38 Differentialgeometrie: Grundlagen Vorlesung 9 Bemerkung

38
Differentialgeometrie: Grundlagen
Vorlesung 9
Bemerkung. Wegzusammenhang
ist die stärkere Bedingung: Sei M = {0} ×
S
1
}.
(0, 1] ∪ (0, 1] × {0} ∪ n∈N (0, 1] × { n+1
R
Wählt man auf M die durch den normalen 2 induzierte Topologie, so ist
M zusammenhängend. M ist aber nicht wegzusammenhängend, da es keinen
stetigen Weg von (0, 1) zu (1, 0) gibt (man beachte das (0, 0) nicht in M
enthalten ist).
Andererseits gilt aber folgendes Lemma
Lemma 4.7 Ist (M, T ) wegzusammenhängend, so auch zusammenhängend.
Beweis. Sei (M, T ) wegzusammenhängend. Angenommen M ist nicht zusammenhängend. Dann existieren zwei nichtleere Teilmengen A, B ∈ T mit
A ∪ B = M und A ∩ B = ∅. Sei jetzt a ∈ A und b ∈ B. Dann existiert
ein stetiger Weg γ : [0, 1] → M mit γ(0) = a und γ(1) = b. Da γ stetig
ist müssen à = γ −1 (A) und B̃ = γ −1 (B) offen in [0, 1] sein (und nichtleer)
und da [0, 1] zusammenhängend ist, ist [0, 1] 6= Ã ∪ B̃. Andererseits ist aber
à ∪ B̃ = γ −1 (A) ∪ γ −1 (B) = γ −1 (A ∪ B) = γ −1 (M ) = [0, 1]. Widerspruch.
Die Annahme war also falsch und M muss zusammenhängend sein.
Bemerkung. Achtung: zusammenhängend ist nicht dasselbe wie einfach zusammenhängend. Der zweite Begriff besagt anschaulich, dass die Menge kein
“Loch” hat. 2 ist einfach zusammenhängend, 2 \ {0} ist es nicht.5
R
5
R
R
R
R
Allerdings ist 3 \{0} jedoch wieder einfach zusammenhängend - 3 \{(x, 0, 0) | x ∈ }
wiederum nicht. Etwas präziser ist ein topologischer Raum einfach zusammenhängend,
falls sich jeder geschlossene stetige Weg stetig zu einem Punkt zusammenziehen lässt. Wir
werden vermutlich später genauer darauf eingehen.
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Vorlesung 9
4.2
Differentialgeometrie: Grundlagen
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Flächen
Naiv kann man sich als Fläche im Raum das Bild einer glatten Abbildung
von einem Teil von 2 in den 3 vorstellen. Ähnlich den Kurven, wollen
wir bei den Flächen aber auch sicherstellen, das sie keine Knicke haben und
hier reicht Nichtverschwinden der Ableitung nicht mehr aus. Vielmehr muss
man Nichtverschwinden der partiellen Ableitungen und darüber hinaus deren
lineare Unabhängigkeit fordern.
R
R
R
R
R
R
Definition 4.8 f : 2 → 3 heißt regulär, falls d(x,y) f : 2 → 3 maxi∂
∂
f (x, y) und fy = ∂y
f (x, y) verschwinden nicht
malen Rang hat (d. h. fx = ∂x
und sind linear unabhängig, bzw. f ist Immersion.)
R
Definition 4.9 Sei U ⊂ 2 offen. Ein parametrisiertes Flächenstück ist
eine reguläre C ∞ -Abbildung f : U → 3 . Die Kurven x 7→ f (x, y0 ) und
y 7→ f (x0 , y) heißen Parameterlinien von f .
Ein unparametrisiertes Flächenstück ist eine Äquivalenzklasse von parametrisierten Flächenstücken, wobei zwei parametrisierte Flächenstücke f :
U → 3 und f˜ : Ũ → 3 äquivalent heißen, falls es einen Diffeomorphismus
φ : Ũ → U gibt, so daß f˜ = f ◦ φ gilt.
R
R
R
Beispiel 4.3
• R2 ,→
• f:
R3
R × (− π2 , π2 ) → R3


cos x cos y
f (x, y) =  sin x cos y 
sin y
ist ein parametrisiertes Flächenstück. Das Bild von f ist die Einheitssphäre ohne Nord- und Südpol.
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Differentialgeometrie: Grundlagen
• f:
Vorlesung 9
R2 → R3,


2x
1


2y
f (x, y) = 2
x + y2 + 1
2
2
x +y −1
ist auch ein parametrisiertes Flächenstück. Hier ist das Bild von f die
Einheitssphäre ohne den Nordpol. Diese Abbildung heißt stereographische Projektion.
R
R
Definition 4.10 Eine eingebettete Fläche im 3 ist eine Teilmenge S ⊂
3
, S 6= ∅ für die gilt: Zu jedem p ∈ S gibt es eine Umgebung V ⊂ 3
und ein parametrisiertes Flächenstück f : U → 3 (U ⊂ 2 offen) so daß
f (U ) = S ∩ V , f injektiv und f −1 : S ∩ V → U stetig ist.
R
R
R
Bemerkung.
• f : U → S ∩ V ist Homöomorphismus. Das die Forderung der stetigen Umkehrabbildung wichtig ist, zeigt folgendes Beispiel (Ferus):
S = {(x, y, z) ∈ 3 | z ist rational} ist keine eingebettete Fläche.
R
• Man kann auch einfach fordern, das die f Diffeomorphismen sind.
R
R
R
R
• Ersetzt man in der Definition 2 durch n und 3 durch m erhält
man eine Definiton für n-dimensionale (reguläre) Untermannigfaltigkeiten im m .
R
Beispiel 4.4
R
R
• f : 2 → 3 , f (x, y) = (xa cos y, xa sin y, by). ist eine eingebettete
Fläche. Sie heißt Helikoid.
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• Graphen von glatten Funktionen sind eingebettete Flächen.
• Die Einheitssphäre ist eingebettete Fläche. Als Parametrisierungen kann
man beispielsweise die stereographische Projektion aus Beispiel 4.3 und
eine entsprechende zweite Abbildung nehmen, die den Südpol auslässt
(wie sieht sie aus?).
R
R
Satz 4.11 Sei W ⊂ 3 offen, h : W → glatt und dp h 6= 0 für alle p ∈ W :
Sei weiter x ∈
mit h−1 ({x}) 6= ∅. Dann ist h−1 ({x}) eine eingebettete
Fläche.
R
Beweis. Die Existenz lokaler Parametrisierungen folgt direkt aus dem Satz
über implizite Funktionen.
R
R
Satz 4.12 (aus Analysis) Sei W ⊂ 3 offen, p = (x, y, z) ∈ W , h :
∂
W →
glatt. Ist nun h(p) = a und hz (p) = ∂z
f (p) 6= 0, so gilt: Es
2
existieren offenen Umgebungen U ⊂
von (x, y), V ⊂
von z und
ein differenzierbares g : U → V , so daß U × V ⊂ W , g(x, y) = z und
{p ∈ U × V | h(p) = a} = {(x, y, g(x, y)) | (x, y) ∈ U }.
R
R
R
2
p
x2 + y 2 − a + z 2 = r2 } mit a >
Beispiel 4.5 T = {(x, y, z) ∈ 3 |
r > 0 ist eingebettete Fläche. Sie heißt Rotationstorus.
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