¨Ubung zur Vorlesung ” Diskrete Strukturen II“

Timo Kötzing
SS 2014
Übung zur Vorlesung Diskrete Strukturen II“
http://www.theinf.uni-jena.de/Lehre/SS+2014/Diskrete+Strukturen+II-p-174.html
”
Aufgabenblatt 1
Abgabe am Mittwoch, den 23.04.2014, 12:15 Uhr
Was ist ein Beweis? Wie schreibt man einen guten Beweis? Damit wollen wir uns
in dieser Übungsserie befassen. Als Einstimmung ins Thema dient folgendes Zitat.1
Even when you know how to do it, writing a proof takes planning, effort
and inspiration. Great artists do make sketches before starting a painting
for real; great architects make plans before building a building; great engineers make plans before building a bridge; great authors plan their novels
before writing them; great musicians plan their symphonies before composing them. And yes, great mathematicians plan their proofs in advance
as well.
Dazu hier noch ein ähnlich gelagertes Zitat.
Proofs are to mathematics what spelling (or even calligraphy) is to poetry.
Mathematical works do consist of proofs, just as poems do consist of
characters. Vladimir Arnold
Wir haben in der Vorlesung folgende Kriterien für gute Beweise benannt.
(a) Korrektheit. Schlussregeln müssen beachtet werden; nur logisch zwingende
Beweise sind Beweise im engeren Sinn.
(b) Verständlichkeit. Der korrekteste Beweis ist nichts wert, wenn er nicht verständlich
ist. Dazu gibt es eine Reihe von Unterpunkten.
(i) Sprache, Grammatik, Layout. Der Text sollte ansprechend gestaltet sein,
ganze Sätze werden benutzt, die Schrift ist lesbar.
(ii) Notation, Symbolik. Alle benutzten Symbole werden eingeführt, die verwendeten Symbole sind konsistent mit der Vorlesung (n für natürliche
Zahlen. . . ).
(iii) Aufbau, Struktur. Die Vorraussetzungen sind gut erkennbar, es wird gesagt, was bewiesen wird. Das Lesergedächtnis wird berücksichtigt (zur Not:
Rückreferenzen).
1
http://cheng.staff.shef.ac.uk/proofguide/proofguide.pdf
1
Diskrete Strukturen II
Timo Kötzing
(iv) Erklärungen. Grundidee des Beweises darstellen (z.B. bei Induktionen),
Aufbau beschreiben, Grafiken benutzen, Zwischenschritte und Notationen
erklären.
Das gute Beweisen wollen wir in dieser Vorlesung anhand von Beispielen aus der
Graphentheorie lernen. Zur Einleitung lese die Seiten 1 bis 15 (bis vor die Überschrift
0.6) in dem Text zur Vorlesung, zu finden hier:
http://www.inf.fu-berlin.de/users/rote/Lere/2001-SS/Graphentheorie/
Diestel-GraphentheorieII.pdf.
Dies ist auch von der Vorlesungshomepage aus verlinkt. Bei der Lektüre sind die
Beweise optional. Im folgenden gibt es ein vier Aufgaben, die die vorgestellten Begriffe
einüben. Ich schlage vor zuerst diese Aufgaben zu überfliegen, und dann während der
Lektüre jeweils dann bearbeiten, wenn alle Begriffe vorhanden sind.
Aufgabe 1 (Verständnisaufgabe, 2 Punkte) Diese Aufgabe ist nach Seite 3 bearbeitbar. Seien zwei Graphen G und G0 wie folgt gegeben.
2
b
3
c
1
a
G0
G
4
5
e
d
Gebe einen Isomorphismus von G nach G0 an. Wie sieht der von {a, b, c} induzierte
Teilgraph G0 [{a, b, c}] aus?
Aufgabe 2 (Verständnisaufgabe, 2 Punkte) Diese Aufgabe ist nach Seite 9 bearbeitbar. Was sind δ(G), ∆(G), g(G), rad(G), diam(G)? Wie lang ist der längste
Weg in G (beachte, dass ein Weg jeden Knoten höchstens einmal benutzen darf )?
Gebe selbige Werte auch fuer G0 , sowie die folgenden beiden Graphen H und H 0 an.
H0
H
2
Diskrete Strukturen II
Timo Kötzing
Aufgabe 3 (Beweisaufgabe, 4 Punkte) Nach der Lektüre von Seite 9, zeige:
rad(G) ≤ diam(G) ≤ 2 rad(G).
Aufgabe 4 (Knobelaufgabe, 4 Punkte) Nach der Lektüre von Seite 13, zeige den
Satz 0.5.1: Es sind äquivalent für einen Graphen T :
(a) T is ein Baum;
(b) zwischen je zwei Knoten enthählt T genau einen (d.h. mindestens einen und
höchstens einen) Weg;
(c) T ist minimal zusammenhängend, d.h. T ist zusammenhängend, aber für jede
Kante e von T ist T e nicht zusammenhängend;
(d) T ist maximal kreislos, d.h. T ist kreislos, aber für je zwei nicht benachbarte
Knoten x, y enthält T + xy einen Kreis.
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