Elementargeometrie - Institut für Mathematik

Institut für Mathematik
Humboldt-Universität zu Berlin
Prof. Thomas Friedrich
Sommersemester 20004
Blatt 4
Abgabe 12.05.2004
Elementargeometrie
1. Das Dreieck mit den Seitenlängen a, b, c sei gegeben und R bezeichne den Radius des
Umkreises, r den Radius des Inkreises. Beweisen Sie folgende Formeln:
p
(a + b + c)(−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c)
r =
.
2 (a + b + c)
abc
R = p
.
(a + b + c)(−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c)
1p
(a + b + c)(−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c) .
Heron-Formel: Fläche =
4
2. Beweisen Sie unter Verwendung des Satzes von Ceva, dass die Ecktransversalen nach den
Berührungspunkten des Inkreises mit dem Dreieck einander in einem Punkt schneiden.
3. Ankreise
Beweisen Sie, dass die Halbierende eines Innenwinkels und die Halbierenden der beiden
ihm nicht anliegenden Außenwinkel des Dreiecks sich in einem Punkt schneiden. Dieser
Punkt ist der Mittelpunkt eines Kreises, der eine Dreiecksseite und die Verlängerungen
der beiden anderen Dreiecksseiten berührt. Dieser 3 Kreise heißen Ankreise des Dreiecks.
4. Sei ra der Radius desjenigen Ankreises, der die Dreiecksseite der Länge a berührt. Beweisen Sie die Formel
p
1
(a + b + c)(−a + b + c)(a − b + c)(a + b − c) .
ra =
2 (b + c − a)
5. Nagelscher Punkt
Beweisen Sie unter Benutzung des Satzes von Ceva, dass die Ecktransversalen im Dreieck,
die nach den Berührungspunkten der Ankreise mit den Dreiecksseiten gezogen werden,
einander in einem Punkt schneiden.
6. Beweisen Sie, dass der Nagelsche Punkt, der Mittelpunkt des dem Dreieck eingeschrieben Kreises sowie der Schwerpunkt des Dreiecks auf einer Geraden liegen. Das Teilungsverhältnis dieser drei Punkte ist 1 : 2.
7. Hjelmslevsche Mittellinie - 1907
Die Mittelsenkrechte einer Dreiecksseite steht auf der Verbindungsgeraden der Mittelpunkte der beiden anderen Dreiecksseiten senkrecht.
8. Beweisen Sie die Sätze über den Schnittpunkt der Höhen, der Mittelsenkrechten, der
Winkelhalbierenden und der Seitenhalbierenden mit den Methoden der analytischen Geometrie.
Hinweis: Donath, Seite 75-81.
9. Beweisen Sie die Sätze über den Schnittpunkt der Höhen, der Mittelsenkrechten, der
Winkelhalbierenden und der Seitenhalbierenden mit den Methoden der Vektorrechnung.
Hinweis: Donath, Seite 84-88.
10. Goldener Schnitt und regelmäßige Fünfecke
Die Diagonale und die Seite eines regelmäßigen Fünfecks stehen zueinander im Verhältnis
des goldenen Schnitts.
1