Das gaußsche Wellenpaket

Das gaußsche Wellenpaket: Herleitung und Diskussion
Bernhard
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Blank
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Artikel
Fassung
www.didaktikmat2chem.de
1
I
2.2
© Copyright Dezember 2016
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Literaturangaben sind im Literaturverzeichnis genauer aufgeführt.
Siehe www.didaktikmat2chem.de/Literaturverzeichnis.pdf
1
Titel der Website: Erklärungen in Mathematik, Physik und Physikalischer Chemie
Das gaußsche Wellenpaket: Herleitung und Diskussion
Von der Konstruktion eines Integralausdrucks zum gaußschen Wellenpaket und zu seiner
anschaulichen Interpretation.
Kleine, lokale Größen spielen eine große Rolle im Verständnis des Mikrokosmos. So kann man
Atome und Moleküle als lokalisierte Zustände auffassen, da sie nur in einem engen örtlichen
Bereich existieren. Will man ganz allgemein physikalische Aussagen über solche Zustände
erhalten, dann bedient man sich in der Physik (und hier speziell der Quantenmechanik) zunächst
einmal des gaußschen Wellenpakets. So kann man dieses für eine Ortsdarstellung von Teilchen
im Mikrokosmos als auch für eine Impulsdarstellung solcher
Teilchen formulieren. (Wenn man daraufhin einen Darstellungswechsel zwischen den physikalischen Größen, wie z.B. vom Impulsin den Ortsraum, vornehmen will, so gelangt man in der Quantenmechanik zu ganz fundamentalen Beziehungen, die für eine
Berechnung dort von großer Bedeutung sind.) In diesem
Zusammenhang nehmen Betrachtungen über das gaußsche
Wellenpaket somit eine Schlüsselstellung ein.
Was ein gaußsches Wellenpaket genau ist (s. auch Abb. 0.1) und wie
man es von harmonischen Wellen ausgehend konstruiert, ist das
Thema dieses Artikels. Parallel dazu wird hier jeder Schritt auf die Gültigkeit der allgemeinen
Wellengleichung überprüft. Eine anschauliche Diskussion des gaußschen Wellenpakets rundet
den Artikel ab.
Wichtige Begriffe, Namen: Gauß,
Modulation, gaußsche Verteilung, allgemeine Wellengleichung,
Wellenpaket, gaußsches Wellenpaket.
Inhalt
I.1
Überblick
S. 2
I.2
Herleitung eines Integralausdrucks aus der Überlagerung harmonischer Wellen
S. 2
I.3
Das gaußsche Wellenpaket
S. 7
Begriffe: Gaußsche Glockenkurve,
Modulation, Normalverteilung, Signal, Träger, gaußsche
Verteilung, gaußsches Wellenpaket.
U.a.: Modulation
eines Integrals mit einer gaußschen Verteilung zum gaußschen Wellenpaket; das
gaußsche Wellenpaket im zeitlichen Anfangsstadium.
I.4
Anschauliche Diskussion
S. 10
I.5
Lösungen der allgemeinen Wellengleichung
S. 13
I.6
Zusammenfassung
S. 16
-2-
I.1 Überblick
Eine Überlagerung von unendlich vielen harmonischen Wellen führt auf den Integralausdruck

y ( x, t ) 

A  ei (kx t ) dk ,
(I-1.1)

dessen Herleitung Thema von I.2 ist. Durch eine Modulation genau dieses Integralausdrucks mit
einer gaußschen Verteilung gelangen wir zu einem Wellengebilde, das als gaußsches
Wellenpaket bezeichnet wird (s. I.3). Der Ausdruck (I-1.1) wird anschließend in I.4 unter
anschaulichen Gesichtspunkten diskutiert.
Alle in diesem Artikel aufgeführten Formen von Überlagerungen werden immer in Beziehung zur
allgemeinen Wellengleichung gesehen. Dies gilt selbstverständlich auch für das gaußsche
Wellenpaket. Diese speziellen Beziehungen befinden sich in I.5 und können beim ersten Lesen
übersprungen werden, was die Erkennung des zentralen Gedankengangs erleichtern soll.
I.2 Herleitung eines Integralausdrucks aus der Überlagerung
harmonischer Wellen
In meinem Artikel „Grundlegendes über Wellen“1 hatte ich erläutert, wie man harmonische
Wellen physikalisch durch den Ausdruck
y ( x, t )  A  cos(kx  t ) (s. dort (H-2.1))
(I-2.1)
beschreiben kann. Möchte man mit solchen Wellen auch Interferenzerscheinungen richtig
behandeln können, so führt dies sogar auf eine komplexe Erweiterung, die auf den Ausdruck
y ( x, t )  A  ei ( kx t )
(s. dort (H-3.1))
(I-2.2)
führt.
Wellen dieses Typs lassen sich überlagern und aufgrund des Superpositionsprinzips erhält man
für ein solches – aus Überlagerungen entstandenes – Wellengebilde den allgemeinen Ausdruck
n
n
j 1
j 1
y ( x, t )   y j ( x , t )   A j  e
i ( k j x  j t )
(s. dort (H-4.4)).
(I-2.3)
Voraussetzung für dieses Wellengebilde war, wenn es eine Lösung der allgemeinen Wellengleichung sein soll, dass sich alle Einzelwellen
y j ( x, t )  A j  e
i ( k j x  j t )
(s. dort (H-7.11))
(I-2.4)
mit der gleichen Geschwindigkeit fortbewegen.
In diesem Artikel möchte ich nun zunächst mit einem Wellengebilde beginnen, das durch den
Integralausdruck
_________________________________
1
Siehe www.didaktikmat2chem.de/Grundlegendes_ueber_Wellen.pdf
-3
y ( x, t ) 

