Aufgabensammlung zum RCL "Millikan
Werbung
Aufgabensammlung zum RCL "Millikan-Versuch" S. Gröber Technische Universität Kaiserslautern Januar 2007 Inhaltsverzeichnis 0. Anregungen zum Unterrichtseinsatz und Versuchsdaten 3 I. Aufgaben zur Theorie 5 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. Stokes´sche Reibungskraft Gequantelte Größen Vorarbeiten zum Millikan-Versuch Größenberechnungen im Millikan-Versuch Modellexperiment zum Millikan-Versuch Versuchsvarianten des Millikan-Versuchs Öltröpfchenwahl Beschleunigungsphase der Öltröpfchen Cunningham-Korrektur R. A. Millikan 5 5 5 6 6 6 7 8 8 9 II. Aufgaben zum Versuchsaufbau 10 1. 2. 3. 4. 5. Versuchsaufbau RCL "Millikan-Versuch" Beobachtung der Öltröpfchen Erzeugung der Öltröpfchen Steuerung des elektrischen Feldes im Kondensator Millikans originaler Versuchsaufbau 10 10 11 11 12 III. Aufgaben zur Versuchsdurchführung und Versuchsauswertung 13 1. 2. 13 13 Vorbereitung der Versuchsdurchführung Auswertung der Messdaten IV. Lösungen zu I 14 - 23 V. Lösungen zu II 24 - 27 VI. Lösungen zu III 28 VII. Literatur 29 2 0. Anregungen zum Unterrichtseinsatz und Versuchsdaten 1. Anregungen zum Unterrichtseinsatz Aufgaben übernehmen im Unterricht vielfältige Funktionen und verfolgen ein breites Spektrum an Lernzielen. Die in der Aufgabensammlung nach dem klassischen Schema Theorie (I.) - Versuchsaufbau (II.) - Versuchsdurchführung und Versuchsauswertung (III.) eingeteilten Aufgaben liefern dazu eine inhaltliche Grundlage. In der Tabelle sind unter dem Aufgabenthema die Lerninhalte für einen schnellen und konkreten Überblick der Aufgaben angegeben. Unter „Unterrichtseinsatz“ sind Vorschläge zur Verwendung der Aufgaben im Unterricht zu finden: Nr. Aufgabenthema I.1 Stokes´sche Reibungskraft I.2 Gequantelte Größen I.3 Vorarbeiten zum Millikan-Versuch Lerninhalte Unterrichtseinsatz Gleichförmige Bewegung unter dem Einfluss der Stokes´schen Reibungskraft Vorbereitung eines eigenständigeren Arbeitens mit dem Millikan-Versuch Einführung Stokes´sche Reibungskraft Wiederholung Bewegung mit Reibung Bilden und Überprüfen von Hypothesen Unterscheidung zwischen gequantelten und kontinuierlichen Größen Einführung des Begriffs Quantelung Vorbereitung eines eigenständigeren Arbeitens mit dem Millikan-Versuch Problematik der Existenz und des Nach Schülerreferat oder Lehrervortrag weises der Elementarladung Lernstation eines Lernzirkels Zeitliche Verortung des Millikan-Versuchs I.4 Größenberechnungen im Millikan-Versuch Mathematisch-physikalische Zusammenhänge zwischen den Größen im MillikanVersuch Berechnung mikroskopisch kleiner Größen I.5 Modellexperiment zum Millikan-Versuch Bilden von Analogien zwischen zwei Experimenten Grenzen von Analogien Überprüfung des qualitativen Verständnisses des Millikan-Versuchs I.6 Versuchsvarianten des Millikan-Versuchs Umgang mit Gleichungssystem im physikalischen Kontext Mathematische Umformungen Differenzierung der Gruppe nach mathematischen Fertigkeiten Rechenwettbewerb zwischen zwei Kurshälften Öltröpfchenwahl Abhängigkeit der Messergebnisse von den ausgewählten Öltröpfchen Unterscheidung zwischen statistischen und analytischen Zusammenhängen Auswertung der Millikan-Daten unter einem neuem Gesichtspunkt Lehrergelenkter Unterricht zum Theoretisieren in der Physik I.7 I.8 Abschätzen einer Beschleunigung bei nicht konstanten Kräften Beschleunigungsphase der Öltröpfchen Exakte Berechnung mit Differentialgleichung Übung im Anschluss an die Theorie Lernstation eines Lernzirkels Aufgabe zur Anwenden gelernter Inhalte in einem neuem Kontext I.9 CunninghamKorrektur Mittlere freie Weglänge und Viskosität von Gasen Gültigkeit der Cunningham-Korrektur Grenzwert von Funktionen Eigenständiges Aneignen neuer Lerninhalte mit entsprechenden schülergerechten Lernmaterialien I.10 R. A. Millikan Millikan als Wissenschaftler, Lehrender und Privatmann Schülerreferat oder Lehrervortrag Lernstation eines Lernzirkels II.1 Versuchsaufbau Bezeichnung und Funktion von VerRCL "Millikan-Versuch" suchsbestandteilen 3 Als Aufgabe bei der ersten Verwendung des RCLs II.2 Beobachtung von Öltröpfchen II.3 Erzeugung von Öltröpfchen Statischer und dynamischer Druck in Flüssigkeiten, hydrodynamisches Paradoxon Bernoulli-Gleichung Verdunstungsrate von Flüssigkeiten Lehrervortrag mit Experiment zum hydrodynamischen Paradoxon II.4 Erzeugung und Steuerung des elektrischen Feldes beim RCL Berechnung der elektrischen Feldstärke Auf- und Entladen eines Kondensators Aufgabe zur Anwendung gelernter Inhalte in einem neuem Kontext II.5 2. Unterschied zwischen Hellfeld- und Dunkelfeldbeleuchtung Unterschied zwischen Rayleigh- und MieStreuung Themenübergreifendes Arbeiten Streckenmessung mit Okular- und Objek Internetrecherche mit Webquests in tivmikrometer Gruppen Strahlengang von Mikroskop und Teleobjektiv Berechnung der Datenrate eines digitalen Videos Unterschiede zwischen Schulversuch und Originalversuch von Millikan Millikan´s originaler Ver Themenübergreifendes Arbeiten Schaltung zum Auf- und Entladen eines suchsaufbau Kondensators III.1 Vorbereitung der Messungen Anlegen und Testen einer Messwerttabel Hausaufgabe zur Vorbereitung der Verle in Excel suchsdurchführung Beschreibung der Versuchsdurchführung Überprüfung des Theorieverständnisses Erklärung für steigende und fallende Ölzum Versuch tröpfchen III.2 Auswertung der Messdaten Messwertdarstellung als Histogramm und Punktdiagramm Fehlerrechnung für Ladung nach Fehlerfortpflanzungsgesetz Hausaufgabe zur Vorbereitung der Versuchsauswertung Versuchsdaten Variablen Masse eines Öltröpfchens Radius eines Öltröpfchens Stokes´sche Reibungskraft Gewichtskraft Elektrische Kraft Auftriebskraft Kondensatorspannung Steigspannung Fallspannung Schwebespannung