Lorentz- und Poincaré-Gruppe und SL(2,C)

Lorentz- und Poincaré-Gruppe und SL(2,C)
Alexander Baade
Andreas Müllers
Christian Wuttke
24.01.2005
Inhaltsverzeichnis
1 Wiederholung der Grundlagen
2
SL(2,C) und die eigentlichen orthochronen Lorentz-Gruppe
Definitionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die Erzeugenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Die eigentliche orthochrone Lorentz-Transformation . . . . . . . . .
2.3.1 Beispiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4 Die Überdeckende der Lorentz-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 Die
2.1
2.2
2.3
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2
2
3
3
4
4
3 Poincaré-Gruppe
3.1 Gruppenaxiome . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2 Die Erzeugenden der Poincaré-Gruppe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3 Kovariante Formulierung Erzeugenden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
5
5
6
4 Kommutatoren
4.1 Einführung / Konventionen . . . .
4.1.1 Vektoroperator: . . . . . . .
4.2 Drehungen Ji . . . . . . . . . . . .
4.3 spezielle L-Trafo Ki . . . . . . . .
4.4 Translationen Pi . . . . . . . . . .
4.4.1 Allgemeines - Interpretation
4.4.2 Die Kommutatoren . . . . .
4.4.3 P 2 -Kommutatoren . . . . .
4.5 Kovariante Kommutatoren . . . . .
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der Operatoren
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5 Literatur
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8
8
8
9
9
10
10
11
11
11
12
1
1
Wiederholung der Grundlagen
Da die allgemeinen Grundlagen der speziellen Realtivitätstheorie in ettlichen Lehrbüchern zur theoretischen Physik umfassend behandelt werden, wollen wir an dieser Stelle nicht noch einmal gesondert darauf eingehen. Es seien nur kurz die mathematischen Konventionen zusammengestellt:
Ein kontravariantes Element xµ trägt die Indizes oben, ein kovariantes xµ unten.
Griechische Indizes laufen von 0 bis 3, lateinische von 1 bis 3.
Im Lorentz 4er Vektor wird die Zeit als 0te Komponente hinzugefügt: x = xµ = (ct, x1 , x2 , x3 )T

1 0
0
0
0 
 0 −1 0
Die Metrik des Minkowskiraums ergibt sich daraus zu {g µν } = {gµν } = g = 