A  ei (kx t ) dk
(s. (I-1.1))

wiedergegeben wird. Ganz analog zu (I-2.3) soll dafür gezeigt werden, dass dieses Wellengebilde
mit der allgemeinen Wellengleichung
2 y 1 2 y
 
x 2 c 2 t 2
(s. dort (H-2.4))
(I-2.5)
vereinbar ist. Später werden wir dann den Koeffizienten A modifizieren, woraus wir zu der
Formel für ein gaußsches Wellenpaket gelangen.
Für die Herleitung von (I-1.1) gehen wir von einer Überlagerung unendlich vieler harmonischer
Wellen y j ( x, t ) aus, die alle die Form
y j ( x, t )  A j  e
i ( k j x  j t )
(s. (I-2.4))
besitzen und die sich alle mit der gleichen Geschwindigkeit ausbreiten. Durch geeignete
Überlagerung und anhand der Ermittlung eines Grenzzustandes können wir daraus unseren
Integralausdruck (I-1.1) gewinnen. Für den Beweis beschränken wir uns statt (I-1.1) aber der
Einfachheit halber auf die Funktion

y ( x, t ) 
 A  cos(kx  t )dk
(I-2.6)

und ergänzen diese später mit den imaginären Gliedern A  i  sin(kx  t )dk , wobei wir über die
eulersche Gleichung
ei  cos   i sin 
(I-2.7)
wieder Beziehung (I-1.1) erhalten.
Um den Beweis führen zu können, betrachten wir von Gleichung (I-2.3) nur den Realteil jedes
einzelnen seiner n Glieder, was nach (I-2.7) leicht möglich ist.) Dieser Realteil hat die Form
y j ( x, t )  A j  cos(k j x   j t ) .
Im Folgenden greifen wir jetzt zu einem Trick, indem wir Aj  Aj  k
(I-2.8)
(I-2.9)
setzen, wobei k beliebig anzusetzen ist. Damit ergibt sich aus (I-2.8):
y j ( x, t )  Aj  cos(k j x   j t )  k
(I-2.10)
Mit y j ( x, t )  y (k j , x, t ) ist
y (k j , x, t )  Aj  cos(k j x   j t )  k  Aj  cos(k j x  c  k j t )  k ,
(I-2.11)
-4da  j  c  k j .
Speziell für t  0 lässt sich formulieren (wir betrachten dazu den Anfangszustand der
Welle y (k j , x, t ) ):
y (k j , x, 0)  y (k j , x) ,
(I-2.12)
sodass y (k j , x)  Aj  cos(k j x)  k gesetzt
werden kann.
(I-2.13)
Summieren wir diese Glieder miteinander
auf, können wir daraus eine Treppenstufensummenfunktion für ein beliebiges x ,
wie sie in Abb. 2.1 bildlich dargestellt ist,
konstruieren. Dabei sei
2 

A1  A2  ...  An  A und k j   a 
(I-2.14)
 j  [k ] .
s


n geht hier aus der Anzahl der Glieder bzw. „Treppenstufen“ in den Grenzen von a bis b
hervor. Für die Summe der Flächen ergibt sich nun unsere Treppenstufensummenfunktion zu:
n
n
n

2 

y ( x, n)   y (k j , x)   A  cos k j x k   A  cos   a 
 j  [k ]  x  k
s



j 1
j 1
j 1
 
n
Wir erhalten so die Funktion y ( x, n)   y (k j , x) mit der impliziten Breite k 
j 1
(I-2.15)
2
für eine
s
Treppenstufe. Lassen wir in dieser s   gehen, so wird k immer kleiner, d.h., die
Treppenstufen rücken zunehmend zusammen. Ein größeres j erzeugt k j -Werte, die immer
weiter rechts auf der Abszisse liegen.
Wie Abb. 2.1 des Weiteren zeigt, nähert sich diese Treppenstufensummenfunktion der Fläche
unter der Cosinus-Funktion y (k , x) an, wenn k zunehmend kleiner ausfällt. Das lässt sich
ausnutzen, um einen Grenzprozess durchzuführen, wie wir es weiter unten gleich tun werden.
Ist t von 0 verschieden und interessieren wir uns für eine Zeitabhängigkeit dieses Wellengebildes, so können wir wieder mit  j  c  k j unter der Voraussetzung, dass sich jedes einzelne Glied
(s. (I-2.11)) mit der gleichen Ausbreitungsgeschwindigkeit c fortbewegt, für die Summe der
Einzelwellen sogar folgenden erweiterten Ausdruck annehmen:
n
n
j 1
j 1
y ( x, t , n)   y (k j , x, t )   Aj  cos(k j x   j t )  k
n