Elektrische Feldstärke Steigzeit Fallzeit Steiggeschwindigkeit Fallgeschwindigkeit Ladung eines Öltröpfchens Korrigierte Viskosität eines Öltröpfchens mÖl r FR FG FE FA U US UF USch E tS tF vS vF Q ηkorr,L Konstanten Dichte eines Öltröpfchens ρÖl = 1,03 g/cm3 Abstand der Kondensatorplatten d = 6 mm Dichte von Luft ρL = 1,3 kg/m3 Viskosität von Luft ηL = 1,81·10-5 Ns/m2 Elementarladung e = 1,6·10-19 C Duchmesser der Kondensatorplatten D = 8 cm Strecke eines Skalenteils im Mikroskop 1 unit ≡ 120 μm Cunningham-Konstante A = 0,864 4 I. Aufgaben zur Theorie 1. Stokes´sche Reibungskraft Das Video (Download auf der RCL-Webseite, Material, 2.) zeigt eine in Sonnenblumenöl (Dichte ρÖl = 0,922 g/cm3, Zähigkeit ηÖl = 0,09 Ns/m2) fallende Glaskugel (ρGlas= 2,23 g/cm3, r = 2 mm): a) Zeichne qualitativ ein Stroboskopbild der Glaskugelbewegung mit den wirkenden Kräften: Welche Kräfte sind während der Bewegung konstant, welche veränderlich? Erkläre, warum die Glaskugel sich kurze Zeit nach dem Loslassen mit konstanter Geschwindigkeit bewegt. b) Untersuche die Bewegung der Glaskugel mit einem Videoanalyseprogramm. Zeige, dass die Bewegung der Glaskugel unter Einfluss der Stokes´schen Reibungskraft FR = 6πηrv erfolgt und berechne alle Kräfte. c) Wie müsste der Versuch modifiziert werden, um FR ~ v zu zeigen? d) Wie müsste der Versuch modifiziert werden, um FR ~ r zu zeigen? 2. Gequantelte Größen Kennzeichen einer gequantelten Größe ist, dass nur noch bestimmte, diskrete Werte angenommen werden. Beispiele aus Alltag, Technik und Mathematik sind eine Treppe (Stufenbreite 20 cm, Stufenhöhe 10 cm), ein Getränkeautomat (Cola 1 €, Wasser 0,8 €, Spezi 1,3 €) in Abb. 1 und die Zahlenfolge f(n) = 1/n (n ∈ lN): a) Gib für die Beispiele an, welche Größe gequantelt ist und stelle die Werte der Größe auf einem Zahlenstrahl dar. Abb. 1: Diskret oder kontinuierlich? b) Wie unterscheidet sich die Quantelung bei der Treppe von den anderen Beispielen? c) Wie lässt sich bei der Treppe die Quantelung aufheben? d) Nenne analog zu den drei Beispielen im einleitenden Text jeweils ein Beispiel für nicht gequantelte Größen aus Alltag, Technik und der Mathematik. 5 3. Vorarbeiten zum Millikan-Versuch Der Millikan-Versuch baut auf Vorarbeiten von Physikern seit dem 17. Jahrhundert auf: Jahr: 1903, 1881, 1909 - 1913, 1897, 1747, 1897, 1833. Physiker: H. A. Wilson, J. J. Thomson, B. Franklin, M. Faraday, R. A. Millikan, G. J. Stoney, J. S. E. Townsend. Arbeit: Verbesserte e-Bestimmung mit Wassertropfen, Elektrolysegesetze, Bestimmung der spezifischen Ladung e/me, e-Bestimmung mit Öltröpfchen, Hypothese zum atomaren Charakter der Elektrizität, e-Bestimmung mit Wassertropfen, Elektrizitätsteilchen erhalten den Namen "Elektron". a) Stelle zeitlich geordnet die Angaben in einer Tabelle zusammen. b) Führe eine der Vorarbeiten physikalisch genauer aus. 4. Größenberechnungen im Millikan-Versuch Messungen eines Öltröpfchens (ρÖl = 1,03 g/cm3) im Okularbild eines Mikroskops ergaben beim Fallen ohne elektrisches Feld und beim Steigen mit elektrischem Feld die Steigzeit tS = 17,4 s und die Fallzeit tF = 6,8 s für 5 Skt. (1 Skt. ≡ 120 μm, Plattenabstand d = 6 mm, Luftviskosität ηL = 1,81·10-5 Ns/m2, Steigspannung US = 600 V): a) Ermittle die Werte aller berechenbaren Größen. 5. Modellexperiment zum Millikan-Versuch Drei Komponenten eines Modellexperiments zum Millikan-Versuch sind Öl, Kugeln und Massestücke: a) Skizziere einen Versuchsaufbau des Modellexperiments. b) Stelle in einer Tabelle Analogien und wesentliche Unterschiede zwischen dem Millikan-Versuch und dem Modellexperiment zusammen. 6. Versuchsvarianten des Millikan-Versuchs Vom Millikan-Versuch existieren verschiedene Versuchsvarianten, die untersucht werden sollen. Auftriebskraft und Cunningham-Korrektur werden vernachlässigt: a) Welche Kräfte sind für die Bewegung des Öltröpfchens relevant? Notiere den vektoriellen Zusammenhang zwischen den Kräften bei konstantem Geschwindigkeitsbetrag und konstanter Geschwindigkeitsrichtung des Öltröpfchens. b) Zur skalaren Beschreibung der Kraft- und Bewegungsrichtungen während eines ersten Bewegungszustands des Öltröpfchens (Ladung Q < 0, Geschwindigkeit v1, Radius r, Dichte ρÖl) im Luftkondensator (Plattenabstand d, Kondensatorspannung U1, Luftzähigkeit ηL) wird eine nach oben gerichtete y-Achse verwendet: 6 Notiere die skalare Kräftegleichung der Bewegung des Öltröpfchens. Welche Bedingungen müssen U1 und v1 für Schweben, Fallen und Steigen erfüllen? c) Warum sind zur Bestimmung der Ladung Q des Öltröpfchens immer zwei Bewegungszustände des Öltröpfchens notwendig? d) In Büchern findet man drei Versuchsvarianten des Millikan-Versuchs mit Bewegungszustand1/Bewegungszustand2 des Öltröpfchens: • Schweben/Fallen ohne E-Feld • Steigen/Fallen ohne E-Feld (RCL-Variante) • Steigen mit elektrischem Feld/Fallen mit entgegengesetztem, betragsgleichen elektrischen Feld Leite für mindestens eine der Versuchsvarianten die Formel zur Bestimmung der Ladung Q des Öltröpfchens her. e) Die allgemeinste Versuchsvariante des Millikan-Versuchs ist „Steigen mit elektrischem Feld/Fallen mit elektrischem Feld“ bei unterschiedlichen elektrischen Feldstärken: Leite die Formel zur Bestimmung der elektrischen Ladung Q des Öltröpfchens her. Überprüfe die Formel an einem in d) berechneten Spezialfall. f) Wie müssen die Formeln bei Berücksichtigung der Auftriebskraft und der Cunningham-Korrektur korrigiert werden? Zeige, dass die Auftriebskraft tatsächlich vernachlässigt werden kann. g) Weshalb sind Versuchsvarianten mit dem Bewegungszustand „Schweben“ für die Bestimmung der Ladung Q des Öltröpfchens schlechter geeignet als andere Versuchsvarianten? 