0 0 −1 0
0 0
0 −1

Noch ein paar Worte zu ko- und kontravariant:
In der Physikersprache gibt es zwei Bedeutungen für das Wort kovariant. Die eine bezieht sich
nur auf die Position des Index (bei einem Vektor heißt das auch gleich, dass er entweder aus dem
Minkowski- oder dem dazu dualen Raum stammt). Die andere Bedeutung macht eine Aussage
darüber wie sich eine physikalische Theorie verhält. Sagt man eine Gleichung verhält sich kovariant, so ist gemeint dass sie nach einer L-Trafo (also aus einem anderen Koordinatensystem gesehen)
die Physik richtig beschreibt. Bei einem Lorentzskalar muss einfach derselbe Wert herauskommen,
egal wo man ihn auswertet.
Vielleicht wird so einsichtig was wir mit kovarianter Formulierung der M-Matrizen meinen.
C
2
Die SL(2, ) und die eigentlichen orthochronen LorentzGruppe
Im folgenden betrachten wir die spezielle lineare Gruppe SL(2,C) mit Linearkombinationen der
Pauli-Matrizen als Erzeugende. Wir werden exemplarisch zeigen, dass es sich hierbei um eine zweifache Überdeckende der Lorentz Gruppe handelt und sich daher alle Transformationen der eigentlichen Lorentz Gruppe als komplexe 2x2 Matrizen schreiben lassen.
Dies bietet mehrere Vorteile:
1. Als Überdeckende der eigentlichen orthochronen Lorentz-Transformationen sowie als übergeordnete Gruppe der SO(2) und SU(3) ist die SL(2,C) mathematisch interessant.
2. Durch die Pauli-Matrizen erhalten wir Spin-1/2 Darstellungen aus denen sich Beschreibungen
für beliebige Spins erstellen lassen.
3. Nicht zuletzt ist die Behandlung von 2x2 Matrizen einfacher als die von 4x4.
Anmerkung: Die SL(2,C) ist eine zweifache Überdeckende der eigentlichen Lorentz-Gruppe, also
der Menge aller Transformationen Λ mit det(Λ) = 1. Trotzdem beschränken wir uns im Folgenden
auf die Untergruppe L↑+ , da diese dem Leser bereits vertraut ist. Der ausgeschlossene Zweig L↓+
lässt sich außerdem einfach durch Anwendung einer Zeitspiegelung T = diag(−1, 1, 1, 1) auf die
Elemente aus L↑+ darstellen1 .
2.1
Definitionen
GL(n,F)/SL(n,F)
Die Allgemeine Lineare Gruppe GL(n,F) vom Grad n über einen Körper F ist die Menge aller invertiblen n×n Matrizen. Die spezielle lineare Gruppe SL(n,F) ist die Untergruppe mit Determinante 1.
1 Zur
Zeit und Raumspiegelung siehe auch Referrat Nummer 5 (Raumspiegelungen und Zeitumkehr in der QM)
2
2.2
Die Erzeugenden
Die Erzeugenden der SL(2,C) sind die folgenden sechs Matrizen:
Ki = i/2σi
0 i/2
K1 =
i/2 0 0
1/2
K2 =
−1/2
0 i
/2
0
K3 =
0 −i/2
Ji = 1/2σi ,
0
1/2
J1 =
0
1/2
0 −i/2
J2 =
0 i/2
1/2
0
J3 =
0
−1/2
(1)
mit den Pauli-Matrizen σi .
Obige Matrizen erfüllen die gleichen Kommutatorregeln wie die Erzeugenden der eigentlichen orthochronen Lorentz-Gruppe:
[Ji , Jj ] = iijk Jk
(2)
[Ji , Kj ] = iijk Kk
(3)
[Ki , Kj ] = −iijk Jk
(4)
Daher können wir erwarten, dass die Menge der Matrizen
"
#
3
X
W = exp −i
(αk Jk + βk Kk )
(5)
k=1
die gleichen Eigenschaften wie die eigentliche orthochrone Lorentz-Gruppe besitzt.
2.3
Die eigentliche orthochrone Lorentz-Transformation
Diese W-Matrizen sind die Elemente der SL(2,C). Da die Determinante von W 1 ist, sind Transformationen mit diesen Matrizen längenerhaltend (unimodular). Da die Ki Matrizen nicht hermitesch
sind, ist die SL(2,C) keine unitäre Gruppe.
Die Ki sind gerade iSi , daher lassen sich die W-Matrizen auch schreiben als:
i
(6)
W = exp − (ζ1 σ1 + ζ2 σ2 + ζ3 σ3 )
2
mit ζi = αi + iβ.
Das heißt in obiger Form können wir die SL(2,C) mit 3 Matrizen (den Pauli-Matrizen) und 3
komplexen Parametern beschreiben.
Diese W-Matrizen sollen den 4 × 4 Matrizen der eigentlichen orthochronen Lorentz-Transformation
entsprechen. Wie müssen dann unsere Vierer-Vektoren aussehen?
Dazu bilden wir die Matrix
0
x + x3 x1 − ix2
X = 1x0 + σi xi =
(7)
x1 + ix2 x0 − x3
Die Determinante von X det(X) = (x0 )2 − (xi )2 ist gerade gleich dem invarianten Lorentz-Abstand.
Das heißt, dass jede längenerhaltende Transformation dieser Matrix X eine Lorentz-Transformation
ist (Wigner, 1939).
Wollen wir unsere W-Matrizen auf X anwenden, so lautet die Transformationsgleichung:
Y = W XW †
3
(8)
2.3.1
Beispiel
Wir wollen die obige Darstellung der Lorentz-Transformationen anhand eines einfachen Beispiels
untermauern. Sei dazu zunächst die gewohnte Darstellung eines Boost’s in die 3 Richtung gegeben:
cosh(λ) 0
0
1

