Statistik für Naturwissenschaftler - utb-Shop

Hans Walser
Statistik für Naturwissenschaftler
3 Stochastische Unabhängigkeit
Lernumgebung
Hans Walser: 3 Stochastische Unabhängigkeit
ii
Inhalt
1 Randomized response - Technik.............................................................................. 1
2 Drei Karten ............................................................................................................. 1
3 HIV Test................................................................................................................. 1
4 Schwestern.............................................................................................................. 2
5 Zeitungsnotiz .......................................................................................................... 2
6 Männeranteil in China............................................................................................. 2
7 Test....................................................................................................................... 3
8 Test....................................................................................................................... 4
9 HIV Test................................................................................................................. 5
10 HIV Test ............................................................................................................... 6
11 HIV Test ............................................................................................................... 7
12 Doppelter HIV Test............................................................................................... 8
13 Tuberkulose .......................................................................................................... 9
14 Rot-grün-farbenblind ............................................................................................ 9
15 Würfelgesteuerter Münzenwurf........................................................................... 10
16 Schwänzen .......................................................................................................... 10
17 Hotline................................................................................................................ 11
18 Butterbrote.......................................................................................................... 11
19 Bedingte Wahrscheinlichkeit............................................................................... 13
20 Teilbarkeit........................................................................................................... 17
21 Teilbarkeit........................................................................................................... 17
22 Teilbarkeit........................................................................................................... 18
23 Stochastische Unabhängigkeit ............................................................................. 18
24 Stochastische Unabhängigkeit ............................................................................. 18
25 Stochastische Unabhängigkeit ............................................................................. 19
26 Essen Sie heute vegetarisch................................................................................. 19
last modified: 25. Juli 2011
1
Hans Walser: 3 Stochastische Unabhängigkeit
1 Randomized response - Technik
Mittels moderner Interviewmethoden, den so genannten randomized responseTechniken, kann man heute den Befragten auch peinliche Wahrheiten entlocken. Die
Befragten wählen zufällig eine aus drei Fragen aus und beantworten diese mit ja oder
nein. Der Interviewer weiß nicht, welche Frage jeweils ausgelost wurde, er erhält lediglich die Antwort ja oder nein.
Die drei Fragen lauten:
• Essen Sie gerne Spinat?
• Waren Sie schon einmal in London?
• Haben Sie unversteuertes Vermögen auf einer Bank im Fürstentum Liechtenstein?
Es interessiert nur die Antwort auf die dritte Frage.
In zwei unabhängigen Separatumfragen wird der Anteil der Spinatliebhaber (63%) und
der Londontouristen (85%) ermittelt.
Für die eingangs geschilderte Umfrage ergeben sich 52% ja.
Gesucht ist ein Schätzwert für den Anteil der Steuerdefraudanten.
Lösung
1 0.63 + 1 0.85 + 1 x
3
3
3
= 0.52
x = 0.08 = 8%
2
Drei Karten
Max hat drei Karten. Eine ist auf beiden Seiten rot, eine auf beiden Seiten schwarz und
die dritte auf einer Seite rot und auf der anderen Seite schwarz. Nun mischt er die Karten und legt eine auf den Tisch. Die Oberseite ist rot. Mit welcher Wahrscheinlichkeit
ist auch die Unterseite rot?
Bearbeitung
Die schwarz-schwarze Karte fällt weg. Wir haben also entweder die rot-rote Karte oder
die rot-schwarze Karte. Da die rot-rote Karte auf zwei Arten mit Oberseite rot da liegen
kann, hat sie die doppelte Wahrscheinlichkeit, verglichen mit der rot-schwarzen Karte.
Die Unterseite ist also mit der Wahrscheinlichkeit 23 rot.
3 HIV Test
Im Lande X sind 0.5% der Bevölkerung HIV positiv. Ein HIV Test reagiert bei HIV
positiven Personen mit 99% Wahrscheinlichkeit positiv. Bei HIV negativen Personen
gibt er mit 3% Wahrscheinlichkeit irrtümlicherweise auch ein positives Resultat.
