Diploma thesis at the Johannes Gutenberg-University

Diplomarbeit
Entwicklung der kryogenen Nachweis-Elektronik zur
Bestimmung der axialen Frequenz des Protons
in einer Penning-Falle
Holger Kracke
Institut für Physik
Johannes Gutenberg–Universität Mainz
Mainz, 20. Juni 2007
1. Gutachter: Prof. Dr. Jochen Walz
2. Gutachter: Dr. habil. Klaus Blaum
Inhaltsverzeichnis
1 Einführung
1
2 Die
2.1
2.2
2.3
Penning-Falle
Ideale Penning-Falle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Reale Penning-Falle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Nicht-destruktive Frequenzmessung der Bewegungsmoden
2.3.1 Der Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Kühlung des Teilchens . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.1 Widerstandskühlung . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4.2 Seitenbandkühlung . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5 Das Teilchen als äquivalenter Reihenschwingkreis . . . .
3 g-Faktor Proton
3.1 Übersicht über das Proton Experiment
3.2 Bestimmung des g-Faktors . . . . . . .
3.3 Doppelfalle . . . . . . . . . . . . . . .
3.4 Ionenerzeugung . . . . . . . . . . . . .
3.5 Phasenmethode . . . . . . . . . . . . .
3.6 Pulsrohr-Kühler . . . . . . . . . . . . .
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4 Die kryogene Detektionseinheit
4.1 Der axiale Schwingkreis . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.1 Geometrie des Helix-Resonators . . . . . . . .
4.1.2 Induktivität des Helix-Resonators . . . . . . .
4.1.3 Kapazität des Helix-Resonators . . . . . . . .
4.1.4 Güte des Helix-Resonators . . . . . . . . . . .
4.1.5 Messaufbau . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.1.6 Ergebnisse zu Induktivitäten und Kapazitäten
4.1.7 Ergebnisse zu Gütemessungen . . . . . . . . .
4.1.8 Ergebnisse zu kryogenen Gütemessungen . . .
4.1.9 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Die kryogene Verstärkerstufe . . . . . . . . . . . . . .
4.2.1 Rauschen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2.2 Experimentelle Ergebnisse . . . . . . . . . . .
4.2.3 Zusammenfassung . . . . . . . . . . . . . . . .
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ii
5 Zusammenfassung und Ausblick
INHALTSVERZEICHNIS
90
Abbildungsverzeichnis
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
2.9
2.10
2.11
2.12
Hyperbolische Penning-Falle . . . . . . . . . .
Sattelpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eigenbewegungen in der Penning-Falle . . . .
Energieschema . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Zylindrische Penning-Falle . . . . . . . . . . .
Zerstörungsfreier Nachweis über Spiegelströme
Induktivität parallel zur Falle . . . . . . . . .
Parallelschwingkreis . . . . . . . . . . . . . . .
Kühlmechanismus . . . . . . . . . . . . . . . .
Ionenersatzschaltbild . . . . . . . . . . . . . .
Der Dip . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Der Peak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6
3.7
3.8
3.9
3.10
3.11
Gesamtaufbau des Proton-Experiments . . . . . . . . . .
Kryobereich im Magnetrohr . . . . . . . . . . . . . . . .
Ferromagnetischer Ring . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Potential für beide Spin-Orientierungen . . . . . . . . . .
Toroidale Analysefalle . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
B2 als Funktion des Abstands vom Analysefallenzentrum
Fallenturm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Targetstrom als Funktion der Ziehspannung . . . . . . .
Phasenentwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Phasenmethode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Pulsrohr-Kühler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
4.7
4.8
4.9
4.10
Technische Zeichnung des Resonators . . . . . . . . . . . .
Schaltplan für die kryogene axiale Elektronik . . . . . . . .
Korrekturterm der Induktivität bei mehrlagiger Wicklung .
Hin-Zurück-Wicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lagenwicklung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Messaufbau zur Charakterisierung des Resonators . . . . .
Induktivitäten mehrlagiger Spulen im Resonator . . . . . .
Eigenkapazitäten zweilagiger Spulen . . . . . . . . . . . . .
Güte bei Raumtemperatur . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Apparatur zum Wickeln der Spulen . . . . . . . . . . . . .
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iv
ABBILDUNGSVERZEICHNIS
4.11
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4.13
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4.16
4.17
4.18
4.19
4.20
4.21
4.22
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4.32
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4.34
4.35
4.36
4.37
4.38
4.39
4.40
Polierter Kupferresonator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Vergleich von AVX- und Johanson Kondensatoren . . . . . . . . . .
Aufbau zur Messung der Güte supraleitender Spulen . . . . . . . .
Foto des Aufbaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Güte als Funktion der Temperatur 1 . . . . . . . . . . . . . . . . .
Güte als Funktion der Temperatur 2 . . . . . . . . . . . . . . . . .
Feldeffekt-Transistor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schematischer Schaltplan des Kryo-Axial-Verstärkers . . . . . . . .
Rauschleistung eines Widerstands . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Signal-zu-Rausch Verhältnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Modellierung des Verstärkerrauschens durch zwei Eingangsrauschquellen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Impedanztransformation zur Minimierung der Rauschzahl . . . . .
Arbeitspunkte RT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spannungsverstärkung an 50Ω . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schaltung zur Messung der Ausgangsimpedanz des Verstärkers . . .
Leistungsaufnahme des Verstärkers . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Schaltung zur Messung des Spannungsrauschens . . . . . . . . . . .
Spannungsrauschen als Funktion der Frequenz für vier verschiedene
Arbeitspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Spannungsrauschen als Funktion der Frequenz. . . . . . . . . . . . .
Verhältnis von thermischem Rauschen zu Stromrauschen . . . . . .
Schaltung zur Messung des Stromrauschens . . . . . . . . . . . . . .
Rauschkurve . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Eingangskapazität des Kryo-Verstärkers bei Raumtemperatur . . . .
Modifikationen am Verstärker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Verstärkung des modifizierten Verstärkers . . . . . . . . . . . . . .
Spannungsrauschen in Abhängigkeit des Einkoppelkondensators . .
Güte als Funktion der Drain-Spannung . . . . . . . . . . . . . . . .
Verstärker-Parameter für eine Gate-Spannung von −3 V . . . . . . .
SNR beim Nachweis über den Peak . . . . . . . . . . . . . . . . . .
SNR beim Nachweis über den Dip . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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87
88
Tabellenverzeichnis
3.1
Geometrische Parameter der Fallen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
4.1
4.2
4.3
4.4
4.5
4.6
Zusammensetzung der Parallelkapazität des axialen Schwingkreises
Kryogene Güten von Kupferspulen im Kupferresonator . . . . . . .
Parameter zur Supraleiter-Spule 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Daten zu NiobTitan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Stromrauschen für verschiedene Arbeitspunkte . . . . . . . . . . . .
Stromrauschen des modifizierten Verstärkers für verschiedene Arbeitspunkte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Daten zu den verschiedenen Konfigurationen des Kryo-Verstärkers .
4.7
v
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78
. 84
. 85
vi
TABELLENVERZEICHNIS
Kapitel 1
Einführung
Die präzise experimentelle Bestimmung fundamentaler physikalischer Konstanten
ist erforderlich, um theoretische Vorhersagen mit experimentellen Daten zu vergleichen. Eine Abweichung von Theorie und Experiment liefert stets Hinweise auf bisher
unentdeckte physikalische Phänomene. Die erste Bestimmung des magnetischen Moments des Protons aus dem Jahre 1933 von Frisch und Stern [SF33] widerlegte die
damalige Annahme, dass sich dessen Moment nur um das Massenverhältnis von dem
des Elektrons unterscheiden sollte. Mit der Molekularstrahlmethode, für deren Entwicklung Stern 1943 den Nobelpreis erhielt, wurde ein ungefähr zweieinhalb mal so
großer Wert gemessen, wie aus der Dirac-Theorie vorhergesagt
g=
|~µ| h̄
≈ 5.
~ µK
|S|
(1.1)
Dies war ein erster Hinweis auf eine innere Struktur des Protons, dessen Bausteine
heute mit Quarks und Gluonen identifiziert werden. Die starke Wechselwirkung dieser Konstituenten wird quantenfeldtheoretisch durch die Quantenchromodynamik
(QCD) beschrieben. Im hier beschriebenen Experiment soll der g-Faktor erstmals an
einem nackten Proton mit einer Genauigkeit von 1ppb bestimmt werden. Solch eine
Präzisionsmessung des magnetischen Moments des Protons kann allerdings nicht als
Test der QCD aufgefasst werden, da im Rahmen dieser Theorie keine Vorraussagen
mit der im hier vorgestellten Experiment angestrebten Präzision gemacht werden
können.
Jedoch stellt die Präzisionsmessung des magnetischen Moments des Protons in Kombination mit der Messung des magnetischen Moments des Antiprotons einen stringenten Test des CPT Theorems im baryonischen Sektor dar. Dieses Theorem stellt
einen der Grundpfeiler relativistischer Quantenfeldtheorien und damit des Standardmodells der Elementarteilchenphysik dar. Es fordert die Invarianz der physikalischen
Gesetze unter einer CPT Transformation, das heißt unter Konjugation der Ladung
C und Inversion von Parität P und Zeitordnung T. Demnach sollten Massen, Halbwertszeiten, Ladungen und magnetische Momente von Teilchen und Antiteilchen
übereinstimmen. Eine mögliche CPT-Verletzung aufgrund der String-Theorie wird
in [BKR98] behandelt.
Die präziseste Überprüfung im leptonischen Sektor gelang Dehmelt et al. 1987 durch
1
2
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG
den Vergleich der magnetischen Momente von Elektronen und Positronen [VDSD87].
Die erreichte Genauigkeit von 4 · 10−12 demonstrierte eindrucksvoll die Eignung der
Penning-Falle als Werkzeug für Präzisionsexperimente. Die Speicherung von geladenen Teilchen wird hier durch die Überlagerung eines homogenen Magnetfeldes
mit einem elektrostatischen Quadrupolfeld erreicht. Die charakteristischen Größen
eines geladenen Teilchens, wie Masse und magnetisches Moment, können aus den resultierenden Bewegungsfrequenzen abgeleitet werden. Eine hohe Präzision erfordert
demnach ein System, mit dem diese Frequenzen effizient detektiert und sehr genau
bestimmt werden können. Ein zerstörungsfreier Nachweis kann durch die von den
Teilchen in den Fallenelektroden induzierten Spiegelströme erfolgen [DW68]. Eine
mögliche Konfiguration stellt ein elektrischer Schwingkreis dar, der mit den Fallenelektroden verbunden wird. Die erreichbare Präzision ist allerdings hauptsächlich
durch die Modifikation der Bewegungsfrequenzen von denen in der idealen PenningFalle limitiert. Als Ursachen zählen die Variation der elektrischen und magnetischen
Felder von denen der idealen Penning-Falle sowie die Wechselwirkung der Teilchen
untereinander [BG86]. Um letzteren Effekt zu vermeiden wird die Anzahl der gespeicherten Teilchen auf ein Einzelnes reduziert. Allerdings bedeutet dies, dass die
Sensitivität des Detektionssystems drastisch erhöht werden muss, da die von einem einzelnen Teilchen induzierten Ströme sehr klein sind. Dies wird durch den
Übergang zu tiefen Temperaturen erreicht, womit der Einsatz von Supraleitern für
die Nachweis-Elektronik ermöglicht wird. Durch die Dissipation von Energie in dem
auf konstanter Temperatur gehaltenen Schwingkreis kann die Bewegung des Teilchens zusätzlich gedämpft werden. Durch die Reduktion der Bewegungsamplitude
wird der Einfluss von räumlichen Abweichungen der Speicherfelder auf die Bewegungsfrequenzen minimiert. Um den Einfluss von zeitlichen Variationen der Speicherfelder auf die Messgenauigkeit zu minimieren sollte das Nachweissystem eine
zügige Messung und eine effiziente Kühlung gewährleisten.
Das magnetische Moment des Protons wurde zuletzt von Kleppner et al. im Jahre
1975 bestimmt [PCK75]. Dabei wurde mit einem Wasserstoff-Maser auf eine Wasserprobe in einem 0,35T starken Magnetfeld eingestrahlt. Aus der NMR-Frequenz der
Protonen und der Spin-Flip-Frequenz der Elektronen im Maser konnte das Verhältnis
des magnetischen Moments des Elektrons zu dem des Protons in Wasserstoff ermittelt werden. Um das magnetische Moment des Protons zu berechnen, mussten die
Korrekturen aufgrund der Bindung in Wasserstoff berücksichtigt werden [GH71].
Die resultierende Genauigkeit lag bei 10−8 .
Das magnetische Moment des Antiprotons wurde 1988 an Experimenten mit exotischen Atomen bestimmt [KHK+ 88]. Hierbei wurden Antiprotonen aus dem LowEnergy Antiproton Ring (LEAR) am CERN auf ein Blei-Target geschossen. Aus
der Feinstrukturaufspaltung konnte das magnetische Moment auf eine Genauigkeit
von 0,3% bestimmt werden. Eine Präzision von 10−9 wäre eine Verbesserung um
6 Größenordnungen. Es existiert auch ein Vorschlag das magnetische Moment des
Antiprotons über Spektroskopie an antiprotonischen Helium zu messen [BW06]. Allerdings ist die angestrebte Genauigkeit von 3 · 10−5 weit unter der hier anvisierten
3
Genauigkeit von 1ppb.
Der Einfang von niederenergetischen Antiprotonen in einer Penning-Falle gelang
erstmals 1986. Die Energie der aus dem LEAR kommenden Antiprotonen konnte
hierbei durch eine Abbremsfolie von 5 MeV auf 3 keV reduziert werden [GFH+ 86].
Durch weitere Puffergaskühlung mit Elektronen konnte die Energie auf unter 100 meV
gebracht werden [GFO+ 89]. Dies ermöglichte die Bestimmung des Massenverhältnisses von Protonen zu Antiprotonen aus dem Vergleich der Zyklotronfrequenzen
mit einer Genauigkeit von 4 · 10−8 [GFO+ 90]. Durch die Speicherung eines einzelnen Protons bzw. Antiprotons konnte die Genauigkeit auf 10−9 gesteigert werden [GPQ+ 95]. Bei dieser Vergleichsmessung von Proton und Antiproton mussten
die Speicherspannungen jeweils umgekehrt werden. Damit ist allerdings immer ein
kleiner Spannungsoffset verbunden, der in [GKH+ 99] durch die gleichzeitige Speicherung eines Antiprotons und eines H− -Atoms vermieden werden konnte. Die erreichte
Genauigkeit von 10−10 stellt den bislang strengsten CPT-Test im baryonischen Sektor mit einer skalaren Größe dar.
Seit nunmehr 20 Jahren stehen also die Technik zur g-Faktor-Bestimmung in einer Penning-Falle sowie die Möglichkeit der Speicherung von Antiprotonen in einer
Penning-Falle zur Verfügung. Warum wird erst jetzt versucht die Messung des gFaktors des (Anti)Protons zu realisieren? Die Schwierigkeit, die sich beim Übergang
vom Elektron auf das (Anti)Proton ergibt, wird bei der Betrachtung der Messmethode des g-Faktors ersichtlich. In einem homogenen Magnetfeld, wie es in einer
Penning-Falle zur Speicherung der Teilchen verwendet wird, ist der g-Faktor mit
der Energieaufspaltung der Spineigenzustände gemäß
∆E = gµk B
(1.2)
verknüpft. Das Magnetfeld B kann über die Zyklotronfrequenz bestimmt werden.
Durch eine bewusste Verzerrung der Magnetfeldlinien mittels einer so genannten magnetischen Flasche kann eine Kopplung der axialen Bewegung an die magnetische
Dipolenergie des (Anti)Protons erreicht werden [Deh88]. Für das (Anti)Proton muss
aufgrund des um einen Faktor 658 geringeren magnetischen Moments gegenüber dem
Elektron diese Inhomogenität deutlich erhöht werden. Allerdings stellt solch eine
starke Inhomogenität eine massive Abweichung von den Speicherfeldern der idealen
Penning-Falle dar. Daher gingen erste Vorschläge zur Messung des g-Faktors des
(Anti)Protons in eine andere Richtung. Hierbei sollten Übergänge der Zyklotronquantenzahl durch simultanes Treiben des Spin-Flips sowie des Anomalie-Übergangs
registriert werden [BG86]. Die erste Variante zielte auf das Monitoring eines einzelnen Sprungs in der Zyklotronquantenzahl durch Kopplung über Spiegelladungen mit
einem Laser-gekühlten Ion in einer zweiten Penning-Falle [HW90]. In einer zweiten
Variante sollte der Anstieg der Zyklotronenergie über einen Schwingkreis detektiert
werden [QG93]. Beide Vorschläge wurden bisher nicht verwirklicht.
Das hier beschriebene Experiment, basierend auf einem Vorschlag aus dem Jahre
2003 [QAD+ 04], läuft methodisch analog zum oben aufgeführten g-2 Experiment
aus dem Jahre 1987. Dies kann durch die Fortschritte auf dem Gebiet der zylindrischen Fallen, insbesondere der Doppelfallentechnik, wie sie in den Experimenten zur
4
KAPITEL 1. EINFÜHRUNG
Bestimmung des g-Faktors des gebundenen Elektrons in wasserstoffähnlichen Ionen
gemacht wurden, verwirklicht werden [HBD+ 03]. Das Experiment wird hierbei auf
zwei Fallen aufgeteilt zwischen denen das Teilchen hin und her transportiert wird.
In der homogenen Präzisionsfalle werden die ungestörten Eigenfrequenzen gemessen
während die Analysefalle mit ihrer ferromagnetischen Ringelektrode und der damit
einhergehenden magnetischen Flasche zur Bestimmung der Spin-Orientierung verwendet wird. Allerdings wird auch hier eine weitaus stärkere magnetische Flasche
für das (Anti)Proton benötigt. Dies konnte durch Einführung der “hybriden” Falle
erreicht werden, deren Ringelektrode eine toroidale Form hat, wodurch die magnetische Inhomogenität noch erhöht wird [KVB+ 07].
Zum gegenwärtigen Zeitpunkt sind die Aufbauarbeiten zur Bestimmung des gFaktors des Protons nahezu abgeschlossen. Zunächst soll die Möglichkeit aufgezeigt werden, mit diesem Experiment Spin-Flips eines einzelnen Protons nachzuweisen. Damit wäre die Grundvorraussetzung zur Bestimmung des g-Faktors des
Protons gegeben. Nach dessen erfolgreicher Bestimmung muss das Experiment an
eine Antiprotonen-Quelle umziehen, entweder zum AD am Cern oder FLAIR an der
GSI.
Die vorliegende Arbeit ist wie folgt gegliedert:
Im zweiten Kapitel wird die Penning-Falle als Instrument für Einzel-Teilchen-Experimente vorgestellt. Dabei werden die Bewegungsmoden des Teilchens diskutiert und
die Grundlagen zum zerstörungsfreien Nachweis der Bewegungsfrequenzen erläutert.
In Kapitel 3 wird zunächst der experimentelle Aufbau vorgestellt, gefolgt von der
Methode zu Bestimmung des g-Faktors des Protons. Einzelne wichtige Komponenten
des Gesamtaufbaus werden in den folgenden Unterabschnitten behandelt. Kapitel
4 widmet sich dem Nachweissystem der axialen Frequenz, dessen Konzeption im
Rahmen dieser Diplom-Arbeit stattfand. Ein Hauptaugenmerk richtet sich hierbei
auf die Optimierung des supraleitenden Schwingkreises. Es wurden die Ursachen für
Limitierungen von Nachweissystemen für die zerstörungsfreie Detektion bestimmt,
sowie Verbesserungen für eine erhöhte Sensitivität durchgeführt. Das letzte Kapitel
soll eine kurze Zusammenfassung der ermittelten Ergebnisse sowie den Stand des
Experiments wiedergeben.
Kapitel 2
Die Penning-Falle
Die Speicherung von geladenen Teilchen in einer Penning-Falle wird durch die Überlagerung eines homogenen Magnetfeldes mit einem elektrostatischen Quadrupolfeld
erreicht. Die hieraus resultierenden Bewegungsgleichungen für das Teilchen sind analytisch lösbar und werden in Abschnitt 2.1 diskutiert. Der Einfluss von Abweichungen vom homogenen Magnetfeld und dem reinen Quadrupolfeld auf die Bewegung
des Teilchens werden in Abschnitt 2.2 untersucht. Der nicht-destruktive Nachweis einer Bewegungsmode über Spiegelladungen in den Fallenelektroden wird ausführlich
in Abschnitt 2.3 beschrieben. Durch Wechselwirkung des Teilchens mit der Nachweiseinheit kann dessen Bewegungsamplitude verringert werden. Die Funktionsweise
dieses Kühlmechanismus wird in Abschnitt 2.4 behandelt.
2.1
Ideale Penning-Falle
~ = B·e~z eine KreisbeEin geladenes Teilchen führt in einem homogenen Magnetfeld B
q
wegung um die Magnetfeldachse mit der Frequenz ωc = m B aus und ist somit radial
gefangen. In einer Penning-Falle wird die räumliche Speicherung durch Überlagerung
eines elektrostatischen Potentials erreicht. Der Aufbau einer Penning-Falle, bestehend aus einer Ringelektrode und zwei Endkappen ist in Abbildung 2.1 dargestellt.
Die Wahl einer hyperbolischen Geometrie der Elektroden gewährleistet für unendlich ausgedehnte Elektroden beim Anlegen einer Gleichspannung U0 zwischen Ring
und Endkappen die Erzeugung eines idealen Quadrupolfeldes
Φ(z, ρ) =
U0 2 ρ2
(z − ).
2d2
2
(2.1)
Das hieraus resultierende sattelförmige Potential ist in Abbildung 2.2 veranschaulicht. Die Stärke des Potentials ist durch die Fallenspannung U0 und die charakteristische Fallendimension d bestimmt
v
u
u1
d=t
!
ρ2
z02 + 0 .
2
2
(2.2)
5
6
KAPITEL 2. DIE PENNING-FALLE
B
z
z0
U0
ρ0
ρ
Abbildung 2.1: Die Abbildung zeigt eine hyperbolische Penning-Falle, bestehend
aus der Ringelektrode mit Radius ρ0 und den beiden Endkappen im Abstand 2z0 .
Durch Anlegen einer Spannung U0 zwischen Endkappen und Ring erhält man ein
Quadrupolpotential. Die dreidimensionale Speicherung wird durch das Magnetfeld
in z-Richtung erreicht.
Hierbei geben z0 und ρ0 den minimalen Abstand vom Fallenzentrum zu den Endkappen beziehungsweise zur Ringelektrode an. Die Lorentz-Kraft
~ + ~r˙ × B
~
F~ = q −∇Φ
(2.3)
liefert drei Differentialgleichungen für die Bewegung des Teilchens in der Falle
qU0
qB
ẏ
x+
2
2md
m
qU0
qB
ÿ =
y−
ẋ
2
2md
m
qU0
z̈ = − 2 z.
md
ẍ =
(2.4)
(2.5)
(2.6)
Letztere beschreibt die vom Magnetfeld unabhängige Oszillation entlang dessen Achse mit der Frequenz
ωz =
s
qU0
.
md2
(2.7)
Zur Lösung der Bewegung in der radialen Ebene wird die komplexe Variable u =
x + iy eingeführt. Unter der Verwendung der axialen Frequenz ωz und der freien
Zyklotronfrequenz ωc erhält man
1
ü + iωc u̇ − ωz2 u = 0
2
(2.8)
7
Potential φ
2.1. IDEALE PENNING-FALLE
Abbildung 2.2: Die Abbildung zeigt oben das elektrostatische Potential als Funktion
des Radius ρ und der z-Koordinate und unten die Äquipotentiallinien. Es ergibt sich
ein attraktives Potential in axialer Richtung.
Dies führt zu zwei überlagerten Kreisbewegungen in der z = 0 Ebene:
Der reduzierten Zyklotronbewegung mit der Frequenz
ωc
ω+ =
+
2
s
ωc
2
2
−
ωz2
2
(2.9)
und der Magnetronbewegung mit der Frequenz
ωc
ω− =
−
2
s
ωc
2
2
−
ωz2
.
2
(2.10)
Der langsamen Magnetronbewegung um das Fallenzentrum ist die schnelle Kreisbewegung durch die reduzierte Zyklotronfrequenz überlagert. In der idealen PenningFalle existieren somit drei unabhängige Eigenbewegungen. Abbildung 2.3 zeigt die
resultierende Teilchenbewegung. Es existieren einige nützliche Relationen zwischen
diesen Frequenzen:
ωc = ω+ + ω− ,
ω2
ω+ ω− = z
2
(2.11)
(2.12)
und das sogenannte Invarianz-Theorem [BG86]
2
2
ωc2 = ω+
+ ω−
+ ωz2 .
(2.13)
Die Größen der drei Frequenzen erfüllen bei stabiler Speicherung folgende Relation
ω− < ωz < ω+ .
(2.14)
8
KAPITEL 2. DIE PENNING-FALLE
Magnetronbewegung
Axiale Bewegung
Reduzierte Zyklotronfrequenz
Axiale und
Magnetronbewegung
Abbildung 2.3: Die Abbildung zeigt die Bewegung eines geladenen Teilchens in einer
Penning-Falle. Diese setzt sich aus drei periodischen Einzelbewegungen zusammen.
Die Magnetronbewgung ist eine Kreisbewegung um das Fallenzentrum. Die axiale
Bewegung verläuft senkrecht dazu, entlang den Magnetfeldlinien. Die dritte Komponente ist die Kreisbewegung mit der reduzierten Zyklotronfrequenz.
Aufgrund der Unabhängigkeit der drei Eigenbewegungen ergibt sich im quantenmechanischen Bild für jede der drei Eigenbewegungen eine Quantisierung wie beim
harmonischen Oszillator [Kre99]. Wenn man noch zusätzlich den Spin S mit magnetischer Quantenzahl mL und Larmorfrequenz ωL berücksichtigt, ergibt sich die
Gesamtenergie des Teilchens gemäß
1
1
1
E = h̄mL ωL + h̄ω+ (n+ + ) + h̄ωz (nz + ) − h̄ω− (n− + ).
2
2
2
(2.15)
Das Niveauschema ist in Abbildung 2.4 zu sehen. Eine Besonderheit stellt hier
die Magnetronenergie dar. Eine Erhöhung der Quantenzahl n− bedeutet eine Vergrößerung des Bahnradius und einen Abfall der potentiellen Energie. Den metastabilen Charakter der Magnetronbewegung kann man in Abb 2.2 erkennen. Das geladene
Teilchen erfährt durch die entegegengesetzte Ladung der Ringelektrode eine attraktive Kraft. Es wird jedoch durch das Magnetfeld auf einer Kreisbahn gehalten. Das
Teilchen bewegt sich somit auf einer Kreisbahn um einen Potentialberg. Befinden
sich Restgasatome in der Falle, so kann das geladene Teilchen durch eine Van-derWaals-artige Wechselwirkung mit dem im Restgasatom induzierten Dipolmoment
wechselwirken und somit Energie dissipieren [ABD+ 05]. Dies führt im Falle der Magnetronbewegung zu einer Aufweitung des Bahnradius und damit zu einem Verlust
des Teilchens wenn dieses die Elektroden erreicht.
Über eine Dipol-Anregung kann die Quantenzahl einer Mode geändert werden. Diese Anregung kann einerseits zur Erhöhung der Amplitude zur Detektion oder zum
Entfernen unerwünschter Elemente aus der Falle angewendet werden. Durch ein
entlang der z-Achse verlaufendes Dipolfeld kann die axiale Bewegung angeregt wer-
9
2.2. REALE PENNING-FALLE
n+ = 1
nz = 3
hω+
B
nz = 2
n+ = 0
nz = 1
hωL
hωz
B
nz = 0
hω-
n- = 0
n- = 1
n- = 2
n- = 3
Abbildung 2.4: Die Abbildung zeigt das Energieschema eines Spin-1/2 Teilchens in
einer Penning-Falle, wobei die Abstände nicht maßstabsgerecht sind. Die Frequenzen der einzelnen harmonischen Oszillatoren sind von links nach rechts aufgezählt:
Die reduzierte Zyklotronfrequenz ω+ , die Larmorfrequenz ωL , die axiale Frequenz
ωz und die Magnetronfrequenz ω− . Die entsprechenden Quantenzahlen für die Bewegungsmoden der Penning-Falle werden mit n+ , nz und n− angegeben. Der Spin
kann sich entweder parallel oder antiparallel zum Magnetfeld ausrichten.
den. Zur Anregung der reduzierten Zyklotronamplitude wird ein radiales Feld erzeugt. Durch Anlegen eines Quadrupolfeldes mit der Frequenz aus einer Kombination zweier Eigenfrequenzen kann eine Kopplung zwischen diesen beiden Moden
erreicht werden [Kre99]. Anwendungen dieser Anregungsarten werden im weiteren
Verlauf angegeben.
2.2
Reale Penning-Falle
Zur Bestimmung des g-Faktors des Protons werden zylindrische Penning-Fallen
verwendet [GHR89]. Diese bieten einige Vorteile:
• Vereinfachte Herstellung: Die geringen Abmessungen, die für EinzelteilchenExperimente benötigt werden (siehe Abschnitt 2.3), sind in hyperbolischer
Form nur schwer realisierbar.
• Modularität: Es können sehr einfach zusätzlich Elektroden in eine Falle eingebracht werden. Außerdem können mehrere Penning-Fallen in Reihe angeordnet
werden (siehe Abschnitt 3.3).