y = L(vê3 ) = 
0
0
sinh(λ) 0

  0
x
0 sinh(λ)
0
0
  x1 
· 2
x
1
0
x3
0 cosh(λ)
Wir erhalten:
y 0 = x0 cosh(λ) + x3 sinh(λ) y 1 = x1
y 3 = x0 sinh(λ) + x3 cosh(λ) y 2 = x2
Vergleichen wir dies mit der Transformation
η/2
e
0
Wb (η) = exp [−iηK3 ] =
0
e−η/2
†
Y = W XW =
→Y =
y0 + y3
y 1 + iy 2
eη/2
0
0
x + x3
·
x1 + ix2
e−η/2
0
y 1 − iy 2
y0 − y3
=
x1 − ix2
x0 − x3
η/2
e
·
0
x1 − ix2
0
(x − x3 )e−η
(x0 + x3 )eη
x1 + ix2
0
†
e−η/2
Vergleicht man die einzelnen Einträge der letzten Gleichung und stellt nach den y µ um, so erhalten wir ebenfalls einen Boost in de 3-Richtung:
y 0 = x0 /2(eη + e−η ) + x3 /2(eη − e−η ) = x0 cosh(η) + x3 sinh(η)
y 3 = x0 /2(eη − e−η ) + x3 /2(eη + e−η ) = x0 sinh(η) + x3 cosh(η)
Die Matrizen Ki sind also die Erzeugenden der Boosts. Analog lassen sich die Ji wieder als die
Erzeugenden der Drehungen identifizieren. Dies kann man sich auch klar machen, wenn man bedenkt, dass die Ji als einfache Linearkombinationen der σi den SU(2) aufspannen, der wiederum
isomorph zum Raum der Drehungen SO(3) ist. Diese erzeugen ja letztendlich auch die Drehungen
im Minkowski-Raum. Wir haben als im Endeffekt die gleichen Erzeugenden für die Drehungen in
der SL(2,C) und im Minkowski-Raum.
2.4
Die Überdeckende der Lorentz-Gruppe
Vertauscht man die Vorzeichen der Transformationsmatrizen, so sieht man sofort, dass die Transformationen mit den W-Matrizen invariant unter Vorzeichenwechsel sind, im Gegensatz zu Transformationen mit den bisherigen 4 × 4 Matrizen.
W XW † = (−W )X(−W )†
vgl.
⇐⇒
Λ(~v )x 6= −Λ(~v )x
Das heißt man erhält für jede 4 × 4 Matrix L ∈ L↑+ zwei entsprechende 2 × 2 Matrizen ±W . Das
heißt, dass die SL(2,C) eine zweifache Überdeckende der eigentlichen orthochronen Lorentz-Gruppe
ist. Dies kann man sich auch klar machen, wenn man sich die Parametrisierung der Drehungen mit
den Ji beziehungsweise den Pauli-Matrizen anschaut:
ψ
Wr (θ, φ, ψ) = exp −i ~n~σ
(9)
2
Hier ist ψ der Drehwinkel und ~n(θ, φ) die Drehachse. Der Faktor 1/2 (siehe Definition der Ji )
bewirkt, dass der Drehwinkel ψ Werte von 0 bis 4π annehmen kann, im Gegensatz zu 0 bis 2π für
Drehungen aus der SO(3).
4
3
Poincaré-Gruppe
3.1
Gruppenaxiome
Sucht man diejenigen Transformationen
Λ,a
x → x0 : x0µ = Λµ ν xσ + aµ ,
