Sauerstoff:
1:8
2:1
1:4
+ 29.1g Sauerstoff ≡ 2 Teile
+ 43.7g Sauerstoff = 3 Teile
+ 58.4g Sauerstoff = 4 Teile ,
…
Physik IV SS 2005 1. Einleitung
1.5
Atom-Spektren
Prismen-Spektralapparat
Wasserstoff Gasentladung
Spektral-Apparat
Physik IV SS 2005 1. Einleitung
Wasserstoff-Spektrum
1.6
Gitter-Spektralapparat
Balmerserie im
Wasserstoff-Spektrum
Physik IV SS 2005 1. Einleitung
1.7
Absorptions-Spektrum der Sonne
Physik IV SS 2005 1. Einleitung
1.8
Balmer-Formel
Balmer und Rydberg fanden
eine Formel für die 'Wellenzahlen' 1/λ
des Wasserstoffspektrums:
⎛ 1 1 ⎞
= RH ⎜ 2 − 2 ⎟
λ
⎝2 n ⎠
Später fanden
1 ⎞
⎛
= RH ⎜1 − 2 ⎟
λL
⎝ n ⎠
1
1
Lyman,
Paschen,
Brackett
⎛1 1 ⎞
= RH ⎜ 2 − 2 ⎟
λP
⎝3 n ⎠
1
weitere Linien bei:
⎛ 1 1 ⎞
= RH ⎜ 2 − 2 ⎟
λB
⎝4 n ⎠
1
Allgemeine Formel für Wasserstoff-Spektrum:
n, m = 1, 2, 3, …
Physik IV SS 2005 1. Einleitung
1 ⎞
⎛ 1
= RH ⎜ 2 − 2 ⎟
λL
m ⎠
⎝n
1
1.9
Diverse
Spektren
Physik IV SS 2005 1. Einleitung
1.10
1.3 Wdh.: Bohrs Atommodell
Bohrs Annahmen:
1.
Elektronen bewegen sich auf Kreisbahnen um den Kern
2.
Der Bahndrehimpuls der Elektronenkreisbahn ist gequantelt:
L = mυr = nħ,
n = 1,2,3,...
Dies ist identisch mit der Forderung, dass der Bahnumfang 2πr ein
n−faches der deBroglie Wellenlänge λ = h/mυ ist:
nλ = 2πr,
dh. dass das Elektron auf seiner Bahn eine stehende Welle bildet.
3.
Beim Übergang von der n. Bahn zur m. Bahn wird Strahlung der
Frequenz ν emittiert/absorbiert mit
hν = Em − En
hν
Physik IV SS 2005 1. Einleitung
1.11
Bohr-Radius
Auf Elektron wirkt:
Zentripetalkraft = Coulombkraft:
mυ 2
1 Ze 2
=
r
4πε 0 r 2
F
+e
-e
v
r
Einsetzen der Geschwindigkeit (aus Quantisierung des Bahn-Drehimpulses)
υ = nħ/mr.
n=3
ergibt den Bohrradius für die erste Bahn (n=1, Z=1)
r1 ≡ a0 = 4πε0ħ2/me2 = 0.053 nm
n=2
Allgemein für n. Bohrradius, Kernladung Z:
rn = a0n2/Z
N.B.: statt Elektronenmasse m:
reduzierte Masse µ = mM/(M+m) = m 1836/1837
Physik IV SS 2005 1. Einleitung
me
n=1
rn
1.12
Energie-Niveaus
Dadurch Quantisierung der Energie
Ekin= ½mυ2 = Ze2/8πε0rn= −½Epot= Coulomb-Potenzial
En= Ekin+ Epot= ½Epot= −Ze2/8πε0rn
Ekin
2
mit rn= a0n /Z: Energie des n. Niveaus ist
En= −RH Z2/n2
mit Rydberg Konstante (M→∞)
RH= e2/8πε0a0 = 13.6 eV
En
d.h. Bindungsenergie H-Atom: E1= − RH
rn
Schreibweise:
Wenn ohne
Leerzeichen:
1/abc=1/(abc),
√abc=√(abc),
etc.