Eine Person wird getestet und es ergibt sich ein positives Resultat. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie wirklich HIV positiv?
Ergebnis
~14%
Hans Walser: 3 Stochastische Unabhängigkeit
2
4
Schwestern
Entweder Alice oder Betty sind — mit gleicher Wahrscheinlichkeit — unter der Dusche. Nun hören wir die Duschende singen. Wir wissen, dass Alice immer singt unter
der Dusche, Betty aber nur zu ihrer Zeit. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist es Alice,
die unter der Dusche steht?
Ergebnis
80%
5 Zeitungsnotiz
www.20minuten.ch, Dienstag, 8. August 2006
Aids bei Katzen: Tierexperten warnen vor unsicheren Test
NOIRAIGUE - Die Bluttests der Tierärzte auf Katzenaids sind nicht absolut sicher. Die
Folge: Katzenbesitzer lassen ihren Liebling einschläfern, obwohl er gar kein Aids hat.
Jetzt wird eine neue Kampagne lanciert.
„Von unseren 50 Katzen, die vom Tierarzt positiv auf das Virus getestet wurden, stellte
sich bei einem zweiten Test durch die Universität Zürich heraus, dass 10 Tiere gar kein
Aids hatten“, sagte Tomi Tomek vom Katzenheim SOS Chats in Noiraigue NE zu einem Bericht von „Le Matin“. Sie lanciert nun eine Kampagne und fordert die Katzenbesitzer auf, ihre Tiere nicht nach einem ersten positiven Aidstest einschläfern zu lassen.
Während der unsichere Test beim Veterinär nur 20 Franken kostet, müssen Katzenbesitzer für den zuverlässigen Test der Uni Zürich 100 Franken hinblättern. Tomek:
„Wenn man seine Katze wirklich gern hat, spielt das Geld aber keine Rolle.“
Eine aidskranke Katze kann bis zu 10 Jahre mit dem Virus leben. „Die Leute lassen das
Tier aber meist einschläfern, weil sie Angst haben, sie könnten angesteckt werden“, so
Tomek weiter. Doch Katzenaids sei nicht auf den Menschen übertragbar.
Laut Hans Lutz von der Veterinärmedizinischen Fakultät der Uni Zürich leiden in der
Schweiz rund ein Prozent der Katzen an Aids - bei den bereits kranken Katzen sind es
zwei bis drei Prozent.
Cornelia Stauffer
6 Männeranteil in China
Bluewin Vermischtes 11.09.2006
Zahl der Alkoholabhängigen in China steigt um zehn Prozent
Die Zahl der Alkoholiker in China ist in den vergangenen 20 Jahren stark
gestiegen. Grund dafür seien der Wirtschaftsboom und die zunehmend
westliche Lebensweise in China, sagte der Psychologe Wei Hao bei einem
Kongress in Sydney.
[sda] - In einer Studie für die Weltgesundheitsorganisation WHO hat er
errechnet, dass die Rate der alkoholkranken Chinesen seit 1985 um
zehn Prozent gestiegen ist. Außerdem steige die Produktion alkoholischer Getränke jährlich um zehn Prozent.
Wei sagte, vor 20 Jahren seien die Menschen im Allgemeinen sehr arm
gewesen. "Sie hatten gerade genug Geld, um Lebensmittel und Kleidung
zu kaufen. Jetzt werden sie immer reicher und kaufen alkoholische Getränke."
Hans Walser: 3 Stochastische Unabhängigkeit
3
Weis Berechnungen zufolge sind 6,7 Prozent aller Männer über 15 Jahre
und 0,2 Prozent aller Frauen dieser Altersgruppe in China alkoholabhängig. Damit sind durchschnittlich 3,7 Prozent der Chinesen Alkoholiker.
Die Rate ist aber immer noch deutlich niedriger als in Japan und Südkorea. Wei warnte allerdings, "das Japan von heute ist das China von morgen."
Frage: Wie groß ist in China der Männeranteil in der Altersgruppe über 15 Jahre?