die den verallgemeinerten Abstand
2
z 2 = z 0 − ~z2
mit z 0 = x0 − y 0 (Zeitanteil) und ~z = ~x − ~y (Raumanteil), invariant lässt, so stößt man auf die
Lorentz-Transformation. Dessen homogene Untergruppe wurde bereits angesprochen, im folgenden
wollen wir uns mit der inhomogenen Untergruppe, der Poincaré-Gruppe beschäftigen.
Bestätigen wir schnell die Gruppenaxiome:
1. Die Verknüpfung, bezüglich derer die Transformationen eine Gruppe bilden ist die Hintereinanderschaltung und wie folgt definiert:
(Λ1 , a1 )(Λ2 , a2 ) = (Λ1 Λ2 , Λ2 a1 + a2 )
2. Assoziativität: Die Hintereinanderschaltung mehrerer Transformationen ist assoziativ:
[(Λ1 , a1 )(Λ2 , a2 )](Λ3 , a3 ) = (Λ1 , a1 )[(Λ2 , a2 )(Λ3 , a3 )]
Dies liegt in der Assoziativität sowohl des homogenen als auch des inhomogenen Anteils
begründet.
3. Das neutrale Element: Dieses ist einfach:
E = (1, 0)
4. Das inverse Element:Für jede Transformation (Λ, a) existiert eine inverse Abbildung:
(Λ, a)−1 = (Λ−1 , −Λ−1 a)
3.2
Die Erzeugenden der Poincaré-Gruppe
Wir wollen nun eine verkürzende Schreibweise einführen, um den homogenen und inhomogenen
Anteil der Lorentz-Transformation zu erfassen. Dazu führen wir die sogenannten homogenen Koordinaten y µ ein, die sich aus dem bekannten Vierervektor xµ ergibt, man fügt lediglich eine fünfte
invariante Komponente y 4 wie folgt hinzu:
y = (y 4 x0 , y 4 x1 , y 4 x2 , y 4 x3 , y 4 )T
Nun kann man eine inhomogene Lorentz-Transformation in der Form
y 0µ = Λµ ν y ν + y 4 aν
mit y 04 = y 4 und µ = 0, 1, 2, 3. Im folgenden werden wir nur y 4 = 1 annehmen, da sich dann die
Translation intuitiv2 ergibt (y 0µ = Λµ ν y ν + aν ).
Definiert man jetzt noch
µ
Λ ν aµ
Λ̃ :=
,
0
1
2 Die vermeintliche Translationsstreckung, die bei y 4 6= 1 auftritt fällt nach der Umrechnung auf x wieder heraus.
Daher auch die Definition über das y. Für y 4 = 1 müssen wir den Umweg nicht gehen und können direkt mit unseren
alten Koordinaten und der 4. Komponente rechnen.
5
so lässt sich zusammenfassend schreiben:
y 0µ = Λ̃µν y ν
Die Erzeugenden des homogenen Anteils sind uns bekannt, es gilt jetzt noch die Erzeugenden der
Translation zu bestimmen. Dazu betrachten wir eine reine Translation
 0 
 00  
y
1 0 0 0 a0
y
 y 01   0 1 0 0 a1   y 1 
 
