Musterlösungen zur 7. Serie

Musterlösungen zur 7. Serie
1. Aufgabe Zeigen Sie, dass die folgenden Reihen konvergieren, und berechnen Sie die
entsprechenden Grenzwerte:
(a)
(b)
(c)
∞
X
j=1
∞
X
j=0
∞
X
j=1
1
,
(3j − 2)(3j + 1)
2j+1
,
5 · 3j
j
.
3j
Lösung (a) Es gilt
n
X
j=1
n
X1
1
=
(3j − 2)(3j + 1)
3
j=1
also
1
1
−
3(j − 1) + 1 3j + 1
∞
X
j=1
1
=
3
1
1−
3n + 1
1
1
= .
(3j − 2)(3j + 1)
3
(b) Es gilt nach der Formel über die geometrische Reihe
∞
∞ j
X
2j+1
2X 2
2 1
=
=
j
5·3
5 j=0 3
51−
j=0
2
3
6
= .
5
(c) Es gilt
j+1
3j+1
j
3j
=
1 j + 1 j→∞ 1
−−−→ < 1.
3 j
3
Nach dem Quotientenkriterium konvergiert also die Reihe. Deshalb folgt
∞
∞
∞
∞
X
X
j
1X j
1
j−1 X 1
=
+
−
1
=
+
j
j
j
j
3
3
3
3 j=1 3
1−
j=1
j=2
j=1
Daraus folgt
∞
X
j
3
=
.
j
3
4
j=1
1
1
3
− 1.
n→∞ 1
−−−→ ,
3
2. Aufgabe Untersuchen Sie, ob bei den folgenden Reihen Konvergenz, absolute Konvergenz oder keines von beiden vorliegt:
X 2j j!
(a)
jj
,
2j 2
,
(j + 1)3j
X
j+1
(c)
(−1)j 2 ,
j
X
2j
+1
,
(d)
(−1)j
2j
X
1
√
√
(e)
.
j+ j+1
X
(b)
(a) Es gilt
2j+1 (j+1)!
(j+1)j+1
2j j!
jj
=2
j
j+1
j
=
2
1+
j→∞
1
j
j −−−→
2
< 1.
e
Nach dem Quotientenkriterium konvergiert also die Reihe.
(b) Es gilt
2j 2
j j
j
=2
≤ 2 j.
j
j
(j + 1)3
j +13
3
P j
konvergiert, konvergiert nach dem MajorantenkriDa nach Aufgabe 1(c) die Reihe
3j
P 2j 2
terium auch die Reihe
.
(j+1)3j
(c) Für alle j ∈ N gilt j 3 + 3j 2 + 3j + 3 > j 3 + 2j 2 , also (j + 1)3 > (j + 2)j 2 , also
j+2
j+1
>
.
2
j
(j + 1)2
Mit anderen Worten: Die Folge ( j+1
) ist monoton fallend. Außerdem ist sie offenbar
j2
eine
Nullfolge.
Deshalb
konvergiert
nach
dem Leibniz Kriterium die alternierende Reihe
P
j j+1
(−1) j 2 . Allerdings konvergiert sie nicht absolut, denn
n
X
j+1
j=1
j2
≥
n
X
1
j=1
j
n→∞
−−−→ ∞.
(d) Es gilt
2j+3
2j+1
2j+1
2j
=
1 2j + 3 j→∞ 1
−−−→ < 1.
2 2j + 1
2
Also konvergiert die Reihe absolut, insbesondere konvergiert sie.
(e) Weil die harmonische Reihe divergiert, gilt
n
X
j=1
√
j+
1
√
∞
n
1X
1
1 X 1 n→∞
√
≥
≥
−−−→ ∞,
2 j=1 j + 1
2 j=1 j + 1
j+1
2
also
∞
X
j=1
√
j+
1
√
j+1
= ∞.
3.
Beweisen Sie, dass für jede Folge (xj ) positiver Zahlen gilt: Wenn die Folge
Aufgabe
√
xj+1
konvergiert, so konvergiert auch die Folge j xj , und die Grenzwerte sind gleich.
xj
x
Lösung Es sei x der Grenzwert der Folge xj+1
. Ferner sei > 0 beliebig fixiert. Dann
j
existiert ein j0 ∈ N so dass gilt
x−<
xj+1
< x + für alle j ≥ j0 .
xj
Daraus folgt
p
j+1
(x − )
<
also
(x − )
=
p
j+1
(x −
)j−j0 +1
r
<
j+1
xj+1 xj
xj +1
... 0 =
xj xj−1
xj0
√
xj+1
<
√
j+1 x
j0
j+1
p
p
(x + )j−j0 +1 = (x − ) j+1 (x − )−j0 für alle j ≥ j0 ,
j+1
r
j+1
(x −
)−j0
xj0
<
(x − )j0
√
j+1
r
xj+1 < (x + )
j+1
xj0
für alle j ≥ j0 .
(x − )j0
(1)
Andererseits gilt
r
lim
j→∞
j+1
xj0
= lim
j→∞
(x − )j0
r
j+1
xj0
= 1.
(x + )j0
Deshalb folgt aus (1), dass eine natürliche Zahl j1 ≥ j0 existiert, so dass
x − 2 <
√
j+1
xj+1 < x + 2 für alle j ≥ j1 .
(2)
Wir haben also gezeigt, dass für jedes > 0 ein j1 ∈ N existiert, so dass (2) gilt. Mit
anderen Worten:
√
lim j+1 xj+1 = x.
j→∞
3