2 

  A  cos   a 
 j  [k ]  x   j t   k
s



j 1
(I-2.16)
Jedes der einzelnen Glieder von (I-2.16) ist aber eine Lösung der Wellengleichung, und damit ist
auch (I-2.16) Lösung der Wellengleichung. (Siehe dazu das Unterkapitel I.5, Abschnitt a).)
-5In einem Grenzprozess können wir jetzt, wie angekündigt, k  0 und n   in den Grenzen
von a bis b gehen lassen, um die Cosinus-Funktion in Abb. 2.1 zu erzeugen. Wir bilden dazu
zuerst für t  0 den Ausdruck
n
lim  Aj  cos(k j x)  k ,
k 0
(I-2.17)
j 1
2 

wobei wieder k j   a 
 j  [k ] ist.
s


Für den zugehörigen Grenzzustand (also
den „Limes“) bekommen wir ein Integral
in den Grenzen von a bis b , wobei das
k durch das Differential dk ersetzt wird. Fassen wir das dk als eine endliche Größe auf1, so
können wir folglich Abb. 2.1 durch Abb. 2.2 ersetzen.
Setzen wir weiter nicht wie in (I-2.10) Aj  Aj  k , sondern nun Aj  Adj  dk , so können wir
analog zur Gleichung (I-2.13) formulieren:
y (k j , x)  Adj  cos(k j x)  dk .
(I-2.18)
(Dies können wir machen, da dk - wie k - endlich ist und A j dementsprechend gewählt
werden kann.)
Durch Aufsummierung über alle n und mit A1d  A2d  ...  And  Ad gewinnen wir daraus die
Summe
n
n
j 1
j 1
y ( x, n)   y (k j , x)   Ad  cos(k j x)  dk
(I-2.19)
Diese ist aber nichts anderes als das Integral
b
y ( x)   Ad  cos(kx)dk ,
(I-2.20)
a
wobei die Anzahl der Flächen in den Grenzen von a bis b genau n und damit ganzzahlig sein
soll.2
Erweitert man (I-2.18) wieder um den zeitabhängigen Anteil  j t in Analogie zu (I-2.11), in der
nun Aj durch Adj und k durch dk ersetzt wird, so erhält man für ein Glied die Gleichung
y j ( x, t )  y (k j , x, t )  Adj  cos(k j x   j t )dk  Adj  cos(k j x  c  k j t )dk
(I-2.21)
___________________________________
1
Dies erfolgt in Anlehnung an Cauchy, wobei es vom Belieben des Darstellers abhängt, welche Breite er
diesem gibt. Siehe dazu auch meinen Artikel
www.didaktikmat2chem.de/Das_Differential_-_einmal_anders_gedacht.pdf , dort das Unterkapitel:
„Zum Differentialbegriff“.
2
In meinem Artikel www.didaktikmat2chem.de/Das_Differential_-_einmal_anders_gedacht.pdf , dort das
Unterkapitel: „Zum Differentialbegriff“, habe ich auch die Möglichkeit erörtert, dass die Anzahl der
Flächen in den Grenzen von a bis b reell sein kann, was auch möglich ist. Der Einfachheit halber soll
sie hier aber ganzzahlig sein.
-6Dieser Ausdruck für eine Einzelwelle stellt wieder eine Lösung der allgemeinen Wellengleichung
2 

dar. Mit k j   a 
 j  [k ] kann man ganz analog zu (I-2.11) und (I-2.16) zeigen, dass (wieder
s


unter der Voraussetzung, dass alle Einzelwellen sich mit der gleichen Geschwindigkeit
fortbewegen) auch
n

2 

y ( x, t , n)   Adj  cos   a 
 j  [k ]  x   j t   dk
(I-2.22)
s




j 1
die allgemeine Wellengleichung löst. Siehe dazu das Unterkapitel I.5, Abschnitt b).
Gleichung (I-2.22) ist wieder nichts anderes als das Integral
b
y ( x, t )   Ad  cos(kx  t )dk
(I-2.23)
a
(wenn A1d  A2d  ...  And  Ad ). Letzteres ist nach Abb. 2.2 eine Aufsummierung aller Flächen
f (k j )dk mit f (k j )dk  Adj  cos(k j x)dk in den Grenzen von a bis b (s. Abb. 2.2), nur, dass
hier zur Abb. 2.2 der zeitabhängige Anteil  j t noch hinzugenommen wird. Für dieses Integral
können wir schreiben:
b
y ( x, t )   A  cos(kx  t )dk , wenn wir Ad  A setzen.
(I-2.24)
a
Im Unterkapitel I.5, Abschnitt c), wird noch darauf eingegangen, wie (I-2.23) statt in den
Grenzen von a bis b mit endlich vielen Gliedern auf unendlich viele Glieder im Bereich von
 bis  erweitert werden kann. Man erhält so die Gleichung

y ( x, t ) 

A  cos(kx  t )dk
(I-2.25)

Auf diese Weise haben wir schließlich einen Integralausdruck gefunden, der durch Überlagerung
unendlich vieler harmonischer Wellen zustande kommt und der außerdem die allgemeine
Wellengleichung erfüllt.
Berücksichtigt man in gleicher Weise auch die imaginären Glieder, die man nach
y j ( x, t )  A j  cos(k j x   j t )  i  A j  sin(k j x   j t )
(I-2.26)
entsprechend ergänzen kann (man führt dazu für den Imaginärteil die gleichen Betrachtungen
durch, wie wir es für den Realteil gemacht haben), so gelangen wir zusammenfassend mit der
eulerschen Gleichung (I-2.7) auf die zugehörige e-Funktion und somit auf den Ausdruck

y ( x, t ) 

A  ei (kx t ) dk ,
(s. (I-1.1))

der unsere Wellengleichung erfüllt.
qed.
-7-
I.3 Das gaußsche Wellenpaket
Einen physikalisch besonders interessanten Fall können wir erhalten, wenn unsere so gewonnene
Funktion

y ( x, t ) 

Ae 
i kx t 
dk
(s. (I-1.1))

mit einer gaußschen Verteilung bzw. einer Normalverteilung moduliert wird – und damit
kommen wir zur eigentlichen Thematik dieses Artikels. Als gaußsche Verteilung bezeichnet man
eine Verteilung, die durch den Graphen