 02  
 y  =  0 0 1 0 a2   y 2  .
 3 
 03  
y
0 0 0 1 a3
y
y4
0 0 0 0 1
y 04
Für infinitesimal kleine Translationen kann man wie gewohnt in erster Näherung die Taylor-Reihe
y 0 ≈ (1 + i
3
X
aν Pν )y
ν=0
ansetzen und daraus die Erzeugenden der Translationen ablesen: Sie besitzen an der ν-ten Stelle
eine 1, ansonsten stehen überall Nullen, zum Beispiel ist die Erzeugende der Translationen in der
Zeit


0 0 0 0 1
0 0 0 0 0


P0 = −i  0 0 0 0 0 


0 0 0 0 0
0 0 0 0 0
Die Erzeugenden sind also 5x5-Matrizen. Da die weiteren Terme wegen P2 = 0 verschwinden, ist
dies auch die Erzeugende endlicher Translationen.
3.3
Kovariante Formulierung Erzeugenden
Jetzt haben wir alle Erzeugenden der Poincaré-Gruppe gefunden. Wir wollen nun versuchen, einen
Erzeugendensatz zu finden, der sich bezüglich L+
↑ kovariant (das heißt in allen Lorentz-Indizes)
transformiert. Der gerade ermittelte Vierervektor P~ leistet das bereits, jedoch sind Boosts und
Rotationen bisher erst unter Annahme eines festgelegten Raumsystems definiert, die Zeit spielt also
eine Sonderrolle.In einer kovarianten Form sollten sich die Boosts aber ohne Annahme eines festen
Systems transformieren. Dazu wollen wir uns zuerst überlegen, welche Form diese Erzeugenden
annehmen werden: Da in vier Dimensionen die Angabe einer Drehachse immer noch die Möglichkeit
einer Drehung in drei Dimensionen zulässt, wollen wir unsere neuen Erzeugenden so erstellen, dass
sie die jeweilige Drehebene angeben, also z.B.:
J3 −→ J12
Schreiben wir eine Lorentz-Transformation in der Nähe der 1 als
Λµ ν ≈ δ µ ν + α µ ν
so ist αµ ν im Falle einer speziellen Lorentz-Transformation entlang der 1-Achse gerade die zugehörige Erzeugende, ebenso für eine Drehung um die 3-Achse, also



0 0 0
0 0 0 0
 0 0 0
0 0 0 3
=
 , bzw. αµ ν = 
.
0 0 0 0
0 − 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

αµ ν
µν
3 Vorsicht Notation: Tatsächlich beschreibt α
µν in der Entwicklung einer Lorentz-Transformation nach den M
nur einen Koeffizienten und nicht die gesamte Matrix. Diese Notation mag verwirren, ist aber in gewisser Weise
notwendig, um zwischen ko-und kontravariant formulierten Matrizen unterscheiden zu können. Die M µν jedoch sind
für jedes einzelne µ, ν Matrizen
6
Die zugehörigen kovarianten Tensoren, die sich aus der Multiplikation mit der Metrik g = diag(1, −1, −1, −1)
ergeben:
0
αµν = gµµ0 αµ ν ,
sehen dann wie folgt aus:


0
0 0 0
0
 − 0 0 0 
=
 , bzw. αµν = 
0
0 0 0 0
0
0 0 0 0

αµν

0 0 0
0 − 0 
.
0 0
0 0 0
Definieren wir uns einen Satz von 4x4-Matrizen
Mµν = −Mνµ ,
die man so definiert, dass sich infinitesimale Lorentz-Transformationen wie folgt formulieren lassen:
Λ≈1+
3
i X
αµν Mµν
2 µ,ν=0
(der Faktor 1/2 kommt aus der Antisymmetrie: wenn man diese Form ausführt, bekommt man
den selben Eintrag zweimal),so haben wir den Erzeugendensatz auch schon gefunden, wie man sich
anhand einiger Überlegungen klarmachen kann:
1. Die Matrizen sind antisymmetrisch, genauso wie die kovariant formulierten Erzeugenden für
Drehungen und Boosts



0 −i 0 0
0 0 0 0
 i 0 0 0
0 0 i 0
=
 , bzw. αµν = 
.
0 0 0 0
0 −i 0 0
0 0 0 0
0 0 0 0