7. Öltröpfchenwahl Das Histogramm in Abb. 2 zeigt die absolute Häufigkeitsverteilung der Ladungen Q/e von 230 Öltröpfchen im Millikan-Versuch: a) Weshalb streuen die Einzelhäufungen um Q = k·e mit zunehmendem k immer mehr? b) c) Untersuche empirisch den Zusammenhang zwischen der Öltröpfchenladung und der Öltröpfchengeschwindigkeit unter Verwendung eigenen oder des Datenmaterials auf der RCL-Webseite, Auswertung. Abb. 2: Histogramm zur absoluten Häufigkeit der Öltröpfchen mit Ladungsverhältnis Q/e. Welchen Rat sollte man für gute Versuchsergebnisse aufgrund von a) und b) geben? 7 8. Beschleunigungsphase der Öltröpfchen Unter der Gravitations- bzw. der elektrischen Kraft (Auftriebskraft wird vernachlässigt) beschleunigen die Öltröpfchen beim Fallen ohne oder beim Steigen mit elektrischem Feld in Luft auf eine Endgeschwindigkeit vF oder vS: a) Erkläre die Existenz der Endgeschwindigkeiten vF und vS. b) Schätze die Beschleunigungszeit eines Öltröpfchens (ρÖl = 1,03 g/cm3, r = 0,8 μm, Q = 3e) beim Fallen und beim Steigen (U = 600 V, d = 6 mm, ηL = 1,81·10-5 Ns/m2) ab. Tipp: Annahme einer konstanten, beschleunigenden Kraft auf das Öltröpfchen. c) Die Geschwindigkeit v(t) eines kugelförmigen Körpers (Radius r, Dichte ρK) beim Fallen in einem Medium (Zähigkeit η) mit v(0) = v0 = 0 ist gegeben durch v(t) = g (1 − e −kt ) k k= 9η : 2r 2ρK Zeige dass v(t) Lösung der Differentialgleichung mv& (t) = mg − 6πηrv ist. Stelle v(t) mit den Werten aus b) graphisch dar. Ermittle die Beschleunigungszeit und erkläre den Unterschied zum Wert aus b). d) Muss die Beschleunigungszeit bei der Ladungsbestimmung der Öltröpfchen berücksichtigt werden? 9. Cunningham-Korrektur Beim Millikan-Versuch muss für die Bewegung eines kugelförmigen Körpers (Radius r) durch Luft (dynamische Viskosität ηL, mittlere freie Weglänge λL, CunninghamKonstante A) eine korrigierte dynamische Viskosität ηkorr,L (r) = ηL Aλ L 1+ r verwendet werden: a) Was ist die mittlere freie Weglänge λ bei Gasen? Welcher Zusammenhang besteht zur Viskosität η eines Gases? b) Welche Voraussetzung macht eine Korrektur der Zähigkeit bei der Bewegung einer Kugel (Radius r) in einem Medium der Zähigkeit η notwendig? Vergrößert oder verkleinert die Korrektur die Stokes´sche Reibungskraft? c) Stelle ηkorr/η für Luft unter Normalbedingungen (A = 0,864, η = 1,81·10-5 Ns/m2, λ = 68 nm) über dem Öltröpfchenradius graphisch dar: Welche physikalische Bedeutung hat η in der Formel? 8 10. R. A. Millikan R. A. Millikan war ein vielseitige und interessante Persönlichkeit: a) Stelle Informationen zusammen, die Millikan entweder als Wissenschaftler, als Privatmann oder als Lehrenden beschreiben. Abb. 3: Robert Andrews Millikan (1868 - 1953), aus VII.6. 9 II. Aufgaben zum Versuchsaufbau 1. Versuchsaufbau des RCLs "Millikan-Versuch" Abb. 4 zeigt nummerierte Bestandteile des RCLs "Millikan-Versuch": Abb. 4: Bilder vom Versuchsaufbau und der Webseite zur Steuerung des Experiments. a) Lege eine Tabelle mit den Spalten Nummer, Bezeichnung und Funktion an und fülle die Tabelle aus. 2. Beobachtung der Öltröpfchen a) Was ist der Unterschied zwischen Hellfeldund Dunkelfeldbeleuchtung? Welche wird beim Millikan-Versuch angewandt und warum? b) Liegt bei der Streuung des Lichts an den Öltröpfchen Rayleigh- oder Mie-Streuung vor? Gib jeweils ein typisches Beispiel für jede Streuungsart an. c) Abb. 5: Webcam und Mikroskop zur Beobachtung der Öltröpfchen im RCL. Die WebCam besitzt ein 13,5 cm Teleobjektiv, die Objektivbrennweite des Mikroskops beträgt 5 cm, die Okularbrennweite 2,5 cm (Abb. 5): Skizziere den Strahlengang zwischen einem Öltröpfchen und dem CCD-Chip der Kamera. d) Wie lassen sich Strecken im μm-Bereich mit einem Mikroskop messen? e) Im RCL wurde die Glühlampe des Herstellers (Leybold) durch eine weiße LED ersetzt. Millikan stellte zwischen Bogenlampe und Kondensator ein Gefäß mit Kupferchloridlösung: Wozu waren die Maßnahmen notwendig? f) Welche maximale Bildrate kann bei 20-facher Kompression nach dem JPEGVerfahren, einer Bildauflösung von 320 x 240 px und 24 bit Farbtiefe mit ISDN (8 kB/s) und DSL 1000 (128 kB/s) übertragen werden. 10 3. Erzeugung der Öltröpfchen Im RCL wird ein Airbrush-Kompressor eingesetzt, der über ein Magnetventil einen stoßweisen Luftstrom an den Ölzerstäuber (Abb. 6) abgibt: a) Gib einen Versuch an, der zeigt, dass in einer strömenden Flüssigkeit oder einem strömenden Gas der statische Druck um so kleiner ist, je größer die Geschwindigkeit der Flüssigkeit bzw. des Gases ist. b) Erkläre qualitativ wie ein Ölzerstäuber funktioniert. c) Welche Geschwindigkeit der Luft (ρL = 1,3 kg/m3) muss der Airbrush-Kompressor an der Glasdüse (2 cm Abstand zum Öltröpfcheneinlass des Kondensators) zum Zerstäuben des Öls (ρÖl = 1,03 g/cm3) mindestens erzeugen? d) Warum wird beim Millikan-Versuch Hochvakuumöl für die Öltröpfchen verwendet? 4. Abb. 6: Ölzerstäuber im RCL. Steuerung des elektrischen Feldes im Kondensator Abb. 7 zeigt das Modul, Abb. 8 die Schaltung zur Steuerung des elektrischen Feldes im Kondensator (Plattenabstand d = 6 mm, Plattendurchmesser D = 8 cm). Die Hochspannungsquelle (0 ≤ U ≤ 1 kV, maximaler Ausgangsstrom IA,max = 1 mA) wird vom Computer über einen DA-Wandler, Spannungsfolger und Relais gesteuert: a) In welchem Bereich variiert die elektrische Feldstärke? Abb. 7: Modul zur Erzeugung der Hochspannung mit Hochspannungsquelle und Relais. b) Wie schnell wird der Kondensator aufgeladen? c) Wozu wird das Hochspannungsrelais in der Schaltung benötigt? Abb. 8: Schaltung zur Steuerung der Hochspannungsquelle. 