Konstruktion der ganzen Zahlen Z aus N - stud.uni

Konstruktion der ganzen Zahlen Z aus N
von Sebastian Müller
Motivation:
Gehen wir ersteinmal davon aus, wir wüssten, was Subtraktion bedeutet. Dann kann man
eine ganze Zahl z, so wie man sie aus der Schule kennt, als Differenz zweier natürlicher Zahlen
m und n darstellen:
z =m−n
Allerdings kann man ja zu m und n beliebige Werte dazu addieren, ohne dass sich die Differenz
ändert:
(m + a) − (n + a) = m − n
Damit kann man sagen, dass zwei Differenzen (m − n) und (m0 − n0 ) gleich sind, falls gilt:
m + n0 = m 0 + n
Und damit haben wir diese “Äquivalenz” (wie sich herausstellen wird) auf Basis der bisher
definierten Operationen auf N “definiert”.
Nun könnte man sich für die Addition überlegen:
(m1 − n1 ) + (m2 − n2 ) = (m1 + m2 ) − (n1 + n2 )
sowie für die Multiplikation:
(m1 − n1 ) · (m2 − n2 ) = m1 m2 − m1 n2 − n1 m2 + n1 n2
= (m1 m2 + n1 n2 ) − (m1 n2 + n1 m2 )
Konstruktion:
Nach obiger Motivation definiert man eine Äquivalenzrelation ∼ auf N0 × N0 (also ∼⊆
(N0 × N0 )2 ):1
(m, n) ∼ m0 , n0
:⇔ m + n0 = m0 + n
Und damit definiert man (wie in der Übung besprochen):
Z := N20 /∼
=
1
{[(m, n)]∼ | m, n ∈ N}
Die 0 nehme ich aus ästhetischen Gründen dazu. Dass es sich um eine Äquivalenzrelation handelt kann man
als Übungsaufgabe machen. :)
1
Addition: Nun definiert man die Addition wie folgt: ∀[(a,b)]∼ ,[(c,d)]∼ ∈Z
[(a, b)]∼ + [(c, d)]∼ := [(a + c, b + d)]∼
Dies ist wohldefiniert, also unabhängig vom Repräsentanten:
Beweis: Seien (a, b) ∼ (a0 , b0 ) , (c, d) ∼ (c0 , d0 ) ∈ N20 beliebig. Es gilt:
(a + c) + b0 + d0
=
a + b0 + c + d0
Vor.
=
a0 + b + c0 + d
=
a0 + c0 + (b + d)
⇔ (a + c, b + d)
∼
a0 + c0 , b0 + d0
⇔ [(a + c, b + d)]∼
=
a0 + c0 , b0 + d0
∼
Damit ist die Addition wohldefiniert.
Eigenschaften der Addition:
• Assoziativität: ∀[(a,b)]∼ ,[(c,d)]∼ ,[(e,f )]∼ ∈Z
([(a, b)]∼ + [(c, d)]∼ ) + [(e, f )]∼
[((a + c) + e, (b + d) + f )]∼
=
(N,+)
=
[(a + (c + e) , b + (d + f ))]∼
=
[(a, b)]∼ + ([(c, d)]∼ + [(e, f )]∼ )
=
[(a + c, b + d)]∼
• Kommutativität: ∀[(a,b)]∼ ,[(c,d)]∼ ∈Z
[(a, b)]∼ + [(c, d)]∼
(N,+)
=
[(c + a, d + b)]∼
=
[(c, d)]∼ + [(a, b)]∼
• Neutrales Element [(0, 0)]∼ : ∀[(a,b)]∼ ∈Z
[(a, b)]∼ + [(0, 0)]∼ = [(a + 0, b + 0)]∼
= [(a, b)]∼
• Inverse Elemente: ∀[(a,b)]∼ ∈Z
[(a, b)]∼ + [(b, a)]∼ = [(a + b, b + a)]∼
= [(a + b, a + b)]∼
a+b = a+b
⇔ (0, 0) ∼ (a + b, a + b)
⇔ [(a, b)]∼ + [(b, a)]∼ = [(0, 0)]∼
Damit gibt es auf Z, im Gegensatz zu N0 , zu jedem Element ein Inverses und (Z, +) ist somit
eine abelsche Gruppe.