Bearbeitung
x = Anteil Männer
0.067x + 0.002 (1 x ) = 0.037
7 53.85%
x = 13
7 Test
Ein Test für eine seltene Krankheit, von welcher nur 3% der Bevölkerung befallen sind,
hat folgende Merkmale:
Bei kranken Probanden gibt er mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% ein positives
Testresultat.
Bei gesunden Probanden gibt er mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% fälschlicherweise
ein positives Testresultat.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand mit einem positiven Testresultat
tatsächlich krank ist?
b) Personen mit einem positiven Testresultat werden nun ein zweites Mal getestet. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand mit einem positiven Testresultat auch beim
zweiten Test tatsächlich krank ist?
4
Hans Walser: 3 Stochastische Unabhängigkeit
Bearbeitung
Zweites
Testresultat positiv
0.9
Testresultat positiv
0.9
krank
0.03
Zweites
Testresultat negativ
0.1
Testresultat negativ
0.1
Zweites
Testresultat positiv
0.05
gesund
0.97
Testresultat positiv
0.05
Zweites
Testresultat negativ
0.95
Testresultat negativ
0.95
Baumdiagramm
a) Wir erhalten die bedingte Wahrscheinlichkeit:
0.030.9
P ( krank | positives Testresultat ) = 0.030.9+0.970.05
0.357615894
b) Wir erhalten die bedingte Wahrscheinlichkeit:
P ( krank | zwei positive Testresultate ) =
0.030.9 2
0.030.9 2 +0.970.05 2
0.9092609916
8 Test
Ein Test für eine seltene Krankheit, von welcher nur 4% der Bevölkerung befallen sind,
hat folgende Merkmale:
Bei kranken Probanden gibt er mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% ein positives
Testresultat.
Bei gesunden Probanden gibt er mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% fälschlicherweise
ein positives Testresultat.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand mit einem positiven Testresultat
tatsächlich krank ist?
b) Personen mit einem positiven Testresultat werden nun ein zweites Mal getestet. Wie
groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass jemand mit einem positiven Testresultat auch beim
zweiten Test tatsächlich krank ist?
5
Hans Walser: 3 Stochastische Unabhängigkeit
Bearbeitung
Zweites
Testresultat positiv
0.9
Testresultat positiv
0.9
krank
0.04
Zweites
Testresultat negativ
0.1
Testresultat negativ
0.1
Zweites
Testresultat positiv
0.05
gesund
0.96
Testresultat positiv
0.05
Zweites
Testresultat negativ
0.95
Testresultat negativ
0.95
Baumdiagramm
a) Wir erhalten die bedingte Wahrscheinlichkeit:
0.040.9
P ( krank | positives Testresultat ) = 0.040.9+0.960.05
0.4285714286
b) Wir erhalten die bedingte Wahrscheinlichkeit:
P ( krank | zwei positive Testresultate ) =
0.040.9 2
0.040.9 2 +0.960.05 2
0.9310344828
9 HIV Test
Im Lande Y ist p der Anteil der HIV positiven Bevölkerung. Ein HIV Test reagiert bei
HIV positiven Personen mit 99% Wahrscheinlichkeit positiv. Bei HIV negativen Personen gibt er mit 3% Wahrscheinlichkeit irrtümlicherweise auch ein positives Resultat an.
a) Wie groß ist der Anteil der Fehlalarme bei der Anwendung dieses Testes?
b) Wie groß ist die Dunkelziffer bei der Anwendung dieses Testes?
c) Kommentar?
6
Hans Walser: 3 Stochastische Unabhängigkeit
Ergebnis
a) Wie groß ist der Anteil der Fehlalarme bei der Anwendung dieses Testes?
Anteil Fehlalarme =
0.03(1 p )
0.99 p+0.03(1 p )
Anteil Fehlalarme
1
1
p
Anteil Fehlalarme
b) Wie groß ist die Dunkelziffer bei der Anwendung dieses Testes?