En
damit Balmerformeln für Übergang En→ Em:
En − Em = hν = RH Z2 (1/m2 − 1/n2)
Physik IV SS 2005 1. Einleitung
1.13
typische 'halbklassische' Größen
1. Bohr-Radius
a0 ~ ½Å für 1. Bohrsche Bahn Z=1, n=1
wegen Bahndrehimpuls
2. Bahngeschwindigkeit
mit Feinstruktur-Konstante
Beispiele: Z=1, n=1
Z=80, n=1
ℓ = mυr = nħ ist:
υ = nħ/mr = (e2/4πε0ħc) (cZ/n) = αZ/n
α= e2/4πε0ħc ≈1/137, s. Kapitel 3.3
υ0/c = α, dh. υ0 ~ 1% der Lichtgeschwindigkeit c
υ/c ~ 1
3. Umlaufzeit
t0 = a0/υ0 = 2.4·10−17 s
4. Umlauf-Frequenz
ω0 = υ0/2πa0 = 6.6·1015 s−1
5. Bindungsenergie
RH=½α2 mec2 = 13.6 eV mit mec2 = 511keV
Physik IV SS 2005 1. Einleitung
1.14
1.4 Wdh.: Quantenmechanik
Lichtwellen (Maxwell, Hertz)
elektrisches Feld E:
Wellengleichung
∑2E/∑x2 − 1/c2 ∑2E/∑t2 = 0
z.B. fortlaufende Welle E = E0 exp(i( k◊x−ωt))
Lichtgeschwindigkeit
c = ω/k = (e0m0)−½
Betrag Wellenvektor
k = 2π/l
Wellenlänge
l
Materiewellen (deBroglie)
Wellenfunktion Ψ, z.B. Ψ = Ψ0 exp(i(k◊x−ωt))
Impuls
p = ħk
Energie
Ekin = p2/2m = ħ2k2/2m
Gesamtenergie
E = ħω
Wellenlänge
l = h/p = h/mυ
"Dispersion"
υ = υ(λ), dh. n = n(λ)
Physik IV SS 2005 1. Einleitung
1.15
Schrödinger-Gleichung
Materiewellen werden durch die Schrödingergleichung beschrieben
(nicht relativistisch)
∂Ψ
h 2 ∂ 2Ψ
=−
ih
+ V ( x ,t )Ψ
∂t
2m ∂x 2
Beispiel laufende Welle Ψ = Ψ0 exp(i(k◊x−ωt)):
Es ist:
iħ ∑Ψ/∑t = ħω Ψ = EΨ
−iħ ∑Ψ/∑x = ħkxΨ = pxΨ
dh. entspricht Energieerhaltung
EΨ = (p2/2m + V)Ψ
|Ψ(x,t)|2 gibt Wahrscheinlichkeitsdichte, das Teilchen zur Zeit t am Ort x zu finden
Physik IV SS 2005 1. Einleitung
1.16
zeitunabhängige Schrödingergleichung
Potenzial zeitlich konstant V = V(x), "stationäres" Problem:
Produkt-Ansatz stehende Welle
mit:
Ψ(x,t) = ψ(x) e−iωt,
iħ ∂Ψ/∂t = ħω Ψ = EΨ,
d.h. zeitunabhängige Schrödingergleichung für ψ(x), nachdem e−iωt rausgekürzt
h 2 ∂ 2ψ
−
+ V ( x, t )ψ = Eψ
2m ∂x 2
andere Schreibweise:
∂2ψ/∂x2 + k2ψ = 0
mit Wellenvektor
d.h.
k(x) = [2m(E−V(x))]½
Ekin = ħ2k2/2m = E−V
Physik IV SS 2005 1. Einleitung
1.17
Gebundene Zustände
Beispiel : harmonischer Oszillator
En = (n+½)ħω,
Hauptquantenzahl n = 0, 1, 2, …
Korrespondenzprinzip →
Physik IV SS 2005 1. Einleitung
1.18
Energie-Zustände in Potenzialen
V(r) → ∞ für r > a
V(r) ~ r2
V(r) ~ 1/r
V(r) ~ 1/r
Beispiele:
Nukleonen im Kern
Atome im Molekül/Festkörper
Physik IV SS 2005 1. Einleitung
Elektronen im Atom
1.19
Wellenpakete
2. Satz von Fourier:
hat Frequenzspektrum
ebenso:
hat Wellenzahlspektrum
zeitliches Wellenpaket:
ψ(t) = (2π)−½ Ûa(ω) e−iωt dω
a(ω) = (2π)−½ Ûψ(t) eiωt dt
räumliches Wellenpaket:
ψ(x) = (2π)−½ Ûa(k) e−ikx dk
a(k) = (2π)−½ Ûψ(x) eikx dx
Da Schrödingergleichung linear, ist mit der Welle exp[i(kx−ωt)] auch jede
Überlagerung von Wellen zu einem Wellenpaket eine Lösung.
