4.2 Beispiele

66
KAPITEL 4. ELEMENTARE ANREGUNGEN
4.2
Beispiele
4.2.1
Phononen
Im vergangenen Kapitel haben wir so getan, als könnte man die Gitterschwingungen einfach im Rahmen der klassischen Mechanik behandeln. Die Analogie mit den Schwingungen
einer Kette, welche aus Massen besteht, die durch Federkräfte aneinander gekoppelt sind,
geht auch sehr weit. Der Grund dafür ist, dass die klassische und die quantenmechanische Beschreibung des harmonischen Oszillators weitgehend identisch sind. Wir wollen nun
das quantenmechanische Ergebnis für den harmonischen Oszillator auf Gitterschwingungen
(Phononen) verallgemeinern. Die Energie einer Schwingungsmode eines harmonischen Oszillators mit dem Wellenvektor ~k ist gegeben durch
1
,
(4.28)
~ω~k n +
2
wobei n ≥ 0 eine ganze Zahl ist. Wenden wir dieses Resultat auf Phononen an, so würde
beispielsweise für n = 1 ein einzelnes Phonon mit dem Wellenvektor ~k angeregt. Da jedoch
eine beliebige Anzahl von Phononen n einen Zustand mit dem Wellenvektor ~k besetzen
können, müssen wir die Thermodynamik der Phononen mit der Bose-Statistik berechnen.
Es ist nicht überraschend, dass für hohe Temperaturen die klassische und die quantenmechanische Behandlung identische Ergebnisse liefern (z.B. für die spezifische Wärme). Bei
niedrigen Temperaturen jedoch sind die Unterschiede dramatisch und rechtfertigen daher die
quantenmechanische Behandlung, was wir auch gleich in zweiter Quantisierung tun werden.
Berachten wir zur Einstimmung den harmonischen Oszillator in zweiter Quantisierung,
dessen Hamiltonoperator gegeben ist durch
H=
P2
1
+ Mω 2 R2
2M
2
.
Man definiert nun sogenannte Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren
r
r
Mω
1
a† =
R−i
P
2~
2~Mω
und
r
(4.29)
(4.30)
r
Mω
1
a=
R+i
P .
(4.31)
2~
2~Mω
Lässt man den Erzeugungsoperator a† auf den Grundzustand wirken, so erhöht sich der
Quantenzustand um 1, man erzeugt also einen angeregten Zustand. Umgekehrt wirkt der
Vernichtungsoperator a, der bei jeder Anwendung den Oszillatorzustand auf der Leiter der
angeregten Zustände um 1 erniedrigt. Man bezeichnet solche Operatoren auch als Leiteroperatoren.
Die ursprünglichen Orts- und Impulsoperatoren werden in zweiter Quantisierung zu
r
2~
1
a + a†
(4.32)
R=
2 Mω
67
4.2. BEISPIELE
und
i√
.
(4.33)
2~ωM a − a†
2
Drückt man nun den Hamiltonoperator durch die Erzeuger und Vernichter aus und
berücksichtigt die Bosonen-Kommutatorregel [a, a† ] = aa† − a† a = 1, so lässt sich leicht
nachrechnen, dass man folgenden Ausdruck erhält
1
†
H = ~ω a a +
(4.34)
2
1
= ~ω n +
,
(4.35)
2
P =−
wobei n = a† a der Teilchenzahloperator ist, welcher die Anzahl der Phononen angibt, die
einen Zustand besetzen.
Wir wenden nun unsere Ergebnisse für den harmonischen Oszillator auf das Problem der
Bewegung von Atomen in einem Festkörper an. Wir schreiben den entsprechenden Hamiltonoperator als
X P2
1X
l
H=
(4.36)
ul Φll′ ul′ ,
+
2M
2 ll′
l
~ l und
wobei die Operatoren ul und ul′ die Ortsänderung (Ablage) vom jeweiligen Gitterplatz R
~
Rl′ beschreiben. Man koppelt daher die Bewegungen der Atome an zwei Gitterplätzen über
das Potenzial Φll′ (solange man die harmonische Näherung nicht verlässt, ist Φll′ durch die dynamische Matrix des Gitters gegeben). Analog zu Glg. (4.30) und (4.31) definiert man wieder
Erzeugungs und Vernichtungsoperatoren, die das Eigenwertspektrum der Gitterschwingungen liefern, wobei man gleich auf die fouriertransformierten Größen übergeht und den Index
ν für die Polarisationsrichtung (transversal, longitudinal) einführt
"r
s
#
N
X
Mω
1
1
~kν
~l χ
exp i~k R
~ ~kν
a~†kν = √
ul − i
Pl
(4.37)
2~
2~Mω~kν
N l=1
und
a~kν
N
1 X
~
~
√
exp −ik Rl χ
~ ~∗kν
=
N l=1
"r
s
#
Mω~kν
1
Pl
ul + i
2~
2~Mω~kν
.