Dunkelziffer (Anteil) =
0.01p
0.01p+0.97(1 p )
Dunkelziffer Anteil
1
1
p
Anteil nicht erkannter Krankheitsfälle
c) Kommentar: Wenn p sehr klein ist (seltene Krankheit), sind die meisten positiven
Testresultate Fehlalarme. Wenn p sehr groß ist (häufige Krankheit), ist der Anteil
der nicht erkannten Krankheitsfälle unter den scheinbar Gesunden sehr groß.
10
HIV Test
Ein HIV Test reagiert bei HIV positiven Personen mit 99% Wahrscheinlichkeit positiv.
Bei HIV negativen Personen gibt er mit 4% Wahrscheinlichkeit irrtümlicherweise auch
ein positives Resultat an.
Bei einer flächendeckenden Anwendung dieses Testes im Lande X ergaben sich 9.7%
positive Testresultate.
Wie groß ist der Anteil der tatsächlich HIV positiven Personen im Lande X?
7
Hans Walser: 3 Stochastische Unabhängigkeit
Bearbeitung
x
1 x
0.99
0.99x
Positives Testresultat
0.01
0.01x
0.04
0.04 (1 x )
0.96
0.96 (1 x )
Positives Testresultat
Baum
Es ist:
0.99x + 0.04 (1 x ) = 0.097
x = 0.06 = 6%
11 HIV Test
Die folgenden Zahlen sind fiktiv.
Im Lande Z ist ein unbekannter Anteil der Bevölkerung HIV positiv. Ein HIV Test reagiert bei HIV positiven Personen mit 70% Wahrscheinlichkeit positiv. Bei HIV negativen Personen gibt er mit 20% Wahrscheinlichkeit irrtümlicherweise auch ein positives
Resultat.
a) Es wurden sämtliche Personen der Bevölkerung getestet, und es ergaben sich 25%
positive Testresultate. Welcher Anteil der Bevölkerung ist tatsächlich HIV positiv?
b) Es wurden sämtliche Personen der Bevölkerung getestet, und es ergaben sich 50%
positive Testresultate. Welcher Anteil der Bevölkerung ist tatsächlich HIV positiv?
c) Es wurden sämtliche Personen der Bevölkerung getestet. Der Anteil der positiven
Testresultate ist a. Welcher Anteil der Bevölkerung ist tatsächlich HIV positiv?
Ergebnis
a) 10%
b) 60%
c) Es sei x der Anteil der tatsächlich HIV positiven Menschen an der Bevölkerung.
Dann ist: x ( a) = 2a 0.4 .
8
Hans Walser: 3 Stochastische Unabhängigkeit
x
x a = 2 a - 0.4
1
-1
1
2
a
Testresultat und Wirklichkeit
12 Doppelter HIV Test
Im Lande X sind 0.5% der Bevölkerung HIV positiv. Ein HIV-Test reagiert bei HIVpositiven Personen mit 99% Wahrscheinlichkeit positiv. Bei HIV-negativen Personen
gibt er mit 3% Wahrscheinlichkeit irrtümlicherweise auch ein positives Resultat.
Das Testverfahren geht nun so vor sich, dass zunächst jede Person mit diesem Test getestet wird. Da es bekanntlich in denjenigen Fällen mit einem positiven Testresultat viele „Fehlalarme“ hat, wird bei positivem Testresultat der Test wiederholt.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person, bei der auch der zweite
Test ein positives Resultat ergibt, tatsächlich HIV-positiv ist?
b) Wie viele Tests müssen bei einer flächendeckenden Untersuchung mit diesem
Testverfahren im Mittel pro Person durchgeführt werden?
Verwenden Sie die volle Genauigkeit Ihres Rechners.
