Konvergenz von Reihen

Konvergenz von Reihen
Allgemeine Konvergenzbedingung
∞
P
Sei (ak )k∈N eine Folge reeller Zahlen. Die Reihe
k=0
konvergent, falls die Folge der Partailsummen Sn :=
ak heißt
n
P
ak für
k=0
n → ∞ konvergiert.
Hauptkriterium (Beschränktheit)
Ist die Folge der Partialsummen Sn :=
n
P
ak beschränkt und
k=0
ak ≥ 0 für alle k, dann konvergiert die Reihe
∞
P
k=0
ak .
Konvergenz von Reihen
absolute Konvergenz
∞
P
Eine Reihe
ak heißt absolut konvergent, falls
∞
P
|ak |
k=0
k=0
konvergiert.
Absolut konvergente Reihen konvergieren auch im gewöhnlichen
Sinne.
notwendiges Kriterium (aber nicht hinreichend)
Konvergiert
∞
P
k=0
ak , so ist limn→∞ an = 0.
Vergleichskriterien
Majorantenkriterium
Sei (cn )n∈N eine Folge nichtnegativer reeller Zahlen, so dass die
∞
P
ck konvergiert. Gilt |ak | ≤ ck , dann konvergiert auch
Reihe
∞
P
k=0
ak .
k=0
Minorantenkriterium
Sei (cn )n∈N eine Folge nichtnegativer reeller Zahlen, so dass die
∞
∞
P
P
Reihe
ck divergiert. Gilt |ak | ≥ ck , dann divergiert auch
ak .
k=0
k=0
Gliedweise Kriterien
Quotientenkriterium
Gilt an > 0 und
lim
n→∞
dann konvergiert die Reihe
∞
P
an+1
= q,
an
ak falls q < 1 und divergiert falls
k=0
q > 1.
Wurzelkriterium
Gilt an > 0 und
lim
n→∞
dann konvergiert die Reihe
∞
P
k=0
q > 1.
√
n
an = q,
ak falls q < 1 und divergiert falls
Spezielle Reihen
Alternierende Reihen (Leibniz-Kriterium)
Sei (ak )k∈N eine monoton fallende Folge nichtnegativer reeller
∞
P
(−1)k ak
Zahlen, dann konvergiert
k=0
Harmonische Reihe
Die harmonische Reihe
∞
P
k=1
1
k
Geometrische Reihe
Die geometrische Reihe s =
divergiert.
∞
P
q k konvergiert für |q| < 1 und es
k=1
gilt s =
1
1−q .
Divergenz tritt bei |q| ≥ 1 ein.