Felder ausgewählter Konfigurationen Feld einer homogen

Felder ausgewählter Konfigurationen
Anwendung von
Superpositionsprinzip
Gauß‘scher Satz
Feldberechung aus Potenzial
1. Feld und Potenzial innerhalb und außerhalb einer Vollkugel
2. Feld und Potenzial innerhalb und außerhalb einer Hohlkugel
3. Vergleich der Feldstärken an Kugeln mit unterschiedlichen
Krümmungsradien
4. Feld und Potenzial innerhalb und außerhalb von zwei
geladenen Platten
5. Feld und Potenzial eines Dipols
Feld einer homogen geladenen Kugel
Homogen geladene Kugel mit Radius R
und Gesamtladung Q
R
Außenfeld: Radius der Gauß‘schen Fläche r > R
Φ=
Q
∫ EdA = ε
Kugel r
0
E (r )A = E (r )4π r 2 ⇒
Das Außenfeld einer homogen
Q
E (r ) =
geladenen Kugel ist gleich dem einer
2
4π ε 0 r
Punktladung im Mittelpunkt der Kugel
Innenfeld: r < R
⎛r⎞
Qinnen = Q ⎜ ⎟
⎝R⎠
Φ=
∫ EdA =
Kugel r
3
Q innen
ε0
E (r )A = E (r )4π r 2 ⇒ E (r ) =
Qr
4π ε 0 R 3
Innenfeld einer homogen geladenen
Kugel nimmt linear mit dem Radius zu
1
Potenzial einer Kugel mit homogener
Ladungsverteilung
Potenzial über Integration des Feldes
Außerhalb der Kugel
r
ϕ (r ) = ∫ E (r )dr =
∞
Q
4π ε 0 r
Innerhalb der Kugel
r
ϕ (r ) = ∫ E (r )dr =
∞
⎛3 r2 ⎞
⎜ −
⎟
4π ε 0 R ⎝ 2 2R 2 ⎠
Q
Feld und Potenzial einer Kugel mit
homogener Ladungsverteilung
1,5
E∝r
1,0
1
E∝ 2
r
Normiertes Potenzial
Normierte Feldstärke E/Emax
ϕ (r ) ∝ a − br 2
0,5
0,0
ϕ (r ) ∝
1,0
1
r
0,5
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Normierter Radius (r/R)
2,5
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Normierter Radius (r/R)
2
Geladene Hohlkugel
Leitende Kugel mit Radius R und Ladung Q = 4 π R2σ
R
Innerhalb der Kugel: Satz von Gauß
r <R:Φ=
∫ Eds = 0
Keine Ladungen innerhalb
Fläche
⇒ E (r ) ≡ 0
Im Inneren einer Hohlkugel herrscht
kein Feld und das Potenzial = konst. Betrag
⇒ ϕ (r ) = konstant
von ϕ durch Randbedingungen gegeben
Außerhalb der Kugel: Satz von Gauß
r > R : ε 0Φ = Q
ε 0E (r )4π r 2 = 4π R 2σ
⇒ E (r ) =
ϕ (r ) =
R 2σ 1
ε0 r 2
Das Außenfeld einer homogen geladenen Hohlkugel ist
gleich dem einer Punktladung im Mittelpunkt der Kugel
R 2σ 1
ε0 r
Das Außenpotenzial einer homogen geladenen Hohlkugel
ist gleich dem einer Punktladung im Mittelpunkt der Kugel
1,5
1,0
E (r ) ∝
1
r2
Normiertes Potenzial
Normierte Feldstärke E/Emax
Geladene Hohlkugel
E (r ) ≡ 0
0,5
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
Normierter Radius (r/R)
2,5
ϕ (r ) = konst
ϕ (r ) ∝
1,0
1
r
0,5
0,0
0,0
0,5
1,0
1,5
2,0
2,5
Normierter Radius (r/R)
3
Spitzeneffekte
Geladene Kugel: E und ϕ an Oberfläche (r = R)
E (R ) =
σ
σ
und ϕ (R ) = R = E (R )R
ε0
ε0
Was passiert, wenn ich zwei leitende geladene Kugeln
miteinander verbinde?