1
g (z) 
e
 2
( z  )2
2 2
(I-3.1)
gegeben ist (s. Abb. 3.1). Man bezeichnet diesen
auch aufgrund seines Aussehens als gaußsche
Glockenkurve. Hierbei drückt der Wert   die
Verschiebung zur Ordinaten aus, die umso mehr
nach rechts auf der Abszisse liegt, je negativer
  bzw. je positiver  ist. Die Breite der
Verteilung wird mittels des Terms 2 2 wiedergegeben. Sie gibt den Abstand von Wendepunkt
zu Wendepunkt in der gaußschen Glockenkurve
an. Je größer 2 2 ist, desto breiter fällt die Kurve
aus. So weist die Kurve B in Abb. 3.1 einen breiteren Verlauf auf als die Kurve A .
Eine solche Verteilung wird immer wieder im Zusammenhang mit der Aufnahme von Messergebnissen erwähnt, da sich in Experimenten die dortigen Messfehler, wenn sie rein zufallsbedingt
(und entsprechend zahlreich) sind, genau nach dieser Form anordnen. Die Form der Verteilung
nimmt in diesem Fall die einer gaußschen Verteilung an. Die Größen  und  sind in (I-3.1)
identisch mit denen in Zufallsexperimenten, da sie für den Erwartungswert  und die
Standardabweichung  bzw. mit  2 für die Varianz stehen.1
Setzt man für unsere Zwecke z  k ,   k0 und g ( z )  cK (k ) , so erhält man aus (I-3.1)

1
cK ( k ) 
e
 2
( k  k0 ) 2
2 2
und mit c(k )  cK (k )   2 die Gleichung c(k )  e
(I-3.2)

( k  k0 ) 2
2 2
.
(I-3.3)
Zum Begriff der Modulation, der eben erwähnt wurde, seien einige Bemerkungen angeführt.
Dieser leitet sich aus der Nachrichtentechnik her und bezeichnet einen Vorgang, bei dem
allgemein ein zu übertragendes Nutz-Signal (wie es sich in Form von Musik, Sprache oder Daten
darstellt) einen sog. Träger verändert (was man dann modulieren nennt). Dies ist ein ganz
übliches Verfahren in der Nachrichtentechnik. Der Träger ist stets ein hochfrequenter Wellenzug
___________________________________
1
Siehe dazu auch R. Müller-Fonfara, Mathematik verständlich, Die Normalverteilung, S. 682.
-8(d.h., er besitzt eine sehr niedrige Wellenlänge) und dieser wird so durch ein niederfrequentes
Signal (also einen Wellenzug mit großer Wellenlänge) verändert bzw. moduliert.
Daher rührt auch die Bezeichnung Modulation ( = lat. Rhythmus, Takt) her, was so viel heißt
wie: den Rhythmus verändern – der in diesem Fall der des Trägers ist. Abb. 3.2 zeigt eine
Amplitudenmodulation, wobei die niederfrequente Modulationsschwingung die Hüllkurve
bildet. Die positiven Halbwellen des Signals vergrößern die Amplituden des Trägers, während
die negativen die Amplituden des Trägers
verkleinern.1 Der Träger muss bei dieser
Modulation als Bedingung stets eine höhere
Frequenz aufweisen, als die höchste
Frequenz, die im Signal vorkommt.
In unserem Fall ist unser Signal die gaußsche Verteilung, die die e-Funktion des
Integrals (s. (I-1.1)) – und damit unseren
Träger - verändert.
Mathematisch erreicht man dies, indem die
e -Funktion in (I-1.1) mit der Verteilung
c(k ) im Integranden multipliziert wird,
also indem man die Funktion

y ( x, t ) 
mit c(k )


( k  k0 ) 2

2
 e 2
A  c(k )  ei ( kx t ) dk 


Ae

 k  k0 
2 2
2
 ei ( kx t ) dk
(I-3.4)

bildet.2
Will man anschaulich nur den Realteil dieser e-Funktion behandeln (d.h., man lässt die
imaginären Glieder wieder weg – wie im obigen Teil dieses Artikels schon einmal durchgeführt -), erhält man einen Ausdruck der Form

y ( x, t ) 

Ae

 k  k0 
2 2
2
 cos  kx  t  dk .

Die gaußsche Verteilung moduliert für diesen speziellen Fall nur eine Cosinus-Funktion.
Im Folgenden soll hier der Fall ausgerechnet werden, bei dem man einen Ausdruck für die
gaußsche Verteilung im zeitlichen Anfangsstadium, also bei t  0 , erhält.
Aus der Gleichung
2
 k  k0 


2
y ( x, t )   A  e 2  ei ( kxt ) dk (s. auch (I-3.4))

ergibt sich sodann:
_______________________________
1
2
Siehe zu dieser Erklärung: Brockhaus, Naturwissenschaft und Technik, 2003.
Siehe Wikipedia: http://de.wikipedia.org/wiki/Wellenpaket , Stand: 9.06.2012.
(I-3.5)
-9

y ( x, 0) 
Ae

 k  k0 
2
2
 eikx dk
2
(I-3.6)

Sei k '  k  k0  k  k   k0 und dk  d  k   k0   dk  , so leitet sich daraus

y ( x, 0) 