αµν
2. Aufgrund der Antisymmetrie haben wir sechs unterschiedliche Matrizen (die Diagonale ist
unbesetzt), diese Anzahl entspricht der der Erzeugenden bei der Wahl (J,K).
3. Der Zusammenhang zwischen den ursprünglichen Erzeugenden (J,K) und den neuen Mµν
lässt sich recht schnell erkennen: Wählt man z.B. α01 = −α10 = und die übrigen Einträge
identisch Null, so bekommen wir aus der Gleichung
Λµ ν ≈ δ µ ν + α µ ν
letztlich für unsere Transformation:
Λ ≈ 1 + iK1 ,
was aber mit unseren neuen Erzeugenden nichts weiter ist als
Λ ≈ 1 + iM01 .
Für eine Drehung um die 3-Achse (α12 = −α21 = ) erhält man auf dem gleichen Weg:
Λ ≈ 1 + iJ3 = 1 + iM12 .
Auf diesem Wege kann man den allgemeinen Zusammenhang zwischen den Erzeugenden ermitteln:
Ki = M0i ,
J1 = −M23 (zyklisch ergänzt)
7
4. Diese Erzeugende erfüllen auch genau die an sie gestellte Forderung der Eindeutigkeit: Betrachtet man den Zusammenhang zwischen den alten und neuen Erzeugenden, so erkennt
man, dass alle Raumdrehungen, die vorher eine Drehung um eine Achse waren, nun eine Drehung in der dazu senkrechten Raumebene sind und alle Boosts (die ja eine Raum- mit der
Zeitkomponente vermischen) werden auch als D̈rehungı̈n der betreffenden Raum-Zeit-Ebene.
Hat man nun einen Satz Erzeugender und möchte bspw. die gleiche Transformation in zwei unterschiedlichen Koordinatensystemen durchführen, so muss man nur die Koeffizientenmatrix (aus dem
einen K-System) wie einen Tesor 2. Stufe (in das Andere) transformieren.
a0µν = Λµ α Λν β aαβ ⇐⇒ A0 = ΛAΛT
4
4.1
Kommutatoren
Einführung / Konventionen
Zum besseren Verständnis der Interpretation der Kommutatoren erinnern wir noch einmal an die
Formel:
~~
Sei A eine Transformation mit Erzeugenden Bi , so dass A = eλB geschrieben werden kann. Es gilt
−1
∼
A−1
2 (λ2 )A1 (λ1 )A2 (λ2 )A1 (λ1 ) = 1 − λ1 λ2 [B1 , B2 ]
4
Der Kommutator macht also eine Aussage darüber wie die Ergebnisse bei Vertauschung der Transformationen voneinander abweichen. Da die Matrizen eine Darstellung der Transformationen sind,
gelten ihre Interpretationen auch für die Transformationsoperatoren in der Quantenmechanik.
Wir diskutieren die Kommutatoren aufeinander aufbauend. Es werden jeweils die Kommutatoren innerhalb der Gruppe und dann die mit den vorherigen Transformationen gebildet.
Bei einem beliebigen Operator ist es vorab nicht klar, wie er sich unter Drehungen transformiert.
Deshalb hier vorab noch eine Definition.
4.1.1
Vektoroperator:
Einen Operator V bezeichnet man als Vektoroperator, wenn er sich unter Drehungen wie folgt
transformiert:
V 0 = U −1 (~η )V U (~η )
(10)
~
wobei U (~η ) = ei~ηL die Rotation beschreibt. Dies lässt sich äquivalent durch den Kommutator
[Ji , Vj ] = iijk Vk
beschreiben. Dieser Kommutator gilt für die meisten uns bekannten Operatoren, wie zum Beispiel
dem Orts-, Impuls- aber auch dem Drehimpulsoperator. Bei allen Operatoren, die zu GL (linearen
Gruppe) gehören ist dies auch zu erwarten, da sie als Matrizen darstellbar sind und sich die Matrizen
wie oben beschrieben verhalten.
Verhält sich ein Operator wie ein VO, so bedeutet dies dass man dieselbe Transformation (die
der Operator beschreibt) im gedrehten Koordinatensystem durch Drehung der Koeffizienten seiner
Erzeugen erhalten kann.
~ ~
Kann eine Transformation bspw. durch e~aB (B
die Erzeugenden) beschrieben werden und handelt