(4.38)
In Glg. (4.37) und (4.38) haben wir die Einheitsvektoren χ
~ ~kν der einzelnen Moden eingeführt.
Im Prinzip können diese beliebig gewählt werden, eine sinnvolle Wahl ist es jedoch dafür die
Eigenvektoren der dynamischen Matrix Φll′ zu verwenden, welche dann paarweise orthogonal
sind. Es ist wieder relativ einfach, die Operatoren ul und Pl auszudrücken
i
1 Xh
†
~
~
~
~
√
u~kν exp ik Rl + u~kν exp −ik Rl
(4.39)
ul =
N ~
kν
s
~
mit u~kν =
χ
~ ~ a~
(4.40)
2Mω~kν kν kν
68
KAPITEL 4. ELEMENTARE ANREGUNGEN
und
i
1 Xh
~l
~ l + P † exp −i~k R
(4.41)
P~kν exp i~k R
Pl = √
~kν
N ~
kν
r
~ω~kν M
mit P~kν =
χ
~ ~kν a~kν .
(4.42)
2
Mit Hilfe der Kommutatorregel für den Orts- und Impulsoperator [Rl , Pl ] = Rl Pl −Pl Rl = i~
lässt sich schnell der Kommutator für die Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren berechnen
h
i
†
a~kν , a~kν = 1 ,
(4.43)
was die Kommutatorregel für Bosonen-Operatoren ist. Da die dynamische
Matrix symme
trisch bezüglich Auslenkungen mit Wellenvektor ~k und −~k ist, folgt Φ ~k = Φ −~k und
daraus
ω~kν = ω−~kν .
(4.44)
Damit lassen sich die beiden Terme im Hamiltonoperator Glg. (4.36) mittels der Erzeuger
und Vernichter ausdrücken


h
i
†
†

X ~ω~ 
X P2
a
a
+
a
a
~kν ~
~kν ~kν
kν
l
kν
h
i
=
(4.45)

2M
4  − a~ a~ χ
~~ χ
~ ~ + a† a† χ
~∗ χ
~∗
l
~kν
kν kν
kν
−kν
~kν ~kν ~kν
−~kν
und
X1
ll′
2
ul Φll′ ul′ =

X ~ω~ 
kν
~kν
4
h
i
a~kν a~†kν + a~†kν a~kν


h
i
†
†
∗
∗
 + a~ a~ χ

~
χ
~
+
a
a
χ
~
χ
~
~kν ~kν ~kν −~kν
kν kν ~kν −~kν
.
(4.46)
Um zu Glg. (4.45) und (4.46) zu gelangen, haben wir die Eigenschaften der dynamischen
Matrix und damit auch ihrer Eigenvektoren ausgenützt. Diese sind im Detail χ
~ ~∗kν χ
~ ~kν ′ = δνν ′
und χ
~ ~kν χ
~ −~kν ′ = δνν ′ .
Damit kann man den Hamiltonoperator in Glg. (4.36) schreiben als
i
X ~ω~ h
kν
a~kν a~†kν + a~†kν a~kν
H =
2
~kν
X
1
†
(4.47)
=
~ω~kν a~kν a~kν +
2
~kν
X
1
.
(4.48)
=
~ωi ni +
2
i
Für ein Gitter mit einer Basis aus mehreren Atomen müssen wir unsere Ausdrücke noch um
einen weiteren Index für die einzelnen Zweige der Phononen erweitern. Um die Darstellung
jedoch einfacher zu machen, haben wir in Glg. (4.48) die einzelnen Indizes für den Wellenvektor ~k, die Polarisation ν und evtl. für die Phononenzweige in einem Index i zusammengefasst.
Man sieht sehr schön die Analogie zum harmonischen Oszillator.
69
4.2. BEISPIELE
4.2.2
Magnonen
Bereits 1926 schlug Werner Heisenberg (Z. Phys. 38 441 (1926)) ein Modell vor, mit dem
er magnetische Ordnung beschrieb. Die Idee war dabei, dass Spins an benachbarten Gitteplätzen durch eine Wechselwirkung gekoppelt werden. Diese Kopplung führt jedoch nicht
nur zu magnetische Ordnung bei T = 0 K, sondern erlaubt auch kollektive Anregungen
des gesamten Spinsystems, die man als Magnonen bezeichnet. Da das Heisenbergmodell eine
paarweise Wechselwirkung annimmt, geht es über ältere Modelle hinaus, bei denen die Wechselwirkung einem inneren magnetischen Feld, dem Molekularfeld, zugeschrieben wurde. Das
Heisenbergmodell ist daher auch kein Mean-field -Modell. In seiner einfachsten Form schreibt
man den Heisenbergoperator als
X
X
~l S
~l+δ − gj µB Hext
H = −Ih
S
Szl .
