Versuch 1: Gitterherstellung und Polarisation

Versuch 1: Gitterherstellung und Polarisation
Bei diesem Versuch wollen wir untersuchen wie man durch Überlagerung von zwei ebenen Wellen Gttterstrukturen erzeugen kann. Im zweiten Teil wird die Sichtbarkeit dieser Strukturen in Abhänigkeit von der Polarisation betrachtet.
Aufbau:
Abbildung 1: Versuchsaufbau
Abbildung 2: Versuchsaufbau Foto
Gitter / Polarisation
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Das Licht einer Laserdiode (λ=650 nm) wird mit einer Linse (Achromat) kollimiert. Dabei entsteht eine ebene Welle. Diese ebene Welle trifft auf einen sog. Fresnelspiegel (Abbildung 3). Der Fresnsnelspiegel besteht aus einem feststehenden (Spiegel 1) und einem, um die vertikale Achse drehbaren Spiegel (Spiegel 2).
Abbildung 3: Fresnelspiegel
Mit Hilfe des Fresnelspiegels können die von den Spiegeln reflektierte Wellen so eingestellt werden, dass sie sich im Beobachtungsgebiet überlappen (Abbildung 1). Bei richtiger Justierung kann man in dem Überlappungsgebiet der beiden Teilwellen Interferenzstreifen (Gitter) beobachteten (siehe Abb. 4). Abbildung 4:Gitter
Die Gitterkonstante des Gitters ist so klein, dass die Streifen nur mit Hilfe eines Mikroskops beobachtet werden können. Unter der Gitterkonstante g versteht man den Abstand von einem dunklen zum nächsten dunklen Streifen, bzw von einem hellen bis zum nächsten Gitter / Polarisation
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hellen Streifen. Die Entstehung des Gitters kann mit Hilfe der Zweistrahlinterferenz (siehe Abschnitt Zweistrahlinterferenz) erklärt werden. Die Formel für die Zweistrahlinterferenz lautet:
I ges= I 1  I 22  I 1 I 2 cos 
=k1 r1− k2 r2
mit Wir wollen jetzt den Fall betrachten, dass sich zwei ebene Wellen in der X­ Y Ebene unter einem Winkel zur X­Achse ausbreiten (siehe Abbildung 5).
Dann gilt:
 
 
cos 
2

k 1=
sin 

0
cos 
2
k2=
sin 

0
Da wir das Gitter in der Y­Ebene betrachten wollen gilt:
Abbildung 5: Beugung

0
r1 =r2= y
0
Die Phasendifferenz ergibt sich dann zu :
= k1 r1− k2 r2
[       ]
cos  0
cos  0
2
=
sin  y − sin  y

0
0
0
0
=
2
 y sin − y sin  

Gitter / Polarisation
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Für einen Periode muss =2  sein, hieraus folgt:
2
y  sin −sin  


⇒ y=
sin −sin 
2 =
Dies ist die Periode des durch Interferenz entstehenden Gitters. Meistens benutzt man als Formelzeichen für die Periode oder Gitterkonstante das „g“.
In folgender Tabelle sind einige Spezialfälle (siehe Abbildung 5) aufgelistet. Winkel
 ,
Gitter
g=
beliebig