Bearbeitung
a) Für die erstmalige Durchführung des Tests gilt folgender Baum:
Test +
0.00495
0.99
HIV +
0.005
HIV –
0.995
Test –
0.01
0.00005
Test +
0.03
0.02985
Test –
0.97
0.96515
Baum 1
Für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit einem positiven Testresultat beim ersten Test nun tatsächlich HIV-positiv ist, erhalten wir:
0.00495
P1 = 0.00495+0.02985
= 0.00495
= 0.14224137931 14%
0.0348
9
Hans Walser: 3 Stochastische Unabhängigkeit
Für den Nachtest gilt somit der Baum:
HIV +
0.14224137931
HIV –
0.85775862069
Test +
0.99
0.14081896552
Test –
0.01
0.00142241379
Test +
0.03
0.02573275862
Test –
0.97
0.83202586207
Baum 2
Für die Wahrscheinlichkeit, dass eine Person mit einem positiven Testresultat auch
beim zweiten Test tatsächlich HIV-positiv ist, erhalten wir:
0.14081896552
0.14081896552 = 0.84549689442 85%
P2 = 0.14081896552+0.02573275862
= 0.16655172414
b) Im ersten Test erhalten 0.00495 + 0.02985 = 0.0348=3.48% ein positives Testresultat und müssen ein zweites Mal getestet werden. Somit müssen im Mittel 1.0348 Tests
pro Person durchgeführt werden.
13 Tuberkulose
In der Bundesrepublik Deutschland waren 1975 0.5% der Bevölkerung aktiv an Tuberkulose (Tbc) erkrankt. Man weiß aufgrund langjähriger Erfahrungen, dass ein spezieller
Tbc-Röntgentest 90% der Kranken und 99% der Gesunden richtig diagnostiziert.
a) Herr Meier hat am Röntgentest teilgenommen. Das Untersuchungs-Ergebnis weist
ihn als Tbc-krank aus. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist er wirklich an Tbc erkrankt?
b) Frau Meier erhielt die Mitteilung, dass sie aufgrund des Befundes dieser Untersuchung gesund sei. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist sie in diesem Fall wirklich gesund?
Ergebnis
a) 31.14%
b) 99.95%
14 Rot-grün-farbenblind
In der Bevölkerung von Stochastikan sind 45% Männer. Unter den 3% rot-grünfarbenblinden Mitgliedern dieser Bevölkerung sind allerdings 85% Männer.
a) Wie viel Prozent der Männer sind rot-grün-farbenblind?
b) Wie viel Prozent der Frauen sind rot-grün-farbenblind?
10
Hans Walser: 3 Stochastische Unabhängigkeit
Bearbeitung
a) Es sei x der Anteil der rot-grün-farbenblinden Männer an der Gesamtbevölkerung.
Dann ist:
0.45x = 0.03 0.85
x = 0.030.85
= 0.056
0.45
b) Es sei y der Anteil der rot-grün-farbenblinden Frauen an der Gesamtbevölkerung.
Dann ist:
0.55y = 0.03 0.15
y = 0.030.15
= 0.0081
0.55
15
Würfelgesteuerter Münzenwurf
Es wird ein Würfel geworfen, und dann eine Münze so oft, wie die Augenzahl anzeigt.
Sie sind beim Spiel nicht dabei, werden aber informiert, dass dabei jedes Mal Kopf geworfen worden sei. Mit welcher Wahrscheinlichkeit war die Augenzahl 1, 2, 3, 4, 5 oder
6?
Bearbeitung
( )n . Die Wahr-
Bei n Würfen ist die Wahrscheinlichkeit, jedes Mal Kopf zu werfen, 12
scheinlichkeiten für die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 verhalten sich also wie 12 zu 14 zu
1 zu 1 zu 1 .zu 1 . Die Wahrscheinlichkeiten dafür, welche Augenzahl der Würfel
8
16
32
64
anzeigte, müssen diesen Verhältnissen entsprechen, zusammen aber 1 ergeben. Daher
erhalten wir die Wahrscheinlichkeiten 32
, 16
, 8 , 4 , 2 , 1 dafür, dass der Würfel
63
63 63 63 63 63
die Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6 anzeigte.
16 Schwänzen
Gewisse Untersuchungen an einer Schule sollen ergeben haben, dass 75% aller Entschuldigungen akzeptiert wurden, dass aber 40% aller Entschuldigungen erfunden (faul,
unwahr) seien. Zudem sei bekannt, dass eine korrekte (echte, wahrhaftige) Entschuldigung mit einer Wahrscheinlichkeit von 56 akzeptiert werde.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür,
a) dass eine faule Entschuldigung akzeptiert wird.
b) dass eine beliebig herausgegriffene Entschuldigung faul ist und akzeptiert wurde.