(4.49)
lδ
l
Man nimmt an, dass die Spins dabei auf den Gitterplätzen l sitzen. δ ist dann jener Vektor,
der zu den nächsten Nachbarn weist. Ih ist das Austauschintegral welches die Wechselwirkung
beschreibt. Es wird für ferromagnetische Ordnung als positiv und für antiferromagnetische
Ordnung als negativ definiert. Hext ist ein externes Feld, welches in z-Richtung weist und
damit eine Quantisierungsachse festlegt. Dieses Feld ist > 0, sodass bei T = 0 K alle Spins
parallel zu diesem Feld stehen und einen Grundzustand bilden, der durch den Zustandsvektor
|0i gegeben ist. Im Folgenden wird ~ = 1 gesetzt. Für ein Ensemble von N Atomen mit Spin
S ist der Grunzustandsvektor in der |S, MS i Basis durch |0i ≡ |NS, NSi gegeben. Weiters
gilt
X
~l ,
S
(4.50)
S 2 |0i = NS(NS + 1) |0i mit S =
l
Sz |0i = NS |0i
with Sz =
X
Szl
(4.51)
.
l
Wir werden nun zeigen, dass der Heisenberg-Hamiltonoperator kollektive Anregungen des
gesamten Spinsystems beschreibt. Diese Anregungen werden als Spinwellen oder Magnonen
bezeichnet und stellen Quasiteilchen dar.
Magnonen-Operatoren
Der Übergang von den Komponenten des Spin-Vektor-Operators zu den Erzeugungs- und
Vernichtungsoperatoren wurde 1940 von Holstein und Primakoff (Phys. Rev. 58 1908 (1940))
vorgeschlagen. Da das Magnon als Paar anti-paralleler Spins gesehen werden kann, die durch
das Gitter wandern, gilt auch für Magnonen die Bose-Statistik. Für die Komponenten des
Spin-Vektor-Operators gilt die Kommutatorbeziehung [Sx , Sy ] = iSz (und zyklische Permutationen). Man definiert ein Set neuer Operatoren gemäß
S + = Sx + iSy
,
S − = Sx − iSy
,
η = S − Sz
,
(4.52)
wobei η die Differenz zwischen dem Gesamtspin und seiner z Komponente ist. η wird sich
später auch als Ordnungsparameter für die Anregungen erweisen, da die Energiedifferenz
70
KAPITEL 4. ELEMENTARE ANREGUNGEN
η |S, MS i genau jene Energie darstellt, die durch das entsprechende Magnon absorbiert wird.
Der Eigenwert von η sei n und die entsprechende Eigenfunktion ψn . Die Erzeugungs- und
Vernichtungsoperatoren sind somit definiert als
√
√
a+ ψn = n + 1ψn+1 , aψn = nψn−1 ,
(4.53)
mit der Bosonen-Kommutatorregel
und der Eigenschaft
a, a+ = 1
(4.54)
hψn | a+ a |ψn i = n .
(4.55)
Wendet man nun die Operatoren S + und S − auf den Grundzustand an, so findet man
p
(S − MS ) (S + MS + 1) |S, MS + 1i ,
(4.56)
S + |S, MS i =
p
−
(S + MS ) (S − MS + 1) |S, MS − 1i ,
(4.57)
S |S, MS i =
oder, ausgedrückt mit der Wellenfunktion ψn ,
p
S + ψn =
(S − MS ) (S + MS + 1)ψn−1
p
−
S ψn =
(S + MS ) (S − MS + 1)ψn+1
,
,
sodass man S + , S − und η mit Hilfe der a, a+ formulieren kann
12
1 +
a al al ,
=
2S 1 −
2S l
12
√
1 +
−
Sl =
,
a al a+
2S 1 −
l
2S l
η = a+
, Szl = Sl − a+
.
l al
l al
Sl+
√
(4.58)
Der nächste Schritt ist, unsere Realraumoperatoren S + , S − , η und a+
l , al mittels einer
Fouriertransformation in die im reziproken Raum definierten Magnonen-Operatoren bk , b+
k
überzuführen.
1 X
1 X
+
~
~
bk ≡ √
exp ik~xl al , bk ≡ √
exp −ik~xl a+
,
(4.59)
l
N l
N l
1 X
1 X
~k~xl b+ ,
√
exp −i~k~xl bk , a+
exp
i
≡
(4.60)
al ≡ √
l
k
N k
N k
+ +
wobei wieder die Bosonen-Kommutatorregeln bk1 , b+
k2 = δk1 ,k2 and [bk1 , bk2 ] = bk1 , bk2 = 0
~
gelten. Der Operator b+
k erzeugt ein Magnon mit dem Wellenvektor k, während bk ein Magnon
vernichtet. Die erlaubten Werte für ~k sind durch periodische Randbedingungen bestimmt.
Betrachtet man die Rücktransformation (4.60), so erkennt man, dass die Änderung eines
individuellen Zustandes am Gitterplatz l (z.B. ein Spin-flip) durch eine Superposition einer
71
4.2. BEISPIELE
unendlichen Anzahl von Spinwellen beschrieben wird, die am Gitterplatz l konstruktiv zu
eben diesem veränderten Zustand interferieren.