Physik IV SS 2005 1. Einleitung
1.20
Unschärferelation
die Unschärferelation:
∆k ∆x ≥ 1
∆ω ∆t ≥ 1
Wellenzahl und Position
Frequenz und Zeit
ist eine aus der Elektrotechnik wohlbekannte Eigenschaft der Fouriertrafo:
kurzes Wellenpaket hat breites Frequenzspektrum
langes Wellenpaket hat schmales Frequenzspektrum
Unschärferelation der Quantenmechanik: mit E = ħω, p = ħk
∆p ∆x ≥ ħ
∆E ∆t ≥ ħ
∆N ∆φ ≥ 2π
Impuls und Position
Energie und Zeit
Teilchenzahl und Phase
Physik IV SS 2005 1. Einleitung
1.21
Berechnung des Schwankungsquadrats
Klassisches (nicht qu.-mech.) Beispiel:
Maxwell Geschwindigkeitsverteilung f(υ):
mittlere Geschwindigkeit
mittlere quadratische Geschwindigkeit
mittlere quadratische Abweichung
f(υ)
‚υÚ = Ûυ f(υ) dυ
υ
‚υ2Ú = Ûυ2 f(υ) dυ
∆υ2 = ‚(υ − ‚υÚ)2Ú = ‚υ2 − 2υ‚υÚ + ‚υÚ2Ú
= ‚υ2Ú − ‚υÚ2
entsprechend ist in der Quantenmechanik,
mit Wahrscheinlichkeitsverteilung |ψ(x)|2:
‚xÚ = Ûx |ψ(x)|2 dx
‚x2Ú = Ûx2 |ψ(x)|2 dx
‚pÚ = iħÛψ*(x) (∂ψ(x)/∂x) dx
(= Ûψ*(x) x ψ(x) dx )
(= Ûψ*(x) x2 ψ(x) dx )
(= Ûψ*(x) ∂/∂x ψ(x) dx )
und ∆x, ∆p in Unschärferelation ist def. als: (∆x)2 = ‚x2Ú - ‚xÚ2
(∆p)2 = ‚p2Ú - ‚pÚ2
Physik IV SS 2005 1. Einleitung
1.22
Interferenz
wenn wir wissen, wo Teilchen langgeht:
keine Interferenz: Intensität I = |ψ|2 = |ψ1|2 + |ψ2|2 = I1 + I2
wenn wir nicht wissen, wo Teilchen langgeht:
Interferenz: I = |ψ|2 = |ψ1 + ψ2|2 = |ψ1|2 + |ψ2|2 + |ψ1||ψ2| cos(∆φ)
Physik IV SS 2005 1. Einleitung
1.23
Naturkonstanten
1.
2.
Lichtgeschwindigkeit c = 3.0 108 m/s
Planck Wirkungsqu. h = 4.1 ÿ10−15 eV·s
hc = 1240 eV·nm, ħc=hc/2π
3.
Elementarladung
e = 1.60ÿ10−19 C
FSK α=e2/4πe0ħc = 1/137.0
4.
Elektronmasse
mec2 = 511 keV
mp = 1836 me ~ 1 GeV
5.
6.
Bohr Magneton
µB = 0.58ÿ10−4 eV/T
Boltzmann Konstante k = 0.86ÿ10−4 eV/K,
7.
Avogadrozahl
µN = µB/1836
T = 300 K: kT = 25 meV
NA = 6.0ÿ1023/mol
Beispiele:
für 2.: Licht mit hν=1eV: λ = hc/hν = 1240eV nm/1eV = 1.24 µm
3.: zwei Ladungen im Abstand r=1nm: Epot=e2/4πe0r=α ħc/r=1240eV/2π/137=1.44eV
3.: Bohr's Radius a0=4πe0ħ2/me2·c2/c2= ħc/αmc2=1240eVnm137/2π/511keV=0.05nm
4.: Elektron mit Ekin=1keV: υ/c = (mυ2/mc2)½ = 2½·1keV/512keV ~ 6% (für υ<<c)
5.+ 6.: Elektron (g=2):
Polarisation ≈ gµBB/2kT =7% bei B=1T, T=10K
−19J/eV = 96 kJ/mol
· 1.60ÿ10
3.+ 7.: 1 eV/Teilchen · 6·1023 Teilchen/Mol
Physik IV SS 2005
1. Einleitung
1.24
Physik IV SS 2005 1. Einleitung
1.25
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