Ergebnis
a) 0.625
b) 0.25
Hans Walser: 3 Stochastische Unabhängigkeit
11
17 Hotline
Ein Call-Center beschäftigt drei MitarbeiterInnen, die telefonische Anfragen von Kunden beantworten sollen.
• Frau Alleskönnerin kann 95% aller Fragen zufrieden stellend beantworten.
• Herr Besserwisser gibt in 90% der Fälle eine nützliche Auskunft.
• Herr Chancenlos weiß nur für 70% aller Fragen einen hilfreichen Tipp.
Alle drei MitarbeiterInnen beantworten gleich viele Anrufe, und es ist gleich wahrscheinlich, eine der drei Personen an den Apparat zu bekommen.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kunde mit der Auskunft, die er erhält,
nicht zufrieden ist?
b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Kunde zufrieden ist, wenn wir wissen,
dass er nicht von Frau Alleskönnerin bedient wurde?
c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein unzufriedener Kunde von Herrn Chancenlos bedient wurde?
Lösung
a) 13 (0.05 + 0.1+ 0.3) = 0.15
b)
c)
1
3
( 0.9+0.7)
2
3
1 0.3
3
1
3
= 0.8
( 0.05+0.1+0.3)
= 23
18 Butterbrote
Wenn ein Butterbrot vom Tisch fällt, fällt es meistens auf die Butterseite.
Wir wissen nicht, mit welcher Wahrscheinlichkeit ein Butterbrot auf die Butterseite
fällt. Wir machen daher einen Versuch und lassen der Reihe nach sechs Butterbrote vom
Tisch fallen. Wir sprechen von einem „Erfolg“, wenn das Butterbrot auf die Butterseite
fällt, andernfalls von einem „Misserfolg“. Da wir lernfähig sind, definieren wir die Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelfall andauernd neu und berücksichtigen die bisherigen
Ergebnisse. Für jedes folgende Butterbrot setzen wir die Wahrscheinlichkeit, dass es auf
die Butterseite fällt, proportional zum Verhältnis der Anzahl der bisherigen Erfolge zur
Gesamtzahl der bisher gefallenen Butterbrote.
Und nun beginnt die Realität: Das erste Butterbrot fällt auf die Butterseite. Das zweite
nicht, das dritte aber wohl.
Frage: Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben wir bei insgesamt 6 Butterbroten
a) genau 2 Erfolge?
b) genau 3 Erfolge?
c) genau 4 Erfolge?
d) genau 5 Erfolge?
e) genau 6 Erfolge?
f) Was ist an dieser Aufgabe zu kritisieren?
12
Hans Walser: 3 Stochastische Unabhängigkeit
Bearbeitung
In den folgenden Grafiken bedeutet ein Strich nach oben „Erfolg“ (blaue Farbe).
# Erfolge
4
5
3
4
2
3
1
3
1
4
1
2
1
2
2
5
5
1
5
3
5
1
10
4
1
10
4
2
5
3
5
1
15
3
1
10
4
1
15
3
1
15
3
1
10
2
2
5
2
5
3
5
Baumdiagramm
Hans Walser: 3 Stochastische Unabhängigkeit
13
Es ist:
Aufgabe # Erfolge Wahrscheinlichkeit
a)
2
b)
3
c)
4
d)
5
e)
6
1
10
1
5
3
10
2
3
0
f) Kritik: Angenommen, die ersten drei Butterbrote fallen alle auf die Butterseite, dann
fallen ab da überhaupt alle Butterbrote auf die Butterseite. Oder noch einfacher: Wenn
wir nur eine Information haben, nämlich über den ersten Fall, ist es gar nicht lustig.
19 Bedingte Wahrscheinlichkeit
Shanille O’Keal shoots free throws on a basketball court. She hits the first, misses the
second, and thereafter the probability that she hits the next shot is equal to the proportion of the shots she has hit so far. What is the probability that she hits exactly 50 out of
her first 100 shots?