es sich um einen Vektoroperator, so erhält man die gleiche Trafo mit den neuen Koeffizienten
~a0 = U (~η )~a und den alten Erzeugenden im neuen Koordinatensystem.
4 Der Beweis hierfür wird im Scheck Band 1 S.242 erbracht. Idee: Man stellt die Transformationen als Exponentialreihe in ihren Erzeugenden auf (s.o.) und multipliziert die linke Seite der Gleichung bis einschließlich O(λi λj )
aus.
8
4.2
Drehungen Ji
Für die Drehgruppe gilt der bekannte Kommutator
[Ji , Jj ] = iijk Jk
(Das i rührt hier von der hermiteschen Formulierung der Matrizen. An der Interpretation des
Kommutators ändert sich jedoch nichts.) Nach obiger Definition bedeutet dieser Kommutator auch,
dass es sich um einen Vektoroperator handelt. Also Transformieren sich die Drehungen auch wie
ein Vektor unter Drehung.
4.3
spezielle L-Trafo Ki
Für den Boost erhält man:
[Ji , Ki ] = 0
[Ji , Kj ] = iijk Kk
[Ki , Kj ] = iijk Jk
Prinzipiell ist die Interpretation der Kommutatoren symmetrisch. Man kann also für [A, B] = 0
sowohl sagen, dass A B nicht ändert als auch, dass B A nicht ändert.
Kommutator I:
Eine Drehung um die Geschwindigkeitsrichtung ändert die Transformation nicht. Die spezielle LT
vermischt nur die Raumrichtung in der die Geschwindigkeit liegt mit der Zeitkomponente, die Ebene
orthogonal dazu bleibt invariant. (Entsprechend spielt die Längenkontraktion in der Ebene senkrecht zur Geschwindigkeitsachse keine Rolle.)
Kommutator II:
~ um einen Vektoroperator. Dies bedeutet auch, dass es beim Zerlegungssatz
Es handelt sich bei K
nicht auf die Reihenfolge der Transformationen ankommt, da wir nun wissen wie sich die spez. LT
unter Drehungen verhält.
Kommutator III:
Gelangt man durch 2 verschiedene spez. LT in ein Koordinatensystem und kehrt durch die umgekehrte Reihenfolge wieder in das ursprüngliche System, so ist man im vergleich zur ursprünglichen
Orientierung verdreht.
Planetenbahnen als Beispiel:
Betrachtet man die Rotation um einen Stern etwas vereinfacht als eine Folge von Wechsel von
Abbildung 1: Modell rel. Beschr. von Planetenbahnen
Geschwindigkeiten, so lässt sich die Bewegung als Folge von spez. LT darstellen. An den Orientierungen (siehe Abb. 1) der Geschwindikeiten kann man erkennen, dass es sich jeweils um die
entgegengesetzten spez.-LT handelt. Nach dem Kommutator folgt nun, dass sich der Planet (allein
durch relativistische Effekte) um die Rotationsachse seiner Bewegung um den Stern gedreht hat5 .
5 Dies ist unter dem Namen Lense-Thirring-Effekt bekannt. Nach meinen Recherchen resultiert er aus der Rotation
des Zentralgestirns, allerdings kann man sich auch in das Ruhesystem des Zentralgestirns begeben und erhält so einen
kreisenden Planeten.
9
1U mdrehung
Bei der Erde sind dies ≈ 8, 3 Bogensekunde
≈ 154.285Jahre
also vernachlässigbar wenig. Weiterhin hat
Jahr
dieser Effekt die Thomas-Präzession zur Folge. Vereinfacht kann man sich auch hier das Elektron
auf einer Kreisbahn vorstellen und kommt zu einem weiteren Moment im Atom, dass ähnlich wie
eine Spin-Spin-Kopplung betrachtet werden kann6 .
4.4
4.4.1
Translationen Pi
Allgemeines - Interpretation der Operatoren
Translationen werden in der Quantenmechanik durch Ableitungen realisiert. Wir möchten in diesem
Zusammenhang an das Referat über die Drehgruppe in der QM (von Andreas Müller) erinnern. Die