10
KAPITEL 2. DIE PENNING-FALLE
7 mm
Korrekturelektrode
42 mm
Ringelektrode Endkappe
Abbildung 2.5: Die Abbildung zeigt ein Schnittbild einer zylindrischen Falle. Zwischen der Ringelektrode und den Endkappen sind jeweils schraffiert eingezeichnete
Korrekturelektroden positioniert. Um die Elektroden gleichspannungsmäßig voneinander zu trennen, sind Abstandshalter aus Saphir zwischen den Elektroden eingefügt. Die Abmessungen mit einem Innendurchmesser von 7 mm bzw. einer Gesamtlänge von 42 mm sind gering genug um Einzel-Teilchen-Sensitivität zu erreichen
(siehe Abschnitt 2.3)
• Analytizität: Das Potential einer Penning-Falle mit beliebiger Zylindersymetrie kann im Gegensatz zur hyperbolischen Geometrie analytisch berechnet
werden [KVB+ 07]. Im Realfall sind bei dieser die Elektroden nicht unendlich
ausgedehnt wodurch das Potential nicht mehr die einfache Form nach Gl. (2.1)
annimmt. Für die Berechnung werden hier Korrekturfaktoren eingeführt, die
aber nur in gewissem Masse die Abweichungen widergeben können.
Die einfachste Konfiguration einer zylindrischen Penning-Falle besteht, analog zur
hyperbolischen Falle, aus einem Ring und zwei Endkappen. Diese Anordnung würde
zur Speicherung des Teilchens genügen. Um ein möglichst harmonisches Potential zu
erzeugen fügt man zwischen Ring und Endkappe eine Korrekturelektrode ein. Eine
mögliche Geometrie ist in Abbildung 2.5 zu sehen. Das ideale Quadrupolpotential
kann hierdurch aber nur näherungsweise realisiert werden. Um mögliche Effekte
der Abweichungen des elektrischen Feldes vom Quadrupolfeld diskutieren zu
können, bietet sich eine zylindrische Multipolentwicklung des Potentials Φ um das
Fallenzentrum an
i
∞
ρ
1 X
Ci
Φ = U0
2 i=0
d
Pi (cos θ).
(2.16)
Die Koeffizienten Ci geben die Stärke der Multipolordnung an. Da die Bewegungsamplitude ρ typischerweise deutlich geringer als die Fallendimension d ist, fallen
höhere Multipolordnungen weniger ins Gewicht.
2.2. REALE PENNING-FALLE
11
• C0 ist eine globale Konstante und kann durch eine globale Eichtransformation
auf null gesetzt werden. Sie beeinflusst die Bewegung des Teilchens nicht.
• C1 liefert eine ortsunabhängige elektrische Kraft, die den Schwerpunkt der
Oszillation des Teilchens verschiebt.
• C2 ist der Quadrupolanteil, der die Speicherung entlang der z-Achse bewirkt.
In der idealen Penning-Falle ist er gleich eins. In der realen Falle ist er jedoch
kleiner, so dass die axiale Frequenz durch
ωz =
s
C2 qU0
md2
(2.17)
gegeben ist.
• C3 , C5 , ... sind aufgrund der Spiegelsymmetrie z → −z sehr klein.
• C4 , C6 , ... führen zu einer unerwünschten energieabhängigen Verschiebung der
Bewegungsfrequenzen. Ein Hauptaugenmerk beim Entwurf einer zylindrischen
Falle liegt in der Minimierung der Koeffizienten C4 und C6 .
Durch die Einführung der Korrekturelektroden hat man einen zusätzlichen Freiheitsgrad, so dass durch ein geeignetes Spannungsverhältnis zwischen Ring und Korrekturelektrode (Tuning-Ratio) sowie genaue Dimensionierung der Geometrie C4 und
C6 gleich null gesetzt werden können. Die Analyzität der zylindersymmetrischen
Falle hat also den Vorteil, dass negative Effekte durch Anharmonizitäten des elektrischen Potentials schon beim Entwurf vermieden werden können. Für die genaue
Berechnung wird auf den Artikel [KVB+ 07] verwiesen.
Das zur Speicherung benötigte magnetische Feld wird durch einen supraleitenden
Magneten geliefert. Man unterscheidet zwei Ursachen für die Modifikation der Bewegungsfrequenzen. Dies sind zum einen zeitliche Fluktuationen der Magnetfeldstärke, die z.B. in Experimenten zur Bestimmung des elektronischen g-Faktors
in wasserstoffähnlichen Ionen die Genauigkeit limitierten [Ver03]. Die Schwankungen
betrugen hierbei δB/B ≈ 10−8 . Eine noch wichtigere Rolle spielen diese bei Experimenten zur Massenbestimmung von Teilchen, da hier der Felddrift während dem
Wechsel der Teilchen die Zyklotronfrequenz verschiebt. So wurde beim Vergleich der
Massen von Proton und Antiproton die Genauigkeit durch die zeitliche Schwankungen des Magnetfelds von δB/B ≈ 2 · 10−9 limitiert [GKH+ 99]. Als Ursache für diese
Fluktuationen wird die Temperaturabhängigkeit der Suszeptibilitäten der EpoxyBauteile im Magneten vermutet [VDFS92]. Ein leichter Abfall der Magnetfeldstärke
wird zusätzlich durch den Flux-Creep-Effekt hervorgerufen, der aber eine untergeordnete Rolle spielt [BCF+ 02], da der Effekt erstens klein ist und zweitens linear
verläuft, also extrapoliert werden kann [KBB+ 03]. Zum einen kann versucht werden, die Temperaturschwankungen durch die Stabilisierung von Heliumdruck und
Raumtemperatur zu unterdrücken [BCF+ 02, GKH+ 99, VDFS92], womit diese auf
unter 1ppb reduziert werden konnten. Eine andere Möglichkeit stellt die Reduktion
12
KAPITEL 2. DIE PENNING-FALLE
der Messzeit dar (siehe Abschnitt 3.5).
Zusätzlich bewirkt die endliche Suszeptibilität der Fallenmaterialien eine Verzerrung der Magnetfeldlinien. Hier kann analog zum elektrischen Potential eine
Entwicklung des magnetischen Potentials vorgenommen werden. Diese liefert für die
drei niedrigsten Ordnungen
Φmag = B0 z + B1
1
1 3 1 2
−z + ρ2 + B2
z − zρ
2
3
2
2
(2.18)
Der Einfluss der radialen Komponenten ist gering und wird nicht weiter betracht
[Ver03]. Die z−Komponente des resultierenden Magnetfeldes ist gegeben durch
Bz = B0 − 2B1 z + B2
1
z − ρ2 .
2
2
(2.19)
Der Koeffizient B1 ist aufgrund der radialen Symmetrie sehr klein und vernachlässigbar gegenüber B2 . Analog zu den Koeffizienten C4 und C6 verursacht B2 eine
energieabhängige Frequenzverschiebung [BG86]. Ein kleiner B2 -Term ist also für eine präzise Messung der Eigenfrequenzen erforderlich. Wie eine künstliche Erhöhung
von B2 für die Bestimmung des g-Faktors ausgenutzt werden kann, wird in Abschnitt 3.2 beschrieben.
Eine Verkippung der Fallenachse gegenüber den Magnetfeldlinien um einen kleinen Winkel führt zu einer Kopplung der Bewegungsmoden. Man kann jedoch zeigen [BG86], dass das Invarianz-Theorem aus Gl. (2.13) für beliebige Verkippungswinkel gilt, solange die Speicherung des Teilchens noch gewährleistet ist.
2.3
Nicht-destruktive Frequenzmessung der Bewegungsmoden
In diesem Abschnitt wird der zerstörungsfreie Nachweis der Bewegungsmoden des
in der Falle gespeicherten Teilchens anhand der axialen Frequenz erläutert. Eine
nicht-destruktive Frequenzmessung hat den Vorteil, dass theoretisch nur einmal ein
einzelnes Teilchen erzeugt werden muss, an dem die vollständige Messung durchgeführt werden kann. Dies bringt einen erheblichen Zeitvorteil.
Die von Dehmelt entwickelte “bolometrische” Nachweismethode [DW68] basiert auf
dem Prinzip der Spiegelladungen. Shockley hatte schon 1938 nachgewiesen, dass die
durch geladene Teilchen induzierten Potentialgefälle in leitenden Oberflächen durch
die freien Ladungsträger ausgeglichen werden [Sho38]. Der Nutzen für die PenningFalle wird ersichtlich wenn man zunächst eine hyperbolische Falle betrachtet, bei der
die Endkappen miteinander verbunden sind (siehe Abbildung 2.6). Das in der Falle
oszillierende Teilchen induziert zeitabhängige Spiegelladungen und damit fließt ein
Strom mit der axialen Frequenz des Teilchens. Der an einer Impedanz resultierende
Spannungsabfall liefert das Signal. Dieses wird verstärkt und Fourier-transformiert,
wodurch man die Frequenz des Teilchens erhält. Die Herausforderung besteht nun
darin ein System zu entwickeln, das sensitiv genug ist, den Strom, den ein einzelnes
2.3. NICHT-DESTRUKTIVE FREQUENZMESSUNG DER BEWEGUNGSMODEN13
I ind
FFT
Z
U
Abbildung 2.6: Die Abbildung zeigt das Nachweisprinzip: Der vom Teilchen in den
Elektroden induzierte Strom IInd erzeugt einen Spannungsabfall U über der Impedanz Z, der verstärkt und Fourier-transformiert. Hieraus erhält man die Frequenz
des Teilchens ohne es aus der Falle zu verlieren.
Teilchen induziert, detektieren zu können. Um dessen Größe berechnen zu können
wird das obige Bild weiter vereinfacht. Hierzu betrachtet man zunächst einen idealisierten, unendlich ausgedehnten Plattenkondensator mit Plattenabstand D in dem
sich das Teilchen mit Geschwindigkeit ż bewegt. Die Änderung der Plattenladung
dQ ist durch die Ladung des Teilchens q gegeben. Der induzierte Strom ist demnach
Iind =
dQ
q
= ż
dt
D
(2.20)
In der realen Penning-Falle ist D nicht einfach durch den Abstand der Elektroden gegeben. Für die Berechnung wird das Potential des Teilchens in der PenningFalle benötigt. Aus diesem kann der influenzierte Strom berechnet werden, aus
dem sich wiederum der “effektive” Elektrodenabstand ergibt [Ulm06a]. Der effektive Elektrodenabstand ist also ein Maß für die Ankopplung des Teilchens an die
Falle. Diese kann einerseits durch Minmierung der Fallendimensionen und zum anderen durch Verwendung mehrerer Elektroden für den Signal-Abgriff erhöht werden.
Die von einem einzelnen Teilchen induzierten Ströme liegen typischerweise in der
Größenordnung fA. Die Impedanz Z über der die Spannung U abfällt ist im einfachsten Falle durch die Kapazität C der Falle gegeben(siehe Abbildung 2.7a))
U=
−iz0 q
.
DC
(2.21)
Hierbei gibt z0 die Amplitude der axialen Bewegung an. Die hieraus resultierenden
Spannungen betragen wenige nV und sind somit unterhalb des Rauschuntergrunds
(siehe hierzu Abschnitt 4.2.1). Typische Fallenkapazitäten liegen im Bereich von
10 pF und sind nur schwer zu minimieren. Dies bedeutet, dass das Signal nur durch
eine höhere Teilchenamplitude, also eine Anregung vergrößert werden kann. Die
benötigte Amplitude ist allerdings so groß, dass das Teilchen anharmonische Potentialbereiche erreichen würde, wodurch die angestrebte Präzision unerreichbar wäre.
Man muss also die Impedanz vergrößern. Dies gelingt nur durch Parallelschalten
einer Induktivität (siehe Abbildung 2.7b)) - bei Verwendung eines hochohmigen Widerstands würde die Spannung an der Fallenkapazität abfallen. Die Parallelschaltung
einer Induktivität liefert einen Parallelschwingkreis, der bei seiner Resonanzfrequenz
14
KAPITEL 2. DIE PENNING-FALLE
I ind
I ind
I ind
C
I ind
a)
C R L
b)
Abbildung 2.7: a)Resultierender Spannungsabfall bei direktem Abgriff an den Endkappen. Dem induzierten Strom Iind wird die Fallenkapazität C parallel geschaltet
b) Durch Parallelschalten einer Induktivität L erhält man einen hohen Resonanzwiderstand R.
den Blindwiderstand der Fallenkapazität kompensiert und einen hochohmigen Parallelwiderstand liefert. Das nächste Kapitel soll kurz die wesentlichen Eigenschaften
des Parallelschwingkreises resümieren. Vollständige Beschreibungen sind in Standardwerken der Elektrotechnik [KSW04] zu finden.
2.3.1
Der Schwingkreis
Ein Parallelschwingkreis besteht aus einer Induktivität L und einer Kapazität C.
Die in jedem Bauteil vorhandenen Verluste werden durch einen Verlustwiderstand
RL in Reihe zur Induktivität zusammengefasst. Das grundsätzliche Schaltbild ist in
Abbildung 2.8 dargestellt. In Kapitel 4.1.1 wird gezeigt, dass diese Darstellung sehr
nützlich ist um die Bedeutung der einzelnen Verluste zu vergleichen.
Die relevante Größe ist die Impedanz Z, da hierdurch die Größe des Signals gegeben
RL
C
L
Abbildung 2.8: Parallelschwingkreis bestehend aus einer Induktivität L parallel zu
einer Kapazität C. Die Verluste sind in dem Widerstand RL zusammengefasst.
2.3. NICHT-DESTRUKTIVE FREQUENZMESSUNG DER BEWEGUNGSMODEN15
ist.
1
Z
=
1
+ iωC
RL + iωL
(2.22)


1
RL
1
 + iωC
+ 2 2 
=
R2
iωL ω L
1 + ω2 LL2
RL
1
∼
+ i ωC −
=
ω 2 L2
ωL
(2.23)
(2.24)
Hierbei wurde im letzten Schritt ausgenutzt, dass bei den hier verwendeten Schwingkreisen RL2 /ω 2 L2 ≪ 1 gilt. Um das Frequenzverhalten der Impedanz zu untersuchen
ist es zunächst hilfreich, die Güte des Schwingkreises zu bestimmen. Diese Größe
wird im Folgenden häufiger verwendet. Die Güte eines Bauteils ist der reziproke
Wert des Verlustwinkels ϕ, der wiederum aus dem Verhältnis von Blind- zu Wirkwiderstand berechnet werden kann
− ωC −
1
Q=
=
RL
tan ϕ
ω 2 L2
1
ωL
=
C
ωL2
+ ωL
ωL
≈
RL
RL
(2.25)
C
Der letzte Schritt erfolgte unter der zutreffenden Annahme, dass ωL
2 ≪ ωL ist. Die
Güte ist also eine Maß für die Verluste im Schwingkreis. Für die Impedanz Z folgt
unter der Ausnutzung, dass |1/Z| äquivalent zu 1/ |Z| ist
|Z| = r
1
RL
ω 2 L2
2
1
ωL
+ ωC −
2 .
(2.26)
Einsetzen der Güte Q aus Gl. (2.25) und der Verwendung der Resonanzfrequenz
1
ω0 = √LC
liefert
|Z| = r
= r
1
1
QωL
1+
2
QωL
Q2
1
ωL
+ ωC −
ω2
ω02
2
2 .
(2.27)
(2.28)
−1
Die Impedanz wird maximal bei ω = ω0 . Die Breite der Resonanzkurve ist gegeben
durch ∆ω = ω0 /Q. Mit Gl. (2.25) lässt sich dieser effektive Parallelwiderstand Rp
schreiben als
Z(ω = ω0 ) = Rp = Qω0 L =
ω02 L2
1 L
=
RL
RL C
(2.29)
Damit lassen sich die Anforderungen für eine hohe Impedanz wie folgt zusammenfassen:
• Die zu messende Bewegungsfrequenz des Teilchens muss mit der Resonanzfrequenz des Schwingkreises übereinstimmen.
• Die Kapazität C sollte möglichst gering sein.
16
KAPITEL 2. DIE PENNING-FALLE
I ind
2
R P= I R
Abbildung 2.9: Kühlen der Bewegung des Teilchens aufgrund von Leistungsdissipation im Widerstand R
• Die Induktivität L sollte möglichst groß sein.
• Der Verlustwiderstand RL musss minimiert werden.
Der Realisierung dieser Bedingungen widmet sich Kapitel 4.
2.4
Kühlung des Teilchens
Durch Stöße mit Restgasatomen kann die Energie der einzelnen Moden vergrößert
werden, was eine höhere Amplitude zu Folge hat. Das Teilchen “heizt” sich auf
und erreicht unter Umständen anharmonische Potentialbereiche. Um die gewünschte
Präzision zu erreichen, müssen die Amplituden der drei Eigenbewegungen verringert
werden. Wie das Teilchen gekühlt werden kann, soll in diesem Abschnitt erläutert
werden. Die axiale Bewegung des Teilchens ist an den Schwingkreis gekoppelt. Dessen Verwendung zur direkten Kühlung der axialen Frequenz, ist Gegenstand des
nächsten Abschnitts 2.4.1. Im darauf folgenden Abschnitt 2.4.2 wird aufgezeigt wie
selbiger Schwingkreis zur Kühlung der anderen Moden verwendet werden kann.
2.4.1
Widerstandskühlung
Betrachtet man nochmals die Differentialgleichung für die axiale Bewegung und fügt
zur Kraft, die durch das Potential auf das Teilchen wirkt eine externe Kraft FUextern
hinzu, so erhält man
q
mz̈ = FΦ + FUextern = −q∇Φ − Uextern .
(2.30)
D
Die externe Kraft resultiert aus dem Spannungsabfall über der Impedanz Z(ω), der
durch den Spiegelstrom Iind = De ż verursacht wird
FUextern = −
q
q2
Uextern = − 2 żZ(ω).
D
D
(2.31)
Damit erhält man
mz̈ +
C2 qU0
q2
żZ(ω) +
z = 0.
2
D
D2
(2.32)
2.5. DAS TEILCHEN ALS ÄQUIVALENTER REIHENSCHWINGKREIS
17
Dies ist ein gedämpfter harmonischer Oszillator mit Dämpfungskonstante
γ=
q 2 Re[Z]
.
mD2
(2.33)
Dies bedeutet, dass die axiale Mode durch Leistungsdissipation in der Impedanz
gekühlt werden kann. In der Realität setzt sich die externe Kraft FUextern aus dem
dissipativen Anteil durch den Spannungsabfall und einer treibenden Kraft aus der
Rauschspannung des Schwingkreises (siehe Abschnitt 4.2.1) zusammen. Das Kühllimit ist also erreicht wenn sich das Teilchen im thermischen Gleichgewicht mit dem
Schwingkreis befindet. Je größer der Resonanzwiderstand des Schwingkreises ist, desto effektiver kann gekühlt werden.
2.4.2
Seitenbandkühlung
Durch Einstrahlen einer Quadrupol-Anregung mit der Summenfrequenz oder der
Differenzfrequenz zweier Eigenfrequenzen können diese miteinander gekoppelt werden [BG86]. Die Einstrahlfrequenz νz − ν+ erniedrigt zum Beispiel die Quantenzahl
der reduzierten Zyklotronbewegung und erhöht die Quantenzahl der axialen Mode.
Diese kann die zugeführte Energie über den Schwingkreis abgeben, so dass die Amplitude der reduzierten Zyklotronbewegung über den axialen Schwingkreis gekühlt
werden kann. Der selbe Mechanismus funktioniert auch bei der Magnetronbewegung wobei hier der Begriff der “Kühlung” irreführend ist. “Kühlung” bedeutet
hier, der Magnetronmode Energie zuzufügen um das Teilchen auf den Potentialberg zu befördern und somit die Amplitude der Kreisbewegung zu verringern. Dies
wird durch ein Anregung mit der Frequenz νz + ν− erreicht. Das Wort “Kühlung”
wird also generell als Beschreibung für die Reduktion der Bewegungsamplitude verwendet. Für unendlich lange Einstrahlzeit gleichen sich die beiden Quantenzahlen
an [Kre99]. Die resultierende Energie der Magnetronmode ist gegeben durch
E− = −
2.5
ν−
Ez .
νz
(2.34)
Das Teilchen als äquivalenter Reihenschwingkreis
In diesem Abschnitt wird ein Ersatzschaltbild für das Teilchen in der Falle abgeleitet.
Mit diesem lässt sich berechnen, welcher Effekt im Falle des thermischen Gleichgewichts des Teilchens mit dem Schwingkreis auftritt.
Nach Wineland [WD75] kann Gl. (2.32) noch weiter interpretiert werden. Setzt man
den induzierten Strom Iind = Dq ż ein, so erhält man
m
mωz2 D2 Z
D2 ˙
dtI = 0
I
+
Z(ω)I
+
q2
q2
(2.35)
18
KAPITEL 2. DIE PENNING-FALLE
CIon
LIon
L
C
RIon
Q~10
6
Q~10
3
Abbildung 2.10: Das Teilchen in der Falle kann als Reihenschwingkreis aufgefasst
werden. Aufgrund der sehr großen Induktivität LIon ≈ 6 MH des Teilchens ist die
Güte des Reihenschwingkreis um Größenördnungen über dem des Parallelschwingkreis.
Vergleicht man dies mit einem Reihenschwingkreis
LI˙ + RI + 1/C
Z
dtI = 0
(2.36)
Amplitude
ergeben sich
CIon
LIon
L
C
I Rauschen
RIon
Q~10
6
Q~10
3
ωz
Frequenz
Abbildung 2.11: In dem Graphen auf der rechten Seite ist die Amplitude des Rauschspektrums des Nachweisschwingkreises aufgetragen. Der hohe Resonanzwiderstand
des Parallelschwingkreis wird bei der Bewegungsfrequenz des Teilchens kurzgeschlossen. Es ergibt sich ein schmaler Dip im Rauschspektrum.
LIon = mD2 /q 2 ,
RIon = Z(ω) und CIon = q 2 /mωz2 D2
(2.37)
Man kann das Teilchen in der Falle also als Reihenschwingkreis auffassen (siehe Abbildung 2.10). Interessant wird das Verhalten wenn das Ion im thermischen Gleichgewicht mit dem Parallelschwingkreis liegt (siehe Abbildung 2.11).
Der Reihenschwingkreis schließt dann das thermische Stromrauschen des Parallelschwingkreises bei der Bewegungsfrequenz des Teilchens kurz. Die Breite des so
entstehenden “Dips” ist sehr schmal, da die äquivalente Induktivität des Teilchens
Größenordnungen über der des Nachweiskreises liegt.
∆ω =
Re[Z]
q2R
1
ω0
= ωz
=
=
Q
LIon
mD2
τ
(2.38)
19
Amplitude
2.5. DAS TEILCHEN ALS ÄQUIVALENTER REIHENSCHWINGKREIS
ωz
Frequenz
Abbildung 2.12: Durch Anregung des Teilchens liegt die Amplitude des induzierten
Spannungsabfalls über dem Rauschspektrum des Parallelschwingkreises.
Ein hoher Resonanzwiderstand ist erforderlich damit der Dip überhaupt nachgewiesen werden kann. Die Ermittlung der Frequenz erfolgt, wie zu Anfang des Kapitels
erwähnt wurde, durch eine FFT-Analyse. Rein theoretisch könnte ein sehr schmaler Dip durch lange Integrierzeit aufgelöst werden. Allerdings ist das Zeitfenster
durch die Schwankungen der Bewegungsfrequenzen limitiert. Diese resultieren aus
magnetischen und elektrischen Feldfluktuationen. Für den Schwingkreis der reduzierten Zyklotronfrequenz wurden u. a. aufgrund der geringen Induktivität bisher
noch keine Resonanzwiderstände erreicht, die eine ausreichende Dip-Breite liefern.
Zur Detektion dieser Frequenz wird das Teilchen über eine Dipol-Anregung, die einer zusätzlichen treibenden Spannung entspricht, angeregt. Wenn die Energie des
Teilchens über der thermischen Energie des Schwingkreises liegt dissipiert es Leistung in diesem. Die Frequenz des Teilchens wird als “Peak” im Rauschspektrum
des Schwingkreis sichtbar (siehe Abbildung 2.12). Der Nachweis über den Dip hat
den Vorteil, dass die sonst nötige Anregung entfällt. Eine Anregung bedeutet immer
eine Vergrößerung der Bewegungsamplitude. Dies verringert die Messgenauigkeit
da die Homogenität des Potentials mit dem Abstand vom Fallenzentrum abnimmt
(siehe Abschnitt 2.2).
Kapitel 3
g-Faktor Proton
Das folgende Kapitel beschreibt das Experiment zur Bestimmung des g-Faktors des
Protons. Zunächst wird in Abschnitt 3.1 ein Überblick über den experimentellen
Aufbau gegeben. Im folgenden Abschnitt 3.2 wird die Bestimmung des g-Faktors
beschrieben und die Notwendigkeit für die Verwendung des in Abschnitt 3.3 vorgestellten Doppelfallensystems aufgezeigt. Die Erzeugung der Protonen ist Gegenstand
des Abschnitts 3.4. In Abschnitt 3.5 wird eine Methode zur Reduktion der Messzeit
vorgestellt. Zur Verbesserung des Vakuums, sowie der Sensitivität des Nachweises
findet das Experiment unter kryogenen Bedingungen statt. Diese wird durch den
Einsatz eines Pulsrohr-Kühlers gewährleistet, der im letzten Teil 3.6 beschrieben
wird. Der Schwerpunkt liegt hier auf den in dieser Arbeit häufig verwendeten Teststand.
3.1
Übersicht über das Proton Experiment
In diesem Abschnitt wird der experimentelle Aufbau des Experiments zur Messung
des g-Faktors des Protons beschrieben, wobei die wichtigsten Komponenten in einzelnen Abschnitten detaillierter behandelt werden. Das Experiment kann grob in
4 Teile separiert werden: Den supraleitenden Magneten, die Vakuumapparatur mit
dem Kryostaten, den Kryobereich mit Fallenkammer und Elektronik und die Raumtemperaturelektronik.
Der supraleitende Magnet, der das für die Speicherung der Teilchen benötigte
homogene Magnetfeld liefert besteht aus NbTi-Spulen die in einem Helium-Bad
gekühlt werden. Der Magnet der Firma MAGNEX besitzt eine horizontale Bohrung, in deren Zentrum das Magnetfeld eine Stärke von 1.9 T aufweist. Dies ist der
Ort an dem die Fallen positioniert werden.
Die Vakuumapparatur ist in Abbildung 3.1 zu sehen. Sie besteht aus einem
CF-200-Doppelkreuz auf dessen Oberseite der Pulsrohr-Kühler der Firma VERICOLD befestigt ist (siehe Abschnitt 3.6). Die horizontalen Öffnungen sind für die
Befestigung von Elektronikflanschen vorgesehen. Das Vakuum wird durch eine Turbopumpe erzeugt, die über einen Wellschlauch mit der Unterseite des Doppelkreuzes
verbunden ist. Hiermit wird ein Vakuum von ungefähr 10−5 mbar bei Raumtempe20
21
3.1. ÜBERSICHT ÜBER DAS PROTON EXPERIMENT
Supraleitender Magnet
Kühler
Doppelkreuz
Falle
Kryobereich
Höhennivellierung
Turbo
Pumpe
Schienen
150 cm
Abbildung 3.1: Die Abbildung zeigt auf der rechten Seite den supraleitenden Magneten. Auf der linken Seite ist das CF-200 Doppelkreuz auf einem fahrbaren Tisch
positioniert. Die Fallen können somit einfach aus dem Magneten gefahren werden.
Der Kryobereich ist in Abbildung 3.2 detailliert dargestellt.
ratur erreicht. Das gesamte Doppelkreuz ist auf einem Tisch befestigt, wobei eine
horizontale Neigung und eine Verdrehung in der Ebene möglich ist. Da die Vakuumapparatur über einen Wellbalg mit dem Magneten verbunden ist, kann somit die
Falle optimal entlang der Magnetfeldachse justiert werden. Die Rückseite der Magnetbohrung ist durch einen Flansch verschlossen, womit das Magnetrohr ein Teil
der Vakuumapparatur darstellt. Der Tisch ist auf Schienen montiert, so dass nach
dem Lösen der Verbindung mit dem Magneten, das Experiment aus diesem herausgefahren werden kann. Somit ist ein einfacher Zugang zum Experiment gewährleistet.
Durch die Verwendung des Pulsrohr-Kühlers sind die Wartezeiten beim Aufwärmen
und Abkühlen weitaus kürzer als bei Verwendung eines He-Dewars wie er in Experimenten zur Bestimmung des elektronischen g-Faktors an wasserstoffähnlichen
Ionen verwendet wird [Her96, Ulm06b]. Der Kryostat wurde von Stefan Ulmer im
Rahmen seiner Diplomarbeit entworfen [Ulm06b]. Dieser besteht aus einer 4 K-Stufe
und der 77 K-Stufe, die die Wärmelast auf die kalte Stufe verringert (siehe hierzu
auch Abschnitt 3.6). Die 4 K-Stufe des Kühlers ist über einen Wärmeleitstab aus
geglühtem, hochreinem Kupfer mit dem kryogenen Bereich verbunden.
Das Herzstück des Experiments umfasst den in Abbildung 3.2 abgebildeten Kryobereich mit der Fallenkammer und der kryogenen Elektronik. Die Fallenkammer
besteht aus einem vergoldeten Kupfergehäuse. Den Verschluss bildet ein Indium gedichteter Flansch, der alle benötigten Durchführungen enthält. Nach dem Verschließen des Flansches wird die Kammer durch eine auf der Gegenseite angeschweißte
22
KAPITEL 3. G-FAKTOR PROTON
Axiale Nachweiselektronik
Fallenkammer
Halterung
Wärmeleitstab
UMF
355mm
Nachweiselektronik Zyklotron
Abbildung 3.2: Die Abbildung zeigt den kryogenen Bereich des Experiments im
Magnetrohr. Die Wärme wird über den Wärmeleitstab aus geglühtem Kupfer zum
Kühler geleitet. In dem sich anschließenden Kupfersegment wird die axiale NachweisElektronik platziert. Der noch zur Verfügung stehende Platz ist für Filterboards
vorgesehen. Die Verbindung zur Fallenkammer findet über den in der Mitte angeordneten unteren Montage Flansch (UMF) statt. Dieser Flansch beinhaltet die
elektrischen Durchführungen zur Signalführung in die Fallenkammer. In der Fallenkammer sind der Fallenturm und die Detektionseinheit zur Messung der reduzierten
Zyklotronfrequenz positioniert. Die Montagevorrichtung am rechten Ende dient zur
Befestigung am Hitzeschild. Diese erfolgt über die Aufhängung an Kevlar-Fäden um
den Wärmeeintrag möglichst gering zu halten.