11 5. Millikan´s originaler Versuchsaufbau Abb. 9 zeigt eine Schnittzeichnung von Millikans Originalapparatur: a) Ordne in einer Tabelle die Zahlen aus Abb. 9, die Versuchsbestandteile (deutsch/englisch) und Funktionen einander zu. Versuchsbestandteile: Kammer, Wechselschalter, Hochspannungsquelle, Manometer, Röntgenröhre, Bogenlampe, Zerstäuber, Kondensatoröffnung, Kondensator, Isolation, Teleskop, Wasserzelle, Pumpenanschluss, Kaliumchloridzelle, Öltank, Abb. 9: Schnittzeichnung von Millikan’s originaler Apparatur (VII.5, S. 103). Schutzstreifen, Spannungsmesser, Verbindungsleiste, voltmeter, arc lamp, toggle switch, connection bar, pump connections, manometer, x-ray tube, water cell, battery, atomizer, copper chloride cell, chamber, telescope, air capacitor, oil tank, isolator. Funktionen: Messung der Kondensatorspannung, Umpolung der Kondensatorspannung, Messung des Kammerdrucks, Lichterzeugung, Veränderung der Öltröpfchenladung, Erzeugung von Öltröpfchen, Konstanthaltung der Temperatur, Anschluss für Pumpe zur Variation des Kammerdrucks, Beobachtung der Öltröpfchen, Absorption von Wärmestrahlung, Erzeugung einer Hochspannung, Absorption von Wärmestrahlung, Erzeugung eines homogenen elektrischen Felds, Aufladen und Entladen des Kondensators. b) Trage in die Tabelle für die Stellungen 1 und 2 des Versuchsbestandteils 10 (Abb. 10) und die Polverbindungen von 18 die Funktionen ein: Schalterstellung von 10 (1 oder 2) Polverbindung von 18 (z. B. 1-2) Funktion Abb. 10: Vergrößerung von 10. 12 III. Aufgaben zur Versuchsdurchführung und Versuchsauswertung 1. Vorbereitung der Versuchsdurchführung a) Lege eine Tabelle mit den Messgrößen U, tS und tF an und berechnete in der Tabelle die Größen vS, vF, r, ηkorr und Q. Überprüfe die Richtigkeit der Tabelle durch eine eigene Berechnung mit einem Beispiel. b) Schreibe eine Anleitung zur Durchführung einer Messung mit dem RCL "MillikanVersuch". c) Wie groß ist der vom Videobild erfasste Ausschnitt im Kondensator? d) Nach dem Einschalten des elektrischen Feldes sieht man Öltröpfchen steigen, manche aber auch weiterhin fallen: Woran liegt das? Wie kann zwischen den beiden Fällen beim Fallen experimentell unterschieden werden? 2. Auswertung der Messdaten a) Nenne zwei Arten der graphischen Darstellung von Messergebnissen des MillikanVersuchs: Welche Vor- bzw. Nachteile haben die Darstellungen? b) Falls die Anzahl H von k = Q/e im Histogramm H(k) getrennt voneinander liegen, kann die Elementarladung e nach n1 e= n2 ∑Q + ∑ i=1 Qj + ... 2 n1 + n2 + ... i j =1 bestimmt werden (nk ist die Anzahl der Q-Werte im Haufen k): Erläutere die Formel. Bestimme die Elementarladung aus eigenen Messungen oder aus den Daten auf der RCL-Webseite, Auswertung. c) Gegeben ist eine von n Variablen x1, …, xn abhängige Funktion f (x1, …, xn) der Form f(x1,x 2,...,xn ) = C ⋅ x1a1 ⋅ x 2a2 ⋅ ... ⋅ xnan . Wenn der Wert der der Variablen xi um Δxi schwankt, dann ist die Gesamtschwankung Δf des Funktionswertes f gegeben durch 2 2 2 ⎛ Δx ⎞ ⎛ Δx ⎞ ⎛ Δx ⎞ Δf = f(x1,x 2 ,...,xn ) ⋅ ⎜ a1 1 ⎟ + ⎜ a1 2 ⎟ + ... + ⎜ an n ⎟ . x1 ⎠ ⎝ x2 ⎠ xn ⎠ ⎝ ⎝ Im folgenden soll der absolute Fehler ΔQ und relative Gesamtfehler ΔQ/Q der eBestimmung nach der im RCL verwendeten Versuchsvariante ermittelt werden. Da die Steig- und Fallgeschwindigkeiten fast gleich groß sind, kann zur Vereinfachung in der Formel zur Q-Bestimmung vS = vF = v gesetzt werden. Da v sich aus den fehlerbehafteten Größen der Fall- bzw. Steigstrecke s und der Fall- bzw. Steigzeit t bestimmt muss v = s/t gesetzt werden: Bringe die Formel für Q auf die Form f(x1,x 2,...,x n ) = C ⋅ x1a1 ⋅ x 2a2 ⋅ ... ⋅ x nan . 13 Lege für die Ladungsbestimmung im Millikan-Versuch die nachfolgende Tabelle an und bestimme den relativen Fehler ΔQ/Q (die Δxi müssen abgeschätzt oder Datenblättern entnommen werden): Größenname und Bezeichnung Einheit xi 14 Δxi Δx i xi ⎛ Δx i ⎞ ⎜ ai ⎟ xi ⎠ ⎝ 2 IV. Lösungen zu I. 1. Stokes´sche Reibungskraft a) Zum Zeitpunkt des Loslassens der Glaskugel ist v = 0. Die Kugel beginnt zu Fallen, da die Gewichtskraft FG größer als die Auftriebskraft FA ist. Die Kugel beschleunigt solange bis durch die mit der Geschwindigkeit zunehmende Stokes´sche Reibungskraft FR ein dynamisches Kräftegleichgewicht erreicht ist. Die resultierende Kraft F auf die Kugel ist dann Null und sie bewegt sich mit konstanter Geschwindigkeit. Veränderlich ist auf dieser kurzen Strecke nur die Stokes´sche Reibungskraft FR. b) Wenn die Stokes´sche Reibungskraftformel richtig ist, dann stimmen experimentell bestimmte Sinkgeschwindigkeit vexp und theoretisch bestimmte Sinkgeschwindigkeit vtheo überein: Δs = 10 cm, Δt = 0,833 s liefert vexp = 12 cm/s. FG = FR + FA ⇒ v theo = 2r 2g(ρGlas − ρÖl ) cm . = 12,6 9ηÖl s Einsetzen der Werte liefert FR = 0,4 mN, FG = 0,733 mN und FA = 0,33 mN. c) Man muss einen Satz Kugeln mit gleichem Radius, aber unterschiedlicher Dichte des Kugelmaterials Abb. 11: Stroboskopbild einer in Öl fallenden Glaskugel. verwenden und jeweils die konstante Sinkgeschwindigkeit messen. FS kann im dynamischen Kräftegleichgewicht (v = konst.) stets nach FR = mGlas g − mÖlg = (mGlas − mÖl )g = 4 3 πr g(ρGlas − ρÖl ) 3 durch Messung des Kugelradius, der Kugelmasse bzw. -dichte und der Öldichte bestimmt werden. Die zweite Möglichkeit Öle mit unterschiedlichen Öldichten zu verwenden ist problematisch, da mit dem Öl in der Regel auch die Zähigkeit verändert wird. Außer man sucht Öle mit unterschiedlicher Dichte und gleicher Zähigkeit. d) Bei Vergrößerung von r mit konstanter Kugeldichte nimmt v quadratisch zu. Um v konstant zu halten, muss mit zunehmendem Kugelradius r die Kugeldichte verringert werden. Unter der Annahme FR ~ r gilt bei k-fachem Radius: v= 2k 2r 2 g(ρGlas − ρÖl ) 9ηÖl Um v konstant zu halten muss also z. B. bei k-fachem Radius die Differenz der Dichten k2-fach kleiner sein. 15 2. Gequantelte Größen a) Treppe: Treppenstufenhöhe über der Horizontalen: 20 cm, 40 cm, ... Getränkeautomat: Getränkekosten 0,8 €, 1,0 €, 1,3 € Folge 1/n: Funktionswerte 1; 0,5; 0,25; ... b) Die Abstände zwischen aufeinander folgenden Quantisierungsstufen sind konstant. c) Man baut eine Rampe. d) Alltag: Zeitdauer, um z. B. zu duschen; Technik: Geschwindigkeit eines Autos; Mathematik: Funktionswerte der Funktion f(x) = x mit x ∈ lR. 3. Vorarbeiten zum Millikan-Versuch a) Jahr Physiker Entwicklungsschritt 1747 B. Franklin Hypothese zum atomaren Charakter der Elektrizität 1833 M. Faraday Elektrolysegesetze 1881 G. J. Stoney Elektrizitätsteilchen erhalten den Namen "Elektron" 1897 J. J. Thomson 1897 J. S. E. Townsend 1903 H. A. Wilson Verbesserte e-Bestimmung mit Wassertropfen 1909 - 1913 R. A. Millikan e-Bestimmung mit Öltröpfchen Bestimmung der spezifischen Ladung e/me e-Bestimmung mit Wassertropfen b) Links zur Geschichte des Elektrons (Geprüft am 15.01.2010): • http://www.infogr.ch/roehren/ELEKTRON/Die%20Geschichte%20des%20Elektro ns.htm • http://www.historyofelectronics.com • http://www.aip.org/history/electron • http://www.egglescliffe.org.uk/physics/particles/electron/electron.html • http://www-istp.gsfc.nasa.gov/Education/whelect.html 4. Größenberechnungen im Millikan-Versuch a) vF = 8,82·10-5 m/s r = 0,84 μm Q = 3,14·10-19 C mÖl = 2,55·10-15 kg FE = 3,14·10-14 N FR,S = 0,923·10-14 N. vS = 3,45·10-5 m/s ηL,korr = 1,69·10-5 Ns/m2 E = 100000 V/m FG = 2,5·10-14 N FR,F = 2,3·10-14 N 16 5. Modellexperiment zum Millikan-Versuch a) Das Modellexperiment ist eine Variante der Atwoodsche Fallmaschine mit Gewichtskraft FG,m der Kugel, Gewichtskraft FG,M des Massestücks und Stokes´scher Reibungskraft FR. Im dynamischen Kräftegleichgewicht ist r r r r FG,m + FG,M + FR = 0 Die Differenz der Gewichtskräfte ist genauso groß wie die Stokes´sche Reibungskraft. b) Millikan-Versuch Modellexperiment Gewichtskraft des Öltröpfchens Gewichtskraft der Kugel Elektrische Kraft Gewichtskraft des Massestücks Medium Luft Medium Öl Auftriebskraft kann vernachlässigt Auftriebskraft nicht vernachlässigwerden bar Steigen (U > USch), Schweben (U = USch), Fallen (U < USch) Steigen (M > m), Schweben (M = m), Fallen (M < m) Reibungskraft FR: Nach CunningReibungskraft FR: Stokes´sche ham korrigierte Stokes´sche Rei- Reibungskraft für Reynoldszahl Re << 1 bungskraft Abb. 12: Modellexperiment zum Millikan-Versuch. 6. Versuchsvarianten des Millikan-Versuchs r r a) Auf das Öltröpfchen wirkt die Gewichtskraft FG , die elektrische Kraft FE und die r Stokes´sche Reibungskraft FR . Bei konstanter Geschwindigkeit ist die resultierende r r r r r r Kraft F = 0 und es gilt FG + FE + FR = 0 . Abb. 13: Kräftegleichgewicht für verschiedene Bewegungszustände des Öltröpfchens b) Abb. 13 zeigt dier Richtung der Kräfte beim Schweben, Fallen und Steigen des Öltröpfchens. Da FG immer entgegen der y-Achse zeigt, ist FG < 0. Die skalare Gleichung 17 U U 4 4 − πr 3ρÖlg − Q 1 − 6πηLrv1 = 0 ⇔ πr 3ρÖlg + Q 1 + 6πηLrv1 = 0 3 d 3 d beschreibt alle drei Bewegungszustände mit Bedingungen an U1 und v1 richtig: • Schwebt das Öltröpfchen, dann ist v1 = 0 und es muss FE > 0 sein. Dazu kann das Vorzeichen der Spannung U1 abhängig vom wählbaren Rechenzeichen vor QU1/d (Q < 0) festlegt werden 4πr 3ρÖlgd U1 4 3 πr ρÖlg + Q = 0 ⇔ U1 = USch = − > 0. 3 d 3Q Damit ist für eine elektrische Kraft in y-Richtung U1 > 0. Die Spannung USch > 0 bei der das Öltröpfchen schwebt, heißt Schwebespannung. • Steigt das Öltröpfchen, dann ist v1 > 0 und U1 > USch > 0. • Fällt das Öltröpfchen, dann ist v1 < 0 und U1 < USch. Es lassen sich drei Fälle unterscheiden: Fallen mit zur Bewegungsrichtung entgegengesetzt gerichteter elektrischer Kraft (0 < U1 < US) Fallen ohne elektrische Kraft (U1 = 0) Fallen mit in Bewegungsrichtung gerichteter elektrischer Kraft (U1 < 0). c) Der Radius r des Öltröpfchens kann nicht direkt gemessen werden. In den Gleichungen ist dann entweder der Radius r oder Radius r und Ladung Q unbekannt. Zur Ladungsbestimmung wird also ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen für zwei Unbekannte benötigt. d) Beispielhaft wird hier die Gleichung für die Versuchsvariante des RCL hergeleitet. Beim Steigen des Öltröpfchens gilt U 4 − πr 3ρÖlg − Q 1 − 6πηLrv1 = 0 . 3 d Beim Fallen des Öltröpfchens gilt 3 9η v 4 4 πr ρÖlg − πr 3ρÖlg − 6πηLrv 2 = 0 ⇔ 6πηLr = − ⇔ r2 = − L 2 . 2ρÖlg 3 3 v2 Einsetzen in die Gleichung vom Steigen liefert U1 4 πr 3ρÖlg v U 4 3 4 − πr ρÖlg − Q + v1 = 0 ⇔ πr 3ρÖlg( 1 − 1) = Q 1 3 d 3 v2 3 v2 d 9η v v U 4 9η v ⇔ − π ⋅ L 2 ⋅ − L 2 ⋅ ρÖlg( 1 − 1) = Q 1 3 2ρÖlg 2ρÖlg v2 d ⇔Q=− ηv 18πd − L 2 ⋅ (v1 − v 2 ) U1 2ρÖlg Da U1 > 0 und v2 < 0 ist Q < 0. e) Für das Steigen (Bewegungszustand 1) und Fallen (Bewegungszustand 2) gilt 18 U 4 3 πr ρÖlg + Q 1 + 6πηLrv1 = 0 3 d U 4 3 πr ρÖlg + Q 2 + 6πηLrv 2 = 0 . 3 d Subtraktion der zweiten von der ersten Gleichung ergibt Q(U1 − U2 ) Q (U1 − U2 ) + 6πηLr(v1 − v 2 ) = 0 ⇔ r = − . d 6πηL d(v1 − v 2 ) Einsetzen dieser Gleichung in die erste Gleichung für das Steigen ergibt Q3 (U1 − U2 )3 U Q(U1 − U2 ) 4 − πρÖlg +Q 1 − v1 = 0 . 3 3 3 (6πηL d) (v1 − v 2 ) d d(v1 − v 2 ) Nach Division durch Q ≠ 0, Multiplikation mit d(v1-v2) und Umformungen erhält man Q2 = ηL 3 (U2 v1 − v 2U1 ) 3π2 (6ηL )3 d2 (v1 − v 2 )2 (U2 v1 − v 2U1 ) ⇔ = − π ⋅ (v1 − v 2 ) . Q 18 d 4π(U1 − U2 )3 ρÖlg 2ρÖlg(U1 − U2 )3 • Wegen U1 > 0 und U2 < 0 ist (U1 – U2)3 > 0 • Wegen v2 < 0 und U1 > 0 ist –v2U1 > 0 • Wegen v1 > 0 und v2 < 0 ist v1 – v2 > 0 • Wegen v1 > 0 ist U2v1 > 0 für 0 < U2 < USch und U2v1 < 0 für U2 < 0 Daher ist der Radikant positiv und beim Wurzelziehen wurde das negative Vorzeichen wegen Q < 0 gewählt. Wir überprüfen die Formel an der einfachsten Versuchsvariante Schweben/Fallen ohne elektrisches Feld. Für Schweben ist v1 = 0 und U1 = USch, für Fallen ist U2 = 0. Damit erhält man Q= 18πdηL v 2 USch −ηL v 2 . 