sin −sin 
=−
g=
=0

2sin 
g=
=−
=−

g=

2sin
2

sin 
Zweistrahlinterferenz
4,5
g
4
3,5
Intens ität
3
2,5
2
1,5
1
0,5
0
0
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
delta (rad)
Abbildung 6: Intensität Gitter
Aufgabe 1: Kalibrieren Sie das Mikroskop mit Hilfe des Objektmaßstabes (siehe Anlage). Bestimmen Sie mit dem Mikroskop die Gitterkonstante g.
Bestimmen Sie den Winkel α aus der Geometrie des Aufbaus. Berechnen Sie daraus die Gitterkonstante.
Gitter / Polarisation
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Vergleichen Sie diese beiden Gitterkonstanten.
Wiederholen Sie die Messung mit geändertem Winkel.
Polarisation:
Bei Licht handelt es sich um eine transversale elektromagnetische Welle. Die   zeitlich nach Größe Transversalität schließt nicht aus, dass der Feldstärkevektor  E
und Richtung, aber immer nur senkrecht zur Ausbreitungsrichtung variiert. Man muss daher beim Licht den sogenannten Polarisationzustand angeben.   in der Richtung zeitlich konstant ist; Mann nennt Licht linear polarisiert, wenn  E
  im zeitlichen Mittel in jeder Richtung gleich groß ist, aber alle unpolarisiert, wenn  E
Richtungen gleich häufig durchläuft;   mit konstanter Winkelgeschwindigkeit umläuft und dabei zirkular polarisiert, wenn  E
den Betrag nicht ändert;
  eine Ellipse beschreibt. elliptisch polarisiert, wenn  E
Mathematisch kann man den Polarisationszustand des Lichtes wie folgt beschreiben:
Im Weiteren breite sich das Licht in Richtung der Z­Achse aus. Dann lässt sich die Feldstärke in der X­Y Ebene durch die jeweiligen Komponenten beschreiben.
i  k r  t −
E x = Ex0 e
i  k r  t−
E y = Ey0 e
1
1
1
1
Je nachdem wie groß die einzelnen Feldstärken und die Phasenwinkel sind, lässt sich damit der Polarisationszustand des Lichtes beschreiben.
In dem Versuch ist das Laserlicht senkrecht zur Tischebene polarisiert. An der Position 1 im oben beschriebenen Aufbau wird ein geteilter Polfilter eingesetzt. (Abbildung 7)
Die Durchlassrichtungen stehen unter 45° zur Tischebene. Der Polfilter muss so eingesetzt werden, dass die Trennlinie genau zwischen die beiden Spiegel des Fresnelspiegels fällt. Damit interferieren jetzt im Beobachtungsgebiet zwei ebene Wellen, deren Polarisationsrichtungen einen Winkel von 90° (+45° und ­45°) bilden. Mit dem Mikroskop können im Überlappungsgebiet keine Streifen beobachtet werden. Fügt man an Position 3 einen Polarisationsfilter (Analysator) (Abbildung 8) ein, dann können bei bestimmten Stellungen des Analysators Streifen beobachtet werden. Beim Drehen des Analysators verschwinden die Streifen bei bestimmten Drehwinkeln.
Gitter / Polarisation
Abbildung 7 geteilter Polfilter
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Aufgabe 2: Beobachten Sie das oben beschriebene Phänomen und erklären sie es anschaulich. Skizzieren Sie die verschiedenen Polarisationszustände innerhalb einer Gitterperiode.
An der Position 2 (siehe Abbildung 1) wird jetzt ein λ/4 Blatt (Abbildung 6) eingefügt. Die Achsen des λ/4 Blattes müssen senkrecht bzw. waagerecht zur Tischebene stehen. Im Überlappungsgebiet können ohne Analysator wieder keine Streifen beobachtet werden. Wird der Analysator eingesetzt, dann werden die Streifen wieder sichtbar. Diese Streifen sind immer zu sehen, unabhängig von der Orientierung des Analysators.
Aufgabe 3: Beobachten Sie das oben beschriebene Phänomen und erklären sie es anschaulich. Skizzieren Sie die verschiedenen Polarisationszustände innerhalb einer Gitterperiode.
Abbildung 8: λ/4 Blatt / Polfilter
Aufgabe 4: Bestimmen Sie die Durchlassrichtung eines Polarisators ohne weitere optische Hilfsmittel. (Tipp: Brewster Winkel)
Mathematisch können diese Zusammenhänge mit Hilfe der Jones Vektoren bzw. Matrizen beschrieben werden. Die genauen Zusammenhänge können z.B. in dem Buch „Optik für Ingenieure“ Pedrotti Seite 404 ff. nachgelesen werden.
Die Jones Vektoren beschreiben den Polarisationszustand des Lichtes. Gitter / Polarisation
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Beispiele für verschiedene Jones Vektoren:
lin. polarisiert
zirkular pol rechtsdrehen
 
cos 
J1=
sin 
 : Winkel des E−Vektors
zur X −Achse
zirkular pol linksdrehen
 
1 1
J3 =
 2 −i

1 1
J2=
2 i
Mit Hilfe der Jones Matrizen werden die Eigenschaften von Polarisatoren u. ä. beschrieben.
Beispiele für verschiedene lineare Polarisatoren:
Transmissionsachse Transmissionsachse Transmissionsachse Transmissionsachse horizontal
vertkal
45°zur Horizontalen ­45°zur Horizontalen
 
1 0
JM1 =
0 0
 
0 0
JM2 =
0 1
 

1 1 1
JM3 =
2 1 1
1 1 −1
JM4 =
2 −1 1

Beispiele für verschiedene Phasenverzögerer:
Viertelwellelängenplatte schnelle Achse Viertelwellelängenplatte schnelle Achse vertikal
horizontal
 

1 0
JM5 =
0 i
1 0
JM6 =
0 −i

Um den Einfluss eines unter 45° stehenden Polfilters auf eine senkrecht polarisierte Welle zu berechnen (Aufgabe 2) muss man die Jones Matrix mit dem entsprechenden Vektor multiplizieren. In diesem Fall lautet die Gleichung:
 

1 1 1 1
1 1
JM3∗ J1 =
∗
=
2 1 1 0
2 1
1
.
2
Überlagert man eine rechts­ und eine linkszirkulare Welle, dann kann der resultierende Polarisationszustand durch die Addition der beiden Jonesvektoren berechnet werden.
Dies entspricht einem linearen Polarisationszuzstand von +45° mit der Amplitude Gitter / Polarisation
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1
J2  J3 =
2
1
J2 J3 =
2
1
J2 J3=
2
  
 

1 1
1

i  2 −i
11
i−i
2
0
Dieses entspricht einer vertikal polarisierter Welle mit der Amplitude  2
.
Aufgabe 5: Berechnen Sie mit Hilfe dieses Formalismus die unterschiedlichen Polarisationszustände des Lichtes aus Aufgabe 2 und Aufgabe 3.
Gitter / Polarisation
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