References
[Richey/Zorn 2005] Richey, Matthew and Paul Zorn: Basketball, Beta, and Bayes.
Mathematics Magazine, vol. 78, no. 5, December 2005, p. 354367
[Putnam 2002]
Putnam: 63rd Annual William Lowell Putnam Mathematical
Competition, Mathematics Magazine, vol. 76, 2003, p. 76-80
Verallgemeinerung: Es sei n die Anzahl der Versuche, k die Anzahl der Erfolge und
Pn ( k ) die Wahrscheinlichkeit von genau k Erfolgen auf n Versuchen.
Also:
Shanille O’Keal shoots free throws on a basketball court. She hits the first, misses the
second, and thereafter the probability that she this the next shot is equal to the proportion of the shots she has hit so far. What is the probability that she hits exactly k out of
her first n shots?
Bearbeitung
Wegen des „so far“ ist die Erfolgswahrscheinlichkeit im Einzelversuch nicht konstant.
Wir haben also kein Bernoulli-Experiment mit einer Binomialverteilung.
In den folgenden Grafiken bedeutet ein Strich nach oben „Erfolg“ (blaue Farbe).
14
Hans Walser: 3 Stochastische Unabhängigkeit
n=3
# Erfolge
1
2
1
2
2
1
2
1
2
1
n=3
P3 ( k )
k
1
2
1
2
1
2
n=4
# Erfolge
2
3
1
2
1
3
1
3
1
2
2
3
n=4
k
1
2
3
P4 ( k ) P4 ( k )
1
3
1
6
1
3
+ 16
1
3
1
3
1
3
1
3
3
1
6
2
1
6
2
1
3
1
15
Hans Walser: 3 Stochastische Unabhängigkeit
n=5
# Erfolge
3
4
2
3
1
2
1
3
1
3
1
2
2
3
1
4
4
1
12
3
1
12
3
1
12
2
1
12
3
1
2
1
4
1
12
2
1
12
2
3
4
1
4
1
1
4
1
2
1
2
1
2
n=5
k
1
2
3
4
P5 ( k )
1
4
1
4
1
4
1
4
16
Hans Walser: 3 Stochastische Unabhängigkeit
n=6
# Erfolge
4
5
3
4
2
3
1
2
1
3
1
4
1
2
1
2
1
2
1
2
1
3
2
3
1
5
5
1
5
3
5
1
20
4
1
20
4
2
5
3
5
1
30
3
1
20
4
2
5
2
5
1
30
3
1
30
3
3
5
3
5
1
20
2
1
20
4
1
30
3
1
30
3
3
5
2
5
1
20
2
1
30
3
3
5
1
5
1
30
2
1
20
2
1
5
1
2
5
2
5
1
2
1
4
3
4
4
5
n=6
k
1
2
3
4
5
P6 ( k )
1
5
1
5
1
5
1
5
1
5
Hans Walser: 3 Stochastische Unabhängigkeit
17
Vermutung: Für n 3 und 0 < k < n gilt:
1
Pn ( k ) = n1
Beweis induktiv:
(I)
Induktionsverankerung: Für n = 3, 4, 5, 6 siehe Beispiele oben
1 .
Induktionsschritt: Für n Versuche sei Pn ( k ) = n1
(II)
Frage: Wie groß ist Pn+1 ( k ) ?
Dazu folgende Fallunterscheidung:
(i) Die ersten n Versuche mit ( k 1) Erfolgen, zusätzlicher Erfolg im
( n + 1) -ten
1 k1
Versuch: Pn+1 (( i)) = n1
n
(ii) Die ersten n Versuche mit k Erfolgen, Misserfolg im ( n + 1) -ten Versuch:
1 nk
Pn+1 (( ii)) = n1
n
1 k1 + 1 nk = 1 n1 = 1
Zusammen: Pn+1 ( k ) = n1
n
n1 n
n1 n
n
1 ; die Zahl 50 der Erfolge ist nicht
Die Antwort auf die ursprüngliche Frage ist somit 99
relevant.