Ladungen können zwischen den Kugeln ausgetauscht werden
Wie ändert sich Feldstärke und Potenzial der Anordnung?
Spitzeneffekte
Geladene Hohlkugel: E und ϕ an Oberfläche (r = R)
E (R ) =
σ
σ
und ϕ (R ) = R = E (R )R
ε0
ε0
Wie groß sind E und ϕ, wenn es keine Kugel ist?
r2
r1
ri lokaler Krümmungsradius
Kann gezeigt werden: Auf einer leitenden Oberfläche ist ϕ konstant
ϕ = konst . ⇒ σ = ε 0
E1 r2
=
E 2 r1
r →0⇒E →∞
ϕ
r
E≈
ϕ
r
(lokale) Feldstärke hängt vom Krümmungsradius ab
An Spitzen (r →0) treten sehr hohe Feldstärken
auf: Spitzeneffekt Luft wird ionisiert, bzw.
Elektronen treten aus Oberfläche aus
4
Feld und Potenzial eines Ellipsoids
Feld zwischen zwei leitenden Platten
Bereits gezeigt
Feld einer unendlich ausgedehnten Platte mit Flächenladung σ :
1
Ex =
σ x>0
2ε 0
Feldstärke unabhängig vom Abstand:
Erzeugtes Feld ist homogen
1
Ex = −
σ x<0
2ε 0
r
E
r
+ E
+
+
+
r
E
-
Platten getrennt, gleiches σ
r
E
+
+
+
+
r
E
-
Platten nahe zusammen gebracht
Inneren: Superpositionsprinzip
r r
r
σ
E = E+ + E− =
ε0
Außen: Satz von Gauß
Φ=0⇒E ≡0
5
Potenzial zwischen leitenden Platten
Feld E zwischen Platten homogen (E = Ex)
r
E = − grad (ϕ )
⇒ ϕ = ∫ Edx = E ∫ dx = Ex + c
⇒ Äquipotenziallinien: Gerade
parallel zu Platten mit
konstantem Abstand
C Integrationskonstante (sinnvoll wählbar)
r
E
+
+
+
+
-
Platten endlich groß:
Feld in Mitte homogen (Randeffekte)
Äquipotenziallinien Gerade (Randeffekte)
ϑ
r
p
Dipolfeld
Er
+q
Feld und Potenzial im Punkt P eines
Dipols mit p (p = q l) und r >> l
E(r,ϑ) Superposition der Potenziale
Eϑ
p cos ϑ
4π ε 0 r 2
ϕ (r ,ϑ ) =
-q
Feld aus E = -grad(ϕ)
E r (r ,ϑ ) =
Eϑ (r ,ϑ ) =
E (r ,ϑ ) =
2p
cos(ϑ )
4π ε 0 r 3
p
4π ε 0 r 3
p
4π ε 0 r 3
sin(ϑ )
3 cos 2 ϑ + 1
6
Felder Zusammenfassung
Außerhalb einer Kugel bzw. Punktladung
homogen geladenen Fläche
Linienladung
E ∝ 1/r2
E = konst.
E ∝ 1/r
ϕ ∝ 1/r
ϕ∝r
ϕ ∝ ln(r)
Im Inneren einer Hohlkugel
Vollkugel
E=0
E∝r
ϕ ∝ konst.
ϕ ∝ a- br2
Zwischen zwei homogen geladenen Platten
außerhalb
E = konst ∝ σ
E=0
ϕ∝r
Dipol in großem Abstand
Er ∝ cos(ϑ)/r3
Eϑ ∝ sin(ϑ)/r3
ϕ(r ϑ) ∝ cos(ϑ)/r2
7