Integrale und Additionstheoreme

Integrale und Additionstheoreme
Additionstheoreme
• cos(2x) = cos2 (x) − sin2 (x)
r
1 − cos x
x
• tan( ) =
2
1 + cos x
x
• tan( ) · sin(x) = 1 − cos(x)
2
• sin(x ± y) = sin(x) · cos(y) ± sin(y) · cos(x)
• cos(x ± y) = cos(x) · cos(y) ∓ sin(x) · sin(y)
• sin2 (x) + cos2 (x) = 1
• sin(2x) = 2 · sin(x) · cos(x)
• sin(x) = 2 · sin(x/2) · cos(x/2)
1
• sin(x)·sin(nx) = − (cos[(n+1)x]−cos[(n−1)x])
2
1
• sin2 (x) = (1 − cos(2x))
2
• sin[(n + 1)x] − sin[(n − 1)x] = 2 · cos(nx) · sin(x)
1
• cos2 (x) = (1 + cos(2x))
2
•
∞
X
1 1 − cos(ϕp + ϕ) 1
sin(nϕp )·sin(nϕ) = ln
n
4
1 − cos(ϕp − ϕ)
n=1
Integrale
•
Z
1
1
dx = · ln(ax + b)
ax + b
a
x
x
b
dx = − 2 · ln(ax + b)
ax + b
a a
Z 2
i
1 h1
x
dx = 3 (X) − 2b(X) + b2 ln(X)
•
X
a 2
•
•
•
•
•
•
•
Z
mit X = ax + b
Z
cos(ax)
sin(ax)dx = −
a
Z
sin(ax)
cos(ax)dx = +
a
Z
x
1
sin2 (ax)dx = −
sin(2ax)
2 4a
Z
x
1
cos2 (ax)dx = +
sin(2ax)
2 4a
Z
cos3 (ax) cos(ax)
sin3 (ax)dx =
−
3a
a
Z
sin3 (ax) sin(ax)
+
cos3 (ax)dx = −
3a
a
3
sin(2ax) sin(4ax)
x+
+
8
4a
32a
•
Z
cos4 (ax)dx =
•
Z
sin(ax) cos(ax)dx =
•
Z
•
•
Z
Z
sin2 (ax)
2a
π
sin(n · ϕ) · cos(p · ϕ) =
π/2 n = p
0 n=
6 p
cos(n · ϕ) · cos(p · ϕ) =
π/2 n = p
0 n=
6 p
sin(n · ϕ) · sin(p · ϕ) =
π/2 n = p
0 n=
6 p
0
π
0
π
0
• Glauert-Integral
Z π
sin(n · ϕ)
cos(n · ϕ′ )
dϕ′ = −π ·
′
sin(ϕ)
0 cos(ϕ) − cos(ϕ )
•
Z
cos(ax) · cos(bx)dx =
sin[(a − b)x] sin[(a + b)x]
+
2(a − b)
2(a + b)
2
∀ |a| =
6 |b|
3. Aufgabe: Traglinientheorie (15 Punkte)
Ein Hubschrauber mit der Masse m fliegt im stationären Schwebeflug (U∞ = 0). Sein Rotor hat vier Blätter
mit konstanter Breite b, bei denen nur der Anteil r0 ≤ r ≤ R Auftrieb erzeugt. Vernachlässigen Sie die
Dreidimensionalität des Strömungsfeldes und gehen Sie von einer stationären Anströmung jedes Rotorblattes
aus.
1. Geben Sie die Gleichung für die Anströmgeschwindigkeit eines Rotorblattes an und skizzieren Sie diese
für den tragenden Teil des Blattes. Tragen Sie in Ihre Skizze die Randwerte der Geschwindigkeitsverteilung ein.
2. Berechnen Sie mit Hilfe des Satzes von Kutta-Zhukovski die Auftriebsverteilung LBlatt (r) entlang eines
Rotorblattes.
3. Welche Rotationsgeschwindigkeit ω ist notwendig, um das Gewicht mg des Hubschraubers im stationären Schwebeflug zu tragen? Bestimmen Sie die Verteilung des Auftriebsbeiwertes cL (r), die sich für
diesen Fall ergibt. Geben Sie die verwendeten Referenzgrößen explizit an!
4. Erläutern Sie ausführlich die Unterschiede zwischen dem hier betrachteten Fall und der Realität.
Gegeben: Masse m, Anzahl der Rotorblätter s, Sehne der Rotorblätter b, Gravitation g, Radius R, Radius
r0 = 0.1 R, Zirkulation Γ0
Hinweis:
Kutta-Zhukovski: dL = ρ u Γ dr
r 2
r
r 3
−6 1−
+3 1−
Zirkulationsverteilung: Γ(r) = Γ0 3 1 −
R
R
R
5
Lösung 3. Aufgabe: Traglinientheorie (15 Punkte)
1.
Geschwindigkeit :
Steigung :
u(r) = ω r
du(r)
=ω
dr
u
ωR
ω r0
r
r0
R
2. Kutta-Zhukovski:
dL = ρ u(r) Γ(r)dr
dL
= ρ u(r) Γ(r)
dr
r 2
r
r 3
−6 1−
+3 1−
= ρ ωr Γ0 3 1 −
R
R
R
r
r
r 2
r
= ρωΓ0 r 1 −
−6+6 +3
3 1−2 +
R
R
R
R
r r 2
= 3ρωΓ0 r 1 −
R
R
⇒ LBlatt (r) =
3. Auftrieb eines Blattes:
⇒ LBlatt =
Z
R
ρ u(r) Γ(r)dr
r0
Z R
r 2
r
r 3
−6 1−
+3 1−
dr
ρ ωr Γ0 3 1 −
=
R
R
R
r0
Z R r
r r 2
r
= ρωΓ0
r 1−
3 1−2 +
− 6 + 6 + 3 dr
R
R
R
R
r0
Z R r
r2
r
r
− 6 + 6 + 3 dr
3−6 +3
r 1−
= ρωΓ0
R
R
R
R
r0
Z R r 2
r
dr
3
= ρωΓ0
r 1−
R
R
r0
R
(5R − 4r) r 4 = 3ρωΓ0
20 R3
r0
(5R − 4R) R4 (5R − 4r0 ) r04
= 3ρωΓ0
−
20 R3
20 R3
1 2 4,6R 10−4 R4
R −
= 3ρωΓ0
20
20 R3
= 0,15 ρωΓ0 R2
11
m g = Lges = s LBlatt = s 0,15 ρωΓ0 R2
mg
⇒ω=
s 0,15 ρΓ0 R2
Referenzgrößen:
Fläche eines Rotorblattes:
F = b (R − r0 )
1
1
Staudruck: q(r = R) = ρ u2 (r = R) = ρ ω 2 R2
2
2
Allgemeine Definition des Auftriebsbeiwert:
dcL =
dL/dr
=
F q
ρ u(r) Γ(r)
1
b (R − r0 ) ρ ω 2 R2
2
r 2
r
r 3
−6 1−
+3 1−
2 r Γ0 3 1 −
R
R
R
=
2
b(R − r0 ) ω R
4. Die Berechnung des Auftriebs mit Kutta-Zhukovski vernachlässigt die Dreidimensionalität und die
Reibung, die in der Realität einen Widerstand erzeugen wird. Außerdem werden die Einflüsse des
Flügelrandwirbels, der induzierten Abwärtsgeschwindigkeit und des Nachlauf eines Blattes auf das
nachfolgende Blatt vernachlässigt. Dies führt dazu, dass die hier bestimmte Tragkraft des Rotors
höher ist als sie in der Realität wäre.
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