Um nun die Spin-Operatoren in den Magnonen-Operatoren darzustellen, beschränkt man
sich auf Zustände
√ mit niedrigen Anregungsenergien, sodass man den Wurzelausdruck in
Glg. (4.58) nach 1 − ξ ≃ 1− ξ2 +. . . entwickeln kann. Dies setzt voraus, dass die Anregungen,
welche durch a+
l al beschrieben werden, klein gegen den Gesamtspin 2S bleiben. Man findet
"
r
2S X
+
~
exp −ik~xl bk
Sl =
N
k
#
X
1
exp i~xl ~k1 − ~k2 − ~k3 b+
−
k1 bk2 bk3 + . . . ,
4SN k k k
1 2 3
"
r
X
2S
exp i~k~xl b+
Sl− =
k
N
k
#
1 X
+
−
exp i~xl ~k1 + ~k2 − ~k3 b+
k1 bk2 bk3 + . . . ,
4SN
k1 k2 k3
1 X
Szl = S −
exp i~xl ~k1 − ~k2 b+
,
k1 bk2
Nkk
1 2
1 X
Sz = NS −
exp i~xl ~k1 − ~k2 b+
(4.61)
k1 bk2
N lk k
1 2
X
X
δk1 k2 b+
b
=
NS
−
b+
= NS −
,
k1 k2
k bk
k
k1 k2
wobei Sz wieder der Operator für den Gesamtspin aus Glg. (4.51) ist. Aus Glg. (4.61) für Sz
erkennt man, dass b+
k bk ähnlich wie bei den Phononen als Besetzungszahloperator für einen
Magnonen-Zustand ~k gesehen werden kann, wobei die Eigenwerte von b+
k bk wieder ganze
Zahlen sind.
Der Heisenberg-Hamiltonoperator in Magnonen-Variablen
Um den Heisenberg-Hamiltonoperator (Glg. (4.49)) in Magnonen-Erzeugungs- und Vernichtungsoperatoren darzustellen, schreiben wir ihn wie folgt um
X
X
1 + −
− +
Szl .
Sl Sl+δ + Sl Sl+δ − gj µB Hext
Szl Sz(l+δ) +
H = −Ih
2
l
lδ
(4.62)
Die vier Terme, die in Glg. (4.62) auftreten, ergeben
P
(1) −Ih Szl Sz(l+δ)
lδ
= −Ih
X
jδ
"
S X i~xl (~k1 −~k2 ) +
S X i~xl+δ (~k1 −~k2 ) +
e
bk1 bk2 −
e
bk1 bk2
S2 −
Nkk
Nkk
1 2
1 2
#
72
KAPITEL 4. ELEMENTARE ANREGUNGEN
−
(2) − I2h
P
lδ
X X
1
~ ~
~ ~
+
ei~xl(k1 −k2 )+i~xl+δ (k3 −k4 ) b+
I
h
k1 bk2 bk3 bk4
2
N
lδ k k k k
1 2 3 4
−
Sl+ Sl+δ
("
#
X
X
X
Ih S
1
~
~ ~ ~
= −
e−i~xl k1 bk1 −
ei~xl (k1 −k2 −k3 ) b+
k1 bk2 bk3
N
4SN
lδ
k1
k1 k2 k3
#)
"
X
X
1
~
~
~
~
+
ei~xl+δ (k1 +k2 −k3 ) b+
×
ei~xl+δ k1 b+
k1 −
k1 bk2 bk3
4SN
k k k
k
1 2 3
1
(3) − I2h
P
lδ
(4.63)
,
(4.64)
+
Sl− Sl+δ
("
#
X
X
X
1
Ih S
~
~ ~ ~
+
ei~xlk1 b+
= −
ei~xl(k1 +k2 −k3 ) b+
k1 −
k1 bk2 bk3
N jδ
4SN k k k
k1
1 2 3
#)
"
X
X
1
~
~
~
~
,
ei~xl+δ (k1 −k2 −k3 ) b+
×
e−i~xl+δ k1 bk1 −
k1 bk2 bk3
4SN
k k k
k
1 2 3
1
(4) −gj µB Hext
P
(4.65)
Szl
l
= gj µB Hext
X
1 X
exp i~xl ~k1 − ~k2 b+
b
−
g
µ
H
Szl
j B ext
k1 k2
N lk k
l
.