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Multiplikation Weiter definiert man die Multiplikation auf Z wie folgt:∀[(a,b)]∼ ,[(c,d)]∼ ∈Z
[(a, b)]∼ · [(c, d)]∼ := [(ac + bd, ad + bc)]∼
Dies ist ebenfalls wohldefiniert, also unabhängig vom Repräsentanten:
Beweis: Seien (a, b) ∼ (a0 , b0 ) , (c, d) ∼ (c0 , d0 ) ∈ N20 beliebig. Es gilt:
(ac + bd) + a0 d0 + b0 c0
=
a0 c0 + b0 d0 + (ad + bc)
⇔ (ac + bd) + a0 d0 + b0 c0 + b0 c + a0 d + bd0 + ac0
=
a0 c0 + b0 d0 + (ad + bc) + b0 c + a0 d + bd0 + ac0
⇔ a + b0 c + a0 + b d + a0 + b d0 + a + b0 c0 =
a0 c0 + b0 d0 + (ad + bc) + b0 c + a0 d + bd0 + ac0
⇐⇒ a0 + b c + a + b0 d + a + b0 d0 + a0 + b c0 =
a0 c0 + b0 d0 + (ad + bc) + b0 c + a0 d + bd0 + ac0
⇔ a0 c0 + b0 d0 + (ad + bc) + bc0 + ad0 + b0 d + a0 c
=
a0 c0 + b0 d0 + (ad + bc) + b0 c + a0 d + bd0 + ac0
⇔ bc0 + ad0 + b0 d + a0 c
=
b0 c + a0 d + bd0 + ac0
⇔ bc0 + ad0 + b0 d + a0 c + a0 c0 + b0 d0 + ad + bc
=
b0 c + a0 d + bd0 + ac0 + a0 c0 + b0 d0 + ad + bc
Vor.
⇔ a0 + b c0 + a + b0 d0 + a + b0 d + a0 + b c = b0 c + d0 + a0 c0 + d + b c + d0 + a c0 + d
Vor.
⇐⇒ a0 + b c0 + a + b0 d0 + a0 + b d + a + b0 c = b0 c + d0 + a0 c0 + d + b c0 + d + a c + d0
⇔ a0 + b
c0 + d + a + b0
c + d0
a0 + b
=
c0 + d + a + b0
c + d0
⇔0 = 0
a0 c0 + b0 d0 , a0 d0 + b0 c0
⇔ (ac + bd, ad + bc) ∼
⇔ [(ac + bd, ad + bc)]∼ =
a0 c0 + b0 d0 , a0 d0 + b0 c0
∼
Damit ist die Multiplikation wohldefiniert.
Eigenschaften der Multiplikation:
• Assoziativität: ∀[(a,b)]∼ ,[(c,d)]∼ ,[(e,f )]∼ ∈Z
([(a, b)]∼ · [(c, d)]∼ ) · [(e, f )]∼
=
(N,·)
[((ac + bd) e + (ad + bc) f, (ac + bd) f + (ad + bc) e)]∼
=
[(a (ce + df ) + b (cf + de) , a (cf + de) + b (ce + df ))]∼
=
[(a, b)]∼ · ([(c, d)]∼ · [(e, f )]∼ )
• Kommutativität: ∀[(a,b)]∼ ,[(c,d)]∼ ∈Z
[(a, b)]∼ · [(c, d)]∼
=
(N,·)
[(ac + bd, ad + bc)]∼
=
[(ca + db, da + cb)]∼
=
[(c, d)]∼ · [(a, b)]∼
• Neutrales Element [(1, 0)]∼ : ∀[(a,b)]∼ ∈Z
[(a, b)]∼ · [(1, 0)]∼ = [(a · 1 + b · 0, a · 0 + b · 1)]∼
= [(a, b)]∼
Damit ist (Z, ·) ein abelscher Monoid.
Damit (Z, +, ·) ein Ring wird fehlt nur noch das Distributivgesetz: ∀[(a,b)]∼ ,[(c,d)]∼ ,[(e,f )]∼ ∈Z
[(a, b)]∼ · ([(c, d)]∼ + [(e, f )]∼ ) = [(a, b)]∼ · [(c + e, d + f )]∼
= [(a (c + e) + b (d + f ) , a (d + f ) + b (c + e))]∼
= [((ac + bd) + (ae + bf ) , (ad + bc) + (af + be))]∼
= [(ac + bd, ad + bc)]∼ + [(ae + bf, af + be)]∼
= [(a, b)]∼ · [(c, d)]∼ + [(a, b)]∼ · [(e, f )]∼
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Zu guter Letzt bettet man noch N in Z ein2 :
N ,→ Z
n 7→ [(n, 0)]∼
Voila!
Z ist der kleinste Ring (bis auf Isomorphie) der N enthält. Einfacher Weise schreibt man Z
wie gewohnt:
Z = N ∪ {0} ∪ −N
= {. . . , −2, −1, 0, 1, 2, . . .}
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Man kann einfach zeigen, dass die sich die Rechengesetze übertragen.
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