Röhre auf ein Vakuum von ungefähr 10−8 mbar gepumpt. Die Röhre wird nun im
Kaltschweißverfahren mit einer sogenannten Pinch-Off Technik abgetrennt, wobei
das Vakuum erhalten bleibt. Durch die Kühlung auf 4 K frieren jegliche Restgase (bis
auf Helium) aus. Durch diesen so gennanten “Kryopumpeffekt” wird ein Druck von
voraussichtlich 10−15 bis 10−16 mbar erreicht [GFO+ 90]. Dies ermöglicht Speicherzeiten von mehreren Monaten [Her00]. In der Fallenkammer sind der Fallenturm und
die Elektronik zur Detektion der reduzierten Zyklotronfrequenz platziert. Der Fallenturm besteht aus zwei zylindrischen Penning-Fallen (siehe Abschnitt 3.3), verbunden
durch Transportelektroden. Die Protonen werden innerhalb der Fallenkammer durch
Elektronenbeschuss einer Poly-Ethylen-Folie erzeugt. Die Elektronenquelle und das
Target zur Protonenerzeugung sind jeweils an den Enden des Fallenturms positioniert (siehe Abschnitt 3.4). Der axiale Nachweis, der das Hauptthema dieser Arbeit
ist (siehe Kapitel 4), sitzt außerhalb der Fallenkammer. In diesem Bereich werden
auch die Platinen mit den DC-Filtern platziert. Diese sollen Störsignale aus den
Spannungsversorgungsleitungen zu den Fallenelektroden filtern. Die Positionierung
der Schwingkreise in unmittelbarer Nähe zu den Fallen ist zwingend erforderlich, da
die ansonsten anfallende Kabelkapazität die Güte der Schwingkreise stark limitieren
würde. Die erste Verstärkerstufe der beiden Detektionseinheiten wird ebenfalls im
kryogenen Bereich platziert, was eine erhebliche Verbesserung des Signal-zu-RauschVerhältnis zur Folge hat (siehe hierzu Abschnitt 4.2.1). Die Raumtemperaturelektronik ist zum Zeitpunkt dieser Diplomarbeit noch im Aufbau begriffen. Die
nötigen Bestandteile sind jedoch größtenteils schon vorhanden oder leicht kommerziell erhältlich. Diese umfassen eine Reihe von Frequenzgeneratoren zur Anregung des
Teilchens und zum Treiben des Spin-Flips. Außerdem den Raumtemperaturbereich
der Nachweiseinheiten, jeweils bestehend aus einem Verstärker, Down-Mixer und
3.2. BESTIMMUNG DES G-FAKTORS
23
dem FFT zur Spektrumanalyse. Die Spannungen für die Fallenelektroden werden
über eine hochpräzise Spannungsquelle der Firma Stahl Electronics geliefert. Die
Ansteuerung des gesamten Experiments soll über einen PC erfolgen.
3.2
Bestimmung des g-Faktors
Der folgende Abschnitt befasst sich mit der Messung des g-Faktors in einer Penning~ ist durch das
Falle. Der g-Faktor des Protons mit Masse m, Ladung e und Spin S,
Verhältnis aus dem magnetischen Moment ~µ und dem Kernmagneton µK = eh̄/2m
gegeben durch
~
~µ
S
= −g .
µK
h̄
(3.1)
Die Energieaufspaltung ∆E zwischen den beiden möglichen Spin-Orientierungen
~ = Bez ist gegeben durch
parallel oder antiparallel zu einem magnetischen Feld B
eh̄
B
(3.2)
2m
wobei die Larmorfrequenz ωL die Stärke der Zeeman-Aufspaltung angibt. Der gFaktor kann also durch Messung der Larmorfrequenz ωL und des Magnetfeldes B
bestimmt werden. Letzteres kann sehr präzise über die Zyklotronfrequenz ωc =
e/mB gemessen werden. Der g-Faktor ergibt sich damit zu
ωL
g=2 .
(3.3)
ωc
∆E = −g
Die Bestimmung des g-Faktors reduziert sich also auf die Messung zweier Frequenmagnetische Feldlinien
B
ferromagnetischer Ring
Abbildung 3.3: Verzerrung eines homogenen Magnetfelds durch einen ferromagnetischen Ring.
zen, ωL und ωc . Die freie Zyklotronfrequenz ωc kann nach dem Invarianztheorem
(Gl. 2.13) über die Bestimmung der drei Bewegungsmoden der Penning-Falle berechnet werden. Diese erhält man wie folgt:
• ωz wird über den Dip im Rauschspektrum des axialen Nachweiskreises bestimmt.
• ω+ wird über eine Anregung des Zyklotron-Nachweises bestimmt (Peak-Methode).
KAPITEL 3. G-FAKTOR PROTON
Potential (bel. Einheiten)
24
‘spin down’
0,1 neV
36 meV
ohne Spin
‘spin up’
‘spin down’
‘spin up’
z-Achse
60μm
Abbildung 3.4: Die gestrichelte Linie gibt schematisch das Potential ohne Spinabhängigkeit an. Die beiden durchgezogenen Linien zeigen die unterschiedliche
Krümmung des Potentials durch die Wechselwirkung des Spins mit dem Magnetfeld.
Die unterschiedliche Krümmung führt zu unterschiedlichen Frequenzen. Durch deren
Messung kann der Spin-Zustand des Protons bestimmt werden. Als Zahlenbeispiel
ist der Potentialunterschied in der Analysefalle für das Proton bei 4 K angegeben.
• ω− wird über Seitenbandkopplung an die axiale Mode mit dessen Detektionseinheit bestimmt [Ver03].
Der Einfluss der Messfehler der einzelnen Frequenzen auf die hieraus bestimmte
Zyklotronfrequenz ist
ωz
ω−
ω+
∆ω+ + ∆ωz +
∆ω−
(3.4)
∆ωc =
ωc
ωc
ωc
Da die reduzierte Zyklotronfrequenz die größte der drei Eigenfrequenzen ist (siehe
Gl. (2.14)) muss diese, für eine möglichst präzise Bestimmung der freien Zyklotronfrequenz, am genausten gemessen werden.
Die zweite zu bestimmende Frequenz ist die Larmorfrequenz ωL . In der idealen Penning-Falle existiert keine Möglichkeit die Larmorfrequenz zu messen, da die
Bewegungsmoden unabhängig von der Spin-Einstellung des Protons sind. Durch
die Verwendung von ferromagnetischem Material für die Ringelektrode kann eine
künstliche Inhomogenität des magnetischen Feldes (“magnetische Flasche”), wie in
Abbildung 3.3 gezeigt, geschaffen werden. Das Magnetfeld in axialer Richtung Bz ist
dann durch den homogenen Anteil B0 und einen zusätzlichen quadratischen Anteil
B2 gegeben
Bz = B0 + B2
!
ρ2
.
z −
2
2
(3.5)
Durch die Interaktion der µz -Komponente des magnetischen Moments mit der magnetischen Flasche erfährt das Proton in axialer Richtung ein je nach Spin-Orien-
3.2. BESTIMMUNG DES G-FAKTORS
25
3.2 mm
8.2 mm
1.2 mm
1.5 mm
1.2 mm
8.2 mm
Abbildung 3.5: In diesem Schnittbild der Analysefalle sind die Endkappen, die Korrekturelektroden und die toroidale Ringelektrode abgebildet. Der Innendurchmesser
des Toroids beträgt 1,8 mm.
tierung tieferes oder flacheres Potential gemäß
Φmag
= ±µz (B0 + B2 (z 2 − ρ2 /2))
z
(3.6)
das sich zum elektrostatischen Potential Φ aus Gl. (2.1) hinzuaddiert
ΦGesamt =
C2 U0 2
z ± µz B2 (z 2 − ρ2 /2).
2d2
(3.7)
Die Potentiale für die beiden Spin-Orientierungen sind in Abbildung 3.4 schematisch
dargestellt. Die Lösung der axialen Bewegungsgleichung für dieses Potential liefert
die axiale Frequenz
1
νz =
2π
s
eC2 U0 2µz B2
±
md2
m
(3.8)
Dies bedeutet, dass sich die Spin-Orientierung durch einen Sprung in der axialen
Frequenz bemerkbar macht. Die Größe dieses Frequenzunterschieds δνz kann durch
den Vergleich der beiden Potentialtiefen erhalten werden
δνz ≈
µz
Φmag
z
νz =
B2
el
Φz
2mπνz
(3.9)
Die axiale Frequenz liegt in der Analysefalle für eine Fallenspannung von U0 = 1 V
bei νz = 682 kHz. Die magnetische Flasche zur Bestimmung des g-Faktors des
gebundenen Elektrons in wasserstoffähnlichen Ionen hat eine Stärke von B2 =
10 mT/mm2 [Ver03]. Hieraus resultieren für das Elektron Frequenzunterschiede von
δνz ≈ 200 mHz. Umgerechnet auf das Proton ergibt sich, aufgrund des kleineren
magnetischen Moments ein Frequenzunterschied von δνz = 6,3 mHz. Zur erfolgreichen Detektion dieses Frequenzunterschieds müssten die Schwankungen der Absolutfrequenz νz geringer sein. Dies würde eine Stabilität der Fallenspannung von
26
KAPITEL 3. G-FAKTOR PROTON
9 nV vorraussetzen, was nur unter großem Aufwand realisierbar ist [KBF03]. Um
den Frequenzunterschied in detektierbare Größenordnungen zu bringen wurde eine neue zylindrische Falle, die sogenannte “hybride” Falle entwickelt [KVB+ 07].
Neu ist hierbei die Verwendung einer ferromagnetischen Ringelektrode mit toroidaler Geometrie, wodurch im Vergleich zu einer reinen zylinderförmigen Geometrie
eine stärkere magnetische Flasche erreicht wird. Die resultierende 5-polige Analysefalle ist in Abbildung 3.5 gezeigt. Der Ring besteht aus CoFe, welches eine
hohe Sättigungsmagnetisierung von 2,1 T besitzt. Hiermit wird insgesamt ein B2
von 400,3 mT/mm2 erreicht, womit der Frequenzunterschied voraussichtlich δνz =
252 mHz beträgt. Dieser Frequenzunterschied sollte ausreichen, um die Spin-Orientierung feststellen zu können. Die reduzierte Zyklotronfequenz liegt bei 28,957 MHz
und die Magnetronfrequenz bei 8, 033 kHz.
Da nun eine Möglichkeit existiert die Spin-Orientierung des Protons zu detektieren,
bietet sich folgender vereinfachter Messzyklus an:
• Messung von ωc
• Einstrahlen mit ωL
• Detektion der Spin-Richtung
Da ωL nicht exakt bekannt ist wird die Einstrahlfrequenz kontinuierlich verändert.
Wenn die obige Prozedur für jede dieser Frequenzen mehrmals durchlaufen wird,
ergibt sich eine Wahrscheinlichkeitsverteilung für die Induktion eines Spin-Flips aus
der die tatsächliche Larmor-Frequenz ermittelt werden kann.
3.3
Doppelfalle
Wie im letzten Abschnitt festgestellt wurde, ist ein hohes B2 notwendig um den
axialen Frequenzsprung in nachweisbare Größen zu bringen. Allerdings koppeln die
magnetischen Momente der Bahnbewegungen an die magnetische Flasche, wodurch
die Eigenfrequenzen abhängig von den Energien der Bewegunsmoden verschoben
werden. In [BG86] wird für die resultierenden Frequenzverschiebungen eine Korrekturmatrix angegeben. Aus dieser Matrix folgt für die Verschiebung der axialen
Frequenz in Abhängigkeit der Energie der reduzierten Zyklotronbewegung
∆νz =
1
B2
E+ .
B0 4π 2 mνz
(3.10)
In [Häf00] wurde der Einfluss dieser Frequenzverschiebung auf die Messgenauigkeit
des g-Faktors berechnet
∆g = −g
1
B2
νz
∆ν = −g
E+
2
2
ν+
B0 4π mν+2
(3.11)
Es ergibt sich hiermit eine Genauigkeit von ∆g/g = 2 · 10−7 . Die Messung des gFaktors kann also bei einer angestrebten Genauigkeit von 10−9 nicht mit einer einzigen Falle durchgeführt werden. Einer Idee von N. Hermanspahn folgend [Her00], teilt
27
3.4. IONENERZEUGUNG
2,2
2,0
1,8
1,4
1,2
1,0
B
2
2
/ (µT/mm )
1,6
0,8
0,6
0,4
0,2
50
55
60
65
70
75
80
z / mm
Abbildung 3.6: Der Graph zeigt die Abhängigkeit des B2 -Terms in Abhängigkeit
vom Abstand zum Fallenzentrum der Analysefalle. Die Präzisionsfalle wird in einem
Abstand von 73 mm angebracht, da hier der Einfluß des toroidalen Rings gegenüber
den diamagnetischen Suszeptibilitäten der Kupferelektroden vernachlässigt werden
kann.
man die Messung des g-Faktors in zwei Fallen auf. In der so genannten Präzisionsfalle,
in der das Magnetfeld möglichst homogen ist, wird die freie Zyklotronfrequenz
detektiert und die Larmorfrequenz eingestrahlt. In der so genannten Analysefalle wird die Spin-Orientierung detektiert. In Abbildung 3.6 ist der B2 -Term im
Präzisionsfallenzentrum in Abhängigkeit vom Abstand zum Analysefallenzentrum
aufgetragen. Aus früheren Experimenten mit ähnlichem Aufbau [Ver03] konnte eine
Abschätzung für die Inhomogenität des Magnetfeldes in der Präzisionsfalle getroffen
werden. Der Abstand wurde mit 73 mm so gewählt, dass der Einfluss der magnetischen Flasche kleiner ist als die durch die Fallenkomponenten verursachte Verzerrung. Der Transport zwischen den beiden Fallen erfolgt über Driftelektroden. Der
komplette Fallenturm, dessen Konzeption und Herstellung im Rahmen der DoktorArbeit von Susanne Kreim stattfand, ist in Abbildung 3.7 gezeigt. Die geometrischen
Dimensionen der beiden Fallen sind in Tabelle 3.1 aufgelistet.
3.4
Ionenerzeugung
Da die Fallenkammer in sich abgeschlossen ist, muss das Proton innerhalb dieser
erzeugt werden [Ulm06b]. Am linken Ende des Fallenturms (siehe Abbildung 3.7)
befindet sich ein Array, welches aus einer Vielzahl von Nanodrähten besteht [UA].
28
KAPITEL 3. G-FAKTOR PROTON
159 mm
Target
Array
Analysefalle
Präzisionsfalle
Beschleunigerelektrode
Abbildung 3.7: In der Abbildung ist der komplette Fallenturm zu sehen. Auf der
linken Seite ist die Analysefalle mit ihrer toroidalen Ringelektrode positioniert. Die
Präzisionsfalle ist auf der rechten Seite zu finden. Beide Fallen sind über Driftelektroden verbunden, die einen adiabatischen Transport des Protons ermöglichen. Die
Protonen werden durch Elektronenbeschuss eines Targets aus Poly-Ethylen erzeugt,
welches auf der rechten Seite angebracht ist. Die Elektronen werden durch Anlegen einer Ziehspannung an der Beschleunigerelektrode aus dem FeldemissionspitzenArray emittiert, das auf der linken Seite im Fallenturm positioniert ist.
AF(mm) PF(mm)
Innenradius des Toroids/ der Ringelektrode
1,8
3,5
1,54
0,92
Länge des Rings
Länge der Korrekturelektrode
1,165
2,848
8,285
6,912
Länge der Endkappe
0,14
0,14
Abstand zwischen den Elektroden
Länge der Falle
21
21
5,5
5,53
Effektiver Elektrodenabstand
Tabelle 3.1: In der Tabelle sind die geometrischen Parameter der Analysefalle (AF)
und der Präzisionsfalle (PF) aufgelistet.
Bei Anlegen einer Ziehspannung tritt an diesen Spitzen Feldemission auf. Durch
die Vielzahl an Emissionsspitzen ist die Funktionalität auch beim Ausfall einzelner
Spitzen gewährleistet. Die Zuverlässigkeit eines solchen Arrays ist also höher als bei
der Verwendung einer einzelnen Feldemissionsspitze.
Die emittierten Elektronen folgen den Magnetfeldlinien und treffen auf das Target,
welches auf der gegenüberliegenden Seite des Fallenturms positioniert ist. Dieses
besteht aus schwarzem Poly-Ethylen. Durch die auftreffenden Elektronen werden
unter anderem H-Atome emittiert, die in der Präzisionsfalle ionisiert werden. Um
ein einzelnes Proton zu erhalten werden unerwünschte Teilchen-Sorten aus der Falle
entfernt. Hierzu wird eine breitbandige Dipol-Anregung eingestrahlt, wobei die axiale Frequenz der Protonen herausgefiltert wird [Häf00]. Die Protonenzahl wird durch
sukzessive Erniedrigung des Fallenpotentials reduziert, wodurch “heißere” Protonen
aus der Falle entweichen [GPQ+ 95]. Die Funktion des Arrays wurde unter vielen
29
3.5. PHASENMETHODE
60
Array
Target
50
Strom (nA)
40
30
20
10
0
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
1,8
Ziehspannung (kV)
Abbildung 3.8: In dem Graphen sind der Strom am Target und am Array als Funktion der an der Beschleuniger-Elektrode angelegten Ziehspannung aufgetragen. Die
Übereinstimmung dieser beiden lässt den Schluss zu, dass die Elektronen das Target
treffen. Damit ist die Erzeugung der Protonen erfolgreich getestet worden.
Bedingungen getestet [Ulm06b]. So lieferte es unter kryogenen Bedingungen und im
Magnetfeld einen stabilen Elektronenstrom. Vor kurzem konnte auch die Funktion innerhalb des Fallenturms erfolgreich getestet werden. Dabei wurde ein Strom
auf dem Target gemessen, der äquivalent zu dem Ziehstrom am Array ist, wie in
Abbildung 3.8 zu sehen ist.
3.5
Phasenmethode
Bei den bisherigen in Mainz durchgeführten g-Faktor Messungen wurde die Präzision
u.a. durch die zeitliche Drift des Magnetfeldes limitiert [Ver03, Häf00]. Die Phasenmethode ist eine Möglichkeit um die Messzeit zu verkürzen und damit den Einfluß
dieser Drifts zu reduzieren. Um die Funktionsweise zu verstehen wird nochmals der
in Abschnitt 3.2 vorgestellte Messablauf diskutiert.
• Einstrahlen mit ωL
• Messung von ωc
• Detektion der Spin-Richtung
Die ersten beiden Punkte werden zeitgleich in der Präzisionsfalle durchgeführt. Da
die Detektion der Spin-Richtung nicht in der Präzisionsfalle, sondern in der Analy-
30
KAPITEL 3. G-FAKTOR PROTON
B
langsamer
‘spin up’
schneller
Phasen
Unterschied
‘spin down’
Abbildung 3.9: Phasenentwicklung für die zwei Spin-Orientierungen.
sefalle stattfindet, ist dieser Punkt ein separater Messprozess der nun aufgeschlüsselt
wird. Bei den bisherigen in Mainz durchgeführten Experimenten wurde dabei wie
folgt vorgegangen. Das Proton wird in die Analysefalle transportiert und hier wird
untersucht ob in der Präzisionsfalle ein Spin-Flip stattgefunden hat. Dazu wird
zunächst die axiale Frequenz detektiert. Im Anschluss wird in der Analyse-Falle der
Spin mittels eines gewöhnlichen Rabiresonanz-Verfahrens umgeklappt und je nachdem ob sich die Frequenz nach oben oder unten verschiebt kann eine Aussage über
die vorherige Spin-Orientierung getroffen werden. Da das Treiben des Spin-Flips ein
inkohärenter Prozess ist, kann man höchstens mit einer 50%-igen Wahrscheinlichkeit
den Spin umklappen. Dies bedeutet, dass im Durchschnitt mehr als zwei Versuche
(also auch Frequenzmessungen) benötigt werden, um eine Aussage über die SpinOrientierung geben zu können. Für jede der einzelnen Messungen wird eine Zeit
benötigt, die durch das Fourier-Limit begrenzt ist
tm = 1/δνz .
(3.12)
Für einen axialen Frequenzunterschied von δνz = 251 mHz, der beim Protonexperiment voraussichtlich erreicht wird, ergibt sich somit eine Messzeit von tm = 4 s.
Der entscheidende Punkt ist nun, dass die Absolutfrequenz uninteressant ist. Relevant ist nur der Frequenzunterschied zwischen den beiden Spin-Orientierungen.
Hier setzt die Phasenmethode an [SAD+ 05]. Betrachtet man zwei Protonen mit unterschiedlichen Spin-Orientierungen aber gleicher Startphase (siehe Abbildung 3.9),
so ergibt sich nach einer gewissen Wartezeit tw eine Phasendifferenz zwischen den
beiden Frequenzen
δϕ = 2πδνz tw .
(3.13)
Eine Möglichkeit diesen Phasenunterschied zu messen, ermöglicht eine zügigere Messung, da hiermit das für die Messung der Absolutfrequenz begrenzende Fourier-Limit
unterschritten werden kann. Die Prozedur zur Phasenmethode ist in Abbildung 3.9
aufgeführt: Das Proton wird über eine Dipol-Anregung mit definierter Phase angeregt. Im Folgenden entwickelt sich das Proton für die Zeit tw frei. Nach dieser Zeit
wird die Phase detektiert. Ein Spin-Flip macht sich durch einen Sprung um δϕ in
der detektierten Phase bemerkbar. Das Verhältnis der beiden Zeiten, also der Faktor
um den sich die Prozedur verschnellert ist demnach
2π
tm
=
(3.14)
tw
δϕ
3.6. PULSROHR-KÜHLER
31
Abbildung 3.10: Anregungs- und Detektionsschema der Phasenmethode. Nach der
Anregung entwickelt sich das Proton frei. Danach wird die Phase detektiert.
Der Zeitgewinn hängt damit davon ab, welche Phasenunterschiede noch detektiert
werden können. In einem ersten Experiment konnte eine Phase von 45 Grad aufgelöst
werden, was einem Zeitgewinn von einem Faktor 8 entspricht [SAD+ 05]. Hierbei
war die Auflösung dadurch limitiert, dass das Teilchen immer in Wechselwirkung
mit dem axialen Schwingkreis stand. Somit wurde die Amplitude gedämpft wodurch die Phasenauflösung geschwächt wurde. Der Ansatz ist nun, die Bewegung
des Teilchens vom Schwingkreis zu entkoppeln. Durch künstliches herabsetzen der
Güte des Schwingkreises kann der effektive Parallelwiderstand Rp drastisch reduziert
werden, was sich direkt in der Kühlzeitkonstanten τ auswirkt. Man benötigt also
eine Art “Güte-Schalter”, der den Parallelwiderstand des Nachweiskreises instantan
verändern kann. Die Realisierung eines solchen Schalters kann in [AO07] gefunden
werden.
3.6
Pulsrohr-Kühler
Der Pulsrohr-Kühler, der in Abbildung 3.11 abgebildet ist, wurde als Teil des Kryostaten von Stefan Ulmer ausführlich in seiner Diplom-Arbeit behandelt [Ulm06b].
Es handelt sich hierbei um einen zweistufigen Gifford MacMahon-Gasexpansionskühler. Als Arbeitsmedium wird hochreines Helium verwendet. Die Stufe 1 liefert
eine Kühlleistung von etwa 7 W bei einer Temperatur von 77 K und die Stufe 2 leistet etwa 350 mW bei einer Temperatur von 4 K.
Ein Grossteil der im Rahmen dieser Diplom-Arbeit durchgeführten Tests fanden in
kryogener Umgebung statt. Hierzu wurde der von Stefan Ulmer entwickelte Teststand benutzt, der ein schnelles und komfortables Testen kryogener Bauteile ermöglicht. Der Teststand besteht aus einem 19-Zoll-Rack an dem der Pulsrohrkühler
aufgehängt ist. Die Stufe 2 (auch kalte Stufe genannt) ist somit leicht zugänglich.
Der Kühler besitzt an seiner Unterseite einen CF-200 Flansch zum Anbau einer Vakuumkammer. Diese besteht aus dem Kühler, einem Messstutzen und einem Rohr,
dessen Länge je nach Bedarf variiert wird. Über den Messstutzen, der eine Reihe
von seitlich angebrachten CF-40 Flanschen besitzt, können Druck- und Temperatursensoren sowie Leitungen für die Elektronik angeschlossen werden. Das zu testende
32
KAPITEL 3. G-FAKTOR PROTON
Stufe 1
Wärmetauscher
Stufe 2
Wärmetauscher
Abbildung 3.11: Die Abbildung zeigt den Pulsrohr-Kühler der Firma VERICOLD.
Der Kühler selbst besitzt, im Gegensatz zu üblichen GiffordMcMahon-Kühlern keine
beweglichen Teile, was einen sehr vibrationsarmen Betrieb erlaubt.
Bauteil wird an der kalten Stufe des Kühlers montiert. Um die Last auf die kalte
Stufe zu verringern wird ein Hitzeschild an der Stufe 1 befestigt. Dieses Hitzeschild
besteht aus einem an der Unterseite geschlossenen Edelstahl-Zylinder.
Der entscheidende Vorteil bei der Verwendung des Kühlers sind die geringen Abkühlund Aufwärmzeiten. Die Temperatur der kalten Stufe ist bereits nach ungefähr 3
Stunden, je nach Masse des zu kühlenden Objekts, nur wenige Kelvin über ihrer
Endtemperatur. Die Zeit, die das Testobjekt zur Thermalisierung benötigt, hängt
jedoch abgesehen von der Masse auch von der thermischen Ankopplung an die kalte Stufe ab. Die Aufwärmdauer hängt vom Wärmeeintrag auf die kalte Stufe ab.
Hier spielen die Güte des Vakuums, die Größe, Oberflächenbeschaffenheit und Masse des Testobjekts, sowie weitere Faktoren eine Rolle [Ulm06b]. Als Erfahrungswert
können rund 12 Stunden angegeben werden. Die Äufwärmzeit kann durch einen an
der kalten Stufe angebrachten Heizwiderstand verringert werden.
Der Nachteil gegenüber einem konventionellem He-Dewar ist die flexible Endtemperatur der kalten Stufe. Diese hängt direkt mit dem Wärmeeintrag zusammen, da
der Kühler nur eine bestimmte Wärmemenge abtransportieren kann. Bei einem HeDewar ist im schlimmsten Fall der Verbrauch an flüssigem Helium sehr hoch. Die
Endtemperatur beträgt jedoch stets 4,2K. Für die Tests mit supraleitenden Materialien (siehe Abschnitt 4.1.8) muss also auf eine Minimierung des Wärmeeintrags
geachtet werden um die Sprungtemperatur zu unterschreiten.
Kapitel 4
Die kryogene Detektionseinheit
Die kryogene Nachweis-Elektronik zur Detektion der axialen Frequenz ist einer der
Stützpfeiler für eine erfolgreiche Durchführung des Experiments. Um die Wichtigkeit
zu untermauern sollen hier kurz die Operationen aufgelistet werden, die die axiale
Detektionseinheit betreffen:
• Messung der axialen Bewegungsfrequenz νz
• Messung der Magnetronfrequenz ν−
• Detektion der Spin-Orientierung
• Kühlen der axialen und der Magnetronbewegung
An der Fülle der Aufgaben ist zu erkennen, dass eine sorgfältige Konzeption des
axialen Nachweis zwingend erforderlich ist. Für eine präzise Messung und für eine schnelle Kühlung ist ein entscheidender Parameter der effektive Parallelwiderstand Rp des Schwingkreises, wie in Abschnitt 2.3 erläutert wurde. Die Realisierung
der Induktivität als Helix-Resonator und dessen Charakterisierung ist ein Hauptbestandteil dieser Diplom-Arbeit und wird ausführlich in Abschnitt 4.1 behandelt.
Die Detektierbarkeit des vom Proton induzierten Signals hängt nicht nur von dessen
Größe, sondern auch von der Größe des Rauschuntergrunds ab. Dieser Aspekt des
Signal-zu-Rausch-Verhältnisses wird im Rahmen der Charakterisierung der ersten
Verstärkerstufe in Abschnitt 4.2 diskutiert.
4.1
Der axiale Schwingkreis
Der Schwingkreis zur Detektion der axialen Bewegungsmode setzt sich nach Abschnitt 2.3 aus der Fallenkapazität und einer Parallelgeschalteten Induktivität zusammen. Jede reale Induktivität besitzt neben der Induktivität eine Eigenkapazität
Cs parallel zu dieser und einen Verlustwiderstand RL in Reihe zur Induktivität.
Die Eigenkapazität der Induktivität liegt parallel zur Falle und addiert sich somit
zu deren Kapazität. Für einen hohen Parallelwiderstand Rp muss nach Gl. (2.29)
die Eigenkapazität der Induktivität minimiert werden. Eine geeignete Geometrie
33
34
KAPITEL 4. DIE KRYOGENE DETEKTIONSEINHEIT
für die Induktivität stellt der im nächsten Abschnitt vorgestellte Helix-Resonator
dar, der aus einer zylindrischen Spule in einem zylindrischem Gehäuse besteht.