2ρÖlg Wegen v2 < 0 ist der Radikant positiv und Q < 0. Die Formel stimmt mit der unter d) ermittelten oder in Büchern zu findenden überein. f) Da ρL fast um den Faktor 1000 kleiner als ρÖl ist gilt: FG − FA = 4 3 4 πr g(ρÖl − ρL ) ≈ πr 3 gρÖl = FG . 3 3 Es muss ρÖl durch ρÖl - ρL ersetzt werden, da im Kraftansatz anstatt von FG die effektive Gewichtskraft FG - FA verwendet werden muss. ηL muss durch ηkorr,L ersetzt werden, da im Kraftansatz in FR jetzt ηkorr,L stehen muss. g) Geringe Empfindlichkeit von v gegenüber Spannungsänderungen: Für typische Werte Q = 2e, r = 1 μm erhält man für den quasistationären Zustand des Öltröpfchens: QU 4 3 − πr ρÖlg 4 3 QU d 3 πr ρÖlg = − 6πηLrv ⇔ v(U) = 3 d 6πηLr μm dv Q = = 0,156 s dU 6πηLrd V 19 Eine Spannungsänderung von 10 V bewirkt eine Geschwindigkeitsänderung von ca. 1,5 μm/s. Das Öltröpfchen braucht dann für die Bewegung um 0,1 Skt = 0,1·120 μm = 12 μm ganze 8 s. Der Schwebezustand ist also schwer festzustellen. Brownsche Molekularbewegung: Aufgrund der thermischen Bewegung der Luftmoleküle führt das schwebende Öltröpfchen (kompensierte Gewichtskraft) durch die Stöße der Luftmoleküle eine Zick-Zack-Bewegung aus. Bezeichnet man mit Δx den auf eine beliebige Richtung projizierten Abstand s zwischen zwei Richtungsänderungen, dann gilt für den Mittelwert der quadrierten Projektionen (VII.1): Δx 2 = kTτ 3πηr Für eine Temperatur T = 300 K, eine Beobachtungszeit τ = 8 s zwischen zwei Positionen des Teilchens, der Viskosität ηL = 1,81·10-5 Ns/m2 und dem Öltröpfchenradius r = 0,8 μm erhält man Δx 2 = 15 μm . Das Öltröpfchen hat sich also um ein Vielfaches seiner Größe bewegt. 7. Öltröpfchenwahl a) Öltröpfchen mit größerer Ladung bewegen sich schneller. Dadurch nimmt der Fehler in der Geschwindigkeitsund damit in der Ladungsbestimmung zu. Fallgeschwindigkeit vF in 10-5 m/s SteiggeschwinLadung digkeit Q in 10-19 C -5 vS in 10 m/s Nr. Radius r in 10-7 m 1 7,86 7,66 5,30 3,05 2 5,34 3,53 7,16 1,60 3 8,44 8,83 3,50 3,14 4 8,51 8,97 3,26 3,15 5 10,6 13,9 20,1 11,19 6,92 7,83 3,28 6,47 8,12 3,12 4,86 12,8 3,19 11,6 20,1 9,42 6,06 9,07 3,11 6 7,47 b) Das Laden durch Reibung ist ein statis7 7,23 tischer Prozess ver8 6,26 gleichbar mit der La9 9,68 dungstrennung von 10 6,99 Teilchen in Wolken. Daher liegt kein einfacher kausaler Zusammenhang vor. Nach den empirischen Daten werden Öltröpfchen erst ab einem Mindestradius von ca. 0,45 μm negativ geladen und es lässt sich eine Zunahme der Ladung mit dem Radius vermuten (für eine sicherere Aussage braucht man mehr Öltröpfchen). Die mit dem Öltröpfchenradius zunehmende Kapazität CKugel = 4πε0r stützt die Vermutung einer mit r zunehmenden Ladung. 12 10 8 6 4 2 0 0 In einem einfachen linearen Modell nach Abb. 14 gilt für den Betrag der ne20 2 4 6 8 10 12 Öltröpfchenradius r / 10-7 m Abb. 14: Zusammenhang zwischen Ladung und Radius von Öltröpfchen. gativen Öltröpfchenladung und r > 0,45 μm: Q(r) = 1,823 ⋅ 10 −12 12 10 C (r − 0,45 μm) . m 8 6 Es muss zwischen Steigen und Fallen unterschieden werden. Die Fallgeschwindigkeit vF hängt im Versuch nur vom Radius ab: 4 2 0 0 2ρ g 4 3 πr ρÖlg = 6πηLrv F ⇔ vF = Öl r 2 3 9ηL 5 10 15 20 25 St eiggeschwindigkeit vs in um/s Abb. 15: Zusammenhang zwischen Ladung und Steiggeschwindigkeit von Öltröpfchen. Ein Öltröpfchen mit doppeltem Radius fällt also viermal so schnell. Da große Öltröpfchen im Mittel mehr Ladung tragen, sind die schnell fallenden auch die mit großer Ladung. Nach den empirischen Daten in Abb. 15 nimmt mit Q auch vS zu. Was ist nach dem linearen Modell zu erwarten? U 4 3 πr ρÖlg = Q S − 6πηLrv S ⇔ v S = 3 d Q US 4 3 − πr ρÖlg d 3 6πηLr Setzt man Q(r) = 1,823 ⋅ 10 −12 C m (r − 0,45 μm) ⇔ r(Q) = 5,485 ⋅ 1011 ⋅ Q + 0,45 μm m C in vS ein, dann erhält man vS(r) in Abb. 16 und vS(Q) in Abb. 17: Abb. 16: Zusammenhang zwischen Steiggeschwindigkeit und Radius von Öltröpfchen. Abb. 17: Zusammenhang zwischen Steiggeschwindigkeit und Ladung von Öltröpfchen. Da die Gewichtskraft schneller mit r wächst als die elektrische Kraft mit Q, nimmt die Steiggeschwindigkeit für r > 1 μm bzw. Q > 10 -18 C ≈ 6e wieder ab. c) Da nur wenige Öltröpfchen im Millikan-Versuch größer als 1 μm bzw. Ladungen von mehr als 6e tragen, gibt man den Rat für möglichst genaue Ladungsmessungen möglichst kleine Öltröpfchen zu verwenden. 21 8. Beschleunigungsphase der Öltröpfchen a) Siehe I.1a. b) Beim Fallen ist zum Fallbeginn die resultierende Beschleunigung aRes = g. Die Fallgeschwindigkeit des Öltröpfchens beträgt: 2ρ g μm 4 3 πr ρÖlg = 6πηrv F ⇔ v F = Öl r 2 = 0,8 3 9η s Damit ist tF = vF = 8 μs . g Beim Steigen ist zum Steigbeginn FRes = FE - FG und mit vS aus I.7b folgt: tS = c) vS = a 4 3 πr ρÖl 2r 2ρ 3 Öl = = 8,1 μs . 6πηrFRe s 9η FRe s Ableiten von v(t) und Einsetzen in die DGL liefert: 6πηrv 9ηv = g − 2 = g − kv 4 2r ρK ρK πr 3 3 g = g − k (1 − e−kt ) k & = mg − 6πηrv ⇔ v(t) & = g− mv(t) g − ( −k)e−kt k Einsetzen der Werte liefert k = 1,23·105 s-1 . tF ist nach Abb. 18 ≈ 40 μs. Die Zeit um eine 1 g Geschwindigkeit von (1 − ) ⋅ = 0,63 ⋅ v ∞ (63 e k % der Endgeschwindigkeit) beträgt 1/k = 8 μs. Die Beschleunigungszeit ist hier größer als in b), da in der Abschätzung über den Beschleunigungszeitraum eine zu große, konstante Gewichtskraft angenommen wurde. Abb. 18: Zeitliche Entwicklung der Fallgeschwindigkeit eines Öltröpfchens. d) Die Beschleunigungszeit kann gegenüber der Reaktionszeit beim Richtungswechsel des Öltröpfchens vernachlässigt werden. 