(4.66)
1 2
Nun separiert man den Hamiltonoperator in drei Teile H = H1 + H2 + const., wobei H1
nur solche Beiträge enthält, die höchstens bilinear in den Magnonen-Operatoren sind, H2
alle Terme höherer Ordnung (4. und 6. Ordnung) und const. die konstanten Faktoren. Um
die konstanten Terme zu berechnen, führt man die Summationen über l und δ durch, wobei
man eine Anzahl z nächster Nachbarn annimmt. Dies ergibt
H = H1 + H2 − Ih NS 2 z − gj µB Hext NS
| {z } |
{z
}
aus (1)
(4.67)
.
aus (4)
Die bilinearen Terme fasst man zusammen zu


Ih S X  −i~xl (~k1 −~k2 ) i~k2~δ
i~
xl (~k1 −~k2 ) −i~k2~
e
e bk1 b+
e δ b+
H1 = −
k2 + e
k1 bk2

N lδk k |
{z
} |
{z
}
1 2
aus (2)
~
aus (3)
~
~
~



bk
− ei~xl (k1 −k2 ) b+
bk − ei~xl+δ (k1 −k2 ) b+
{z k1 }2 |
{z k1 }2 
|

aus (1)
aus (1)
73
4.2. BEISPIELE
+
gj µB Hext X
.
exp i~xl (~k1 − ~k2 ) b+
k1 bk2
N
{z
}
|
lk1 k2
(4.68)
aus (4)
Man führt nun eine neue Größe γk ≡
1
z
l durch
H1 = −Ih zS
X
k
P
δ
exp i~k~δ ein und führt die Summation über
X
+
+
γk bk b+
b+
k + γ−k bk bk − 2bk bk + gj µB Hext
k bk
.
k
(4.69)
P
Für ein Kristallgitter mit Inversionssymmetrie ist γk = γ−k , sodass
γk = 0. Mit der
k
Kommutatorregel bk , b+
k = 1 erhält man schließlich
X
X
H1 =
[2Ih Sz (1 − γk ) + gj µB Hext ] b+
b
=
ωk b+
.
(4.70)
k
k bk
|
{z
} k
k
k
≡ ωk
Der Term H2 enthält höhere Ordnungen in den Magnonen-Variablen und wird
üblicherweise vernachlässigt. Eine Diskussion dieser Magnon-Magnon-Wechselwirkungen
wurde von Dyson (Phys. Rev. 102 1217 (1956)) und Keffer und Loudon (J. Appl. Phys.
(Suppl.) 32 2 (1961)) gegeben.
Dispersionsrelation für die Magnonen
Unter Verwendung von Glg. (4.70) schreibt man H1 als
X
nk ωk
H1 =
(4.71)
k
wobei nk der Besetzungszahloperator für einen Zustand mit der Energie ωk ist. Nehmen
wir wieder ein Gitter mit Inversionssymmetrie an, sodass γk = γ−k gilt, so können wir γk
schreiben als
1X
exp i~k~δ
γk =
z δ
i
1 Xh
~
~
~
~
exp ik δ + exp −ik δ
=
2z δ
1X
1X
~
~
=
cosh ik δ =
cos ~k~δ
,
(4.72)
z δ
z δ
was uns die Dispersionsrelation für Magnonen in der bekannten Form liefert
!
1X
cos ~k~δ
+ gj µB Hext .
ωk = 2Ih Sz 1 −
z δ
(4.73)
74
KAPITEL 4. ELEMENTARE ANREGUNGEN
Da wir uns bei der Ableitung auf kleine Energien beschränkt hatten, entwickelt man den
2
Cosinus gemäß cos x = 1 − x2 + . . . und erhält
ωk ≃ Ih S
X 2
~k~δ + gj µB Hext
.
(4.74)
δ
Für ein einfach kubisches Gitter mit der Gitterkonstante a0 lässt sich dieser Ausdruck weiter
reduzieren
ωk = gj µB Hext + 2Ih S (ka0 )2
= gj µB Hext + Dk 2 ,
(4.75)
(4.76)
wobei D die sogenannte Spinwellensteifigkeit ist, welche durch Neutronenstreuexperimente
bestimmbar ist. Beim Übergang von Glg. (4.74) zu Glg. (4.75) tritt ein Faktor 2 auf, der aus
P ~ ~2
der Summation
k δ stammt und der in den Eigenschaften des reziproken und direkten
δ
Gittters begründet ist.
Abbildung 4.15 zeigt eine klassische Repräsentation einer Spinwelle. Die thermisch induzierte Bewegung der Spins ist korreliert und wird daher als kollektive Anregung bezeichnet.
Gleichung (4.75) kann benutzt werden, um die effektive Masse m∗ der Magnonen (Quasiteilchen) abzuschätzen: hierzu setzt man die Energie eines freien Teilchens mit der Masse
m∗ der Anregungsenergie bei Hext = 0 gleich
~k 2
2m∗
= 2Ih S~k 2 a20
⇒ m∗ = 4Ih Sa20
−1
.
(4.77)
Für einen üblichen Ferromagneten mit einer Curie-Temperatur von etwa 300 K erhält man
eine effektive Masse von etwa 10 mal der Elektronenmasse.