Um den Verlustwiderstand RL zu minimieren werden für den Spulendraht und das
Gehäuse supraleitende Materialien verwendet. Die Abschnitte 4.1.2 bis 4.1.4 befassen sich mit der theoretischen Betrachtung der elektrischen Eigenschaften von HelixResonatoren. Zur experimentellen Verifizierung wurden zunächst Kupferdrahtspulen
in einem Kupferresonator mit dem in Abschnitt 4.1.5 vorgestellten Messaufbau charakterisiert (siehe Abschnitte 4.1.6 und 4.1.7). Die Messergebnisse zu supraleitenden
Resonatoren werden in Abschnitt 4.1.8 diskutiert.
4.1.1
Geometrie des Helix-Resonators
Ein Helix-Resonator besteht aus einer Zylinderluftspule in einem zylindrischen Gehäuse. Die Notwendigkeit der Verwendung einer Luftspule liegt an der Positionierung
im Magnetrohr. Ferromagnetische Kerne würden im 1,9 T starken Feld des supraleitenden Magneten in Sättigung gehen. Zur mechanischen Halterung des Drahtes wird
ein Spulenkörper aus Teflon verwendet. Teflon eignet sich aufgrund geringer dielektrischer Verluste, was in Abschnitt 4.1.4 näher diskutiert wird. Frühere Tests zeigten
Güteverbesserungen bei geringerer Teflonmenge [Ulm06b]. Dies entspricht auch den
Erwartungen da generell die dielektrischen Verluste sämtlicher Materialien schlechter sind als die von Vakuum. Die Tests betrafen den Resonator für den Nachweis
der reduzierten Zyklotronfrequenz, die mit ν+ = 28,957 MHz deutlich höher liegt als
die axiale Frequenz νz = 682 kHz. In Abschnitt 4.1.4 wird gezeigt, dass die dielektrischen Verluste mit der dritten Potenz der Frequenz skalieren. Damit sind für den
axialen Nachweis evtl. keine Effekte zu erwarten. Dennoch wird beispielsweise die
Wandstärke des Spulenkörpers auf ein Mindestmaß reduziert.
Die Spule wird in einem zylindrischen Gehäuse, dem Resonator, platziert. Dieser
Abbildung 4.1: Teflonkörper im Kupferresonator. Der Spulendraht ist hier stark
vergrößert eingezeichnet
dient als HF-Abschirmung, deren negativer Einfluss auf die Kapazität, Induktivität
und Güte der freien Zylinderluftspule durch sorgfältige Dimensionierung minimiert
4.1. DER AXIALE SCHWINGKREIS
35
DC Korrekturelektrode Präzisionsfalle
DC Endkappe Präzisionsfalle
Q-Switch
Amp
UMF
zu Raumtemperatur
DC Korrekturelektrode Analysefalle
DC Endkappe Analysefalle
Abbildung 4.2: Die Abbildung zeigt die im kryogenen Bereich platzierte axiale Elektronik. In der Mitte ist der Flansch mit den Durchführungen zur Fallenkammer abgebildet. Der Signalabgriff erfolgt jeweils an einer Korrekturelektrode und einer Endkappe. Um den Schwingkreis von den Gleichspannungsleitungen zu entkoppeln werden diese über Widerstände Wechselspannungsmäßig geblockt. Da die Widerstände
parallel zum Resonanzwiderstand des Schwingkreises liegen, erniedrigen sie diesen.
Um den Effekt zu minimieren sollten die Widerstände im hohen MΩ-Bereich liegen.
Die Kapazitäten dienen zur Abkopplung der Gleichspannungen. Um das HF-Signal
nicht abzuschwächen, sollten Kapazitäten im Bereich hoher pF bis nF verwendet
werden. Auf der linken Seite des UMF sind der Resonator mit dessen Abgriffspule
sowie der Q-Switch und der Verstärker positioniert. Die Versorgungsspannung für
die Endkappe der Analysefalle wird über den Axial-Resonator angelegt, womit ein
Parallelwiderstand entfällt.
werden kann. Diese drei Eigenschaften werden in den folgenden Abschnitten behandelt. Die nach Mac Alpine [MS59] optimale Dimensionierung ist einem λ/4Resonator nachempfunden. Die angegebene Faustformel für die optimale Güte bei
Raumtemperatur ist
√
(4.1)
Q = 50D ν0 ,
wobei hier D den Innendurchmesser des Gehäuses in Zoll und ν0 die Resonanzfrequenz des freien Resonators in MHz angeben. Die Güte kann also durch eine
Vergrößerung des Resonatordurchmessers erhöht werden. Durch den im kryogenen
Bereich zur Verfügung stehenden Platz ist der Durchmesser des Resonators allerdings auf Dg = 52 mm begrenzt (siehe Abbildung 3.2). Bei einer Wandstärke von
0,5 mm ergibt sich ein Innendurchmesser von D = 51 mm. Aus [MS59] folgen für die
ideale Länge des Resonators
L = D · 1,325 = 67,6 mm
(4.2)
und den Spulendurchmesser sowie die Spulenlänge
d = 0,55 · D = 28,05 mm
l = 1,5 · d = 42,1 mm.
(4.3)
(4.4)
36
KAPITEL 4. DIE KRYOGENE DETEKTIONSEINHEIT
Der MacAlpine-Formalismus legt also vollständig die Geometrie des Resonators und
des Spulenkörpers fest. Für erste Tests (siehe hierzu Abschnitte 4.1.6 und 4.1.7)
wurde zunächst ein Resonator aus sauerstofffreiem (OFHC) Kupfer hergestellt (siehe
Abbildung 4.1). Dieser besteht aus dem Resonatortopf und dem Deckel, an dem der
Spulenkörper mit zwei Schrauben befestigt wird. Der Deckel wird mit drei Schrauben
am Resonatortopf verschraubt. Der nach diesen Tests angefertigte supraleitende
Resonator wurde leicht modifiziert. Die Befestigung des Spulenkörpers erfolgt über
drei Schrauben, so dass ein Verkippen des Spulenkörpers im Resonator verhindert
werden kann. Zusätzlich wurde die Anzahl der Schraubenlöcher am Deckel auf 12
erhöht um einen ausreichenden Kontakt zu gewährleisten.
Ein wichtiges Kriterium für einen hohen Parallelwiderstand ist die Übereinstimmung
der Resonanzfrequenz mit der axialen Frequenz νz = 682 kHz. Die Spule muss also
so dimensioniert werden, dass die Resonanzfrequenz des Schwingkreises νLC gepaart
mit zusätzlichen parasitären Kapazitäten mit dieser Frequenz übereinstimmt
νLC =
1
q
2π L(Cs + Cp )
.
(4.5)
Hierbei sind L die Induktivität und Cs die Eigenkapazität der Spule. Die zusätzlichen
Kapazitäten Cp setzen sich aus den Fallenkapazitäten, den Kapazitäten der Kabelführung und der restlichen Detektionselektronik zusammen. Eine erste Abschätzung, aus Erfahrungswerten bei früheren Experimenten getroffen, ergab eine Gesamtkapazität von Cs + Cp = 25 pF. Die benötigte Induktivität errechnet sich zu
L=
1
(2πν)2 (Cs
+ Cp )
≈ 2 mH.
(4.6)
Eine genauere Untersuchung zu einem späteren Zeitpunkt ergab eine weitaus höhere
Kapazität Cp . Die Zusammensetzung ist in Abbildung 4.2 zu sehen, die grob vereinfacht die Schaltung der axialen Nachweiseinheit wiedergibt. Die Kapazitäten
der einzelnen Elemente sind in Tabelle 4.1 aufgelistet. Eine Ursache für die Fehleinschätzung waren die unterschätzten Fallenkapazitäten, die erst nach Fertigstellung des Fallenturms vermessen werden konnten. Die hieraus benötigte Induktivität
von L ≈ 1 mH ist nur halb so groß, wie die oben veranschlagte Induktivität, die für
die Testmessungen verwendet wurde.
4.1.2
Induktivität des Helix-Resonators
Für die Induktivität einer Zylinderluftspule mit n Windungen gilt nach [SK03]
L(mH) =
π 2 n2 d2
· 10−7 .
l + 0,45d
(4.7)
Hier und für die im Folgenden häufiger auftretenden ingenieursmässigen Formeln
sind Längenangaben immer in mm anzusetzen. Das Resonatorgehäuse befindet sich
im Feld der Spule. Bei Feldänderungen in der Spule werden im Gehäuse Spannungen
37
4.1. DER AXIALE SCHWINGKREIS
Element
Analysefalle
Präzisionsfalle
Durchführung
Resonator
Q-Switch
Verstärker
Kabelführung
Kapazität (pF)
Quelle
17/18
Schwingkreis/Fluke
13/15
Schwingkreis/Fluke
1,8/2
Schwingkreis/Fluke
5-10
Messung
3,5-6
Schätzwert
12-14/5-10
Schwingkreis
5
Schätzwert
Tabelle 4.1: In der Tabelle sind in der ersten Spalte die Komponenten des axialen Schwingkreises aufgelistet. Die zweite Spalte gibt die Größe der Kapazität an,
die über die in der dritten Spalte angegebene Methode ermittelt wurde. Die Kapazitäten der Durchführungen und der Analysefalle wurden mit dem Fluke und über
den Schwingkreis gemessen. Bei letzterer Methode wurde zunächst dessen Kapazität bestimmt. Die Kapazität der Fallen oder der Durchführung kann durch die
Verschiebung der Resonanzfrequenz bei Parallelschalten bestimmt werden. Die Kapazität des Resonators wird ausführlich in Abschnitt 4.1.6 behandelt. Die Messung
der Verstärkerkapazität ist in Abschnitt 4.2.2 zu finden.
induziert. Der Resonator bildet eine Gegeninduktivität und verringert somit die
effektive Induktivität der Spule. In [ARR96] wird eine Formel für die resultierende
Induktivität angegeben:

d
π 2 n2 d2
· 10−7 1 −
L(mH) =
l + 0,45d
D
!3  
l
 1 −
2L
!2 
.
(4.8)
Da die Abmessungen des Spulenkörpers fest liegen, kann bei festem Drahtdurchmesser die Induktivität nur durch mehrlagiges Wickeln erhöht werden. Die theoretischen
Korrekturen durch die Mehrlagigkeit werden in [MG68] angegeben zu
c
(4.9)
∆(1)L(nH) = − K10 ,
l
wobei c die Dicke der Lagen angibt und K10 ein Korrekturfaktor ist, der aus Abbildung 4.3 zu entnehmen ist. Für dicke Drahtisolierung kommt noch ein zweiter
Korrekturterm dazu
s
+ 0,155.
(4.10)
∆(2)L(nH) = 62,8D · n ln
2r
Hierbei ist s der Abstand der Drahtmitten und r ist der Radius des Leiters.
4.1.3
Kapazität des Helix-Resonators
Die Kapazität eines Helix-Resonators setzt sich aus mehreren Elementen zusammen:
Der Kapazität der Spule, also der Windungen untereinander und der Kapazität der
gesamten Wicklung gegenüber dem Resonator. Für mehrlagige Wicklungen muss
zusätzlich die Kapazität der Lagen untereinander beachtet werden. Diese einzelnen
Beiträge sollen im folgenden aufgeschlüsselt werden.
38
KAPITEL 4. DIE KRYOGENE DETEKTIONSEINHEIT
Abbildung 4.3: In der Abbildung aus [MG68] ist der Korrekturfaktor K10 für die
Induktivität mehrlagiger Spulen angegeben.
Kapazität von Zylinderluftspulen. Für eine Spule ohne Abschirmung wird
in [Lor70] folgende Näherungsformel angegeben:
q
Cs (pF) = 0,01126 · l/d + 0,008 + 0,027/ l/d · d.
(4.11)
Hierbei sind Abmessungen wieder in mm angegeben. Eine weitere Formel für die
Spulenkapazität liefert [DA01]:
Cs (pF) = 0,0394l · [(0,3d/l + 0,5)d/l + 0,23] .
(4.12)
Abbildung 4.4: In der Abbildung ist eine Hälfte des Schnitts durch die Spule gezeigt.
Die einzelnen Windungen werden durch Kreise symbolisiert wobei die Nummer die
Windungsreihenfolge angibt. Es handelt sich hier um eine einfache Lagenwicklung;
Hin-Zurück.
Kapazität von Spulen im Resonator. Für die Berechnung dieser Kapazität
kann man die Spule mit Resonator näherungsweise als Zylinderkondensator auffassen
39
4.1. DER AXIALE SCHWINGKREIS
und erhält:
Cs (pF) = 0,024
l
.
log D/d
(4.13)
Für die Gesamtkapazität des Resonators muss die Eigenkapazität der Spule aus Gl.
(4.11) bzw. (4.12) hinzuaddiert werden. In [MS59] wurde dies durch einen höheren
Vorfaktor in Gl. (4.13) zusammengefasst. Hiermit erhält man eine kompakte Formel
für die Eigenkapazität
Cs (pF) = 0,03
l
.
log D/d
(4.14)
Kapazität von mehrlagigen Spulen. Für mehrlagige Spulen muss neben der
Kapazität zwischen den einzelnen Windungen und der Kapazität durch den Resonator die Kapazität zwischen den Lagen berücksichtigt werden. Eine Näherungsformel
kann bei einer Wicklungstechnik, wie in Abbildung 4.4 gezeigt, in [SK03] gefunden
werden
Cs (pF) =
0,0118 · π d l ε
.
aw
(4.15)
Hierbei ist ε die Dielektrizitätskonstante des Isoliermaterials zwischen den Lagen.
Für Teflon (PTFE) wird in [Ker06] ein ε von 2 bei 1 MHz angegeben. Die Anzahl der
Lagen ist durch w gegeben und a ist der lichte Abstand zwischen dem Leiter zweier
Lagen. Nach Gl. (4.15) kann man die Kapazität deutlich verringern, indem man
die Lagenanzahl erhöht (Abbildung 4.5a)). Da dies wegen des radial zur Verfügung
a)
b)
Abbildung 4.5: In der Abbildung ist das Prinzip der Lagenwicklung dargestellt.
Durch Erhöhen der Lagenanzahl wie in Abbildung a) gezeigt, kann die Spannungsdifferenz zwischen einzelnen Windungen gering gehalten werden, was eine geringe
Eigenkapazität der Spule zur Folge hat.. In Abbildung b) ist das Prinzip der Kammerwicklung anhand einer 4-4 Wicklung gezeigt, d.h. nach jeweils 4 Windungen
wird die Lage gewechselt. Durch diese Unterteilung wird weniger Platz in radialer
Richtung benötigt.
stehenden Platz nicht beliebig möglich ist, wird das Prinzip der Kammerwicklung
angewandt. Dies ist in Abbildung 4.5b) dargestellt. Bei den hier angegebenen Formeln für die Eigenkapazität wurde der Abstand zwischen den einzelnen Windungen
nicht berücksichtigt. Dies gilt natürlich nur, wenn der Kapazitätsbeitrag der Windungen untereinander vernachlässigbar ist.
40
KAPITEL 4. DIE KRYOGENE DETEKTIONSEINHEIT
4.1.4
Güte des Helix-Resonators
Um zu erkennen, wodurch die Güte des Helix-Resonators beeinflusst wird, ist es
hilfreich zunächst die allgemeine Definition der Güte einzuführen. Diese ist definiert
als
Q = 2π
gesamte im Resonator gespeicherte Energie
.
Energieverlust pro Schwingungsperiode
(4.16)
Die gesamte gespeicherte Energie setzt sich aus der elektrischen Feldenergie in der
Kapazität und der magnetischen Feldenergie in der Induktivität zusammen. Es findet
eine periodische Umwandlung von kinetischer Energie in potentielle Energie statt.
Für die Gesamtenergie gilt:
1
1
Wel + Wmag = LI 2 = CU 2 .
2
2
(4.17)
Die Verluste durch Joul’sche Wärme bei periodischen Strömen sind gegeben durch
Wv =
Z
T
RI 2 cos2 (ωt)dt
0
1
1
sin(2ωt)]T0
= I 2 R[ t +
2
4ω
1 2π
= I 2R
,
2 ω
woraus sich die Güte ergibt
Q = 2π
1
LI 2
2
I 2 R 21 2π
ω
=
ωL
.
R
(4.18)
Verluste treten in allen Bestandteilen des Resonators auf, so dass der Verlustwiderstand R als Summe der einzelnen Beiträge aufgefasst werden kann [MG68].
R = RSpule + RResonator + RDielektrisch .
(4.19)
Der erste Term beschreibt die ohmschen Verluste im Draht, der zweite die Verluste
im Resonatorgehäuse und der dritte die dielektrischen Verluste. Im folgenden werden
Formeln zur Berechnung der einzelnen Terme angegeben.
Verluste in der Spule. Für das einfachste Modell kann man die Verluste auf den
Widerstand des Spulendrahts beschränken:
Q=
ωL
.
RSpule
(4.20)
Bei der Berechnung des Drahtwiderstands müssen allerdings der Skin-Effekt und
der Proximity-Effekt berücksichtigt werden. Der Skin-Effekt beschreibt die Stromverdrängung aus dem Inneren eines Leiters, der von Wechselstrom durchflossen wird
[SK03]. Der sich zeitlich verändernde magnetische Fluss erzeugt Wirbelströme, die
den Primärströmen entgegengerichtet sind. Diese Gegenwirkung ist im Leiterinnern
am stärksten, es findet also eine Verdrängung des Stromes in die Haut (engl. Skin)
4.1. DER AXIALE SCHWINGKREIS
41
des Leiters statt. Die Skin-Tiefe δ gibt den Abstand an bei dem der Strom auf 1/e
abgefallen ist:
δ=
s
2ρ
.
µω
(4.21)
Dabei ist ρ der spezifische Widerstand, µ die Permeabilität und ω die Kreisfrequenz
des Stromes. Die Skin-Tiefe nimmt also mit der Wurzel aus der Frequenz ab. Der
Widerstand RSpule errechnet sich zu
RSpule =
ρl
ρl
ρl
≃ 2
≈
,
A
πr − π(r − δ)2
2π r δ
(4.22)
wobei l die Länge des Leiters ist und A die durch den Skin-Effekt verringerte Querschnittsfläche des Leiters angibt. Eine zusätzliche Widerstandserhöhung verursacht
der Proximity-Effekt. Bei benachbarten Leitern tritt zusätzlich zum Skin-Effekt eine Stromverdrängung auf. Bei zwei Drähten mit gleichsinniger Stromrichtung wird
der Strom auf die abgewandte Seite gedrängt. Die Widerstandserhöhung durch den
Skin-Effekt wird um einen zusätzlichen Faktor k erweitert [MG92]
s
k = 1/ 1 −
4r2
,
s2
(4.23)
wobei r der Radius des Leiters ist und s den Abstand zwischen den Drahtmitten
angibt. Bei der Spulenwicklung liegen mehrere Drähte nebeneinander und evtl sogar übereinander, so dass der Proximity-Effekt stärker ist als durch den Faktor k
angegeben. Wie stark diese Erhöhung ausfällt konnte jedoch nicht geklärt werden.
Verluste im Resonator. Durch die im Resonator induzierten Ströme wird in
diesem ebenfalls Leistung dissipiert. Der äquivalente Widerstand RResonator kann
berechnet werden indem man den Resonator als zweite Induktivität L2 mit Widerstand R2 ansieht. Über die Transformatorgleichungen [Dös05, MG68] ergibt sich der
Resonatorwiderstand
RResonator = R2
ω2M 2
ω 2 L22 + R22
(4.24)
und für den bei uns zutreffenden Grenzfall ωL2 ≫ R2 berechnet sich der Widerstand
zu
M2
L22
L1
= R2 k 2
L2
= R2 (A1 /A2 ) n2
RResonator = R2
= R2 (d/D)2 n2 .
(4.25)
42
KAPITEL 4. DIE KRYOGENE DETEKTIONSEINHEIT
Hierbei ist M die Gegeninduktivität, k der Kopplungsfaktor und A1 und A2 die
Querschnittsfläche der Spule bzw. des Resonators. Der Widerstand R2 ist der Widerstand eines zylindrischen Leiters der Länge L in Umfangrichtung unter Berücksichtigung des Skin-Effekts, also
R2 =
ρπD
.
Lδ
(4.26)
Dielektrische Verluste. Als letzten Verlustfaktor müssen die dielektrischen Verluste in den Drahtisolierungen diskutiert werden. Dielektrische Verluste in einem
Kondensator entstehen infolge der durch Wechselfelder bedingten Umpolarisation
sowie des endlichen Widerstands des Dielektrikums. Beide Verlustmechanismen lassen sich durch einen Parallelwiderstand zum Kondensator beschreiben.
Der frequenzabhängige Verlustwinkel eines Kondensators ist gegeben durch
tan φ =
1
Im(Z)
=
.
Re(Z)
RωC
(4.27)
Die Verlustleistung bei angelegter Wechselspannung berechnet sich zu
U2
P =
= U 2 ωC tan φ.
R
(4.28)
Die dielektrischen Verluste einer Spule zwischen zwei Windungen ergeben sich zu
P = Utt2 ωCtt tan φ.
(4.29)
Hierbei sind Ctt die Kapazität und Utt die Spannung zwischen den Windungen. Die
Gesamtleistung erhält man durch aufsummieren. Für hohe Windungszahlen kann
integriert werden. Der axiale Spannungsverlauf über die Länge der Spule l lässt
sich durch eine cos-Funktion beschreiben [MG68]. Bei hoher Windungszahl kann die
Spannungsdifferenz zwischen zwei Windungen als konstant angenommen werden, so
dass die Kapazität homogen angenommen wird. Daraus erhält man für die gesamte
Leistung
PGes = U02
Z
l
cos2
0
π
Cs
x ω x tan φ dx.
2l
l
(4.30)
Hieraus lässt sich der Widerstand parallel zur Eigenkapazität bestimmen
Rp =
1
.
0,15lωCs tan φ
(4.31)
Um die Größe der dielektrischen Verluste mit den anderen beiden Verlusttermen aus
Gl. (4.19) vergleichen zu können, wird dieser Widerstand parallel zur Spule durch
einen seriellen Verlustwiderstand RL der Spule ausgedrückt
Q=
Rp
ωL
=
.
ωL
RL
(4.32)
Der dielektrische Verlustwiderstand aus Gl. (4.19) lautet also
RDielektrisch = 0,15lω 3 L2 Cs tan φ.
(4.33)
4.1. DER AXIALE SCHWINGKREIS
43
Supraleiter-AC-Widerstand
Im letzten Abschnitt wurden die Verlustwiderstände aufgeführt, die die Güte limitieren. Die ersten beiden Terme betrafen ohmsche Verluste im Draht und im Resonator.
Die zunächst plausible Annahme, dass für Supraleiter (SL) die Verlustwiderstände
vom Spulendraht und Resonator aus Gl. (4.19) verschwinden sollten, ist nicht korrekt. Die Ursachen für den endlichen SL-Widerstand sollen hier geklärt werden.
Es werden zwei Effekte unterschieden: Den durch die Platzierung des Supraleiters
in einem Magnetfeld verursachten Widerstand und den durch einen Wechselstrom
hervorgerufenen Widerstand.
Flux-Fluss-Widerstand in Typ-II Supraleitern In diesem Abschnitt soll die
Ursache für den endlichen Widerstand von Typ-II Supraleitern in äußeren Magnetfeldern diskutiert werden [BJ65].
Typ-II Supraleiter zeichnen sich dadurch aus, dass sich ab einer gewissen externen Feldstärke Hc1 normalleitende Bereiche im Supraleiter bilden. Diese sogenannte
Shubnikov-Phase bleibt bis zur kritischen Feldstärke Hc2 erhalten, darüber bricht die
Supraleitung zusammen. In einem äußeren Magnetfeld erfahren die normalleitenden
Zentren oder Vortices eine Lorentz-Kraft und bewegen sich durch den Supraleiter.
Der resultierende Widerstand ist durch folgende Gleichung gegeben [Tin96]:
He
ρmag = ρn
,
(4.34)
Hc2
wobei He die externe Feldstärke angibt und ρn der spezifische Widerstand der normalleitenden Phase ist. Eine anschauliche Erklärung für den resultierenden Widerstand ist folgende:
Durch die Bewegung der Vortices werden andauernd Cooper-Paare aufgebrochen
und wieder gebildet. Finden diese Prozesse mit einer gewissen Zeitverzögerung statt,
so erfolgt die Paarbrechung in einem höheren Feld als die Rekombination. Die Energiedifferenz wird als Wärme freigesetzt. Der zweite Anteil entsteht durch das durch
die Bewegung der Flussschläuche induzierte elektrische Feld, auf das die ungepaarten Elektronen in der Umgebung ansprechen. Diese geben ihre Energie wiederum an
das Gitter ab.
Nach Gl. (4.34) ist der Magnetwiderstand nur um das Verhältnis des externen zum
kritischen Feld geringer als der normalleitende Widerstand. Die resultierende Güte
wäre schlechter als bei Kupferspulen. Tatsächlich wird der Fluss der Vortices im
Supraleiter durch so genannte Haftzentren (engl. pinning centers) bis zu einer gewissen kritischen Stromdichte jc verhindert. Man spricht hierbei von Typ-III oder
’Harten Supraleitern’. In NbTi gibt es eine Reihe verschiedener Haftzentren, auf die
hier nicht näher eingegangen wird. In [LMR+ 95] wird für eine Temperatur von 4,2 K
und ein Feld von 6 T eine Stromdichte von jc ≈ 2 · 104 A/cm2 für NbTi angegeben.
Dies bedeutet, dass in unserem Experiment kein Widerstand durch das äußere Magnetfeld zu erwarten ist, falls bis zu der genannten Stromstärke alle Flusschläuche
an der Bewegung gehindert werden. Aus Messungen an dünnen Folien konnte gezeigt werden [VG69], dass sich die bewegenden Einheiten aus bis zu 1000 einzelnen
44
KAPITEL 4. DIE KRYOGENE DETEKTIONSEINHEIT
Flussquanten Φ0 zusammensetzen. Durch die Bündelung kann die Kraft groß genug
werden, um einzelne Haftzentren zu überwinden. Dies würde bedeuten, dass auch
unterhalb der kritischen Stromstärke Verluste auftreten können. In [WFK+ 93] wurden magnetische Verluste aufgrund von Flux-Fluss bei geringen Strömen gemessen.
Diese können durch einen Widerstand R = Lδm ω modelliert werden, wobei δm ein
frequenzunabhängiger aber materialspezifischer Parameter ist. Somit lassen sich die
Ergebnisse nicht einfach auf andere Supraleiter übertragen.
Wechselstromwiderstand Der Widerstand von Supraleitern in Wechselfeldern
kann durch das ’Zwei-Flüssigkeiten-Modell’ beschrieben werden [Sch02]. Hier wird
der Strom von Cooper-Paaren (suprafluide Komponente) und von ungepaarten Elektronen (normale Komponente) getragen. Der Widerstand resultiert damit aus dem
Anteil, der von den ungepaarten Elektronen transportiert wird.
Die Stromdichte der Elektronen jn bei periodischen Strömen mit Kreisfrequenz ω
und Amplitude E0 ist gegeben durch
jn = σn E0 e−iωt .
(4.35)
Hierbei ist σn die Leitfähigkeit. Die Stromdichte für die suprafluide Komponente
erhält man aus der 1. London-Gleichung, welche die beschleunigte (reibungslose) Bewegung der Cooper-Paare unter Einfluss eines elektrischen Feldes beschreibt [Buc90].
js = i
nc 2e2
E0 e−iωt = iσs E0 e−iωt ,
me ω
(4.36)
wobei nc die Anzahl der Cooper-Paare ist. Die totale Stromdichte ist gegeben durch
j = js + jn = σE0 e−iωt
(4.37)
mit der komplexen Leitfähigkeit
σ = σn + iσs .
(4.38)
Der Oberflächenwiderstand RAC = 1/σδ ist der Realteil der Oberflächenimpedanz
RAC
1
= Re
δ(σn + iσs )
!
=
1 σn
.
δ σn2 + σs2
(4.39)
Die Skintiefe δ entspricht der Tiefe, in die das magnetische Feld eindringt. Dies ist
aber gerade die Londonsche-Eindringtiefe λL . Diese ist gegeben durch [Buc90]
λL =
s
me
,
µ0 ns e2
(4.40)
wobei ns die materialspezifische Anzahl der gepaarten Elektronen angibt. Mit σn2 ≪
σs2 und
σs =
1
2nc e2
=
me ω
µ0 λ2L ω
(4.41)
45
4.1. DER AXIALE SCHWINGKREIS
vereinfacht sich Gl. (4.39) zu
RAC =
σn
= µ20 ω 2 λ3L σn .
λL σs2
(4.42)
Die Temperaturabhängigkeit der Londonschen-Eindringtiefe ist gegeben durch [Buc90]
T
λL (T ) = λL (T = 0) 1 −
Tc
4 !− 12
.
(4.43)
Der AC-Oberflächenwiderstand eines Supraleiters lässt sich also mit folgender Gleichung berechnen
2
RAC = (µ0 2πν) λL (0)3
T
1−
Tc
4 !− 23
/ρn .
(4.44)
Der Widerstand des Spulendrahts berechnet sich mit Gl. (4.44) wie folgt
RSpule = RAC
nd
πnd
= RAC .
2πr
2r
(4.45)
Hierbei bezeichnet wie in den vorherigen Kapiteln n die Wicklungszahl, d der Spulendurchmesser und r der Drahtradius.
Der Schildwiderstand berechnet sich analog zu Gl. (4.25) zu
RResonator = RAC
L
·
πD
d2
D2
!2
n2 ,
(4.46)
wobei D und L den Resonatordurchmesser bzw. die Resonatorlänge angeben.
Restwiderstand Aus den Messungen des Oberflächenwiderstands von Hohlraumresonatoren für Beschleuniger erhält man ein Temperaturverhalten wie durch Gl.