Ae



k 2
2 2
 eik x  eik0 x dk 

 Ae
ik0 x
e
k 2
2 2
e
ik x
dk   A  e
ik0 x


e


Das letzte Integral ist ein Integral der Form


k 2
ik x
2 2
dk 
her.
(I-3.7)
 ay 2  2by 
e 
dy , wobei y  k ' entspricht. Schlägt

man in der Integraltafel1 nach, so gilt hierfür die Beziehung:

e
 ay  2by 
2


Da aber auch
e
 z2
dy 
1
a
b2 
ea

 b 


e  a

2
 b 
d

 a
(I-3.8)
dz   ist2 (I-3.9), vereinfacht sich dieser Ausdruck zu:


e

 ay 2  2by 
b2
b2
1 a
 a
dy 
e
 
e
a
a
(Man beachte in dieser Beziehung, dass das y
völlig herausfällt.)
Angewandt auf die Beziehung in (I-3.7) ergibt sich
1
ix
durch Vergleich, dass a 
und b 
ist.
2
2
2
(I-3.11)
Damit ist y ( x, 0) aus (I-3.6):
y ( x, 0)  A   2  e
ik0 x
e

x 2 2
2
(I-3.12)
Auch hier zeigt sich, dass das k völlig herausfällt.
(In der Quantenmechanik hat die Konstante vor
den Exponentialausdrücken sogar einen ganz
bestimmten Wert, da die Funktion y ( x, 0) - bzw.
dann ist es  ( x, 0) - noch einer Normierung
unterliegt. (I-3.12) kommt in der Quantenmechanik vor, wenn man die  -Funktionen, das sind
dann Wellenfunktionen, von Quantenzuständen
berechnen will.)
____________________________________
1
2
W. Gröbner, N. Hofreiter, Integraltafel, Abschnitt 313, S. 109.
Siehe F. Schwabl, Quantenmechanik, Kapitel 2.3 Superposition von ebenen Wellen, S. 17.
(I-3.10)
- 10 Die Abb. 3.3a, b und c zeigen Graphen mit drei verschiedenen Werte für k0 - jeweils mit k01 bis
k03 bezeichnet - für den Realteil der Funktion y ( x, 0) (s. dazu wieder (I-3.12)). (Der imaginäre
Anteil i  sin k0 x der Funktion eik0 x , den man durch Auflösen von eik0 x nach der eulerschen
Gleichung eik0 x  cos k0 x  i  sin k0 x erhält, entfällt hierbei.)
Da die Graphen durch Modulation mit einer gaußschen Verteilung entstanden sind und in sich
räumlich abgegrenzte Pakete darstellen, gibt man ihnen in Bezug auf den bedeutenden Mathematiker Carl Friedrich Gauß1 den Namen gaußsche Wellenpakete2. (So ein Wellenpaket wurde zur
Illustration schon in Abb. 0.1 zu Eingang dieses Artikels angeführt.)
Verallgemeinert bezeichnet man nicht nur den Graphen in (I-3.12) als gaußsches Wellenpaket
(hier ist t  0 ), sondern gibt auch schon dem Ausdruck für y ( x, t ) in (I-3.4) diesen Namen.3
2
 k  k0 


2
Dass selbst die Funktion y ( x, t )   A  e 2  ei ( kxt ) dk (s. (I-3.4)) wieder eine Lösung der

allgemeinen Wellengleichung ist, wird nach allen bisherigen Betrachtungen verständlich: Denn
2
 k  k0 

2
der Term A  e 2 ist vom Ort x und der Zeit t unabhängig und kann somit beim Ausdifferenzieren der Wellengleichung als Konstante mitgeführt werden. Dies wird im Unterkapitel I.5,
Abschnitt d) noch einmal genauer gezeigt.
I.4 Anschauliche Diskussion

Der in (I.2) hergeleitete Ausdruck y ( x, t ) 