9. Cunningham-Korrektur a) In einem Gas ist die Anzahl Z der Zusammenstöße, die ein Teilchen (Gasmolekül) pro Sekunde erfährt umso größer je größer die Teilchendichte n, der Teilchenradius r und die mittlere Teilchengeschwindigkeit c ist (VII.1, S. 653): Z = 4 2πnr 2 c Für typische Werte unter Normalbedingungen (n = NA/VMol, r ≈ 10-10 m und c ≈ 103 m/s) erhält man ≈ 48 Millionen Zusammenstöße/s eines Gasteilchens. Daraus lässt 22 sich ermitteln, welche mittlere freie Weglänge λ ein Teilchen ohne Zusammenstoß zurücklegt: λ= c = 210 nm Z 1 nmcλ (m = Masse eines Gasteil3 chens) mit der mittleren freien Weglänge zu. Die Zähigkeit eines Gases nimmt nach η = b) Für r in der Größenordnung von λ muss eine Korrektur vorgenommen werden. Für λ = 0,068 μm und Öltröpfchenradien zwischen 0,1 μm und 1 μm ist diese Bedingung erfüllt. c) Aλ M > 0 ⇒ ηkorr < η . Abb. 19 zeigt r ηkorr/η in Abhängigkeit vom Radius r. Die Stokes´sche Reibungskraft wird kleiner, da die Öltröpfchen quasi zwischen den Luftmolekülen eher durchfallen können. η ist der Grenzwert der Viskosität für eine unendlich große Kugel. Bemerkung: Bei der Berechnung von ηkorr wird ein Fehler gemacht, da in r Abb. 19: Korrekturfaktor der Viskosität in Abdie unkorrigierte Viskosität η verwenhängigkeit vom Radius des Öltröpfchens. det wird. Die exakte Lösung führt auf ein Gleichungssystem mit den Unbekannten r und ηkorr. Die Lösung des Gleichungssystems auf eine quadratische Gleichung für r. Der Fehler ist aber so klein, dass er hier nicht berücksichtigt werden muss. 10. R. A. Millikan a) Links zum Leben Millikan´s: • http://nobelprize.org/nobel_prizes/physics/laureates/1923/millikan-bio.html • http://millikan.kegli.net/Millikan.htm • http://scienzapertutti.lnf.infn.it/biografie/millikan-bio_fra.html 23 V. Lösungen zu II. 1. Versuchsaufbau des RCL "Millikan-Versuch" a) 2. Nr. Bezeichnung Funktion 1 Mikroskop Vergrößerung der Öltröpfchen 2 Kondensator Erzeugung eines elektrischen Feldes 3 Schrittmotor Scharfstellen der Öltröpfchen 4 Ölzerstäuber Erzeugung der Öltröpfchen 5 Lichtquelle Seitliches Licht für Dunkelfeldbeleuchtung der Öltröpfchen 6 Button Regulierung der elektrischen Kraft 7 Button Öltröpfchen einblasen in den Kondensator 8 Buttons Veränderung der Gegenstandsebene im Kondensator 9 Buttons Horizontale Verschiebung des Bildausschnitts 10 Button Ein- und Ausschalten des elektrischen Feldes 11 Mikroskopbild Vergrößerte Darstellung der Öltröpfchen 12 Öltröpfchen Messobjekt 13 Okularmikrometer Streckenmessung im μm-Bereich 14 Steigzeitmesser Messung der Steigzeit 15 Fallzeitmesser Messung der Fallzeit Beobachtung der Öltröpfchen a) Bei Hellfeldbeleuchtung trifft das Licht des durchleuchteten Objekts direkt in das Objektiv des Mikroskops ein. Bei Dunkelfeldbeleuchtung tritt nur das am Objekt gestreute Licht in das Objektiv des Mikroskops ein. Beim Millikan-Versuch wird die Dunkelfeldbeleuchtung angewandt, weil die Öltröpfchen ansonsten nur einen sehr geringen Kontrast zum Hintergrund aufweisen. Sie erscheinen in Dunkelfeldbeleuchtung dann als helle Punkte vor dem dunkel gestalteten Hintergrund. b) Rayleigh-Streuung liegt vor, wenn die Abmessung d des Streuobjektes kleiner wie die Lichtwellenlänge λ ist (z. B. Lichtstreuung an Gasmolekülen, erklärt blaue Farbe des Himmels, Morgen- und Abendrot). Mie-Streuung liegt vor, wenn die Abmessung d des Streuobjektes in der Größenordnung der Wellenlänge und darüber liegt (z. B. Streuung an Aerosolen, Nebel (0,01 mm – 0,1 mm) oder Regentropfen (0,1 mm – 5 mm)). Beim Millikan-Versuch ist der Öltröpfchendurchmesser (0,1 μm < d < 1 μm) in der Größenordnung der Wellenlänge (0,4 μm < λ < 0,8 μm), so dass weder eindeutig Mie- noch Rayleigh-Streuung vorliegt. c) Strahlengang eines Mikroskops mit Strahlengang eines Teleobjektivs (Funktionsprinzip). d) Man verwendet zur Längenmessung in der Mikroskopie ein Okularmikrometer, 24 Abb. 20: Okularmikrometer. das mit einem Objektivmikrometer wie folgt geeicht wird (Abb. 20): • Okularmikrometer (durchsichtige Platte mit Stricheinteilung, unten im Bild) in die Bildebene des Objektivs bzw. Gegenstandsebene des Okulars einlegen und mit Okularlinse scharf stellen. • Objektmikrometer (Objektträger mit Stricheinteilung von 1 mm in 100 Teile, 1 Skt = 10 μm; obere Skala in Abb. 20, da stärker vergrößert) auf den Objekttisch legen, mit Grob- und Feintrieb scharf stellen und durch Drehen parallel zum Okularmikrometer ausrichten. • Skalenteile von Objekt- und Okularmikrometer auf einer möglichst großen gemeinsamen Strecke s auszählen. In Abb. 19 entsprechen m = 20 Skt. des Objektmikrometers n = 90 Skt. des Okularmikrometers. • Länge x eines Skt. des Okularmikrometers: s = 20 Skt ⋅ μm 10 μm 20 μm = 90 Skt ⋅ x ⇔ x = = 2,222 Skt 9 Skt Skt e) Die Übertragung von Wärme der Lichtquelle durch Wärmestrahlung auf die Luft im Kondensator wird durch Absorption von Wärmestrahlung durch das Kupferchlorid vermieden. Folgen einer Wärmeübertragung sind Konvektionsströme in der Luft des Kondensators, die zu seitlichen Driftbewegungen des Öltröpfchens und zusätzlichen vertikalen Kräften auf das Öltröpfchen führen können. Die seitliche Driftbewegung hat Einfluss auf die senkrechte Fallbewegung der Öltröpfchen, da für reibungsbehaftete Bewegungen das Unabhängigkeitsprinzip nicht mehr gilt. Keinen Einfluss hat die Driftbewegung auf die Messung von vF bzw. vS, da nur der senkrechte Streckenanteil im Okularmikrometer gemessen wird. f) Die Datenrate beträgt: x ⋅ 320 ⋅ 240 ⋅ 3 B ⋅ 1 = y B/s 20 Für y = 8000 ist x = 0,7 Bilder/s, für y = 128000 ist x = 11,1. 3. Erzeugung der Öltröpfchen a) Die Steigrohre (Abb. 21) messen den statischen Druck p in der Flüssigkeit. Bei der größeren Fließgeschwindigkeit im engeren Querschnitt ist der statische Druck geringer, der dynamische ρv2/2 aber größer und der Gesamtdruck p0 ist konstant. Abb. 21: Statischer und dynamischer Druck in Rohren. b) Ein Zerstäuber (Abb. 22) arbeitet mit zwei Mechanismen: • Durch schnell strömende Luft wird an einer Düsenverengung nach der Bernoulli-Gleichung lokal am Ende eines Steigrohres ein Unterdruck p gegenüber dem Atmosphärendruck p0 erzeugt. Der Atmosphärendruck kann dann Flüssigkeit in das Steigrohr drücken. 