(4.44) angegeben [PKH98]. Bei tiefen Temperaturen dominiert jedoch ein temperaturunabhängiger Restwiderstand R0 . Für diesen existiert bisher kein theoretisches Modell [Tin96], so dass hierfür nur Daten aus Experimenten [FGM+ 93] zur Verfügung
stehen. Diese Restwiderstände werden allerdings bei Frequenzen im GHz-Bereich
gemessen. Unter der Annahme, dass der Restwiderstand für niedrigere Frequenzen
nicht höher ist, kann aus diesen Daten zumindest eine obere Grenze für den Resonatorwiderstand angegeben werden.
Der Schildwiderstand durch den Restwiderstand berechnet sich analog zu Gl. (4.46).
RResonator
L
= R0 ·
πD
d2
D2
!2
n2 .
(4.47)
Der Restwiderstand ist insbesondere von der Oberflächenreinheit abhängig, wobei
diese schwer quantifizierbar ist. Es sollte also auf eine möglichst saubere Oberfläche
geachtet werden.
46
KAPITEL 4. DIE KRYOGENE DETEKTIONSEINHEIT
HP 3577A
3dB
∆ν
Out
In
ν0
Abbildung 4.6: In der Abbildung ist der Aufbau zur Charakterisierung der Resonatoreigenschaften dargestellt. Die Einkopplung und Auskopplung erfolgt kapazitiv.
Die Massen der BNC-Kabel und der Spule werden am Resonatorgehäuse befestigt.
4.1.5
Messaufbau
Die in den letzten drei Abschnitten behandelten elektrischen Eigenschaften des Resonators sollten mit dem in Abbildung 4.6 dargestellten Aufbau bestimmt werden. Für
die Messungen wurde der Netzwerkanalysator HP3577A der Firma Hewlett&Packard
verwendet. Dessen Ausgangssignal wurde in den Resonator eingekoppelt. Das ausgekoppelte Signal wurde an den Eingang des Netzwerkanalysators geschlossen. Die
Kopplung kann entweder induktiv oder kapazitiv erfolgen. Da im Gegensatz zu Tests
mit dem Zyklotron-Resonator [Ulm06b] bei induktiver Kopplung zunächst kein Signal gesehen wurde, wurden die ersten Tests mit kapazitiver Kopplung durchgeführt.
Die Ankopplung sollte prinzipiell so gering wie möglich sein, um dämpfende Einflüsse
durch die Kabel oder den Netzwerkanalysator zu minimieren Für die Transferfunktion erhält man eine Resonanzkurve mit Resonanzfrequenz νLC . Durch Vermessung
der -3dB Breite ∆ν lässt sich die Güte bestimmen
νLC
,
(4.48)
Q=
∆ν
aber nicht die Kapazität und Induktivität.
Die Resonanzfrequenz der Spule ist gegeben durch
1
νLC = √
= ν1 ,
(4.49)
2π LCs
wobei Cs die Eigenkapazität der Spule angibt. Durch Parallelschalten zusätzlicher
(bekannter) Kapazitäten Cp wird die Resonanzfrequenz verschoben.
νC p =
q
1
2π L(Cs + Cp )
= ν2 ,
(4.50)
somit können Induktivität und Eigenkapazität berechnet werden.
L =
1
2πν2
2
1
−
2πν1
2 !
·
1
Cp
(4.51)
4.1. DER AXIALE SCHWINGKREIS
Cp
Cs = 2
ν1
ν2
.
47
(4.52)
−1
Für die Messung der Güten in kryogener Umgebung wurde der in Abschnitt 3.6
beschriebene Teststand verwendet. Hierzu wurde der Resonator an der kalten Stufe
des Kühlers befestigt. Die Ein- und Auskopplung erfolgte direkt im kryogenen Bereich, um Störungen durch die Kabel und Durchführungen zu vermeiden.
4.1.6
Ergebnisse zu Induktivitäten und Kapazitäten
Die Messungen zu Kapazitäten und Induktivitäten wurden mit dem in 4.1.1 vorgestellten Helix-Resonator aus Kupfer durchgeführt. Für den Spulendraht wurde Teflon isolierter Kupferdraht der Firma Omega Newport verwendet. Dieser hat einen
Innendurchmesser von 80 µm und einen Gesamtdurchmesser von 240 µm. Es wurden unterschiedliche Windungsanzahlen und Wicklungsmethoden realisiert. Zur Einund Auskopplung wurden AVX-SMD-Kondensatoren mit Kapazitäten im Bereich
von 0,5 bis 1 pF verwendet. Die hier präsentierten Ergebnisse stammen aus Messungen bei Raumtemperatur. Die Änderungen der Induktivität und Kapazität der Spule
durch Abkühlen sind vernachlässigbar klein, so dass die hier gefundenen Ergebnisse
auch für kryogene Umgebungen gelten.
Induktivität Zur Überprüfung der Induktivitätsformel aus Gl. (4.8) wurden die
Induktivitäten für verschiedene Windungsanzahlen gemessen. Die so ermittelten Daten sind zusammen mit den theoretischen Werten in Abbildung 4.7 aufgetragen. Die
experimentellen Daten stimmen im Bereich von 10% mit den Berechneten überein.
Der Sprung der Induktivität zwischen Windungsanzahl 370 und 400 ist durch die
Erhöhung der Lagenzahl zu erklären. Da die Länge der Spule durch die Abmessungen des Resonators limitiert ist, muss für eine höhere Induktivität die Anzahl
der Lagen erhöht werden. Durch die resultierende Verkürzung der Spule steigt die
Induktivität nach Gl. (4.8) stark an. Die theoretischen Korrekturen durch die Mehrlagigkeit liegen für die geringen Lagenanzahlen im Bereich weniger µH und sind
somit zu vernachlässigen.
Kapazität Die ohne Resonator gemessenen Kapazitäten lagen im Bereich von
4 pF. Die mit Gl. (4.11) oder Gl. (4.12) ermittelten Kapazitäten von 1,1 bzw. 1,3 pF
sind deutlich geringer. Allerdings sind hier nicht die Kapazitäten der Spule gegenüber
Erde und die der Zuleitungen berücksichtigt. Für die Messungen “ohne Resonator”
wurde der Spulenkörper am Resonatordeckel befestigt um die benötigte Stabilität
zu gewährleisten. Die Messungen fanden also nur ohne Resonatortopf statt. Allerdings erhöhten sich die Kapazitäten bei Verwendung des kompletten Resonators.
Die mit Resonator gemessenen Kapazitäten waren je nach Spulendurchmesser d
und Spulenlänge l um 2 bis 4 pF höher als ohne Resonator und lagen somit zwischen
5 und 8 pF. Diese Ergebnisse liegen in guter Übereinstimmung mit dem nach Gl.
48
KAPITEL 4. DIE KRYOGENE DETEKTIONSEINHEIT
Abbildung 4.7: Induktivitäten für zwei- und dreilagige Spulen. Theorie und Experiment unterscheiden sich um ca. 10%. Der Korrekturterm zur Mehrlagigkeit liefert
nur einen Promille-Beitrag und kann somit nicht den Unterschied erklären.
(4.14) berechneten Wert von 5 pF.
Für mehrlagige Spulen wurde als Isolierung zwischen den Lagen 0,1 mm starkes
Teflonband benutzt. Für eine doppellagige Spule ergeben sich nach Gl. (4.15) bei
den verschiedenen Isolierstärken zwischen den Lagen
Cs (0, 1 mm) = 140 pF
Cs (0, 5 mm) = 60 pF
Cs (1 mm) = 30 pF,
(4.53)
Die gemessenen Kapazitäten für Spulen dieser Wicklungsart sind in Abbbildung 4.8
als ’Hin-Zurück’ aufgeführt. Die gemessenen Werte stimmen nicht ganz mit der
Theorie überein. Dies liegt daran, dass die dickeren Isolierungen durch mehrfache
Umwicklung mit Teflonband erreicht wurden. Hier kann also nicht von einer definierten Isolierstärke ausgegangen werden, was auch die Streuung der einzelnen Punkte
für fixe Isolierdicke erklärt. Der Trend nach Gl. (4.15) ist allerdings zu erkennen. Da
die Kapazitäten deutlich zu hoch sind, wurde das Prinzip der Kammerwicklung
angewandt. Nach jeweils 20 Windungen wurde die Lage gewechselt Hiermit konnten
bei mehrlagigen Spulen parasitäre Kapazitäten in der selben Größenordnung wie bei
einlagigen erreicht werden (siehe hierzu Abbildung 4.8, ’20-20’). So hatten dreilagige Spulen mit der gewünschten Induktivität eine Kapazität von 8 pF im Resonator.
Durch Verwendung einer sehr schwachen induktiven Kopplung des Resonators reduzierte sich die Kapazität auf 4,5 pF. Die Größe der Koppelkondensatoren war
4.1. DER AXIALE SCHWINGKREIS
49
Abbildung 4.8: Parasitäre Kapazitäten bei mehrlagigen Spulen. Bei ’Hin-Zurück’
handelt es sich um unterschiedliche Spulen in einfacher Lagenwicklung. Durch mehrfache Umwicklung mit Teflonband erhält man leider keine genaue und über die
gesamte Länge der Spule gleichmäßige Dicke der Isolierung. Dies erklärt die unterschiedlichen Kapazitätswerte bei “gleicher” Isolierstärke. Der nach Gl. (4.15) berechnete Trend lässt sich jedoch ablesen. Spulen die nach dem Prinzip der Kammerwicklung gewickelt wurden, lieferten unabhängig von der Isolierstärke Kapazitäten
von weniger als 10pF und sind somit vorzuziehen.
demnach so hoch, dass ein Teil der gemessenen Kapazität auf die Kapazität der
BNC-Zuleitungen zurückzuführen ist. Dieser absolute systematische Fehler beeinflusst allerdings nicht das Verhältnis der Kapazitäten von mehrlagigen und einlagigen Spulen. Die Kapazitäten von mehrlagigen Spulen überschreiten demnach kaum
die Kapazitäten von einlagigen Spulen. Die Verwendung mehrlagiger Spulen hat
folgende Vorteile:
• Die mehrlagige Wicklung hat eine Stauchung der Spule zur Folge, womit die
benötigte Induktivität mit weniger Drahtlänge möglich ist (siehe Gl. (4.8)
und Abbildung 4.7). Hierdurch könnte die Güte erhöht werden, falls diese
durch den Widerstand des Drahts limitiert ist (siehe hierzu Gl. (4.19)).
• Andererseits könnte der Durchmesser der Spule verringert werden, wodurch
der Kapazitätsbeitrag des Resonators nach Gl. (4.14) verringert würde.
Außerdem könnte somit der Einfluss des Resonators auf die Güte reduziert werden (siehe Gl. (4.25)).
• Für einlagige Spulen ist der Durchmesser des Drahts durch die mögliche Spu-
50
KAPITEL 4. DIE KRYOGENE DETEKTIONSEINHEIT
lenlänge im Resonator limitiert. Durch mehrlagige Wicklung könnte zum einen
der Innenleiter vergrößert werden und/oder die Stärke der Drahtisolierung.
Allerdings wurde bei den hier angegebenen Formeln nicht die Isolierstärke des Drahts
berücksichtigt. Welcher Effekt eine höhere Drahtisolierdicke auf die Kapazität hat,
konnte mit nur einem Typ Kupferdraht nicht geklärt werden.
4.1.7
Ergebnisse zu Gütemessungen
Zur Diskussion der gemessenen Güte sollen hier kurz die wichtigsten Formeln rekapituliert werden. Die Güte ist gegeben durch
Q=
ωL
1
=
R
ωCR
(4.54)
wobei der Verlustwiderstand R auf die verschiedenen Verlustmechanismen aufgeteilt
werden kann
R = RSpule + RResonator + RDielektrisch .
(4.55)
Bei Raumtemperatur sind die ersten beiden Terme die gütelimitierenden Faktoren
aufgrund des hohen ohmschen Widerstands. In Abbildung 4.9 sind gemessene und
theoretische Güten bei Raumtemperatur als Funktion der Windungszahl aufgeführt.
Nahezu perfekte Übereinstimmung ergibt sich wenn zur Berechnung der theoretischen Güte die Verluste im Draht und im Schild beachtet werden. Bei geringen Wicklungszahlen werden die Abweichungen jedoch stärker. Hier wurde überprüft, ob die
Ankopplung evtl. zu stark ist. Anstatt kapazitiv ein- und auszukoppeln wurde für
die Auskopplung eine Spule mit nur einer Windung benutzt. Durch diese induktive
Auskopplung konnte bei einer Spule mit Windungsanzahl n=100 die Güte von 110
bei kapazitiver Auskopplung auf 150 verbessert werden. Die Abweichung ist also auf
mangelhafte Abkopplung des Resonators von den Signalleitungen zurückzuführen.
4.1.8
Ergebnisse zu kryogenen Gütemessungen
Die ersten kryogenen Gütemessungen wurden mit Kupferdrahtspulen im Kupferresonator durchgeführt. Der Resonator wurde hierzu an die kalte Stufe des
Kühlers befestigt. Die Signale wurden über Cryo-Coax-Kabel der Firma Lecomte in den Raumtemperaturbereich geleitet. Diese Kabel zeichnen sich aufgrund
ihres geringen Querschnitts, Messing-Innenleiter und German Silver Abschirmung
durch eine geringe Wärmeleitfähigkeit aus. Zur Ein- und Auskopplung wurden 1 pFKondensatoren verwendet. Die Güte der Spulen sollte sich aufgrund der verbesserten Leitfähigkeit des Kupferdrahts bei tiefen Temperaturen deutlich steigern. Die
Verbesserung der Leitfähigkeit von 300K auf 4K wurde für den verwendeten Kupferdraht der Firma Omega Newport in Vierleitermethode gemessen. Hierzu wurden
51
4.1. DER AXIALE SCHWINGKREIS
220
200
Güte gemessen
180
Q =
L/R
Q =
L/(R
Spule
+R
Spule
Resonator
)
Güte
160
140
120
100
80
60
0
100
200
300
400
500
Windungen
Abbildung 4.9: In der Abbildung ist die Güte als Funktion der Wicklungszahl aufgetragen. Die Punkte von n = 370 abwärts wurden durch sukzessives abwicklen
einer ’20-20’ Spule erhalten. Die 4 restlichen Gütewerte stammen von dreilagigen
’20-20-20’ Spulen unterschiedlichen Durchmessers und damit auch unterschiedlicher
Drahtlänge. Die theoretischen Güten wurden über den ersten bzw. die ersten beiden Verlustterme aus Gl. (4.55) berechnet. Für hohe Windungszahlen ergibt sich im
letzteren Fall eine gute Übereinstimmung zu den experimentellen Güten. Die Diskrepanz zu niedrigen Windungszahlen kann durch die zu starke kapazitive Ankopplung
erklärt werden.
10 m Draht direkt um die kalte Stufe des Kühlers gewickelt um eine ausreichende
Thermalisierung zu gewährleisten. Es ergab sich
ρ(4K)
= RRR = 66.
ρ(300K)
(4.56)
Durch die verbesserte Leitfähigkeit reduziert sich allerdings die Leiterfläche aufgrund
des Skin-Effekts. So liegt die Skin-Tiefe bei T = 4 K für eine Frequenz von ν = 2 MHz
bei δ = 5 µm.
In Tabelle 4.2 sind die Güten von 4 verschiedenen Spulen für Raumtemperatur und
4 K angegeben. Es existiert eine sichtbare Diskrepanz zwischen den theoretischen
und experimentellen Daten. Auch die Berücksichtigung des dritten Verlustterms aus
Gl. (4.55) kann die geringen Güten nicht erklären. Der Verlustwinkel von PTFE bei
Raumtemperatur ist über den relevanten Frequenzbereich nahezu konstant [Nüh94]
und liegt bei
tan φ(PTFE) = 0,0005.
(4.57)
52
KAPITEL 4. DIE KRYOGENE DETEKTIONSEINHEIT
Spule
Spule
Spule
Spule
Spule
Spule
Spule
Spule
1
1
2
2
3
3
4
4
bei
bei
bei
bei
bei
bei
bei
bei
300 K
4K
300 K
4K
300 K
4K
300 K
4K
Gemessene
Güte
64,5
873
62
929
111
719
85
700
Theoretische
Güte ohne Schild
78
1988
127
2585
134
2352
104
2555
Theoretische
Güte mit Schild
65,2
1289
102
1610
110
1473
91
1471
Tabelle 4.2: In der Tabelle sind die Güten folgender Spulen aufgeführt: Spule 1: n =
269; Durchmesser 28 mm; Wicklungstechnik ’Hin-Zurück’; L = 1 mH; Cs = 18 pF;
νLC = 1186 kHz. Spule 2: n = 280; Durchmesser 28 mm; Wicklungstechnik ’20-20’;
L = 0,95 mH; Cs = 6,7 pF; νLC = 1995 kHz. Spule 3: n = 263; Durchmesser 27 mm;
Wicklungstechnik ’20-20’; L = 0,77 mH; Cs = 6,6 pF; νLC = 2233 kHz. Spule 4: n =
411; Durchmesser 31 mm; Wicklungstechnik ’20-20-20’; L = 2,1 mH; Cs = 8,3 pF;
νLC = 1206 kHz. In der ersten Spalte sind die gemessenen Güten aufgeführt. Die
theoretische Güte in der zweiten Spalte berechnet sich aus dem Drahtwiderstand
gemäß Gl. (4.20). Unter Berücksichtigung der Verluste im Resonator ergeben sich
nach Gl. (4.25) die Güten der dritten Spalte.
Bei einer Temperatur von 4,2 K wird für den Verlustwinkel in [HP75] eine Größenordnung von tan φ ≈ 10−6 angegeben. Die hieraus resultierenden Verlustwiderstände
sind so klein (RDielektrisch < 1 mΩ), dass theoretisch erst bei Güten Q > 106 die dielektrischen Verluste eine Rolle spielen. Für die Berechnung wurde angesetzt, dass
das Dielektrikum (PTFE) zwischen zwei Windungen den kompletten Raum ausfüllt.
Der kalkulierte Verlustwiderstand ist also eine obere Grenze, da das Teflon nicht den
gesamten Resonator ausfüllt. Die geringen Güten können also nicht durch dielektrische Verluste erklärt werden. Analog zu den Messungen bei Raumtemperatur wird
vermutet, dass durch die Verwendung von 1 pF-Kondensatoren die Ankopplung zu
stark war. Für Kupferspulen konnte dies bisher nicht in kryogener Umgebung getestet werden. Für die weiteren Messungen mit Supraleitern wurden die Ankopplungen
jedoch stark reduziert, was eine deutliche Steigerung der Güte zur Folge hatte.
Als nächstes wurden supraleitende Spulen im Kupferresonator getestet. Der
Draht der Firma Supercon hat einen Innendurchmesser von 0,002 Zoll (50,8 µm) bei
einem Gesamtdurchmesser von 0,003 Zoll (76,2 µm) inklusive Formvar-Isolierung.
Der Drahtkern aus NiobTitan ist ein Typ-II-Supraleiter, dessen hohe kritische Feldstärke von Bc2 = 14 T eine Positionierung im Magnetrohr ermöglicht. Es wurden
insgesamt 3 Spulen mit der in Abbildung 4.10 gezeigten Apparatur gewickelt, wobei
die Güte der ersten Spule trotz mehrfach geändertem Messaufbau stets schlechter
als die von Kupferspulen war. Im weiteren wird nur auf die zweite Spule eingegangen, mit der der Hauptanteil der Gütemessungen durchgeführt wurde. Die Daten zu
53
4.1. DER AXIALE SCHWINGKREIS
Abbildung 4.10: In der Abbildung ist die Apparatur zur Fertigung der Spulen zu
sehen. In der Mitte wird der Spulenkörper aus Teflon eingespannt. Über eine Kurbel,
die an der rechten Seite außerhalb des Bildes angebracht ist, wird der Körper manuell
gedreht. Auf dem Bild ist eine fertig gewickelte Spule aus NbTi-Draht zu sehen
(Spule 2). Zur Fixierung des Drahts wird die Spule noch mit Teflon-Band umwickelt.
400
Wicklungszahl n
Spulendurchmesser d
31 mm
Spulenlänge l
37,2 mm
Durchmesser Draht
0,002 Zoll 50,8 µm
Durchmesser inkl. Formvar-Isolierung 0,003 Zoll 76,2 µm
DC-Widerstand bei Raumtemperatur
13,42 kΩ
Tabelle 4.3: In der Tabelle sind die geometrischen Daten zur zweiten supraleitenden Spule aufgelistet. Der Durchmesser des Spulenkörpers ist um 3 mm größer als
die mit Gl. (4.3) berechneten Optimalmasse nach [MS59]. Bei der Verwendung des
dünneren Spulenkörpers hätte mit dem zur Verfügung stehenden Draht keine einlagige Spule mit der gewünschten Induktivität gewickelt werden können. Mehrlagige
Spulen sollten aufgrund der schwierigeren Herstellung erst in einem zweiten Schritt
gewickelt werden. Der DC-Widerstand ist 2 Größenordnungen über dem von dreilagigen Kupferspulen der selben Induktivität.
dieser Spule sind in Tabelle 4.3 aufgelistet.
Da NbTi-Draht schwer zu löten ist, insbesondere bei dem geringen Durchmesser von
50,8 µm, wurde für den Übergang von SL auf Normalleiter eine Kombination aus
Löten und Punktschweißen angewandt, um möglichst geringe Übergangswiderstände
zu erhalten. Zur Signal Ein- und Auskopplung wurden 0,3 pF AVX-Kondensatoren
verwendet. Durch den hohen Widerstand bei Raumtemperatur liegt die theoretische
Güte der Spule knapp über 1. Erst unterhalb der Sprungtemperatur von T = 9,4 K
ist also auf dem Netzwerkanalysator eine Resonanzkurve sichtbar. Dies erschwert die
Optimierung des Aufbaus, die bei Raumtemperatur stattfindet ungemein, da Effekte
erst unterhalb der Sprungtemperatur sichtbar werden. Nach dem in Abschnitt 4.1.5
beschriebenen Prinzip wurden die Induktivität und Kapazität durch Parallelschalten bekannter Kapazitäten ermittelt. Es ergaben sich folgende Messwerte für die
supraleitende Spule im Kupferresonator:
νLC = 791,84 kHz
∆ν = 465 Hz
→ Q = 1700
(4.58)
54
KAPITEL 4. DIE KRYOGENE DETEKTIONSEINHEIT
Abbildung 4.11: Um den Resonatorwiderstand zu minimieren wurde der Kupferresonator geschliffen und poliert. Die resultierende spiegelnde Innenoberfläche ist in der
Abbildung gezeigt. Verbliebene Riefen könnten durch intensiveres Polieren beseitigt
werden.
Bei Parallelschalten von 15pF:
νLC = 595,5 kHz
∆ν = 600 Hz
→ Q = 990
(4.59)
Bei Parallelschalten von 33pF:
νLC = 482,18 kHz
∆ν = 600 Hz
→ Q = 800
(4.60)
Die hieraus ermittelte Induktivität von L = 2,07 mH liegt in sehr guter Übereinstimmung mit der theoretischen Induktivität von L = 2,13 mH. Die aus den Daten
gewonnene Kapazität von Cs = 19,5 pF liegt deutlich über der erwarteten Kapazität.
Dies kann durch ungeeignete Kabelführung erklärt werden. So wurden zur nötigen
thermischen Verankerung die Drahtenden der SL-Spule auf einer Länge von einigen
cm auf dem Resonator verklebt. Hierdurch entsteht eine zusätzliche Kapazität. Zur
Überprüfung wurde bei einer Kupferspule bei Raumtemperatur der Draht auf einer
Länge von 9 cm auf dem Resonator verklebt. Hier erhöhte sich die Kapazität um
6 pF. Der Effekt sollte beim verwendeten NbTi-Draht aufgrund seiner geringeren
Isolierstärke noch stärker sein. Zur Verringerung zusätzlicher Kapazitäten wurde der
Übergang SL auf Normalleiter auf den Spulenkörper verlegt. Den Normalleiter bildet
Kupferdraht mit Durchmesser 250 µm bzw. 410 µm inkl Teflonisolierung; also eine
deutliche stärkere Isolierung. Die Länge des Normalleiters wurde auf ein Mindestmaß
reduziert, auch um dessen ohmschen Widerstand zu minimieren. Außerdem wurde
der Kupferresonator innen mit Nassschleifpapier geschliffen und mit Autopolitur
von Nigrin poliert. Das Ergebnis ist in Abbildung 4.11 zu sehen. Damit ergab sich:
νLC = 838,75 kHz
∆ν = 325 Hz
→ Q = 2580
(4.61)
Diese Güte lässt sich durch den Schildwiderstand RResonator erklären. So erhält man
eine theoretische Güte von Q = 2500.
Ein weiterer interessanter Aspekt ist das Verhalten der Güte durch das Parallelschalten der Kapazitäten. Über die Gleichung
1
(4.62)
Q=
ωR(CS + Cp )
55
4.1. DER AXIALE SCHWINGKREIS
kann eine theoretische Güte für Parallelschalten bekannter Kapazitäten berechnet
werden. Hierbei ist zu beachten, dass der Widerstand R aufgrund des Skin-Effektes
√
proportional ω ist. Im obigen Fall ergibt sich für 15 pF eine Güte von 1490 statt
gemessenen 990. Für 33 pF erwartet man eine Güte von 1340 statt gemessenen 800.
Dies führte zu der Vermutung, dass die intrinsische Güte der AVX-Kondensatoren
so schlecht ist, dass diese die Güte des Gesamtsystems limitieren. Da für die Einund Auskopplung des Signals auch AVX-Kondensatoren verwendet wurden, wurden
fortan Kondensatoren der Firma Johanson verwendet. Diese besitzen eine deutlich
höhere Güte, was in Abbildung 4.12 dargestellt ist.
Bevor die Ergebnisse zu Gütemessungen von supraleitenden Spulen im su-
550
Q Johanson
Q AVX
Güte Q
500
450
400
350
300
0
10
20
30
40
50
Kapazität (pF)
Abbildung 4.12: In der Abbildung ist die Güte des Zyklotron-Resonators als Funktion der Parallelgeschalteten Kapazitätswerte bei Raumtemperatur aufgetragen. Die
Güten bei der Verwendung von Johanson-Kondensatoren sind deutlich höher. Die
Messung wurde mit dem Zyklotron-Resonator durchgeführt, da dieser eine höhere
Güte bei Raumtemperatur hat.
praleitenden Resonator vorgestellt werden, soll zunächst die theoretische Güte
bestimmt werden. In Tabelle 4.4 werden die zur Widerstandsberechnung von NbTi
relevanten Daten aufgeführt. Damit folgt für den Widerstand der Spule aus Gl.
(4.19) für eine Frequenz von ν = 1 MHz, T = 4 K und λL (0) = 280 nm:
40 m
RSpule = RAC ·
= 1,7 µΩ.
(4.63)
50,8 µm
Der Resonator-Widerstand errechnet sich zu
RResonator = RAC
L
·
πD
d2
D2
!2
n2 = 0,05 µΩ.
(4.64)
56
KAPITEL 4. DIE KRYOGENE DETEKTIONSEINHEIT
Variable
Wert
Tc (Be = 0)
9,4K
Bc2 (T = 0)
14T
λL (T = 0)
163nm
λL (T = 0)
280nm
λL (T = 0)
54nm
ρn (4 K)
1,6 · 106 Ωm
R0
1,6 µΩ
2
RAC (T = 4K, Be = 2 T, λL = 280 nm) ν · 2,1 · 10−24 Ωs2
Quelle
[Sch02]
[Sch02]
[GCL+ 00]
[LMR+ 95]
[FGM+ 93]
Messung
[FGM+ 93]
Gl. (4.44)
Tabelle 4.4: In der Tabelle sind die Eigenschaften von NbTi aufgelistet. Die kritische
Temperatur Tc sowie die kritische Feldstärke Bc2 wurden aus [Sch02] entnommen.
Diese Daten können aber auch in anderen Werken gefunden werden [PKH98]. Für die
Londonsche-Eindringtiefe λL wurden allerdings drei verschiedene Werte gefunden.
Es scheint sich hier um einen Parameter zu handeln, der vom Fabrikationsprozess
abhängt. Für die Berechnungen wurde der für die Güte “schlechteste” Wert genommen.
Für den Schild-Widerstand aufgrund des Restwiderstands erhält man
RResonator
L
= R0 ·
πD
d2
D2
!2
n2 ≈ 15 mΩ.
(4.65)
An den Enden des Supraleiters wurden jeweils ca. 5 cm lange Cu-Drahtstücke mit
einem Innendurchmesser von 240 µm verlötet. Der daraus resultierende Widerstand
bei ν = 1,5 MHz und einem gemessenen RRR von 100 ist
RCu ≈ 4,5 mΩ.
(4.66)
Der Verlustwinkel für Formvar bei 4,2 K wird in [VMP+ 05] mit tan φ = 0,0003
angegeben. Der dielektrische Verlustwiderstand nach Gl. (4.33) errechnet sich zu
RDielektrisch ≈ 7,1 mΩ.
(4.67)
Nicht berechnet wird der Flux-Fluss-Widerstand, da nicht geklärt werden konnte,
wie groß der Teil der sich bewegenden Vortices ist. Außerdem ist der Widerstand
der Lötstellen unberücksichtigt, da dessen Größe unbekannt ist.
Unter Berücksichtigung aller Widerstände aus den Gleichungen (4.63-4.67) erhält
man eine theoretische Güte von Q ≈ 105 .