A  ei (kx t ) dk (s. (I-1.1)) soll zur näheren

Illustration unter anschaulichen Gesichtspunkten betrachtet werden. Dies mag uns einen Eindruck
vermitteln, wie auch das gaußsche Wellenpaket beschaffen ist. Dazu konzentrieren wir uns auf
ein einzelnes Glied unter dem Integralausdruck für ein beliebiges k . Wir betrachten also den
Ausdruck
y (k , x, t )dk  A  ei ( kx t ) dk  A  ei ( kx ckt ) dk , wenn   c  k mit c  const.
(I-4.1)
Speziell für t  0 gilt
y (k , x)dk  A  eikx dk .
(I-4.2)
Dieser Ausdruck ergibt wieder unter Vernachlässigung des imaginären Anteils die Gleichung
y (k , x)dk  A  cos(kx)dk
(I-4.3)
(siehe dazu auch ein einzelnes Glied aus Gleichung (I-2.18), das dort für k  k j und für A  Adj
steht).
Die Funktion y (k , x)  A  cos(kx) (I-4.4) soll jetzt Gegenstand unserer anschaulichen Diskussion
sein:
Abb. 4.1 zeigt diese Funktion in Abhängigkeit von k und x . Konzentrieren wir uns auf die
_________________________________
1
Carl Friedrich Gauß, dt. Mathematiker und Astronom, 1777-1855.
So nach P. Schmidt, K. Weil, Atom- und Molekülbau, Kapitel 3.5 Wellenpakete, S. 73.
3
Dies geht aus dem Buch von F. Schwabl, Quantenmechanik, Kapitel 2.3 Superposition
von ebenen Wellen, S. 17, hervor.
2
- 11 -
Wellenzüge, die durch die Stelle mit x  1 gehen, und nehme k jeweils einen der Werte von
k  (1 bis 6)m 1 an, so zeigt Abb. 4.1a , wie dazu die zugehörigen Cosinus-Funktionen
aussehen. Je kleiner k wird, desto weiter liegen bei der zugehörigen Cosinus-Funktion die
Wellenmaxima und –minima auseinander. Ist k  0 , so haben wir statt einer Cosinus-Funktion
sogar nur noch eine Gerade vorliegen, welche sich im Abstand A zur x -Achse befindet. Je
größer dagegen k wird, desto mehr liegen die Wellenmaxima und -minima zusammen. Dies
verdeutlichen auch die Ausschnitte in den gestrichelten Parallelogrammen. In den
Abb. 4.1b-d sind diese exemplarisch herausgenommen, wobei man sehr gut erkennt, wie mit
zunehmendem k die Wellenmaxima und –minima der Cosinus-Funktionen zusammenrücken. Betrachten wir speziell für die Cosinus-Funktion mit k  2m1 die Amplitude am Wert x  0 , so
stellt man fest – und das gilt für jede andere Cosinus-Funktion auch -, dass sie bei der Amplitude
A beginnt, da y (2, 0)  A  cos(2, 0)  A .
Soweit also unsere Diskussionen der Cosinus-Funktionen für ein bestimmtes k .
Genauso, wie man die Cosinus-Funktionen für die verschiedensten k ‘s an der Stelle eines x Wertes herausnehmen kann, lassen sie sich auch für verschiedene x ‘, die durch ein bestimmtes
k gehen, betrachten. Die Funktionen y (k ,1) und y (k , 2) sind dazu in Abb. 4.1a an der Stelle
für k  2 eingezeichnet. Auch hier sieht man, dass – ganz analog zur obigen Erörterung
mit den verschiedenen k -Werten – die Abstände zwischen den Wellenmaxima und –minima
immer mehr zunehmen, je kleiner der x -Wert ausfällt. Bei x  0 liegt wieder eine Gerade vor.
Abb. 4.1a zeigt also die Verhältnisse der Funktion y (k , x)  A  cos(kx) für den Bereich für k  0
bis k   bzw. x  0 bis x   und somit den Verlauf dieser Funktion für sehr kleine bzw.
sehr große Größenordnungen.
Als Nächstes sollen in einer erweiterten Betrachtung noch kurz die
Verhältnisse diskutiert werden, wenn k   bzw. x   geht:
Da die Funktion y (k , x) symmetrisch zu jeder Ordinaten bei k  0
oder x  0 ist (s. Abb. 4.2a; hiervon gibt es ja unendlich viele in
Abb. 4.1a), also A  cos(kx)  A  cos(kx) , verhält sich Abb. 4.1a
- 12 genau spiegelbildlich zu diesen Ordinaten. Liegt Abb. 4.1a im 1. Quadranten (s. Abb. 4.2b), so
liegen die Spiegelbilder im 2. und 4. Quadranten. Insofern kann man sich leicht vorstellen, wie
sich die Funktion y ( x, k )  A  cos(kx)
für k   und k   bzw. x   und x   verhält. Für
k   und x   liegt sogar eine Punktsymmetrie vor: Jeder
einzelne Wert in Abb. 4.1a wird hier an der Ordinaten im
Ursprungspunkt bei x  0 und k  0 durch Punktspiegelung in das
Feld des 3. Quadranten überführt.
Die Fälle k   bzw. k   und k  0 sind somit ausführlich
2
diskutiert worden. Da k 
, kann man sich auch dafür interessieren,

wie die Cosinus-Funktionen für    bzw.    und   0 aussehen, was den Fokus auf
die Wellenlängen lenkt. Man hat dazu die reziproken Fälle zu den jeweiligen k -Werten
vorliegen: Geht k   , so geht   0 , d.h., die Wellenlängen der Funktion y ( x, k )  A  cos(kx)
werden immer kleiner, und man hätte im Grenzzustand dann so viele Wellenmaxima und –
minima nebeneinander zusammen, dass sie ein Band mit der Breite 2 A bilden. Entsprechende
Überlegungen gelten für den Fall k   , der nur spiegelbildlich zum eben besprochenen ist.
Geht k  0 , so geht    , d.h., man hat als Grenzzustand eine Gerade vorliegen. Diese Fälle
haben wir aber eben schon erörtert – man sehe sich dazu Abb. 4.1a nur wieder genau an.
Wir können nun ganz so, wie wir es zuvor gemacht haben, in der Funktion y (k , x)  A  cos(kx)
auch den zeitabhängigen Anteil t berücksichtigen. Man gelangt so zur Funktion
y (k , x, t )  A  cos(kx  t ) . Dazu muss in Abb. 4.1a zur Ortsachse x eine Zeitachse t als weitere
Dimension eingezeichnet werden, was jedoch unser Vorstellungsvermögen übersteigen würde,
(denn einen 4-dimensionalen Raum können wir uns nicht vorstellen).1
Um es noch komplexer zu machen, können wir die Funktion y (k , x, t )  A  cos(kx  t ) mit
  c  k analog zu den Überlegungen im vorigen Unterkapitel I.2 weiter mit einem imaginären
Anteil i  A  sin(kx  t ) erweitern, sodass man mit der eulerschen Gleichung die e –Funktion
erhält. Für die Abb. 4.1 hieße das wieder, dass erneut noch eine weitere (diesmal imaginäre)
Koordinatenachse einzufügen ist, was erst recht unser Vorstellungsvermögen übersteigt – wir
gelangen so zu einem 5-dimensionalen Raum. Mit der eulerschen Gleichung (I-2.9) gelangt man
schließlich, wenn wir eine Aufsummierung aller Glieder, wie sie schon aus Abb. 4.1a
hervorgehen, im Bereich von  bis  vornehmen wollen, zur Funktion (I-1.1), von der wir
zu Anfang dieses Unterkapitels ausgingen.