Abbildung 4.15: Klassische Darstellung einer kollektiven Anregung wie sie durch den
Heisenberg-Hamiltonoperator beschrieben wird
75
4.2. BEISPIELE
Spezifische Wärme der Magnonen
Im Grenzfall niederenergetischer Anregungen und daher langer Wellenlängen mit ~k~δ << 1
und bei niedrigen Temperaturen schreibt man die Energie des Magnonen-Bose-Gases als
X
ωk hnB i ,
(4.78)
U=
k
wobei hnB i die Bose-Verteilungsfunktion ist
−1
E
−1
hnB i = exp
kB T
Man erhält
−1
X ωk
−1
ωk exp
U =
k
BT
k
1
=
(2π)3
1
=
2π 2
kZmax
Dk
0
kZmax
Dk
0
Mit den Abkürzungen x =
4
2
exp
exp
Dk 2
kB T
Dk 2
kB T
(4.79)
.
−1
−1
−1
−1
d3 k
dk
.
(4.80)
Dk 2
τ
und τ = kB T schreibt man den Ausdruck aus Glg. (4.80) als
xZmax
5
τ2
3
1
dx x 2
.
3
exp (x) − 1
4π 2 D 2
0
Da der Integrand rasch abnimmt, kann man die obere Integrationsgrenze durch ∞ ersetzen,
sodass das Integral analytisch gelöst werden kann
√ 5
5
3 π
ζ
(1.341) .
Γ
,1 =
2
2
4
Γ 52 ist die Gamma-Function und ζ 52 , 1 die Riemann’sche Zeta-Function, womit man
erhält
5
0.45τ 2
U≃
.
3
π2D 2
und damit
Die spezifische Wärme bei konstantem Volumen ist cv = ∂U
∂T V
32
kB T
cv = 0.113kB
.
(4.81)
D
Das Resultat bedeutet, dass in einem System, in dem man Magnonen anregt, ein Beitrag
3
zur spezifischen Wärme auftritt, der proportional zu T 2 ist. Da man experimentell diesen
Beitrag leicht von anderen Anregungen (freie Elektronen, Phononen, etc.) unterscheiden
kann, bietet eine Messung der spezifischen Wärme eine Möglichkeit, die Spinwellensteifigkeit
D zu bestimmen.
76
KAPITEL 4. ELEMENTARE ANREGUNGEN
Curie-Temperatur des Heisenberg-Ferromagneten
Die Curie-Temperatur lässt sich aus der Anzahl der durch thermische Anregung umgekehrten
Spins berechnen. Das magnetische Moment ist durch den Erwartungswert der z-Komponente
aller Spins gegeben
!
X
MS = gj µB Sz = gj µB NS −
b+
.
(4.82)
k bk
k
Die Temperaturabhängigkeit des magnetischen Momentes ist daher
X
MS (0) − MS (T ) = gj µB
hnB i
gj µB
=
2π 2
k
kZmax
0
k2
exp
Dk 2
kB T
dk
.
(4.83)
−1
Mit den gleichen Abkürzungen wie im letzten Abschnitt erhält man daraus
Z∞
1
gj µB τ 23
1
MS (0) − MS (T ) =
x2
dx
2
2π
D
exp (x) − 1
0
3
gj µB τ 2
3
3
=
Γ
ζ
,1
2π 2 D
2
2
3
kB T 2
.
= 0.117gj µB
D
(4.84)
3
Gleichung (4.84) beschreibt das bekannte T 2 -Verhalten der magnteischen Momente in einem
System von wechselwirkenden lokalisierten Spins. Es wird in der Literatur auch als das
3
Bloch’sche T 2 -Gesetz bezeichnet. Es ist einfach, Glg. (4.84) umzuschreiben
23 !
T
(4.85)
MS (T ) = MS (0) 1 −
Tc
23
MS (0)
D
wobei Tc =
.
(4.86)
0.117gj µB
kB
Für ein kubisches Gitter mit einer Spinwellensteifigkeit D = 2Ih Sa20 und mit MS (0) =
gj µB NS mit N = 1 erhält man einen Ausdruck für Tc
5
kB Tc = 1.26 S 3 Ih a20
.
(4.87)
Gleichung (4.87) kann ebenfalls dazu verwendet werden, um einen Wert für das Austauschintegral Ih zu erhalten. fcc Gd ist ein System mit lokalisierten Spins mit einem Gesamtspin
S = 72 . Mit einer Curie-Temperatur von 300 K und einer Gitterkonstante von 5.05 Å erhalten wir einen Wert von etwa 100 meVÅ−2 , der im Vergleich mit dem Experiment durchaus
vernünftig ist.
77
4.2. BEISPIELE
Näherungen für das Heisenberg-Modell
Im allgemeineren Fall muss man nicht nur Wechselwirkungen zwischen nächsten Nachbarn,
sondern auch solche zu entfernteren Spins betrachten
X
~i S
~j
H=−
Iij S
(4.88)
i6=j
wobei die Iij wieder die Austauschintegrale zwischen Spins auf Gitterplätzen i und j sind.
Der mathematische Aufwand nimmt nun aber entsprechend zu, sodass man sehr bald nach
Näherungen gesucht hat.