Bei den Messungen im NbTi-Resonator wurde zur Auskopplung eine Luftzylinderspule aus Teflon-isoliertem Kupferdraht mit ca. 7 Windungen verwendet. Die Einkopplung erfolgte zunächst über einen 0,1 pF AVX-Kondensator. Der schematische
Aufbau ist in Abbildung 4.13 zu sehen. Da der NbTi-Resonator im Gegensatz zum
Kupferresonator nicht für die Befestigung im Teststand ausgelegt wurde, ergab sich
ein Problem mit der thermischen Ankopplung. Zu deren Verbesserung wurden Litze
von der kalten Stufe auf den Resonator geführt. Zur Temperaturkontrolle wurden an
der kalten Stufe und am Resonatorboden Thermometer befestigt. Zwischen diesen
57
4.1. DER AXIALE SCHWINGKREIS
Auskopplung Cryo-Coax
Kupfer
Kupfer
Kupfer
Einkopplung Cryo-Coax
Abbildung 4.13: Schematische Abbildung des Messaufbaus. Der NbTi-Draht auf der
Primärspule ist in blau, der Normalleiter in rot dargestellt. Die Einkopplung erfolgt
kapazitiv, die Auskopplung induktiv über eine Luftzylinderspule aus teflonisoliertem
Kupferdraht.
Thermometern lag ein Temperaturunterschied von ungefähr 1,5 K. Dieser Temperaturgradient läuft entlang des Resonators wodurch also nicht von einer definierten
Temperatur des Resonators ausgegangen werden kann.
Abbildung 4.14 zeigt den an der kalten Stufe montierten NbTi-Resonator.
Es ergaben sich folgende Messwerte:
νLC = 1308,12 kHz
∆ν = 260 Hz
→ Q = 5030
(4.68)
Über den an der kalten Stufe montierten Heizer konnte deren Temperatur erhöht
werden. In Abbildung 4.15 ist die Güte als Funktion der Temperatur des Thermometers am Resonatorboden abgebildet. Es ergab sich eine Temperaturabhängigkeit,
wobei der Bereich in dem Messpunkte aufgenommen werden konnten sehr klein ist.
Der Abstand zwischen den Messpunkten kann auch nicht beliebig reduziert werden, da das Thermometer selber um 100 mK schwankt. Eine genaue Aussage über
die Proportionalität kann somit nicht getroffen werden. Dies wäre aber hilfreich
um die Ursache der Temperaturabhängigkeit zu klären. Im nächsten Schritt wurde
der Resonator innen poliert. Auf Schleifen wurde verzichtet da die Wandstärke des
Resonators nur 0,5 mm beträgt. Damit folgte:
νLC = 1528,95 kHz
∆ν = 189 Hz
→ Q = 8070
(4.69)
Folglich war/ist der Resonator ein limitierender Faktor. Als nächstes wurde zur
Einkopplung ein Johanson-Kondensator verwendet. Der kleinste verfügbare Kapazitätswert ist allerdings mit 0,3 pF größer als der bisher verwendete AVX-Kondensator. Es ergab sich:
νLC = 1571 kHz
∆ν = 131 Hz
→ Q = 12000
(4.70)
58
KAPITEL 4. DIE KRYOGENE DETEKTIONSEINHEIT
CERNOX
Thermometer
100 Ω
Heizer
Litze
NbTi-Resonator
Einkoppelkondensator
CERNOX
Thermometer
Abbildung 4.14: Auf der Abbildung ist die Befestigung des NbTi-Resonators an der
4 K-Stufe des Kühlers zu sehen. Zur besseren Thermalisierung wurden 2 Litzen von
der kalten Stufe auf den Resonator geführt und dort verklebt. Die Lötstellen für
die Einkopplung und Auskopplung werden durch Teflonstücke isoliert, wobei das
Stück auf dem Resonator möglichst dick ist um die Kapazität zu reduzieren. Der
Resonator wurde zusätzlich noch mit Superisolation geschirmt.
Auch hier wurde eine Temperaturkurve aufgenommen, die in Abbildung 4.16 zu
sehen ist. Es ist eine deutliche Temperaturabhängigkeit zu erkennen, wobei hier
wiederum der Temperaturbereich sehr klein ist. Für weitere Messungen sollte unbedingt die thermische Ankopplung weiter verbessert werden um die Starttemperatur
zu minimieren. Die Güte ist in Anbetracht der geringen Abmessungen des Resonators
erfreulich hoch und erreichte damit Größenordnungen anderer in Mainz installierter
Schwingkreise zur Detektion von Teilchen in einer Penning-Falle [AO07, Ket06]. Allerdings liegt sie unter der theoretisch vorhergesagten Güte von ≈ 105 . Dies könnte
einerseits an einem höheren Restwiderstand des Resonators liegen oder an der Kopplung des Schwingkreises, die im theoretischen Modell nicht beachtet wird. Um die
beiden Kondensatortypen vergleichen zu können wurde die Güte bei Einkopplung
mit einem 0,3 pF-AVX-Kondensator gemessen.
νLC = 1569 kHz
∆ν = 390 Hz
→ Q = 4020
(4.71)
Ein gütelimitierender Faktor ist also der Einkoppelkondensator. Eine Idee für weitere Messungen ist die Verwendung von Stücken aus teflonbasierten Kupferplatinen
als Einkoppelkondensatoren.
59
4.1. DER AXIALE SCHWINGKREIS
5100
5050
LC
= 1308,12 kHz
5000
4950
4900
Güte
4850
4800
4750
4700
4650
4600
4550
7,0
7,2
7,4
7,6
7,8
8,0
8,2
8,4
8,6
8,8
9,0
Temperatur (K)
Abbildung 4.15: In der Abbildung ist die Güte als Funktion der Temperatur aufgetragen. Diese wurde durch den Heizer variiert und mit dem Thermometer am
Resonatorboden bestimmt. Zwischen den einzelnen Messpunkten wurde jeweils eine
halbe Stunde gewartet um eine ausreichende Thermalisierung zu gewährleisten. Bei
einer Temperatur von 9,2 K betrug die Güte nur noch 1000 und schwankte stark.
Hier fand demnach der Phasenübergang statt.
Interessant ist die schrittweise Erhöhung der Resonanzfrequenz im Laufe der Messungen von νLC = 800 kHz auf νLC = 1570 kHz. Dies ist hauptsächlich auf die
Vermeidung von Kabelkapazitäten zurückzuführen. Unter der Annahme, dass die
Induktivität unverändert ist ergibt sich damit eine Eigenkapazität von Cs = 5 pF.
Dieser Wert ist hervorragend. Zur Überprüfung sollten in weiteren Messungen nochmals Kapazitäten Parallelgeschaltet werden.
4.1.9
Zusammenfassung
Für die experimentell ermittelten Eigenschaften eines Helix-Resonators konnte ein
theoretisches Verständnis entwickelt werden. Für die Induktivität und die Kapazität von einlagigen Spulen im Resonator konnten einfache Formeln verifiziert werden. Ein entscheidender Schritt wurde für mehrlagige Spulen gemacht. Hier konnte
eine Wicklungstechnik angewandt werden, die Kapazitäten wie bei einlagigen Spulen lieferte. In einem weiteren Schritt wurden die Verlustmechanismen im HelixResonator erkannt und quantifiziert. Die experimentelle Überprüfung lieferte nahezu perfekte Übereinstimmung bei Raumtemperatur. Der Einfluss des Resonators auf
die Güte konnte durch Verwendung einer supraleitenden Spule im Kupferresonator
deutlich gezeigt werden. Für supraleitende Spulen in einem supraleitenden Resona-
60
KAPITEL 4. DIE KRYOGENE DETEKTIONSEINHEIT
12050
12000
= 1571 kHz
LC
11950
11900
11850
Güte
11800
11750
11700
11650
11600
11550
11500
8,3
8,4
8,5
8,6
8,7
8,8
8,9
9,0
9,1
9,2
9,3
9,4
9,5
9,6
9,7
Temperatur (K)
Abbildung 4.16: In der Abbildung ist die Güte als Funktion der Temperatur aufgetragen. Wiederum ist der Temperaturbereich sehr klein.
tor konnte die Güte sukzessive auf einen Wert von Q = 12000 gesteigert werden. Als
gütelimitierende Faktoren konnten der Resonator, sowie die Stärke der Ankopplung
identifiziert werden. Letzteres ist für die spätere Verwendung unerheblich, stört allerdings bei der Messung der freien Güte. Weitere Schritte wären eine verbesserte
thermische Ankopplung um die Temperaturabhängigkeit der Güte genauer studieren
zu können, sowie die Vermessung der Güte als Funktion des Magnetfelds. Diese Messung würde Aufschluss über die Größe des magnetischen SL-Widerstands geben (siehe Abschnitt 4.1.4) und wäre damit eine relevante Information für sämtliche Experimente, die supraleitende Resonatoren in Magnetfeldern betreiben. Eine Möglichkeit
die gütelimitierenden Effekte des Resonators zu minimieren wäre die Wicklung einer mehrlagigen Spule mit geringerem Spulendurchmesser. Hiermit würden nach Gl.
(4.25) die Verluste durch den Resonator reduziert. Eine andere Möglichkeit stellt die
Verwendung einer Torus-Spule dar. Ein perfekt gewickelter Torus hat keinen magnetischen Sreufluß womit der Verlustwiderstand des Resonators vernachlässigbar ist.
Dies setzt allerdings eine homogene Wicklung voraus, die aufgrund der Geometrie
des Torus schwer zu verwirklichen ist, da hier die Wickelmaschine aus Abbildung 4.10
nicht verwendet werden kann. Es wurden Toroide unterschiedlicher Geometrie gezeichnet und erste Testexemplare hergestellt, die nun charakterisiert werden müssen.
Die Toroide wurden so konzipiert, dass zwei Exemplare im Resonator Platz finden.
Die Verwendung von zwei Toroiden ermöglicht die Separierung der Nachweiskreise
der Fallen, womit die Parallelkapazität für jeden der beiden Schwingkreise nahezu
halbiert werden kann.
4.1. DER AXIALE SCHWINGKREIS
61
Es soll hier noch diskutiert werden, ob die am Anfang dieses Kapitels aufgelisteten
Aufgaben mit den hier gezeigten Ergebnissen lösbar sind. Da der gesamte Schwingkreis nicht nur aus dem Resonator besteht, kann für die Güte nicht der hier erreichte Spitzenwert von 12000 angenommen werden, was einem Parallelwiderstand
von Rp ≈ 226 MΩ entspricht (siehe Abbildung 4.2). Der Parallelwiderstand des
Schwingkreises errechnet sich nach Gl. (2.29) Rp = L/RC, womit folgende Faktoren
berücksichtigt werden müssen:
• Die parasitären Kapazitäten nach Tabelle 4.1. Hierdurch wird der Parallelwiderstand um einen Faktor 10 erniedrigt.
• Aufgrund der hohen parasitären Kapazität ist die benötigte Induktivität nur
halb so groß wie die der Testspule. Demnach erniedrigt sich der Parallelwiderstand um einen Faktor 2. Allerdings wird für diese Spule weniger Drahtlänge,
sowie weniger Windungen benötigt, so dass nach den Gleichungen (4.20 + 4.25
+ 4.33) der Verlustwiderstand R geringer sein sollte.
• Die Zuleitung von den Elektroden zum Resonator. Verwendet man hierfür
einen Kupferdraht mit 0,8 mm Durchmesser mit einer Länge von 25 cm, so
ergibt sich bei einem angenommenen RRR von 100 ein zusätzlicher Verlustwiderstand von RZuleitung = 0,24 mΩ. Dieser Widerstand ist weitaus geringer
als die nach Gl. (4.63-4.67) berechneten Verlustwiderstände und ist somit zu
vernachlässigen.
• Die Parallelwiderstände zum Schwingkreis sollten so groß sein, dass sie diesen nicht erniedrigen. Hierzu zählen die Widerstände zur Abkopplung der
Gleichspannungsleitungen für die Elektroden, sowie die Eingangsimpedanzen
des Verstärkers und des Q-Switch. Zunächst soll angenommen werden, dass
diese Widerstände groß genug sind.
Damit ergibt sich ein Resonanzwiderstand von ungefähr Rp ≈ 20 MΩ (Q ≈ 4200).
Dies kann allerdings nur als grober Schätzwert gelten. Mit diesem Parallelwiderstand
soll zunächst die Kühlzeitkonstante τ = 1/γ aus Gl. (2.33) berechnet werden
τ=
mD2
≈ 0,1 s.
e2 Rp
(4.72)
Hierbei wurde der effektive Elektrodenabstand in der Analysefalle von D = 5,5 mm
angesetzt (siehe Tabelle 3.1). Damit ist eine effektive Kühlung der axialen und der
Magnetronbewegung gewährleistet. Die Dip-Breite ist nach Gl. (2.38) gegeben durch
δν =
1
≈ 1,6 Hz.
2πτ
(4.73)
Diese Breite sollte zur Detektion des Dips ausreichen [Häf00]. Zum anderen kann
die Größe des Signals, also des Spannungsabfalls über dem Schwingkreis bestimmt
62
KAPITEL 4. DIE KRYOGENE DETEKTIONSEINHEIT
werden. Der Effektivwert des induzierten Stroms, bei einer Temperatur von 4 K und
damit einer Teilchenamplitude von z ≈ 60 µm, berechnet sich nach Gl. (2.20) zu
1 e
IInd = √
2πνz z ≈ 5,2 fA.
2D
(4.74)
Damit ergibt sich der Effektivwert des Spannungsabfalls U0 zu
U0 = Iind Rp ≈ 104 nV.
(4.75)
Ob diese Signalstärke zur Detektion ausreicht hängt von der Größe des Rauschuntergrunds ab. Dies wird ausführlich im folgenden Abschnitt im Rahmen der Charakterisierung der kryogenen Verstärkerstufe diskutiert.
63
4.2. DIE KRYOGENE VERSTÄRKERSTUFE
4.2
Die kryogene Verstärkerstufe
Dieser Abschnitt befasst sich mit der ersten Verstärkerstufe des axialen Nachweises.
Der Spannungsabfall über dem Schwingkreis wird über eine Abgriffspule im HelixResonator induktiv ausgekoppelt und zum Verstärker geleitet, der sich im kryogenen Bereich direkt neben dem Resoantor befindet. Durch den kurzen Signalweg
wird, wie im Falle des Resonators, eine hohe Kabelkapazität vermieden. Zusätzlich
verbessern sich die Rauscheigenschaften des Verstärkers in kryogener Umgebung,
was im folgenden Abschnitt 4.2.1 näher erläutert wird. Durch die 4 K Umgebung
können keine Standard-Operationsverstärker eingesetzt werden, da die hierin verbauten Si-Halbleiter i.A. nicht kryotauglich sind. Bei hohen Temperaturen erfolgt der
Ladungstransport in Halbleitern über Streuung an Phononen. Bei tiefen Temperaturen dominiert die Streuung an ionisierten Störstellen (Donatoren und Akzeptoren).
Die Ionisierungsenergie der Si-Donatoren liegt ungefähr bei 40 meV [Dem00], so dass
die Funktionstüchtigkeit unterhalb von 100 K stark eingeschränkt ist. Man spricht
von einem “Ausfrieren” der Ladungsträger. Aufgrund der hohen Donatorkonzentration und einer geringen Ionsierungsenergie der Donatoren können GaAs-Halbleiter
noch bei Temperaturen von 4 K betrieben werden. Zum Einsatz kommen die in
Source
Gate
p
Source
Gate
Drain
n
Drain
n
Isolator
p
a)
Gate
b)
Abbildung 4.17: Auf der linken Seite ist der schematische Aufbau eines JFET (engl.
Junction Field Effect Transistor) dargestellt. Auf der rechten Seite ist das Prinzip
eines MESFET (engl. Metal Semiconductor Field Effect Transistor) abgebildet.
Abbildung 4.17b) dargestellten GaAs-MESFETs. Hierbei handelt es sich um eine
spezielle Sorte eines Feldeffektransistors (FET). Die Elemente eines FET bezeichnet
man als Source, Gate und Drain. Diese finden ihr Analogon beim bipolaren Transistor in Emitter, Basis und Kollektor. Bei einem FET wird der Strom der DrainSource-Strecke über eine Spannung zwischen Gate und Source reguliert. Im Gegensatz zum bipolaren Transistor fliesst kein Strom zwischen Gate und Source aufgrund
der zwischenliegenden Isolierschicht, was einen nahezu leistunglosen Betrieb erlaubt
und hochohmige Eingangswiderstände im Bereich 10-100 MΩ liefert. Beim MESFET wird die Gate-Spannung über einen Schottky-Kontakt angelegt. Es handelt
sich hier um einen Metall-Halbleiter Kontakt anstatt eines p-n Übergangs wie bei
dem in Abbildung 4.17 dargestellten Sperrschicht-Feldeffekttransistor (JFET). Hierdurch werden niedrigere Eingangskapazitäten CGS als bei JFETs erreicht [MP07].
Abbildung 4.18 stellt den Aufbau des verwendeten NexGen3 -Verstärkers der Firma Stahl Electronics schematisch dar [Sta06]. Die Verstärkungseinheit besteht aus
zwei Transistoren in Source-Schaltung. Die Verwendung mehrer Transistoren in paralleler Schaltung bringt zusätzliche Verstärkung. Der zweite Teil ist das Anpas-
64
KAPITEL 4. DIE KRYOGENE DETEKTIONSEINHEIT
Abbildung 4.18: Auf der linken Seite ist der Verstärker mit seinen externen Anschlüssen dargestellt. Diese und die Schaltskizze auf der rechten Seite sind aus dem
Datenblatt des Verstärkers entnommen [Sta06].
sungsnetzwerk zur Transformation der Ausgangsimpedanz der Verstärkungseinheit
auf 50 Ω. Die Betriebsspannungen werden über die “Gate”-Spannung VG und die
“Drain”-Spannung VDD reguliert. Diese Spannungen stellen aufgrund des internen
Biasings nicht die tatsächlich an den Transistoren anliegenden Spannungen dar. Für
die durchgeführte Charakterisierung des Verstärkers sollten folgende Parameter untersucht werden:
• Die Verstärkung sollte so groß sein, dass die Rauscheigenschaften der folgenden Verstärkerstufen keinen nennenswerten Beitrag zum Gesamtrauschen
liefern. Die diesen Zusammenhang beschreibende Friis’sche Formel wird im
folgenden Abschnitt angegeben.
• Die Leistungsaufnahme sollte nicht größer als 10 mW sein, um die Temperatur des kryogenen Bereichs nicht deutlich zu erhöhen.
• Die Rauscheigenschaften eines Verstärkers werden im folgenden Abschnitt
ausführlich behandelt.
• Die Eingangskapazität addiert sich zu der Parallelkapazität des Schwingkreises und erniedrigt somit dessen Resonanzwiderstand. Sie sollte also möglichst
gering sein (siehe hierzu Abschnitt 4.1.1).
• Die Eingangsimpedanz liegt parallel zum Resonanzwiderstand des Schwingkreises. Um diesen nicht zu erniedrigen muss die Eingangsimpedanz also deutlich größer sein.
Für die letzten beiden Punkte muss das Übersetzungsverhältnis von Primär- zu Abgriffspule berücksichtigt werden. Hierbei ist zu beachten, dass sich Spannungen proportional und Ströme umgekehrt proportional zum Windungszahlverhältnis transformieren, Impedanzen jedoch quadratisch [Dös05]. Der die Güte des Schwingkreises
65
4.2. DIE KRYOGENE VERSTÄRKERSTUFE
limitierende Effekt einer niedrigen Eingangsimpedanz oder einer hohen Eingangskapaztität des Verstärkers kann durch ein hohes Übersetzungsverhältnis reduziert
werden. Durch eine starke Abkopplung leidet allerdings die Verstärkung und, wie im
nächsten Abschnitt dargestellt wird, eventuell auch das Signal-zu-Rausch Verhältnis.
4.2.1
Rauschen
In Abschnitt 4.1 wurde der axiale Schwingkreis in Hinblick auf einen möglichst
großen Spannungsabfall konzipiert. Ob dieser Spannungsabfall detektiert werden
kann, hängt jedoch nicht nur von der Signalstärke sondern auch von der Größe
des Rauschuntergrunds ab. Die Rauschleistungen einzelner Komponenten addieren sich zum Gesamtrauschen. Es ist also notwendig die verschiedenen Rauschquellen der Gesamt-Schaltung zu identifizieren und zu quantifizieren, um durch
Veränderung einzelner Komponenten eine Reduktion des Gesamt-Rauschens zu erreichen. Grundsätzlich muss man die unterschiedlichen Mechanismen der Rauschentstehung unterscheiden. Hierzu betrachtet man einen Stab der Länge l, in dem sich
n Ladungsträger mit Ladung e mit konstanter Geschwindigkeit v bewegen [Spi06].
Hieraus resultiert der Strom
env
I0 =
.
(4.76)
l
Die Stromschwankungen sind demnach
(dI)2 =
en
dv
l
2
+
2
ev
dn
l
.
(4.77)
Der erste Term wird durch die thermischen Geschwindigkeitsschwankungen der Ladungsträger verursacht. Diese Art von Rauschen wurde von Johnson experimentell
und von Nyquist theoretisch beschrieben [Joh28, Nyq28]. Die Stromschwankungen
oder Spannungsschwankungen sind gegeben durch
q
√
Itherm = 4kT ∆ν/R
Utherm = 4kT ∆νR.
(4.78)
Hierbei gibt ∆ν die Bandbreite an. Ein rauschender Widerstand R kann, wie in
rauschender Widerstand
UTherm
RL
UL
R
Abbildung 4.19: In der Abbildung ist ein rauschender Widerstand durch eine Rauschquelle Utherm in Reihe zum rauschfreien Widerstand R dargestellt. Dieser ist mit
einem idealen Widerstand RL verbunden.
Abbildung 4.19 dargestellt, durch eine Rauschspannungsquelle Utherm in Reihe zu
dem nun als rauschfrei angenommenen Widerstand R dargestellt werden [Ste03]. Die
66
KAPITEL 4. DIE KRYOGENE DETEKTIONSEINHEIT
0 dBm
Verstärkung A
0 dBm
S ein
S aus
N aus
Rauschmass NF
N ein
Frequenz
Frequenz
Abbildung 4.20: In der Abbildung sind die Signal- und Rauschleistung vor (links)
und nach der Verstärkerstufe (rechts) mit Leistungsverstärkung A dargestellt.
Hieraus erhält man eine anschauliche Darstellung des Rauschmasses N F .
Leistung, die dieser an einem idealen Lastwiderstand RL abgeben kann, ist gegeben
durch
PL =
RL R
RL
2
4kT ∆ν.
2 Utherm =
(R + RL )
(R + RL )2
(4.79)
Die maximale Leistung bei RL = R
Pmax = kT ∆ν
(4.80)
ist also unabhängig von der Größe des rauschenden Widerstands. Das thermische
Rauschen besitzt eine konstante spektrale Leistungsdichte, was man als “weisses”
Rauschen bezeichnet.
Der zweite Term in Gl. (4.77) resultiert aus der Schwankung der Ladungsträgeranzahl. Ursachen sind hierbei das weisse Schrot-Rauschen und das 1/f-Rauschen.
Ersteres resultiert aus der Ladungsquantelung [Sch26]. Fließt ein Strom I0 über eine
Potentialbarriere, so muss jeder einzelne Ladungsträger diese Barriere überwinden.
Dies geschieht nicht gleichförmig, sondern statistisch verteilt. Die resultierenden
Stromschwankungen sind gegeben durch [Ham07]
ISchrot =
q
2eI0 ∆ν.
(4.81)
Beim 1/f-Rauschen nimmt die Rauschamplitude gemäss einer 1/ν-Charakteristik
ab, was als “rosa” Rauschen bezeichnet wird [Ham07]. In einem GaAs-MESFET
setzt sich dieses 1/f-Rauschen aus einem Anteil der von der Oberflächenstruktur
abhängt sowie einem durch Fehler in der Gitterstruktur verursachten Anteil zusammen [Fol86].
Zur Charakterisierung des Rauschens betrachtet man die Entwicklung des stochastischen Signals im Zeitbereich. Kurzzeitige Spannungsamplituden durch Rauschen
können negativ oder positiv sein, wobei der lineare Mittelwert gleich Null ist, da im
Mittel kein Strom fliessen kann [Tex01]. Die Amplituden der Schwankungen gehorchen im Fall des thermischen Rauschens und des Schrotrauschens einer Gaußverteilung. Die Standardabweichung dieser Gaußverteilung liefert den RMS- oder auch
4.2. DIE KRYOGENE VERSTÄRKERSTUFE
67
“Effektivwert” des Rauschens.
Im Folgenden werden die Rauscheigenschaften der ersten, kroygenen Verstärkerstufe
diskutiert. Dabei ist es nicht unbedingt notwendig, die verschiedenen Rauschquellen
eines Verstärkers zu identifizieren, was auch nicht immer möglich ist. Zu beachten ist
allerdings, dass durch die kryogene Umgebung nur der Anteil des thermischen Rauschens reduziert wird. Zur Charakterisierung des Verstärkerrauschens benutzt man
das Signal-zu-Rausch Verhältnis (SNR), welches ein Maß für die Qualität eines
Signals darstellt. Die in den Verstärker gelangende Signalleistung Sein wird verstärkt
aber ebenso die dem Signal beiliegende Rauschleistung Nein . Ferner wird der SignalRausch-Abstand durch die vom Verstärker zugefügte Rauschleistung NAmp (siehe
Abbildung 4.20) gemäß
Saus
Sein A
=
Naus
Nein A + NAmp
(4.82)
verringert, wobei A die Leistungsverstärkung angibt. Ein Mass für das durch den
Verstärker zugefügte Rauschen ist die sogenannte Rauschzahl F oder das in Dezibel ausgedrückte Rauschmaß NF = 10 log F . Die Rauschzahl ergibt sich aus dem
Störabstand an Eingang und Ausgang zu
F =
NAmp
Sein Saus
Naus
=1+
.
/
=
Nein Naus
Nein A
Nein A
(4.83)
Ein idealer Verstärker hat also eine Rauschzahl von 1. Das Verrauschen von elektrischen Signalen in Signalketten wird durch die Friis’sche Formel [Fri44] beschrieben
F1..m = F1 +
F2 − 1 F3 − 1
Fm − 1
+
+ ... +
.
A1
A1 A2
A1 ..Am−1
(4.84)
Die Zusatzrauschzahlen Fm − 1 der nachfolgenden Verstärkerstufen sind also um
die Leistungsverstärkung der vorhergehenden Stufen reduziert. Das bedeutet, dass
bei ausreichender Verstärkung der ersten Stufe das Rauschen der zweiten Stufe vernachlässigbar ist. Das Gesamt-Rauschen ist also bei durchdachtem Aufbau nur durch
das Rauschen der ersten Stufe determiniert. Deshalb sollte diese sorgfältig konzipiert
werden.
Die intrinsischen Rauschquellen eines Verstärkers können durch eine Stromrauschquelle IAmp und eine Spannungsrauschquelle UAmp am Eingang, des nun als
rauschfrei angenommenen Verstärkers modelliert werden [Spi06]. Die Spannungsrauschquelle resultiert hauptsächlich aus dem Stromrauschen in der Drain-Source
Strecke und beinhaltet thermisches Rauschen sowie das 1/f-Rauschen [Lee89]. Abbildung 4.21 zeigt das äquivalente Schaltbild bei dem eine Spannungsquelle U0
mit Innenwiderstand R0 am Verstärkereingang angeschlossen wird. Das Signal-zuRausch-Verhältnis, das unabhängig von der Eingangsimpedanz Ri des Verstärkers
ist [Spi06], ist gegeben durch
U02 G2 /R0
Saus
.
=
2
2
Naus
(4kT + UAmp
/R0 + IAmp
R0 )G2 ∆ν
(4.85)
68
KAPITEL 4. DIE KRYOGENE DETEKTIONSEINHEIT
R0
Utherm(R0)
UAmp
AMP
U0
IAmp
Abbildung 4.21: Die internen Rauschquellen des Verstärkers können durch eine
Stromrauschquelle IAmp und eine Spannungsrauschquelle UAmp am Eingang modelliert werden. Eingangsseitig wird an den Verstärker eine Signalquelle U0 angeschlossen. Aus dem Innenwiderstand R0 resultiert eine thermische Rauschspannung von
√
Utherm = 4kT R0 ∆ν.
Hierbei gibt G die Spannungsverstärkung an. Für die Rauschzahl folgt damit
2
2
UAmp
/R0 + IAmp
R0
.
(4.86)
F =1+
4kT ∆ν
Die Rauschzahl hängt also nicht nur von den Rauschparametern des Verstärkers ab
sondern auch vom Quellrauschwiderstand R0 . Sie ist allerdings unabhängig von der
Verstärkung G. Man erhält ein Minimum der Rauschzahl bei
R0 = Ropt =
UAmp
.
IAmp
(4.87)
Die Rauschzahl der ersten Verstärkerstufe kann also durch eine Impedanztransformation minimiert werden. Über das Windungszahlverhältnis bei der induktiven
Auskopplung des Signals im Helix-Resonator kann der Resonanzwiderstand Rp des
Schwingkreises auf Ropt transformiert werden. Abbildung 4.22 zeigt das resultierende Schaltbild. Für das Verhältnis zwischen den Windungsanzahlen der Primärspule
N1 und der Abgriffspule N2 gilt damit folgender Zusammenhang [Dös05]
Rp
N12
=
.
2
N2
Ropt
(4.88)
Um das optimale Windungszahlverhältnis zu finden, muss also das Eingangsstromund Eingangsspannungsrauschen bestimmt werden.
Die effektive Rauschzahl Fges setzt sich demnach aus der Reihenschaltung des Transformators F1 mit der des Verstärkers F2 nach der Friis’schen Formel wie folgt zusammen
F2 − 1
Fges = F1 +
.
(4.89)
A1
Hierbei gibt A1 den Leistungsverlust durch den Transformator an. Die Rauschzahl
des Transformator ist gleich 1, d.h. der Transformator fügt kein Rauschen hinzu.
Bei Leistungsanpassung, also einem 1:1 Verhältnis, erhält man
Fges = 1 +
F2 − 1
= F2 .