Wir haben die Funktion y ( x, t ) 

Ae 
i kx t 
dk jetzt für jeweils einzelne Glieder A  ei ( kx t )

diskutiert, die durch die Integralbildung alle aufsummiert werden. Das ergibt dann unser Integral


A  ei ( kx t ) dk . (Die Multiplikation dieser einzelnen Glieder mit dem Differential dk bedeutet

lediglich, dass man anstatt eines Funktionswertes A  ei ( kx t ) eine Fläche A  ei ( kx t ) dk erhält,
was nur eine etwas andere Betrachtungsweise ist.)
_______________________________________
1
Wie für eine einzelne harmonische Welle x und t sich zueinander verhalten, das ist in Abb. 2.2 in
meinem Artikel
www.didaktikmat2chem.de/Grundlegendes_ueber_Wellen.pdf
im Unterkapitel „Wellen und allgemeine Wellengleichung“ bereits dargestellt worden.
- 13 -
I.5 Lösungen der allgemeinen Wellengleichung
a) Für y j ( x, t )  Aj  cos(k j x   j t )  k
(s. (I-2.11)) sei hierbei
Aj  k  h (I-5.1) gesetzt, sodass
2 

y j ( x, t )  h  cos(k j x   j t ) . ( k j hier sei  a 
 j  [k ] .) Danach erhält man für die Differentiation
s


nach x :
y j ( x, t )
x

 h  ( k j )  sin(k j x   j t )
 2 y j ( x, t )
x
2
 h  ( k j 2 )  cos(k j x   j t )
und für die Differentiation nach
 2 y j ( x, t )
t
2
(I-5.2)
(I-5.3)
t entsprechend:
 h   j 2  () cos(k j x   j t ) mit k j 
2
1
[k ]
s (2  ( j  1))
(I-5.4)
Durch Einsetzen in die allgemeine Wellengleichung (s. (I-2.6)), hier in der Form
 2 y j ( x, t )
x 2
2
1  y j ( x, t )
 2
erhält man daraus
c
t 2
h  (k j 2 )  cos(k j x   j t ) 
1
c
2
woraus durch Kürzen wieder die Bedingung
 h   j 2  ( ) cos(k j x   j t ) ,
c
(I-5.5)
(I-5.6)
j
entsteht, die wir voraussetzen. Diese ist natürlich auch erfüllt,
kj
wenn
2 

 j  c  k j  c  a 
 j  [k ] ist.
s


(I-5.7)
Was für ein Glied gilt, trifft auch für n aufsummierte Glieder zu, denn statt mit nur einem Glied in (I-5.6) auf jeder
Seite der Gleichung kann man diese auch auf n gleichartige Glieder erweitern, wobei die Gleichung dann immer
noch gültig ist. Es gilt somit
n
1
n
j 1
c
j 1
 h  (k 2j ) cos(k j x   j t ) 
wieder unter der Bedingung
n
c
 h   2j  ( ) cos(k j x   j t ) ,
2 
j
für alle j . Damit ist gezeigt, dass
kj
n
y ( x, t , n)   y (k j , x, t )   Aj  cos(k j x   j t )  k
j 1
(I-5.8)
j 1
die allgemeine Wellengleichung löst. Setzt man wieder
2 

kj  a 
 j  [k ] , so erhält man (I-2.17).
s


(I-5.9)
- 14 -
b) Für y j ( x, t )  Adj  cos(k j x   j t )  dk
(s. (I-2.22)) und
2 

kj  a 
 j  [k ] setzen wir dieses Mal
s


h  Adj  dk . Die Rechnung für die Gültigkeit mit der allgemeinen Wellengleichung erfolgt genauso wie unter
Abschnitt a) mit den entsprechenden Gleichungen (I-5.2) bis (I-5.7). Auch hier können wir (I-5.6) mit n
aufsummierten Gliedern durchführen. Als Ergebnis erhalten wir, dass der Ausdruck
n
n
y ( x, t , n)   y j ( x, t )   Adj  cos(k j x   j t )dk (s. (I-2.23)
j 1
(I-5.10)
j 1
2 

kj  a 
 j  [k ] .)
s


c) Summiert man in (I-2.23) nicht über n Glieder von a bis b auf (lässt die Summe also nicht von j  1 bis
die allgemeine Wellengleichung löst. (Es sei wieder
j  n gehen), sondern über unendlich viele Flächenelemente Adj  cos(k j x   j t )dk mit
2 

kj  a 
 j  [k ] und damit über den gesamten Definitionsbereich aller k -Werte von  bis  , so erhält
s


man in Analogie zu I.5, Abschnitt a), dort (I-5.8), mit


j 
h  ( k 2j ) cos(k j x   j t ) 