20 Teilbarkeit
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl durch 2 und durch 3 teilbar?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl durch 2 oder durch 3 teilbar?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl, welche durch 2 teilbar ist,
auch durch 3 teilbar?
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl, welche durch 3 teilbar ist,
auch durch 2 teilbar?
Ergebnis
a) 16
b) 23
c) 13
d) 12
21 Teilbarkeit
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl durch 2 und durch 4 teilbar?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl durch 2 oder durch 4 teilbar?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl, welche durch 2 teilbar ist,
auch durch 4 teilbar?
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl, welche durch 4 teilbar ist,
auch durch 2 teilbar?
Ergebnis
a) 14
b) 12
c) 12
d) 1
Hans Walser: 3 Stochastische Unabhängigkeit
18
22 Teilbarkeit
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl durch 6 und durch 8 teilbar?
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl durch 6 oder durch 8 teilbar?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl, welche durch 6 teilbar ist,
auch durch 8 teilbar?
d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine natürliche Zahl, welche durch 8 teilbar ist,
auch durch 6 teilbar?
Ergebnis
1 b) 1
a) 24
4
c) 14
d) 13
23
Stochastische Unabhängigkeit
Jemand wählt auf gut Glück eine natürliche Zahl. Untersuchen Sie, ob die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind:
a) A: Die Zahl ist durch 5 teilbar.
B: Die Zahl ist durch 12 teilbar.
b) A: Die Zahl ist durch 4 teilbar.
B: Die Zahl ist durch 12 teilbar.
Bearbeitung
1 , P A B = 1 = P A P B . A und B sind stochastisch
a) P ( A ) = 15 , P ( B ) = 12
(
) 60 ( ) ( )
unabhängig.
1 , P A B = 1 P A P B . A und B sind stochastisch
b) P ( A ) = 14 , P ( B ) = 12
(
) 12 ( ) ( )
abhängig. Das ist auch klar: was durch 12 teilbar ist, ist auch durch 4 teilbar.
24
Stochastische Unabhängigkeit
Jemand wählt auf gut Glück eine natürliche Zahl. Untersuchen Sie, ob die beiden Ereignisse A und B stochastisch unabhängig sind:
c) A: Die Zahl ist durch 16 teilbar.
B: Die Zahl ist durch 12 teilbar.
d) A: Die Zahl ist durch 4 teilbar.
B: Die Zahl ist durch 104 teilbar.
Bearbeitung
1 , P B = 1 , P A B = 1 P A P B . A und B sind stochastisch
a) P ( A ) = 16
( ) 12
(
) 48 ( ) ( )
abhängig.
1 , P A B = 1 P A P B . A und B sind stochastisch
b) P ( A ) = 14 , P ( B ) = 104
(
) 104 ( ) ( )
abhängig. Das ist auch klar: was durch 104 teilbar ist, ist auch durch 4 teilbar.
19
Hans Walser: 3 Stochastische Unabhängigkeit
25
Stochastische Unabhängigkeit
Die Ereignisse A und B seien stochastisch unabhängig. Ferner sei P ( A B ) = 0.1 und
P ( A B ) = 0.3 .
Gesucht sind P ( A ) und P ( B ) .
Ergebnis
P ( A ) = 0.25
P ( B ) = 0.4
26
Essen Sie heute vegetarisch
Zwei Jäger schießen unabhängig voneinander auf denselben Hasen. Jeder hat die Trefferwahrscheinlichkeit p. Der Hase ist mit der Wahrscheinlichkeit 50% tot. Wie groß
ist p?
Bearbeitung
Wir arbeiten mit einem Baum.
Erster
Jäger
trifft
p
trifft
nicht
1–p
Zweiter
Jäger
trifft
p
Hase
p
2
tot
trifft
nicht
1–p
p (1 p )
tot
trifft
p
(1 p ) p
tot
trifft
nicht
1–p
(1 p )2
überlebt
Baum
Es ist:
p 2 + p (1 p ) + (1 p ) p = 12
2 p2 4 p + 1 = 0
p1,2 = 1 ± 22
Wegen 0 p 1 ist p = 1 22 0.29289 die richtige Lösung.