1
(4.90)
69
4.2. DIE KRYOGENE VERSTÄRKERSTUFE
UAmp
AMP
Itherm
IInd
C
N1
N2
IAmp
Abbildung 4.22: Die Abbildung zeigt die Impedanztransformation des Schwingkreises mit N 1 Windungen über die Abgriffspule mit N 2 Windungen. Hiermit kann
eine Minimierung der Rauschzahl Fges erreicht werden. Der vom Proton induzierte
Strom IInd liegt parallelqzum thermischen Rauschen des Schwingkreises. Dieses ist
gegeben durch Itherm = 4kT ∆ν/QωL.
Für ein höheres Übersetzungsverhältnis wird A1 < 1 und damit
Fges − 1 > F2 − 1
Fges > F2
(4.91)
(4.92)
Daraus könnte man schließen, dass das Signal-zu-Rausch Verhältnis durch den Versuch die Rauschzahl F2 zu optimieren niedriger wird. Allerdings sind die beiden
Rauschzahlen F2 aus den Gleichungen (4.90) und (4.91) nicht identisch, da in Gl.
(4.86) die Eingangsimpedanz R0 beachtet werden muss, die für ein hohes Übersetzungsverhältnis erniedrigt wird. Die Rauschzahl muss also immer in Bezug auf die
Eingangsimpedanz angegeben werden, womit diese Größe immer mit Vorsicht zu betrachten ist. Unkritischere Größen zur Beschreibung eines Verstärkers sind demnach
das Eingangsspannungsrauschen UAmp und das Eingangsstromrauschen IAmp .
Eine weitere wichtige Charakterisierungsgröße ist die Rauschtemperatur, die angibt welche Temperatur der Quellwiderstand besitzen müsste, damit die Rauschleistungen von Quellwiderstand und Verstärker übereinstimmen
2
U 2 + IAmp
R02
.
(4.93)
T = Amp
4kR0
Bei optimaler Impedanztransformation R0 = Ropt = UAmp /IAmp ergibt sich
UAmp IAmp
.
(4.94)
T =
2k
Ein rauscharmer Verstärker sollte also eine Rauschtemperatur besitzen, die weit unter der physikalischen Temperatur des Schwingkreises liegt. Damit wäre der Einfluss
des Verstärkerrauschens gering.
4.2.2
Experimentelle Ergebnisse
Zur Charakterisierung des Verstärkers bei Raumtemperatur wurde dieser in einem geschirmten Gehäuse (Telemeter) untergebracht. Für die Spannungsversorgungsleitungen und Signalwege wurden BNC-Buchsen am Gehäuse angebracht. Die
70
KAPITEL 4. DIE KRYOGENE DETEKTIONSEINHEIT
Messung bei Raumtemperatur
50
Gate -5.0V
Gate -4.75V
40
Gate -4.5V
Verstärkung an 50
Gate -4.0V
Gate -3.5V
30
20
10
0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
6,5
Drainspannung (V)
Abbildung 4.23: In der Abbildung ist die Spannungsverstärkung als Funktion der
Betriebsspannungen für eine feste Frequenz von 680 kHz bei Raumtemperatur aufgetragen.
kryogenen Tests wurden im Teststand durchgeführt, der in Abschnitt 3.6 beschrieben wurde. Hierzu wurde der Verstärker an der kalten Stufe befestigt. Die Signal Ein- und Auskopplung wurde über teflonisolierte BNC-Kabel bewerkstelligt,
die über BNC-Flansche in den Raumtemperaturbereich geführt wurden. Die Versorgungsspannungen wurden über Konstantandrähte zum Verstärker geleitet um
deren Wärmeeintrag zu minimieren. Die von A. Mooser gebaute Spannungsquelle
verfügt über separat einstellbare Spannungsversorgungen von −10 bis +10 V mit
einer Stabilität von ∆V /V < 10−4 , was für die Tests völlig ausreichend ist. Der in
der Drain-Versorgung integrierte Strom-Monitor erleichtert das Berechnen der vom
Verstärker aufgenommenen Leistung.
Verstärkung. Die Verstärkung wurde mit dem Netzwerkanalysator HP 3577A
von Hewlett&Packard bestimmt. Zur Kalibrierung wurde zunächst die Transmission
des Kabelwegs ohne den Verstärker gemessen. In Abbildung 4.23 ist die Verstärkung
als Funktion der Drain-Spannung für verschiedene Gate-Spannungen bei Raumtemperatur aufgetragen. Als Frequenz wurde die Frequenz der axialen Bewegung
gewählt. Aus solch einem Diagramm können verschiedene Arbeitspunkte gewählt
werden. Abbildung 4.24 zeigt die Verstärkung in kryogener Umgebung für vier
verschiedene Arbeitspunkte als Funktion der Frequenz. Die benötigten Betriebsspannungen unterscheiden sich deutlich von denen bei Raumtemperatur. Der Ver-
71
4.2. DIE KRYOGENE VERSTÄRKERSTUFE
180
45
Gate -2.5V Drain 2.1V
40
Gate -3.2V Drain 3.0V
Gate -2.8V Drain 2.5V
Gate -3.7V Drain 3.6V
35
160
140
Gate -3.2V Drain 3.0V
)
Ausgangsimpedanz für
30
120
25
100
20
80
15
60
10
Ausgangsimpedanz (
Spannungsverstärkung an 50
50
40
5
0
2000
4000
6000
8000
10000
Frequenz(kHz)
Abbildung 4.24: In der Abbildung ist die Spannungsverstärkung als Funktion der
Frequenz augetragen. Der Abfall zu niedrigen Frequenzen hin ist durch die steigende Ausgangsimpedanz zu erklären. Diese ist exemplarisch für einen Arbeitspunkt
aufgeführt.
stärkungsabfall zu niedrigen Frequenzen hin liegt an der steigenden Ausgangsimpedanz des Verstärkers. Diese konnte ermittelt werden, indem die Eingangsimpedanz
des Netzwerkanalysators von R1 = 50 Ω auf R2 = 1 MΩ umgestellt wurde (siehe Abbildung 4.25). Das Verhältnis der am Netzwerkanalysator detektierten Spannungen
Z
U0
R1,2
U1,2
Abbildung 4.25: In der Abbildung ist die Schaltung zur Messung der Ausgangsimpedanz des Verstärkers gezeigt. Die Signalquelle U0 mit Ausgangsimpedanz Z wird
am Netzwerkanalysator angeschlossen. Aus den zwei verschiedenen Eingangsimpedanzen R1 und R2 resultieren zwei unterschiedliche detektierte Signalstärken U1 und
U2 .
U2 (ν) und U1 (ν) ist gegeben durch
R1 (Z + R2 ) ∼ R1
U1
=
.
=
U2
R2 (Z + R1 )
Z + R1
(4.95)
72
KAPITEL 4. DIE KRYOGENE DETEKTIONSEINHEIT
7
Drainstrom
Leistungsaufnahme
6
DD
I (mA)
DD
P (mA)
5
4
3
2
1
2,0
2,2
2,4
2,6
2,8
3,0
3,2
3,4
3,6
3,8
Drainspannung(V)
Abbildung 4.26: In der Abbildung ist der Drainstrom ID in Abhängigkeit der Drainspannung UDD aufgetragen. Hiermit lässt sich die Leistung berechnen.
Der letzte Schritt erfolgte unter der zutreffenden Annahme, dass Z ≪ R2 = 1 MΩ
gilt. Die Ausgangsimpedanz kann demnach über
Z(ν) =
U2
R1 − R1
U1
(4.96)
berechnet werden. In Abbildung 4.24 ist die Ausgangsimpedanz für nur einen Arbeitspunkt abgebildet, da diese nur schwach von den Betriebsspannungen abhängt.
Leistungsaufnahme Die Leistungsaufnahme ist in Abbildung 4.26 als Funktion
der verschiedenen Arbeitspunkte aufgetragen. Diese liegt selbst beim Arbeitspunkt
mit der größten Verstärkung unterhalb von 10 mW. Damit ist der Wärmeeintrag
durch den Verstärker erfreulich gering.
Rauschen Für die Rauschmessungen wurde der Spektrum-Analysator FSP-13
der Firma Rohde&Schwarz verwendet. Ein Überblick über die Funktionsweise eines
Spektrum-Analysators kann in [Agi00] gefunden werden. Der Spektrum-Analysator
FSP-13 (im weiteren mit FSP bezeichnet) besitzt eine digitalisierte Anzeige bestehend aus 501 Bildpunkten im Frequenzbereich, wobei jeder dieser Bildpunkte damit 1/500 des gesamten Spans zusammenfasst. Die Amplitude eines einzelnen Bildpunkts hängt von der Wahl des Detektors ab [Agi00]. Der Spektrum-Analysator
stellt zwei Detektoren zur Rauschmessung zur Verfügung [Roh06]. Der Detektor
Sample bringt die Abtastwerte ohne weitere Bewertung direkt zu Anzeige. Um eine
73
4.2. DIE KRYOGENE VERSTÄRKERSTUFE
4K
R=50
UZ
UA
ZFL
AMP
Uth
IA
FSP
IZ
Abbildung 4.27: Die in der Abbildung gezeigte Schaltung dient der Bestimmung des
Spannungsrauschens UAmp des Kryo-Axial-Verstärkers. Hierzu werden zwei unterschiedliche Quellrauschleistungen an den Verstärker geschlossen. Die resultierenden
Rauschamplituden werden durch einen ZFL-500-LN von Mini-Circuits verstärkt
und damit über das Rauschen des Spektrumanalysators (FSP) getrieben.
stabile Anzeige zu erhalten kann über mehrere Traces gemittelt werden. Der Detektor RMS bildet direkt den quadratischen Mittelwert der Messwerte innerhalb eines
Bildpunktes. Hier kann durch eine Erhöhung der Sweep-Zeit eine Stabilisierung der
Anzeige erreicht werden, aufgrund der längeren Mittelungszeit pro Bildpunkt. Die
Rauschleistung bezogen auf 1 Hz Bandbreite errechnet sich aus dem angezeigten
Markerpegel P0 über
P1Hz = P0 − 10 lg(1 Hz/BWRausch ),
(4.97)
wobei BWRausch die Rauschbreite des eingestellten Auflösefilters (RBW) ist. Für
den Sample-Detektor müssen zusätzlich noch zwei Korrekturfaktoren beachtet werden. Zum einen wird dem Unterschied zwischen Mittelwert und Effektivwert von
weissem Rauschen durch Addition von 1,05 dBm zum Markerpegel Rechnung getragen [Agi06]. In logarithmischer Darstellung werden zusätzlich 1,45 dBm hinzuaddiert, da in dieser Darstellung Spitzenwerte des Rauschens unterbewertet werden [Agi06]. Die eingebaute Rauschmessfunktion des FSP berechnet bei beiden
Detektoren aus den gemessenen Amplituden die Rauschamplitude. Dies ist sehr
komfortabel, da hierbei schon sämtliche Korrekturen eingerechnet werden. Für die
hier durchgeführten Rauschmessungen wurde der Sample-Detektor verwendet, da
hier direkt die Stabilisierung des Signals mitverfolgt werden kann. Die gemessenen
Rauschpegel müssen noch zusätzlich manuell um 6,02dB erhöht werden, da aufgrund
der internen Leistungsanpassung des Spektrum-Analysators die gemessene Rauschspannung um einen Faktor 2 zu gering ist [Ste03, Roh06]. Zur Messung des Spannungsrauschens wurde nach dem axialen Verstärker der kommerzielle, rauscharme
Verstärker ZFL-500-LN von Mini-Circuits geschaltet. Damit werden die niedrigen
Ausgangsrauschamplituden des axialen Verstärkers so nachverstärkt, dass sie weit
über dem Eingangsrauschen des Spektrum-Analysators liegen. Das Rauschmaß des
Verstärkers liegt laut Datenblatt [MC] bei NF = 2,9 dB. Die Eingangsrauschspannung in einem 50-Ω-System berechnet sich nach Gl. (4.86) zu
UZF L =
s
√
10N F/10 − 1
≈ 1.08 nV/ Hz
4kT R
(4.98)
74
KAPITEL 4. DIE KRYOGENE DETEKTIONSEINHEIT
2
Gate -2.5V Drain 2.1V
Gate -2.8V Drain 2.5V
1,8
Rauschspannung(nV/Hz
0.5
)
Gate -3.2V Drain 3.0V
Gate -3.7V Drain 3.6V
1,6
1,4
1,2
1
0,8
1000
10000
Frequenz (kHz)
Abbildung 4.28: Aufgetragen ist das Spannungsrauschen als Funktion der Frequenz.
Für die√
spätere Arbeitsfrequenz von νz = 682 kHz liegt das Rauschen bei ungefähr
1,6 nV/ Hz.
Der komplette Aufbau ist in Abbildung 4.27 dargestellt. Die am FSP gemessene
Rauschspannung Naus (bezogen auf 1 Hz-Bandbreite) setzt sich wie folgt zusammen:
2
Naus
=
2
2
4kT R + UAmp
+ IAmp
R2 G2Amp
2
2
2
2 2
2
+ UZF
L GZF L + IZF L Z GZF L + NF SP
(4.99)
hierbei sind
√
• 4kT R thermische Rauschspannung des angeschlossenen Rauschwiderstands
• UAmp Rauschspannung des Axial-Verstärkers
• IAmp Stromrauschen des Axial-Verstärkers
• GAmp Verstärkung des Axial-Verstärkers - abhängig vom Arbeitspunkt
√
• UZF L ≈ 1,0 nV/ Hz gemessene Rauschspannung des Mini-Circuit-Verstärkers
(ZFL-500-LN)
• IZF L Stromrauschen des ZFL. Da die Ausgangsimpedanz Z des Axialverstärkers klein ist (< 180 Ω), kann der Beitrag des ZFL-Stromrauschens vernachlässigt werden.
• GZF L ≈ 31,6 Verstärkung des ZFL bei einer Frequenz von ν ≈ 1 MHz
4.2. DIE KRYOGENE VERSTÄRKERSTUFE
75
√
• NF SP ≈ 25 nV/ Hz Eingangsrauschen des Spektrumanalysators
Zur Messung der Rauschspannung werden kleine Quellwiderstände R verwendet,
so dass der Beitrag des Stromrauschens IAmp vernachlässigt werden kann. Damit
vereinfacht sich Gl. (4.99) zu
2
Naus
=
h
i
2
2
2
2
4kT R + UAmp
G2Amp + UZF
L GZF L + NF SP .
(4.100)
Gl. (4.100) enthält zwei Unbekannte: Die gesuchte Rauschspannung UAmp und die
Verstärkung GAmp . Die Verstärkung kann aus einer unabhängigen Verstärkungsmessung am Netzwerkanalysator ermittelt werden. Damit erhält man
UAmp
v
!
u
2 − N2
u Naus
F
SP
2
2
=t
− UZF
L /GAmp − 4kT R.
2
GZF L
(4.101)
Die andere Möglichkeit ist in Abbildung 4.27 dargestellt. Durch die Messung zweier
verschiedener Rauschspannungen N 1aus und N 2aus am Spektrumanalysator kann
die Verwendung von GAmp vermieden werden. Hierzu werden zwei unterschiedliche
Widerstände an den Eingang des Verstärkers geschlossen. Dies sind zum einen ein
50 Ω Widerstand und ein Kurzschluss. Die Rauschspannung ergibt sich damit zu
UAmp
v
u
2
2
u (N 12aus − NF2 SP − UZF
L GZF L ) (4kT R1 − 4kT R2)
− 4kT R1. (4.102)
=t
2
2
(N 1aus − N 2aus )
Für die 4 Arbeitspunkte wurde das Spannungsrauschen als Funktion der Frequenz
gemessen. Die Ergebnisse sind in Abbildung
4.28 aufgetragen. Das Spannungsrau√
schen liegt im Bereich weniger nV/ Hz. Für den Arbeitspunkt mit der größten
Verstärkung wurde für den Bereich unterhalb einem MHz eine Detailmessung durchgeführt. An der somit erhaltenen Rauschkurve in Abbildung 4.29 lässt sich graphisch
die 1/f-Rauschkante ermitteln [Tex01]. Diese liegt bei ungefähr 2 MHz, was ein relativ hoher Wert für FETs ist.
Um das Stromrauschen messen zu können, werden nach Gl. (4.99) hohe Quellwiderstände benötigt. Die Verwendung des Resonators gewährleistet nicht nur einen
hohen effektiven Resonanzwiderstand von einigen MΩ (siehe Abschnitt 4.1), sondern auch die Kompensation der Eingangskapazität des Verstärkers. Das Stromrauschen wird somit durch den reellen Resonanzwiderstand des Schwingkreises geleitet,
womit Korrelationsterme von UAmp und IAmp nicht zum Gesamtrauschen beitragen [ABC91]. Das durch den Widerstand verursachte thermische Rauschen konkurriert hierbei mit dem Beitrag des Stromrauschens des Verstärkers. Abbildung 4.30
zeigt das Verhältnis dieser beiden Beiträge. Hieraus ist leicht zu erkennen, dass
eine Messung des Stromrauschens bei Raumtemperatur sehr schwierig ist. Einerseits ist der Beitrag des thermischen Rauschens um einen Faktor 36 höher, andererseits sind die Resonanzwiderstände bei Raumtemperatur deutlich geringer. Damit
müsste man die Temperatur des Resonators auf etliche Nachkommastellen genau bestimmen, um den Anteil des Stromrauschens ermitteln zu können. Der verwendete
Messaufbau zur Bestimmung des Stromrauschens ist in Abbildung 4.31 dargestellt.
76
KAPITEL 4. DIE KRYOGENE DETEKTIONSEINHEIT
4,5
Gate -3.7V Drain 3.6V
4
thermisches Rauschen
3,5
1/f Rauschen
Rauschspannung(nV/Hz
0.5
)
3
2,5
2
1,5
1
100
1000
Frequenz(kHz)
Abbildung 4.29: Aufgetragen ist das Spannungsrauschen als Funktion der Frequenz.
Die 1/f-Charakteristik des Rauschens ist gut zu erkennen. Der Punkt an dem das
1/f-Rauschen das Niveau des thermischen Rauschens erreicht liegt durch graphische
Ermittlung bei ungefähr ν ≈ 2 MHz.
Der Resonator (Kupferspule im Kupferresonator) wurde im Teststand direkt am
Verstärker angeschlossen. Die kalte Stufe erreichte eine Temperatur von 8 K. Um
die Güte auf ein vernünftiges Maß zu steigern (siehe weiter unten) wurde ein 4,7 pF
Johanson-Kondensator zur Abkopplung zwischengeschaltet. Auf die Verwendung des
ZFL zur Nachverstärkung des Rauschsignals konnte hierbei verzichtet werden, da
die Rauschamplituden mindestens um einen Faktor 3 (je nach Betriebsspannungen)
größer waren als das Eigenrauschen des Spektrumanalysators. Das Stromrauschen
ergibt sich zu
q
2
2
2 − N2
(Naus
F SP ) /GAmp − 4kT R − UAmp
.
(4.103)
R
Der Widerstand R kann aus der -3dB-Breite des Rauschspektrums gewonnen werden. In Abbildung 4.32 ist eine typische Resonanzkurve abgebildet. Der Verstärkungsfaktor GAmp muss aus vorherigen Messungen übernommen werden. Die Hauptschwierigkeit besteht allerdings in der Frage, wieviel der thermischen Rauschspannung am Verstärkereingang liegt. Für die Berechnung des Stromrauschens muss
der Signalverlust der thermischen Rauschspannung durch den 4,7pF-Kondensator
berücksichtigt werden. Die Kapazitäten von 4,7pF und 100pF bilden zusammen mit
der Eingangskapazität einen Spannungsteiler. Letztere ist allerdings abhängig vom
Biasing. Da die Kapazität CS ≈ 4,4 pF und die Induktivität L ≈ 2.29 mH der Spule
bekannt sind, kann aus der Resonanzfrequenz ν0 die Eingangskapazität berechnet
IAmp =
77
4.2. DIE KRYOGENE VERSTÄRKERSTUFE
Thermisches Rauschen / Stromrauschen
Verhältnis bei T = 8K
100
Gate-3.8V Drain 3.6V
Gate-3.2V Drain 3V
Gate-2.8V Drain 2.5V
10
1
1
2
3
4
5
Resonanzwiderstand(MOhm)
Abbildung 4.30: Verhältnis von thermischem
Rauschen zu Stromrauschen für ange√
nommenes Stromrauschen von 4 fA/ Hz und 8K.
werden:
ν =
1
√
2π LC
(4.104)
1
1
1
C = CS +
+
+
4,7 pF 100 pF CG
CG

1
= 
− CS
(2πν)2 L
!−1
!−1
(4.105)
!−1
1
1

+
−
4,7 pF 100 pF
(4.106)
Aus dieser kann der Abschwächungsfaktor X des Spannungsteilers berechnet werden
U 1/U 0 = X = 1
1
4,7 pF
+
−1
1
100 pF
−1
1
100 pF
+
4,7 pF
.
(4.107)
+ CG
√
Die thermische Rauschspannung 4kT R aus Gl. (4.103) muss mit diesem Abschwächungsfaktor multipliziert werden. Damit wird Gl. (4.103) zu
IAmp =
q
2
2
2 − N2
2
(Naus
F SP ) /GAmp − 4kT 2πνQLX − UAmp
2πνQL
.
(4.108)
Die Ergebnisse sind in Tabelle 4.5 aufgetragen. Die Hauptunsicherheit bei der Berechnung resultiert aus dem Term 4kT 2πνQLX 2 aus Gl. (4.108). Die zwei Hauptfehlerquellen sind die Temperatur des Resonators T und die Abschwächung X des
78
KAPITEL 4. DIE KRYOGENE DETEKTIONSEINHEIT
4K
Resonator
CG
Uth
UA 100pF
AMP
4,7pF
R=QwL
IA
FSP
1M
Abbildung 4.31: Schaltung zur Messung des Stromrauschens
Stromrauschen
Gate(V) Drain(V) Verstärkung
√
−3,8
3,6
42
(4,3 ± 2,5) fA/√Hz
−3,2
3
18
(4,2 ± 1,6) fA/√Hz
2,5
10,9
(4,6 ± 1,5) fA/ Hz
−2,8
Tabelle 4.5: In der Tabelle ist das Stromrauschen für drei verschiedene Arbeitspunkte
aufgelistet.
thermischen Rauschens. Die durch die Abkopplung erreichten Resonanzwiderstände
sind in Abbildung 4.30 dargestellt. Die Verwendung des 4,7 pF-Kondensators erniedrigt den Anteil des thermischen Rauschens um einen weiteren Faktor 10. Dies
ermöglicht erst eine Berechnung des Stromrauschens. Bei einer Wiederholung der
Messung sollte der Wert des Kondensators weiter verringert werden.
Aus den nun bestimmten Rauscheigenschaften des Verstärkers kann die optimale
Impedanztransformation bestimmt werden
√
UAmp
1,6 nV/ Hz
√
= 400 kΩ.
(4.109)
Ropt =
≈
IAmp
4 fA/ Hz
Bei einer angenommenen Güte des Schwingkreises von Q = 4200 bei der axialen
Frequenz und einer Induktivität von 1,1 mH ergibt sich ein Resonanzwiderstand von
Rp ≈ 20 MΩ. Dies liefert ein optimales Windungsverhältnis von 1:7.
Die Rauschtemperatur beträgt
T =
UAmp IAmp
≈ 0,26 K.
2k
(4.110)
Das Rauschen ist also hauptsächlich durch das thermische Rauschen des Schwingkreises bestimmt.
Eingangskapazität Zur Messung der Eingangskapazität wird ein Aufbau analog
zur Messung des Stromrauschens verwendet. Es wird einzig auf den Kondensator
79
4.2. DIE KRYOGENE VERSTÄRKERSTUFE
0,8
Gate -2.8V Drain 2.5V
Amplitude( V)
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
1140
1160
1180
1200
1220
1240
Frequenz(kHz)
Abbildung 4.32: In der Abbildung ist die mit dem Spektrumanalysator gemessene
Resonanzkurve des Resonators abgebildet. Die Rauschamplitude setzt sich aus dem
thermischen Rauschen des Resonators und dem Stromrauschen des Verstärkers zusammen. Die Kurve wurde mit dem Sample-Detektor bei einer RBW von 300 Hz
aufgenommen. Es wurde über 2600 Traces gemittelt, wobei jeder Trace eine Sweepzeit von einer Sekunde benötigte.
zur Abkopplung verzichtet. Die Eingangskapazität erhält man nun aus der Verschiebung der Resonanzfrequenz in Abhängigkeit von der Gate-Spannung, wie dies in
Abbildung 4.33 für Raumtemperatur aufgetragen ist. In kryogener Umgebung wurden Eingangskapazitäten in der selben Größenordnung gemessen. Diese erscheinen
zunächst sehr hoch, da Eingangskapazitäten von GaAs-MESFETs im Bereich weniger pF liegen. Die Verstärkungsstufe besteht aus zwei Dual-Gate-MESFETs bei
denen an beide Gates jeweils das Signal gelegt wird. Hierdurch erhöht sich die Eingangskapazität stark, allerdings ist das Übersetzungsverhältnis der beiden Spulen
zu beachten, wodurch die den Schwingkreis betreffende effektive Eingangskapazität
um diesen Faktor erniedrigt ist. Dies bedeutet, dass die effektive Parallelkapazität
für den Schwingkreis für ein Windungszahlverhältnis von 1:7 bei ungefähr 2 pF liegt.
Eingangsimpedanz Die Eingangsimpedanz spielt bei der Limitierung der Güte
eine Rolle. Eine geringe Eingangsimpedanz parallel geschaltet zum Resonanzwiderstand erniedrigt diesen. Wünschenswert wäre demnach eine Eingangsimpedanz,
die deutlich über dem Resonanzwiderstand liegt. Die Güte des freien Kupferresonators liegt bei Raumtemperatur bei Q = 110 bei einer Resonanzfrequenz von
ν0 = 1613 kHz und einer Induktivität von L = 2,3 mH. Daraus resultiert ein Paral-
80
KAPITEL 4. DIE KRYOGENE DETEKTIONSEINHEIT
Messung bei Raumtemperatur und 4V Drain
15
40
14
13
30
Eingangskapazität
12
Verstärkung
25
11
20
10
15
Spannungsverstärkung
Eingangskaazität (pF)
35
9
10
8
5
3,8
4,0
4,2
4,4
4,6
4,8
5,0
5,2
5,4
5,6
Gate-Spannung (-V)
Abbildung 4.33: In der Abbildung ist die Eingangskapazität als Funktion der GateSpannung aufgetragen. Die Messung fand bei einer konstanten Drain-Spannung
und Raumtemperatur statt. Die Verstärkungspunkte sind aus Abbildung 4.23
übernommen.
lelwiderstand von Rp = 2,5 MΩ. Schaltet man den Kupferresonator an den Eingang
des Verstärkers, so verschiebt sich die Resonanzfrequenz des Resonators aufgrund
der Eingangskapazität und die Breite der Resonanzkurve erhöht sich, da der Resonator durch die Eingangsimpedanz bedämpft wird. Die gemessenen Güten lagen, je
nach Betriebsspannung, bei 15-20. Dies entspricht einem Resonanzwiderstand von
Rp ≈ 180 kΩ, was aufgrund des hohen Parallelwiderstands des Kupferresonators
auch in etwa der Eingangsimpedanz des Verstärkers entspricht. Diese ist viel geringer
als erwartet und stellt ein echtes Problem dar. Die Eingangswiderstände von MESFETs liegen normalerweise im Bereich 10 bis 100 MΩ, womit die Eingangsimpedanz
des Verstärkers durch den Bias-Widerstand für die Gate-Spannung gegeben sein sollte, der aber mit 1 MΩ deutlich über der gemessenen Eingangsimpedanz liegt. Durch
Austauschen dieses Widerstands von 1 MΩ auf 100 MΩ wurde eine Eingangsimpedanz von etwa Rein ≈ 300 kΩ erreicht. Durch die Abkopplung des Verstärkers
über einen 4,7 pF-Kondensator konnten Resonanzwiderstände von ungefähr 1 MΩ
in kryogener Umgebung erreicht werden (siehe Abbildung 4.30). Da die Güte des
freien Kupferresonators bei tiefen Temperaturen im Bereich von Rp ≈ 12 MΩ liegt,
entspricht dies wiederum in etwa der Eingangsimpedanz des Verstärkers. Selbst bei
einem Übersetzungsverhältnis von 1:5 limitiert dieser noch die Güte des Resonators.
Als Ursache für die geringe Eingangsimpedanz wurden die Transistoren identifiziert,
so dass diese im nächsten Schritt ausgebaut wurden.
81
4.2. DIE KRYOGENE VERSTÄRKERSTUFE
D
G
FET2
D
100pF
G
D
2pF
S
G
FET1
FET1
4,7pF
S
S
4,7M
1M
Abbildung 4.34: In der Abbildung sind die Modifikationen an der Eingangsstufe des
Verstärkers gezeigt. Die zwei Transistoren wurden durch einen einzelnen Transistor
3SK166 der Firma SONY ersetzt. Der Bias-Widerstand wurde von 1 MΩ auf 4,7 MΩ
erhöht. Als Einkoppelkondensator wird ein 2 pF-AVX-Kondensator verwendet. In
der ursprünglichen Variante wurde der 4,7 pF-Kondensator nur bei der Messung des
Stromrauschens verwendet.
25
Gate -4.5V
Gate -4.5V
Gate -4V
Gate -4V
Gate -3.5V
Gate -3.5V
Gate 3V
Gate -3V
12
10
15
8
10
6
Leistung(mW)
Spannungsverstärkung an 50
20
14
4
5
2
0
0
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
Drainspannung(V)
Abbildung 4.35: In der Abbildung ist die Verstärkung und die Leistungsaufnahme
als Funktion der Drain-Spannung für verschiedene Gate-Spannungen aufgetragen.
Hierbei wurde die Verstärkung für die spätere Arbeitsfrequenz von ν = 682 kHz
aufgenommen.