Ising-Modell
Das einfachste und am weitesten verbreitete Modell ist das Ising-Model (Z. Phys. 31 253
(1930))). Der Spin-Vektor-Operator wird dabei nur ein-dimensional angenommen und hat
daher nur zwei Zustände, nämlich spin-up (+1, (↑)) und spin-down (−1 (↓)). Man verwendet
daher nur die z-Komponente des Operators, welchen man schreibt als
~i = Si~ez
S
(4.89)
,
wobei die Quantisierungsachse in z-Richtung gewählt wird. Der entsprechende Hamiltonoperator HI sieht zwar fast aus wie der Heisenbergoperator, doch hat man durch die Beschränkung auf die z-Komponente einen großen Teil der Quanteneffekte, die über die Kommutatorregeln beschrieben sind, entfernt.
X
X
HI = −
Iij Si Sj − gj µB Hext
Si
(4.90)
i6=j
i
Der erste Term in Glg. (4.91) beschreibt das kollektive Verhalten des Spin-Systems und
erlaubt auch die Möglichkeit von Phasenübergängen. Der zweite Term ist wieder die ZeemanWechselwirkung zwischen einem Spin und einem externen Feld.
Für das ein-dimensionale Ising-Modell ist es relativ einfach, eine analytische Lösung zu
finden. Die Lösung des zwei-dimensionalen Problems erfolgte durch Lars Onsager (Phys. Rev.
65 117 (1944)) in einer mathematischen tour de force. Das drei-dimensionale Ising-Modell
ist noch immer ungelöst, es exitstieren jedoch numerische Lösungen auf Basis von QuantenMonte-Carlo-Verfahren. Das ein-dimensionale Ising-Model hat einen Phasenübergang zu einem geordneten Zustand bei T = 0. Das bedeutet, dass jede noch so kleine Temperaturerhöhung die langreichweitige Ordnung zerstört. Im zwei-dimensionalen Fall gibt es einen
Phasenübergang bei endlicher Temperatur und das magnetische Moment zeigt das folgende
Verhalten
 −4 β

2I

T < Tc
1 − sinh kB T
M (T ) =
,
(4.91)

 0
T ≥ Tc
mit β = 18 . Die Curie-Temperatur wird somit zu
TC =
I
I
2
√ ≃ 2.269
kB
ln 1 + 2 kB
.
(4.92)
78
KAPITEL 4. ELEMENTARE ANREGUNGEN
XY-Modell
Das XY-Modell geht einen Schritt weiter und verwendet einen zwei-dimensionalen SpinVektor-Operator, sodass der Spin in der xy-Ebene rotieren kann. Der Spin-Vektor hat die
Form
~ i = S x ex + S y ey ,
S
(4.93)
i
i
womit der Hamiltonoperator das Aussehen annimmt
X
X
~ ext S
~i
Iij Six Sjx + Siy Sjy − gj µB Hext
H
HXY = −
i6=j
(4.94)
.
i
Man kann zeigen, dass das XY-Modell nur für Dimensionen größer als 2 einen traditionellen
Phasenübergang besitzt, was auch als Mermin-Wagner-Theorem bezeichnet wird.
Eine wichtige Anwendung für das XY-Modell entsteht aus der Tatsache, dass man magnetische Anisotropie leicht simulieren kann. Führt man den Anisotropieparameter λ ein, so
erhält man
X
X
X
~ ext S
~i .
HXY = −
Iij Six Sjx − (1 − λ)
Iij Siy Sjy − gj µB Hext
H
i6=j
i6=j
i
(4.95)
Der Wert λ = 0 beschreibt das isotrope XY-Modell, λ = 1 liefert ein quasi-Ising-Modell,
wobei die x-Achse die Quantisierungsachse ist.
Mean-field -Näherung für das Heisenberg-Modell
Wie wir gesehen haben, sind Produkte von Spin-Operatoren mühsam zu behandeln. Ein
Ausweg kann gefunden werden, wenn man die paarweise Wechselwirkung zwischen den Spins
durch eine Wechselwirkung eines Spins mit einem gemittelten Feld, das durch alle anderen
Spins erzeugt wir, ersetzt. Man schreibt, vorerst noch exakt, den Spin-Operator als dessen
thermischen Mittelwert plus die Abweichungen von diesem (Fluktuationen)
D E D E
~k = S
~k + S
~k − S
~k
.
(4.96)
S
{z
}
|
Fluktuationen
Man setzt dies in den Heisenberg-Hamiltonoperator ein
D Ei hD E D Ei
X hD E ~i + S
~i − S
~i
~j + S
~j − S
~j
H=−
Iij S
S
,
(4.97)
i6=j
multipliziert aus und vernachlässigt alle Terme in zweiter und höherer Ordnung in den Fluktuationen. Der Rest ist dann der Heisenberg-Hamiltonoperator in der Mean-field -Näherung
D E
X D ED E X D E
~i S
~j −
~j S
~i + S
~i S
~j
HMF =
Iij S
Iij S
i6=j
i6=j
"
#
X D ED E X
X D E
~i S
~j −
~i 2
~j
=
Iij S
S
Iij S
i6=j
i
j
.
