Aufgabenblatt 4 - bioinf leipzig

Algorithmen und Datenstrukturen I
Universität Leipzig
Institut für Informatik
WS 2013/2014 Serie 4
Bioinformatik/IZBI
Prof. P.F. Stadler, S. Will
Ausgabe am
Abgabe am
19.12.2013
9.01.2014
Seite
1/2
Algorithmen und Datenstrukturen I
WS 2013/2014 Serie 4
16 (6 Punkte) Eigenschaften Binärer Bäume
Gegeben sind die folgenden Binärbäume.
(i)
(ii)
(iii)
7
1
(iv)
0
0
6
1
2
3 5
4
6
3
2
5 4 2 1
6
1
2
3 5
7 8
4
9
a) (4 Punkte) Geben Sie für jeden der Bäume (i)-(iv) dessen Höhe an, und ob er
die folgenden Eigenschaften hat (ja/nein): strikt, ausgeglichen, fast vollständig,
vollständig. Geben Sie Ihre Ergebnisse in Form einer Tabelle, in der zu jedem der
Bäume jeweils eine Spalte steht.
Beachten sie: Die Höhe eines Baums sei dabei deniert als der maximale Abstand
eines Blatts zur Wurzel + 1. Ein Baum, der genau einen Knoten enthält, hat also
die Höhe 1.
b) (2 Punkte) Geben Sie zu den Bäumen (i) und (iii) an, durch welchen Ausdruck sie
jeweils gemäÿ ADT-Spezikation BINTREE erzeugt werden.
17 (3 Punkte) Traversierung von Bäumen
Gegeben sei ein Algorithmus zur Baumtraversierung
1 TRAVERSAL(T) {
2 Falls T leer, return;
3 Sonst habe T die Wurzel w sowie linken und rechten Tochterbaum Tl und Tr
4
Gebe w aus;
5
TRAVERSAL(Tl);
6
TRAVERSAL(Tr);
7 }
Unterschiedliche Traversierungsvarianten lassen sich beschreiben, indem man die Zeilen
4, 5 und 6 permutiert. Vertauscht man zum Beispiel Zeilen 4 und 5, dann ergibt sich
ein Algorithmus, der die Schlüssel in Zwischenordnung ausgibt; wir bezeichnen diesen
durch Angabe der neuen Zeilenreihenfolge als Variante 5-4-6.
Der Baum T ? sei gegeben als
Algorithmen und Datenstrukturen I
Universität Leipzig
Institut für Informatik
WS 2013/2014 Serie 4
Bioinformatik/IZBI
Prof. P.F. Stadler, S. Will
Ausgabe am
Abgabe am
19.12.2013
9.01.2014
Seite
2/2
c
h
t
h
n
e
a
e
n i w
a) Welche (durch Permutation der Zeilen 4-6 entstehende) Variante von TRAVERSAL
gibt auf T ? angewendet den Namen eines naheliegenden Festes aus? (1 Punkt)
b) Geben sie ausserdem einen fast vollständigen Binärbaum an, aus dem die Variante
5-6-4 (das entspricht postorder) das in (a) gesuchte Wort erzeugt. (2 Punkte)
18 (10 Punkte) Binäre Suchbäume
Gegeben sind die Schlüsselsequenzen
a) 4, 6, 2, 3, 1, 5
b) 1, 5, 4, 3, 2, 6
c) 1, 2, 4, 3, 5, 6
Bauen Sie zu jeder der Sequenzen den natürlichen binären Suchbaum auf. Fügen Sie
also die Schlüssel der Reihe nach in einen anfangs leeren Binärbaum ein. Als Ordnung
auf den Schlüsseln verwenden sie (wie üblich) die aufsteigende Ordnung. Zeichnen sie den
Baum nach dem letzten Einfügen (Darstellung wie in Aufgabe 16). Löschen Sie danach
jeweils den Schlüssel 5 und zeichnen Sie den nun erhaltenen Baum. Gibt es mehrere
Möglichkeiten resultierender Bäume, so geben Sie alle an.
19 (6 Punkte) Linearisierung Binärer Suchbäume
Ein binärer Suchbaum T mit n Knoten wird in Vorordnung (Pre-order) ausgegeben;
dies erzeugt eine Schlüsselfolge F = a1 , a2 , . . . , an . Diese Abbildung eines Baums T auf
eine Folge F sein durch die Funktion P : T 7→ F beschrieben. Die Schlüssel werden
anschliessend der Reihe nach in einen anfangs leeren binären Suchbaum eingefügt. Diese
Erzeugung eines Baumes B aus einer Folge F , sei durch B : F 7→ T ausgedrückt.
Beweisen sie durch vollständige Induktion, dass der so konstruierte binäre Suchbaum
gleich dem anfänglichen Baum T ist. Beginnen sie damit, die Behauptung unter Verwendung der Funktionen P und B zu formalisieren.