Modifizierter Verstärker Der Eingangsbereich des Verstärkers wurde grundlegend geändert. Die zwei Eingangstransistoren wurden durch einen einzelnen Transistor 3SK166 der Firma SONY ersetzt. Der 100 pF-Kondensator am Verstärkereingang wurde durch einen 2 pF-AVX-Kondensator ersetzt. Der Bias-Widerstand für
die Gate-Spannung wurde auf 4,7 MΩ gesetzt. Abbildung 4.34 gibt einen Überblick
über die durchgeführten Modifikationen.
82
Spannungsrauschen (nV/Hz
0.5
)
KAPITEL 4. DIE KRYOGENE DETEKTIONSEINHEIT
21
20
19
18
17
16
15
14
13
12
11
10
9
8
7
6
5
4
3
Messung bei Raumtemperatur
gemessenes Rauschen
theoretischer Verlauf
10
20
30
40
50
Einkoppelkondensator(pF)
Abbildung 4.36: In der Abbildung ist das Spannungsrauschen als Funktion des Einkoppelkondensators aufgetragen. Die Messung erfolgte für eine Gate-Spannung von
−4 V und eine Drain-Spannung von 4 V bei Raumtemperatur. Für jeden Einkoppelkondensator wurde die Verstärkung am Netzwerkanalysator gemessen. Aus der bei
einem Kurzschluss am Eingang gemessenen Rauschamplitude kann nach Gl. (4.101)
die Eingangsrauschspannung bestimmt werden. Der theoretische Verlauf wurde mit
dem Spannungsteiler aus Einkoppelkondensator und der gemessenen Eingangskapazität von 8 pF bestimmt. Das Eingangsspannungsrauschen konnte demnach um
einen Faktor 4 reduziert werden.
Zunächst wurde die Verstärkung und das Spannungsrauschen wie bei der ersten
Verstärkervariante nach dem in Abbildung 4.27 dargestellten Messaufbau bestimmt.
In Abbildung 4.35 ist die Spannungsverstärkung und die Leistungsaufnahme für die
spätere Arbeitsfrequenz von ν = 682 kHz als Funktion der Betriebsspannungen
ab√
gebildet. Für das Spannungsrauschen ergab sich UAmp ≈ 4,7 nV/ Hz. Die niedrigere
Verstärkung und die relativ hohe Rauschspannung sind auf den 2 pF-Kondensator
am Verstärkereingang zurückzuführen. Bei der Berechnung der Rauschspannung
nach Gl. (4.101) wird die Verstärkung verwendet, die sich mit dem Spannungsteiler aus dem Einkoppelkondensator und der Eingangskapazität ergibt. Bei einer
Eingangskapazität von 8 pF ergibt sich eine Spannungsabschwächung von 0,2. In Abbildung 4.36 ist die Rauschspannung bei Raumtemperatur als Funktion des Einkoppelkondensators aufgetragen. Der Verlauf ist durch den Spannungsteiler erklärbar.
Demnach kann die Rauschspannung am Verstärkereingang durch einen höheren Koppelkondsator verringert werden.
Der Aufbau zur Messung des Stromrauschens und der Eingangsimpedanz entspricht
83
4.2. DIE KRYOGENE VERSTÄRKERSTUFE
720
Gate -4.5V
700
Gate -4V
680
Gate -3.5V
Gate -3V
660
freie Güte
640
Güte
620
600
580
560
540
Güte parallel zum Verstärker
520
500
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
5,5
6,0
Drainspannung(V)
Abbildung 4.37: In der Abbildung ist die Güte als Funktion der Drain-Spannung
für verschiedene Gate-Spannungen aufgetragen. Zusätzlich ist die Güte des freien
Kupferresonators eingetragen. Aus der Parallelschaltung von Gate-Widerstand und
Resonanzwiderstand des freien Resonators wurde die theoretische Güte parallel zum
Verstärker berechnet.
dem von Abbildung 4.31. Der Kupferspule wurde zusätzlich ein 18 pF Kondensator
parallel geschaltet um eine Resonanzfrequenz von ν0 ≈ 692 kHz zu erreichen, was
in etwa der späteren Arbeitsfrequenz entspricht. In Abbildung 4.37 ist die Güte als
Funktion der Drain-Spannung aufgetragen. Um auf die Eingangsimpedanz zu schliessen wurde in einer späteren Messung die freie Güte des Kupferresonator bestimmt.
Um in etwa die selbe Resonanzfrequenz zu erreichen wurde ein 22 pF-Kondensator
parallel geschaltet. Dabei ergab sich
νLC = 661 kHz
∆ν = 1025 Hz
→ Q = 645
(4.111)
Zusätzlich wurde die Größe des Bias-Widerstands bei einer Temperatur von 4 K
bestimmt. Dieser erhöhte sich um einen Faktor 5 auf 22,7 MΩ. Schaltet man dem
Resonanzwiderstand von Rp ≈ 6,2 MΩ (Q=645) den Verstärker mit Koppelkondensator von 2 pF und den Bias-Widerstand von 22,7 MΩ parallel, so ergibt sich
eine theoretische Güte von Q ≈ 520, was in guter Übereinstimmung mit den gemessenen Güten liegt. Dies bedeutet, dass die Eingangsimpedanz durch den BiasWiderstand der Gate-Spannung gegeben ist und somit deutlich über der Eingangsimpedanz des ursprünglichen Verstärkers liegt. Der modifizierte Verstärker limitiert
also nicht die Güte. Die Schwankungen der Güte in Abbildung 4.37 sind wahrscheinlich auf Feedback-Effekte und veränderte Parameter des Transistors zurückzuführen.
84
KAPITEL 4. DIE KRYOGENE DETEKTIONSEINHEIT
720
8,0
7,5
680
7,0
Güte
6,0
Leistung
640
Güte
6,5
Verstärkung
5,5
Kapazität
5,0
620
4,5
4,0
600
3,5
3,0
580
2,5
560
2,0
1,5
540
1,5
2,0
2,5
3,0
3,5
4,0
4,5
5,0
Spannungsverstärkung an 50
660
Leistung (mW)
8,5
700
Eingangskapazität (pF)
9,0
Drainspannung(V)
Abbildung 4.38: In der Abbildung sind die Güte, die Spannungsverstärkung, die
Leistungsaufnahme und die Eingangskapazität für eine Gate-Spannung von −3 V
aufgetragen. Als Arbeitspunkt bietet sich eine Drain-Spannung von 3 V an. Hier ist
die Verstärkung hoch genug (siehe folgender Abschnitt), bei geringer Leistungsaufnahme.
Stromrauschen
Gate(V) Drain(V) Verstärkung
√
−4
5
21
(7,8 ± 2,5) fA/√Hz
−3,5
4
5
(1,5 ± 7,6) fA/√ Hz
−3
4
4
(2,6 ± 9) fA/ Hz
Tabelle 4.6: In der Tabelle ist das Stromrauschen für drei verschiedene Arbeitspunkte aufgelistet. Aussagekräftig ist allerdings nur der Arbeitspunkt mit der höchsten
Verstärkung.
Feedback-Effekte sind unerwünscht weil diese eine Aufheizung des Teilchens zur Folge haben. Für eine Gate-Spannung von −3 V sind die Variationen sehr klein, womit
diese Einstellung empfehlenswert ist (siehe Abbildung 4.38).
Das Stromrauschen wurde für drei verschiedene Arbeitspunkte gemessen. Die Ergebnisse sind in Tabelle 4.6 aufgelistet. Die Fehler sind aufgrund der geringen Verstärkung und der fehlenden Abkopplung des thermischen Rauschens sehr hoch. Die
Berechnung erfolgt nach Gl. (4.103), das heißt hier entfällt der zusätzliche Spannungsteiler, da die Verstärkung inklusive 2 pF Abkopplung bestimmt wurde. Der
Hauptfehler resultiert aus dem Fehler der Verstärkung. Die Messung des Stromrauschens sollte also bei einer Erhöhung des Einkoppelkondensators wiederholt werden.
Dabei sollte das thermische Rauschen des Schwingkreises durch einen kleinen Kondensator zusätzlich abgekoppelt werden (siehe Abbildung 4.31).
4.2. DIE KRYOGENE VERSTÄRKERSTUFE
85
Parameter
Verstärker
mod. Verstärker
Verstärkung
≤ 35
≤ 20
< 10 mW
≤ 10 mW
Leistungsaufnahme
≈ 14 pF
≈ 8 pF
Eingangskapazität
Eingangsimpedanz
≈ 300 kΩ
≈ 22,7 MΩ
√
√
Hz
≈
4,7
nV/
Spannungsrauschen ≈ 1,6 nV/
√
√ Hz
Stromrauschen
≈ 4 fA/ Hz
≈ 8 fA/ Hz
Tabelle 4.7: In der Tabelle sind die Parameter des ursprünglichen Verstärkers, sowie
des modifizierten Verstärkers aufgelistet.
In Tabelle 4.7 sind die Parameter beider Verstärkerversionen aufgelistet. Welche
Variante für das Experiment geeigneter ist, wird im folgenden Abschnitt diskutiert.
4.2.3
Zusammenfassung
Die Parameter der beiden Verstärker konnten erfolgreich bestimmt werden:
• Die Verstärkung ist in beiden Fällen so groß, dass nach der Fris’schen Formel
die Rauchzahl der zweiten Verstärkerstufe im Raumtemperaturbereich keine
Rolle spielt(siehe Diskussion des SNR weiter unten).
• Die Leistungsaufnahme liegt jeweils unterhalb 10 mW. Dies bedeutet eine
erfreulich geringe Wärmelast für den Kühler.
• Die Rauscheigenschaften konnten bestimmt werden. Für den ursprünglichen
Verstärker wurde das Spannungsrauschen über den gesamten Verstärkungsbereich gemessen. Somit konnte die 1/f-Grenzfrequenz bestimmt werden. Für die
spätere Arbeitsfrequenz
√ von νz = 682 kHz ergab sich ein Spannungsrauschen
von UAmp ≈ 1,6 nV/ Hz, was ein vergleichsweise geringer Wert ist [JHHD92].
Zusätzlich konnte durch
√ die Verwendung des Kupferresonators das Stromrauschen zu IAmp ≈ 4 fA/ Hz bestimmt werden. Hieraus folgt eine optimale Eingangsimpedanz von ungefähr 400 kΩ. Für den modifizierten
Verstärker wurde
√
eine Eingangsrauschspannung von UAmp ≈ 4,7 nV/ Hz gemessen. Dieser im
Vergleich relativ hohe Wert ist durch den kleineren Koppelkondensator
zu er√
klären. Das Stromrauschen wurde zu IAmp ≈ 8 fA/ Hz bestimmt. Hieraus
folgt eine optimale Eingangsimpedanz von ungefähr 600 kΩ. Ein Vergleich der
beiden Werte für das Stromrauschen wird, abgesehen von dem großen Fehler, dadurch erschwert, dass dieses beim ersten Verstärker für eine Frequenz
von ν ≈ 1,2 MHz bestimmt wurde. Für den zweiten Verstärker wurde das
Stromrauschen für die spätere Arbeitsfrequenz von ν ≈ 690 kHz gemessen.
Ein Anstieg zu niedrigen Frequenzen kann nicht ausgeschlossen werden.
• Die ermittelte Eingangskapazität der ersten Konfiguration liegt deutlich
über 10 pF. Durch das Übersetzungsverhältnis von Abgriffspule zu Primärspule
86
KAPITEL 4. DIE KRYOGENE DETEKTIONSEINHEIT
wird diese allerdings reduziert, so dass die den Schwingkreis betreffende Kapazität nur wenige pF beträgt. Bei der zweiten Verstärker-Variante ist die
Kapazität mit 8 pF geringer. Bei einem hohen Übersetzungsverhältnis ist der
Kapazitätsbeitrag des Verstärkers somit vernachlässigbar.
• Durch die Verwendung des Kupferresonators konnte auch festgestellt werden,
dass die Eingangsimpedanz des ursprünglichen Verstärkers so gering ist,
dass die Güte des gesamten Nachweiskreises nur für ein hohes Übersetzungsverhältnis nicht bedämpft wird. Eine hohe Güte ist aber erforderlich für die
Detektion des Dips. Erst bei einem Windungszahlverhältnis von 5 ist eine DipBreite von 1 Hz erreicht. Die Eingangsimpedanz des modifizierten Verstärkers
ist mit 22,7 MΩ etwa einen Faktor 100 größer, womit die Güte des Schwingkreises kaum belastet wird.
Um die beiden Konfigurationen zu vergleichen, wird das Signal-zu-Rausch Verhältnis
der gesamten Signalkette bestehend aus der Signalquelle, dem Transformator, der
kryogenen Verstärkerstufe und der ersten Raumtemperaturverstärkerstufe analysiert. Für den Raumtemperaturverstärker
wird das Spannungsrauschen des ZFL
√
angesetzt UZF L = 1,08 nV/ Hz. Als Resonanzwiderstand werden Rp = 20 MΩ
angenomen (siehe Abschnitt 4.1.9). Zur Berechnung des SNR muss zwischen den
verschiedenen Aufgaben des Axialnachweises differenziert werden:
• In der Analysefalle wird die Spin-Orientierung über die Phasen-Methode detektiert (siehe Abschnitt 3.5). Dabei wird das Teilchen angeregt. Das SNR bei
der Peak-Methode berechnet sich aus Gl. (4.85) mit Hilfe der Transformatorgleichungen [Dös05] zu
Saus
Naus
v
u
u
u
=t
2
f /N 2
I02 G2Amp R
p
2
2
2
2
f /N 2 + U 2
f
4
(4kT R
p
Amp + IAmp Rp /N )GAmp + UZF L
(4.112)
wobei I0 den induzierten Strom und N = N 1/N 2 das Übersetzungsverhältnis
f ist
zwischen Primärspule und Abgriffspule angibt. Der Parallelwiderstand R
p
aufgrund der geringen Eingangsimpedanz Rein der ersten Verstärkerversion
auch eine Funktion des Übersetzungsverhältnisses
f =
R
p
Rp Rein N 2
.
Rp + Rein N 2
(4.113)
In Abbildung 4.39 ist das SNR für die beiden Konfigurationen als Funktion
des Übersetzungsverhältnisses aufgetragen. Zur Berechnung wurde eine Teilchentemperatur von 4 K angesetzt. Bei der Peak-Methode wird das Teilchen
allerdings auf eine höhere Temperatur angeregt, wobei die Stärke der Anregung von der Harmonizität des Fallenpotentials abhängt. Durch den C4 - und
den C6 -Term der Potentialentwicklung nach Gl.(2.16) wird die Frequenz des
87
4.2. DIE KRYOGENE VERSTÄRKERSTUFE
1.6
SNR
1.4
1.2
300 kW
1
0.8
22.7 MW
0.6
0.4
0
5
10
15
20
25
Windungsverhältnis
Abbildung 4.39: In der Abbildung ist das SNR der Peak-Methode für beide Varianten
des Verstärkers als Funktion des Übersetzungsverhältnisses aufgetragen.
Protons eine Funktion der Energie. Die Größe der Frequenzverschiebung ist
gegeben durch [GHR89]
3 C4 Ez
15 C6
δωz
=
+
ωz
2 C2 eU0 C2
4 C2
Ez
eU0 C2
2
.
(4.114)
Da die Energie des Protons einer Boltzmann-Verteilung gehorcht [Ver03], wird
mit zunehmender Energie die Frequenzauflösung schlechter. Ab einer gewissen
Anregungsstärke ist somit der durch einen Spin-Flip verursachte Frequenzsprung nicht mehr nachweisbar. Demnach wird auch die Phasenauflösung ab
einer gewissen Teilchentemperatur schlechter. Die Stärke der optimalen Anregung für ein hohes SNR bei der Phasenmethode hängt also von der Optimierung des Tuning-Ratios ab, je nachdem wie genau C4 und C6 minimiert
werden können und muss somit experimentell ermittelt werden [Dje05].
• In der Präzisionsfalle wird die axiale Frequenz über den Dip bestimmt. Hier
ergibt sich das SNR zu
Saus
Naus
v
u
u
u
=t
2
f /N 2 G2
4kT R
p
Amp
2
2
f N 4 + U 2 )G2
(IAmp
R
p
Amp
Amp + UZF L
(4.115)
f vom Übersetzungsverhältnis abhängt. Erwartete SNR
wobei hier wiederum R
p
für die zwei Konfigurationen sind in Abbildung 4.40 zu sehen, wobei eine Temperatur von 4 K angenommen wird. Auch hier kann durch eine Anregung das
SNR verbessert werden. Dazu wird die Rauschtemperatur des Schwingkreises über eine externe Anregung erhöht [Sta98]. Eine höhere Temperatur des
Schwingkreises bedeutet wiederum eine höhere Teilchentemperatur, die nach
Gl. (4.114) eine Frequenzverschiebung liefert. Wie bei der Peak-Methode muss
experimentell ermittelt werden, welche Anregungsstärke für die anvisierte Genauigkeit verträglich ist.
88
KAPITEL 4. DIE KRYOGENE DETEKTIONSEINHEIT
4
300 kW
SNR
3
22.7 MW
2
22.7 MW*
1
0
0
5
10
15
20
25
Windungsverhältnis
Abbildung 4.40: In der Abbildung ist das SNR der Dip-Methode für beide Varianten des Verstärkers als Funktion des Übersetzungsverhältnisses aufgetragen.
Zusätzlich ist die zweite Variante mit den Rauscheigenschaften der ersten Konfiguration als 22,7 MΩ∗ abgebildet. Daraus erkennt man, dass die urprüngliche Variante
des Verstärkers aufgrund der besseren Rauscheigenschaften und der geringeren Eingangsimpedanz ein höheres SNR erzielt. Wie in Abbildung 4.30 dargestellt wurde,
ist das Verhältnis von thermischem Rauschen zu Stromrauschen für niedrige Resonanzwiderstände höher. Das SNR für hohe Eingangsimpedanz steigt mit zunehmender Windungszahl, da hiermit der Anteil des Stromrauschens am Gesamtrauschen
verringert wird. Allerdings muss hierbei beachtet werden, dass für eine erfolgreiche
Messung die Dip-Breite ausreichend sein muss. Für die geringe Eingangsimpedanz
von 300 kΩ wäre der Dip bei einem 1:1 Verhältnis kleiner als 100 mHz, womit dieser
nicht aufgelöst werden kann. Erst ab einem Windungszahlverhältnis von 5 ist die
Dip-Breite ausreichend.
• Für die Kühlung des Protons und damit einhergehend der Breite des Dips
ist allein die Größe des Resonanzwiderstands wichtig. Dies bedeutet, dass der
Verstärker den Schwingkreis möglichst nicht bedämpfen sollte, damit der Resonanzwiderstand maximal erhalten bleibt.
Die Verstärkung der beiden Konfigurationen ist so hoch, dass das Rauschen des
Raumtemperaturverstärkers einen vernachlässigbaren Beitrag zum Gesamtrauschen
liefert. Aus Gl. (4.112) und (4.115) kann eine untere Grenze für die benötigte
2
2
Verstärkung abgeschätzt werden. Für UAmp
G2Amp > UZF
L ist der Beitrag der Raumverstärkerstufe zum Gesamtrauschen vernachlässigbar. Bei einer Verstärkung von
drei oder höher ist der Rauschanteil also nur durch die erste Verstärkerstufe gegeben.
Die Rauscheigenschaften der zweiten Konfiguration sind etwa um einen Faktor drei
schlechter und damit ist das SNR für den Nachweis über den Dip für die ursprüngliche Variante des Verstärkers höher. Allerdings muss bei der Dip-Methode
auch die Breite des Dips berücksichtigt werden, die mit der Höhe der Eingangsimpedanz skaliert. Für den ursprünglichen Verstärker würde sich bei einer 1:1 Übersetzung
eine Dip-Breite von unter 100 mHz ergeben, womit diese Variante nur bei einem sehr
4.2. DIE KRYOGENE VERSTÄRKERSTUFE
89
hohen Übersetzungsverhältnis verwendet werden kann. Für eine schnelle Kühlung,
eine ausreichende Dip-Breite und eine effiziente Detektion ist der effektive Parallelwiderstand der entscheidende Parameter. Ein Ziel muss also die Erhaltung der
Güte sein, was mit der zweiten Verstärkervariante erreicht wird. Gerade im Hinblick
auf die Verwendung der Toroide mit höheren Parallelwiderständen ist die modifizierte Version die bessere Wahl. Zusätzlich können die Rauscheigenschaften durch
einen größeren Koppelkondensator verbessert werden, womit die Vorteile der ersten
Verstärkervariante verschwinden.
Kapitel 5
Zusammenfassung und Ausblick
Ziel dieser Diplomarbeit war die Konzeption der kryogenen axialen Nachweis-Elektronik zur Bestimmung des g-Faktors des Protons.
Der erste Teil umfasste die Konzeption des Helix-Resonators im Hinblick auf einen
hohen Resonanzwiderstand. Erschwerend ist hierbei der zur Verfügung stehende
Platz, womit einerseits die Abmessungen des Resonators limitiert sind. Zum anderen
wird ein einzelner Schwingkreis für die Detektion in zwei Fallen verwendet, wodurch
sich die parasitären Kapazitäten nahezu verdoppeln. Um dennoch einen hohen Resonanzwiderstand zu erreichen, wurden zunächst die charakteristischen Eigenschaften
von Helix-Resonatoren, wie Induktivität, Kapazität und Güte untersucht. Aus der
Kombination von theoretischer Beschreibung und experimentellen Befunden konnte der Resonanzwiderstand schrittweise erhöht werden. Für die supraleitende Spule
ergab sich eine Induktivität von L = 2,07 mH und eine Kapazität von C = 5 pF
die sehr gut mit den theoretischen Werten von L = 2,13 mH und C = 5,16 pF
übereinstimmen. Für die Güte der Spule konnte ein Wert von Q = 12000 ereicht
werden, der deutlich über dem zu Anfang dieser Arbeit erwarteten Wert liegt. Als
Grund für die Limitierung der Güte unterhalb der theoretischen Güte von Q ≈ 105
wird ein höherer Verlustwiderstand des Resonators vermutet. So konnte die Güte
durch Polieren des Resonators gesteigert werden. Eine theoretische Berechnung ist
allerdings schwierig, da der Verlustwiderstand offenbar von der Oberflächenreinheit
des Resonatortopfes abhängt. Eine genauere Messung der Güte als Funktion der
Temperatur könnte Aufschluss darüber geben, ob diese von der Cooper-Paar-Dichte
abhängt. Die Messung der Güte als Funktion des Magnetfeldes würde Aufschluss
über die Stärke des hieraus resultierenden Verlustwiderstands liefern und wäre eine
relevante Messung für alle Experimente, die Helix-Resonatoren in starken Magnetfeldern betreiben. Im Rahmen dieser Arbeit wurde ein Aufbau zur Messung der
Güte als Funktion des Magnetfelds konzipiert. Nach der Lieferung noch fehlender
Teile wird diese Messung durchgeführt.
Da der Resonator eine entscheidende Rolle bei der Gütelimitierung spielt wären Spulen mit kleinerem Durchmesser geeigneter, was bei selber Drahtdicke durch mehrlagige Wicklung erreicht werden kann. Das bei Kupferspulen erfolgreich getestete
Prinzip der Kammerwicklung könnte hierfür verwendet werden. So konnten bei die90
91
ser Wickelmethode parasitäre Kapazitäten im Bereich von einlagigen Spulen erreicht
werden. Ein weiterer Schritt wäre der Übergang von Zylinderspulen zu Torusspulen. Ein perfekt gewickelter Torus besitzt keinen magnetischen Streufluss womit der
Verlustwiderstand des Resonators vernachlässigbar klein wird. Da der Resonator genug Platz für zwei Toroide bietet, könnten somit zwei separate Nachweiskreise für
Analyse- und Präzisionsfalle erstellt werden, wodurch die Güte der jeweiligen Nachweiskreise wahrscheinlich deutlich gesteigert werden kann.
Der zweite Teil der Arbeit umfasste die Charakterisierung der kryogenen Verstärkerstufe wobei das Hauptaugenmerk auf das Signal-zu-Rausch Verhältnis gerichtet wurde. Es konnten alle wichtigen Parameter des Verstärkers bestimmt werden. Bei
der ursprünglichen Konfiguration konnte eine geringe Eingangsimpedanz festgestellt werden, womit die Verwendbarkeit für Schwingkreise hoher Güte stark eingeschränkt ist. Durch einen modifizierten Aufbau konnte dieses Problem behoben
werden. Hier konnte die Eingangsimpedanz auf den Wert des Bias-Widerstands für
die Gate-Spannung zurückgeführt werden. Die weiteren Parameter sind eine Spannungsverstärkung von bis zu 20 und eine geringe Leistungsaufnahme
von weniger als
√
10 mW. Das Spannungsrauschen konnte zu UAmp ≈ 4,7 nV/ Hz bestimmt werden.
Wie durch Tests bei Raumtemperatur gezeigt wurde, kann dieses durch die Verwendung eines höherwertigen Einkoppelkondensators verringert werden. Durch die
Verwendung
des Helix-Resonators konnte außerdem das Stromrauschen zu IAmp ≈
√
8 fA/ Hz bestimmt werden. Aus diesen Parametern kann das optimale Windungszahlverhältnis von Primär- und Abgriffspule für höchstes Signal-zu-Rausch Verhältnis
gewonnen werden.
Damit konnten entscheidende Komponenten für die Messung des g-Faktors des Protons entwickelt werden.
Als letzte Komponente der kryogenen Elektronik muss noch der Güte-Schalter gefertigt werden, dessen Auswirkung auf die Güte im unbelasteten Zustand nur aus
den Erfahrungen in anderen Experimenten beurteilt werden kann. Je nachdem wie
stark der Resonator bedämpft wird, kann dieser entweder auf der Primär- oder der
Sekundärseite positioniert werden.
Während dieser Arbeit wurde von Susanne Kreim der Fallenturm fertig gestellt
und getestet. Die kryogene Nachweis-Elektronik zur Messung der reduzierten Zyklotronfrequenz wurde von Stefan Ulmer aufgebaut. Die Filterboards wurden von
Cricia de Carvalho Rodegheri entwickelt. Damit sind die wesentlichen Bauteile für
den kryogenen Bereich des Experiments fertig gestellt, so dass das Experiment in
naher Zukunft zusammengebaut wird. Um die tatsächlich benötigte Induktivität für
den axialen Nachweis festzustellen und für erste Testmessungen zur Ionenerzeugung
soll zunächst der Kupferresonator mit Kupferspule montiert werden. Aus der sich
ergebenden Resonanzkurve kann präzise auf die parasitäre Kapazität der gesamten
Schaltung geschlossen werden, was eine exakte Berechnung der benötigten Indukti-
92
KAPITEL 5. ZUSAMMENFASSUNG UND AUSBLICK
vität ermöglicht.
Die Fortschritte der letzten Monate waren ein großer Schritt auf dem Weg zur
Vervollständigung des Experiments. So werden vorraussichtlich diesen Sommer Protonen in der Falle erzeugt und nachgewiesen. Die Detektion des Spin-Flips sollte
dieses Jahr noch gelingen womit der Beginn der Messung des g-Faktors des Protons
in greifbare Nähe rückt.
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100
LITERATURVERZEICHNIS
Danksagung
An dieser Stelle möchte ich mich bei einigen Personen bedanken, die zum Gelingen
dieser Arbeit beigetragen haben.
Jochen Walz, für seine Hilfsbereitschaft und seine zahlreichen Denkanstöße, die effektiv auf den richtigen Weg lenkten. Seine HF-Tipps waren meist Gold wert. Und
natürlich für die Möglichkeit diese interessante Diplom-Arbeit bei den Protonen
durchzuführen.
Großer Dank gilt auch Klaus Blaum der mich ohne weiteres als Kollaborateur in die
MATS-Gruppe aufnahm und stets ansprechbar bei Problemen war. Die MATS-Tage
und die Fahrt zur DPG-Tagung gaben einen wertvollen Ausblick über den Tellerrand. Dank auch für die Bereitschaft, diese Arbeit als Zweitkorrektor zu betreuen.
Der gesamten Protonengruppe möchte ich für ein sehr lehrreiches, spannendes und
kollegiales Jahr danken.
Mein Dank gilt hier vor allem Stefan Ulmer, der im menschlichen und physikalischen
Sinn eine Bereicherung für diese Arbeit darstellt. Seine unvergleichliche Neugier
und Begeisterung für neue physikalische Effekte war ein steter Ansporn. Eigentlich
müsste er als Nulltkorrektor dieser Arbeit aufgeführt werden. Man kann nur hoffen,
dass noch viele Diplomanden die “Ulmer-Schule” besuchen dürfen.
Susanne Kreim für die stete Unterstützung in allen Fragen und die ausgezeichnete
Zusammenarbeit. Die helfende Hand war gerade für einen Neuling überaus wertvoll.
Dank für die Überlassung der von ihr erarbeiteten ersten Ergebnisse zum axialen
Resonator.
Für fruchtbare Diskussionen möchte ich Cricia de Carvalho Rodegheri, Wolfgang
Quint und Stefan Stahl danken.
Der Lyman-α-Gruppe und der MATS-Gruppe danke ich für die tolle Arbeitsathmosphäre.
Für die Einweisung in den Umgang mit LaTeX Susanne Kreim und Cricia de Cavalho Rodegheri herzlichen Dank.
Der Werkstatt danke ich für die Realisierung des Unmöglichen.
Dennoch gibt es mittlerweile drei gute Gründe die Uni auch mal zu verlassen:
Ich danke Lea, Janus und Ira einfach dafür, dass es Euch gibt!
Dank meinen Eltern für die bedingungslose Unterstützung.
Euch ist diese Arbeit gewidmet.
101
Erklärung
Hiermit erkläre ich, dass ich die vorliegende Arbeit selbstständig verfasst und keine
anderen als die angegebenen Hilfsmittel und Quellen verwendet habe.
Mainz, den 20. Juni 2007
Holger Kracke
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