1
c

2
h  Adj  dk eine Gleichung der Form

j 
h   2j  ( ) cos(k j x   j t ) ,
(I-5.11)
was nichts anderes bedeutet, dass die Funktion
y ( x, t ) 


j 
y j ( x, t ) 


j 
Adj  cos(k j x   j t )dk
(I-5.12)
die allgemeine Wellengleichung lösen soll.
Die Erweiterung der Gleichung (I-5.8) mit endlich vielen Gliedern, wobei
h  Adj  dk , auf die Gleichung (I-5.11)
mit unendlich vielen Gliedern bedeutet dabei keine Beschränkung bzgl. der Lösbarkeit der Wellengleichung.
f ( z )  z mit z   0 immer einen endlichen Wert größer null liefert
(für endlich viele z ‘s, wenn a  z  b ), liefert diese auch für unendlich viele z ‘s stets einen endlichen Wert
0
größer null (also wenn   z   ), da ja immer z   ist. Die Eigenschaft von f ( z ) ändert sich dadurch
nicht, ob wir sie nun für endlich viele oder unendlich viele z -Werte betrachten.
Ganz analog ist zu verstehen, dass, wenn jedes Glied A  cos( kx  t ) dk von (I-2.25) die allgemeine
Begründung: Genauso wie eine Funktion
Wellengleichung löst, dies ohne Weiteres für unendlich viele Glieder in (I-2.26) gilt. Die Lösbarkeit der allgemeinen
Wellengleichung wird dadurch nicht beeinträchtigt und somit trifft dies auch für (I-5.12) zu.
Da die Gleichung
y ( x, t ) 


j 
Adj  cos(k j x   j t )dk
(s. (I-5.12))
nichts anderes als der Ausdruck

y ( x, t ) 


A  cos(kx  t )dk ist ,
(s. (I-2.26))
- 15 wobei
Adj  A für alle j , k j  k und  j   , löst dieser also ebenfalls die allgemeine Wellengleichung.
d) Um (I-3.4) nach x
t zu differenzieren, gehen wir der Einfachheit halber wieder von der Cosinus-Funktion
aus und betrachten jeweils nur ein Glied y j ( x, t ) unter dem Integral
und


y ( x, t ) 
Ae

y j ( x, t )  A  e
wobei


 k  k0 
2
 k k 
j
2
 cos(kx  t )dk als
2
(s. (I-3.4))
2
0
2 2
 cos(k j x   j t )dk ,
(I-5.13)
k  k j und    j in (I-4.4) sei.
 k k 

j
h  Ae
Hierbei setzen wir nun
2
0
2 2
 dk . Wir können damit die Rechnung dann wieder wie unter Abschnitt a)
 k k 

j
mit den entsprechenden Gleichungen (I-5.2) bis (I-5.6) anwenden. Demnach löst (I-5.8) mit
für j  1 bis j  n , also für endlich viele Glieder, die allgemeine Wellengleichung.
h  Ae
2
0
2 2
 dk
Dafür können wir auch schreiben, dass
b 1
 h  (k j 2 )  cos(k j x   jt ) 
j a
wobei a  b  1 sei und das Intervall
1
c
2
b 1
 h   j 2  ( ) cos(k j x   jt ) ,
(I-5.14)
j a
 a; b aus n Gliedern besteht.
Bilden wir den Grenzwert
b
 h  (k j 2 )  cos(k j x   j t )  lim
lim
mit
h  Ae
 k k 
j
b
 h   j 2  () cos(k j x   j t )
a  c 2 j a
b
a  j  a
b

1
(I-5.15)
2
0
2 2
 dk , so können wir unter der Voraussetzung, dass k j 
j
c
ist, feststellen, dass die rechte
Seite gegen den gleichen Grenzwert strebt wie die linke Seite (beide Seiten sind ja dann identisch), womit die
Gültigkeit der allgemeinen Wellengleichung für (I-5.15) erfüllt ist. Das wiederum heißt, dass
y ( x, t ) 


j 
y j ( x, t ) 


 k k 

j
Ae
2
0
2 2
j 
 cos(k j x   j t )dk
(I-5.16)
die allgemeine Wellengleichung löst. – Und da (I-5.16) nur ein anderer Ausdruck für die Integralschreibweise ist, ist
unser Ausdruck

y ( x, t ) 

Ae

 k  k0 
2 2
2
 cos(kx  t )dk

Lösung der Wellengleichung, wobei als
k j die Variable k und als  j die Variable  eingesetzt wird.
(s. (I-3.5))
- 16 Ganz analog können wir die eben gemachte Berechnung auch für die imaginären Glieder durchführen, sodass wir mit
der eulerschen Gleichung den Ausdruck

y ( x, t ) 

Ae

 k  k0 
2
2 2
 ei ( kxt ) dk
(s. (I-3.4))

erhalten, der die allgemeine Wellengleichung erfüllt.
I.6 Zusammenfassung
Ein gaußsches Wellenpaket entsteht durch Modulation einer Funktion

y ( x, t ) 
 Ae
i  kx t 
dk
(s. (I-1.1))

mit einer gaußschen Verteilung
( z  )2

1
2
g (z) 
e 2
(s. (I-3.1)).
 2
Hierbei wird mathematisch der Integrand mit diesem Ausdruck multipliziert, sodass sich die
Formel
2
 k  k0 


2
y ( x, t )   A  e 2  ei ( kxt ) dk
(s. (I-3.4))

ergibt. Betrachtet man für diese den Anfangszustand mit t  0 , so erhält man den Ausdruck
y ( x, 0)  A   2  eik0 x  e

x 2 2
2
(s. (I-3.12)).
Sowohl (I-3.4) in seiner allgemeinen Form als auch (I-3.12) für t  0 wird als gaußsches
Wellenpaket bezeichnet.
Bei kleinen Werten von k0 für den Realteil von y ( x, 0) erhält man nur wenige Wellenberge
und –täler innerhalb der Funktion f ( x)  e
je größer k0 wird.

x 2 2
2
, deren Anzahl und Dichte jedoch zunimmt,
Das gaußsche Wellenpaket stellt eine Lösung der allgemeinen Wellengleichung dar.
Beziehung (I-1.1) kann man durch Überlagerung unendlich vieler harmonischer Wellen
erhalten.