(4.98)
79
4.2. BEISPIELE
Der erste Term in Glg. (4.98) ist konstant, der zweite Term hkann interpretiert
D Ei werden als Spin
P
~i , der mit einem durch alle anderen Spins erzeugten Feld 2
~
S
wechselwirkt. Die
j Iij Sj
Lösung für die Temperaturabhängigkeit der Magnetisierung ist durch die Brillouinfunktion
gegeben (siehe FKI). Für die Curie-Temperatur erhält man
Tc =
2S (S + 1) 1 X
Iij
3kB
N i6=j
(4.99)
.
Nimmt man ein fcc oder bcc Gitter von Spins an, so erhält man
2S (S + 1) 1
(12J1 + 6J2 + 24J3 + 12J4 + 24J5 ) fcc
3kB
78
2S (S + 1) 1
(8J1 + 6J2 + 12J3 + 24J4 + 8J5 ) bcc ,
=
3kB
58
Tc =
Tc
wobei die Summation jeweils bis zum 5t-nächsten Nachbarn geht. Die Resultate für die
Curie-Temperaturen sind recht gut, jedoch systematisch zu hoch, was daran liegt, dass man
durch den Mean-field -Ansatz Quantenfluktuationen unterdrückt hat.
Antiferromagnetische Magnonen
Eine Behandlung des antiferromagnetischen Falles gelingt relativ leicht, wenn man den antiferromagnetisch geordneten Kristall in zwei jeweils ferromagnetisch geordnete Untergitter
zerlegen kann (dies ist jedoch nicht in jeder Kristallstruktur möglich). Der entsprechende
Hamiltonoperator hat dann die folgende Form
X
X
X
X
a
b
~ aS
~b + J
~ aS
~ b − g j µ B HA
H=J
S
S
S
+
g
µ
H
Szl
.
(4.100)
j B A
j j+δ
l l+δ
zj
j,δ
l,δ
j
l
Die Spins auf den beiden Untergittern a und b stehen in antiferromagnetischer Wechselwirkung miteinander, innerhalb eines Untergitters sorgt das Anisotropiefeld HA für eine
ferromagnetische Ordnung. Die Richtung der Anisotropiefelder der beiden Untergitter ist
antiparallel, dies wird auch als staggered magnetization bezeichnet. Man führt zwei Gitterindizes j und l für die beiden Untergitter ein und auch die entsprechenden Erzeugungsund Vernichtungsoperatoren treten doppelt auf. Darüber hinaus ist die Ableitung über weite
Strecken identisch mit der für den ferromagnetischen Fall. Da jedoch eine Kopplung zwischen
den beiden Untergittern besteht, landet man beim Problem, dass die Lösung des Eigenwertproblems (die Diagonalisierung der Hamiltonmatrix) nur in verallgemeinerten Koordinaten
möglich ist. Diese Lösung wird auch als das Bogoliubov-Problem bezeichnet und die analytische Behandlung ist einigermaßen aufwändig.
Man erhält jedenfalls
X
1
H1 = −2JNzS (S + 1) − 2Ngj µB HA S +
+
ωk αk αk+ + βk+ βk + 1
, (4.101)
2
k
80
KAPITEL 4. ELEMENTARE ANREGUNGEN
wobei αk αk+ und βk+ βk die Magnonen-Erzeuger und -Vernichter auf den entsprechenden Untergittern sind und für ωk gilt
ωk = (2JSz + gj µB HA )2 − (2JSz )2 γk2
.
(4.102)
Wenn man nun HA vernachlässigt, kann man mit den gleichen Näherungen für γk wie im
ferromagnetischen Fall die Dispersionsrelation für die antiferromagnetischen Magnonen im
Grenzfall kleiner ~k erhalten
√
(4.103)
ωk = 4 3JSka ,
was eine lineare Dispersionsrelation darstellt.
Die Berechnung der spezifischen Wärme erfolgt analog zum ferromagnetischen
Fall. Im
Grenzfall niederenergetischer Anregungen und daher langer Wellenlängen mit ~k~δ << 1 und
bei niedrigen Temperaturen schreibt man die Energie des Magnonen-Bose-Gases wieder als
X
U=
ωk hnB i ,
(4.104)
k
wobei hnB i die Bose-Verteilungsfunktion ist. Die Analogie zu den Phononen (lineare Dispersionsrelation) legt eine ähnliche Behandlung nahe. Für die Phononen ist die spezifische
Wärme durch die Debye-Funktion gegeben, wobei darin bekanntlich eine materialspezifische
Größe, die Debye-Temperatur Θ, auftritt. Ähnliches lässt sich für die antiferromagnetischen
Magnonen durchführen, wenn man eine maximale Frequenz der Magnonen-Anregungen definiert
kB Θk
ωk ≃
,
(4.105)
kBZ
wobei kBZ der reziproke Gittervektor der ersten Brillouinzone ist. Die spezifische Wärme bei
tiefen Temperaturen hat somit die gleiche analytische Form wie im Fall der Phononen
3
T
.
(4.106)
cv ∝
Θ