25 Abb. 22: Zerstäuber. • c) Die ausströmende Flüssigkeit wird durch den turbulenten Luftstrom stark verwirbelt, so dass sie in kleine Tröpfchen zerfällt. Berechnet wird die minimale Geschwindigkeit für den Fall, dass das Öl an der Steigrohrspitze die Geschwindigkeit vÖl = 0 hat: p0 − p = ρÖlgh Der Airbrush-Kompressor beschleunigt unbewegte Luft auf die Geschwindigkeit vL an der Steigrohrspitze. Nach der Bernoulli-Gleichung gilt: p0 = p + ρL 2 vL 2 Damit ist 2ρÖlgh ρL 2 m v L = ρÖlgh ⇔ v L = = 17,6 2 ρL s d) Der Sättigungsdampfdruck (20 °C) von Hochvakuumöl (10-4 kPa) ist sehr viel kleiner wie der von Wasser (2,34 kPa). Dadurch bleibt die Öltröpfchenmasse während der Messung konstant. 4. Steuerung des elektrischen Feldes im Kondensator a) Unter der Annahme eines homogenen Feldes ist nach E = U/d die minimale Feldstärke Emin = 0 V/m und die maximale Emax = 166666 V/m. b) Die Kapazität des Plattenkondensators berechnet sich zu C = ε0 πr 2 = 7,4 pF . d Der Innenwiderstand der Spannungsquelle liegt bei Ri = 1 kV/1 mA = 1 MΩ, der Kabelwiderstand ist demgegenüber vernachlässigbar. Für das Aufladen eines Kondensators über einen Widerstand R auf die Spannung U0 gilt UC ( t) = U0 (1 − e − t / τ ) mit der von U0 unabhängigen Zeitkonstanten τ = RC = 7,4 μs (Zeit für 0,63·U0). Die Aufladezeit liegt damit weit unterhalb der Reaktionszeit des Nutzers. Der Anfangsstrom beträgt maximal U0,max/R = 1 mA. c) Das Hochspannungsrelais schließt den Kondensator beim Abschalten der Kondensatorspannung für das Fallen kurz, so dass die elektrische Kraft auf das Öltröpfchen sofort verschwindet und die Kräftebilanz im dynamischen Kräftegleichgewicht gültig ist. 26 5. Millikan´s originaler Versuchsaufbau a) Nr. Bezeichnung (engl.) Bezeichnung (dt.) Funktion 1 Atomizer Zerstäuber Erzeugung von Öltröpfchen 2 Chamber Kammer Schutzraum für Kondensator 3 Pin hole Loch im Kondensator Kondensatoreinlass für Öltröpfchen 4 Air capacitor Kondensator Erzeugung eines homogenen elektrischen Felds 5 Isolator Isolator Isolation zwischen Kondensatorplatten 6 Stripe Streifen Schutz des Kondensatorraums 7 Arc lamp Bogenlampe Lichterzeugung für Öltröpfchenbeleuchtung 8 Telescope Teleskop Vergrößerung der Öltröpfchen 9 Battery Hochspannungsquelle Erzeugung einer Hochspannung 10 Toggle switch Wechselschalter Auf- und Entladen des Kondensators 11 Watercell Wasserzelle Absorption von Wärmestrahlung 12 Copper chloride cell Kupferchloridzelle Absorption von Wärmestrahlung 13 Manometer Manometer Messung des Kammerdrucks 14 Oil tank Öltank Konstanthaltung der Temperatur 15 Pump connection Pumpenanschluss Pumpenanschluß für Kammerdruck 16 X-ray tube Röntgenröhre Erzeugung zusätzlicher Ladungen 17 Voltmeter Spannungsmesser Messung der Kondensatospannung 18 Connection bar Verbindungsleiste Umpolung der Kondensatorspannung b) Schalterstellung von 10 (1 oder 2) Polverbindung von 18 (z. B. 1-2) Funktion 1 2 2-3 Entladen (Kurzschließen) des Kondensators 2 1-2, 3-4 Aufladen des Kondensators (obere Platte -) 2 1-3, 2-4 Aufladen des Kondensators (obere Platte +) 27 VI. Lösungen zu III. 1. Vorbereitung der Versuchsdurchführung a) Siehe I.4a. b) Siehe RCL-Webseite, Aufgaben. c) Ungefähr 18 Skt x 22 Skt = 2,16 mm x 2,64 mm (1 Skt = 12·10-5 m). d) Bei fester Polung des Kondensators mit oberer positiv geladener Platte können nur negative Öltröpfchen steigen, aber sowohl negative wie positive Öltröpfchen fallen. Negative Öltröpfchen fallen bei Spannungserhöhung langsamer, positive dagegen schneller. 2. Auswertung der Messdaten a) Histogramm Punktdiagramm Absolute Häufigkeit der Messungen über der Öltröpfchenladung Öltröpfchenladung über Öltröpfchen(Versuchs)-Nummer Streuungen um Vielfache von e besser erkennbar. Insbesondere die Zunahme der Streuung mit Q Quantelung (Schichtung) besser erkennbar Darstellung ist abhängig von der Wahl der Klassen(Balken)breite Sinnvoll bereits bei wenigen Versuchsergebnissen b) Aus den k-fachen Elementarladungswerten im Haufen k werden mit der Division durch k einfache Elementarladungswerte. Von all diesen Werten wird der Mittelwert berechnet. Für die Daten von der RCL-Webseite/Auswertung erhält man e = 1,58·10-19 C. c) Nach VII.4 gilt Q = 36πd ηL 3 s3 36π − 21 − 21 −1 − 32 32 32 = g ρÖl U dt s ηL 2ρÖlgUS 2 t 3 2 Name der Größe Einheit xi Δxi Δx i xi Erdbeschleunigung g* Öldichte ρÖl Steigspannung US Plattenabstand d Zeit t Strecke s Viskosität η m/s2 kg/m3 V m s m Ns/m2 9,8094 1030 600 0,006 8 6·10-4 1,81·10-5 0,0001 0,5 10 0,0005 0,2 1,2·10-5 5·10-7 1·10-5 4,8·10-4 0,0166 0,083 0,025 0,02 0,027 Σ Σ * für Kaiserslautern 28 2 ⎛ Δx i ⎞ ⎜ ai ⎟ xi ⎠ ⎝ 2,5·10-11 5,78·10-8 2,75·10-4 6,8·10-3 1,4·10-3 9,0·10-4 1,64·10-3 0,011 0,104 Damit ist ΔQ/Q ≈ 11 % und ΔQ ≈ 0,16·10-19 C. Der Wert aus b) liegt damit innerhalb der Fehlergrenzen 1,6·10-19 C - 0,16·10-19 C und 1,6·10-19 C + 0,16·10-19 C. 29 VII. Literatur 1. Gobrecht, H. (1974): Bergmann-Schaefer, Lehrbuch der Experimentalphysik, Mechanik-Akustik-Wärme. De Gruyter, Berlin & New York. 2. Millikan, R. A. (1913): On the elementary electrical charge and the Avogadro constant, Physical Review 2 (2), S. 109-143, http://authors.library.caltech.edu/6438/01/MILpr13b.pdf, 07.01.10. 3. Millikan, R. A. (1924): The Electron – Its isolation and measurement and the determination of some of its properties. University of Chicago Press, Chicago & London. 4. Vogel, D. (1996): Die Auswertung des Millikan-Versuches. PhiS 34/3, 110-114. 5. Wilke, H.-J. (1987): Historische physikalische Versuche. Aulis, Köln, S. 101-106. 6. http://physics.hallym.ac.kr/~physics/reference/physicist/frankfurt/gif/phys/millikan.jp g, 07.01.10. 30