Drehungen kann man als Translationen in den Winkeln der sphär. Kugelkoordinaten verstehen. Am
Ende haben wir gesehen, dass die Erzeugenden der Translationen durch die Drehimpulsoperatoren
realisiert werden können. Im Falle von φ ist dieser
lφ = −i~
∂
∂φ
Nimmt man einmal an, dass die Erzeugenden der anderen Translationen ebenso konstruiert werden
können, so folgt
∂
Otranslation [t] = i~ ≡ −E
∂t
was dem negativen Energieoperator entspricht. In der SRT wird die Ableitung nach der Zeit jedoch
immer noch mit einem Faktor c versehen.
Otransl [t] = i~
∂x0 ∂
∂
E
≡ −E ⇐⇒ Otransl [x0 ] = i~ 0 ≡ −
∂t ∂x0
∂x
c
Für die Translationen in Raumrichtungen:
Otransl [xi ] = −i~
∂
≡ Pi
∂xi
was dem Impulsoperator entspricht. Wir haben noch nicht zwischen ko- und kontravarianter Form
unterschieden haben. Nehmen wir einfach einmal an, dass es in kovarianter Form geschrieben wurde,
so kommen beim Umschreiben in kontravariante Form auch noch Vorzeichen in die Raumkomponenten hinzu. Geht man nun hin und bildet (versuchsweise)
P2
1 2 ~2
1 E2
~2
=
(P
−
P
)
=
−
P
c2
c2 0
c2 c2
Nehmen wir nun einfach einmal an, dass es sich bei
q der Energie in P0 (wie sonst auch immer) um
die Gesamtenergie handelt und setzen diese E = (mc2 )2 + (cP~ )2 ein, so sehen wir dass
P2
1
= 2
2
c
c
(mc2 )2 + (cP~ )2
− P~ 2
c2
!
= m2
das Massenquadrat, ein Ergebnis das wir schon aus der SRT kennen liefert. Wir kommen also
mit dieser einfachen Analogie zu den richtigen relativistischen Ergebnissen7 . Die Ruhemasse ist
ein Lorentzskalar. Wir können also schon aus dem Eigenwert des Operators P 2 folgern, dass sich
die Translation kovariant verhält (wenn sich die Translationen wie oben dargestellt als Operatoren
darstellen lassen).
6 http://theory.gsi.de/˜vanhees/faq/relativity/node85.html
7 Die Diskussion ist hier nicht vollständig, da teilweise nicht zwischen Operatoren und Eigentwerten unterschieden
wird.
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4.4.2
Die Kommutatoren
[P µ , P ν ] = 0
Ji , P 0 = 0
Kk , P 0 = iP k
Ji , P j = iijk P k
Ki , P j = −ig ij P 0
8
Kommutator I:
Bei den Translationen handelt es sich um eine abelsche Gruppe. Sie können also unabhängig von
der Reihenfolge ausgeführt werden.
Kommutator II:
1. Die Drehung kommutiert mit der Zeittranslation. Dies war zu erwarten, da die Drehung nur
Raumkomponenten vermischt und die Zeit invariant lässt. Nach obiger Diskussion können wir
nun sagen, dass dies bedeutet, dass sich die Energie bei Drehungen im R3 nicht ändert(, bzw.
dass eine Drehung zu allen Zeiten das gleiche bedeutet).
2. Hier war eine Veränderung zu erwarten, da die spez. LT Zeit- und Raumkomponenten vermischt. Analog zum ersten Kommutator bedeutet dieser Kommutator, dass sich die Gesamtenergie bei Wechsel des Koordinatensystems ändert. Aus dem anderen Koordinatensystem
hat das Teilchen ja nun kinetische Energie. Dies lässt sich hier an dem P k − Operator erkennen. Der Unterschied zwischen den beiden Energiemessungen ist durch den zusätzlichen
Impuls gegeben.
Kommutator III:
1. Es handelt sich bei den Translationen um einen Vektoroperator. Sie verhalten sich also wie
ein Tensor 2. Stufe bzgl. Drehungen.
2. Translationen und spez. LT vertauschen nicht, wenn sie in die gleiche Richtung durchgeführt
werden. Dies wird anschaulich, wenn man die Längenkontraktion berücksichtigt. In dem angeschobenen Koordinatensystem hat die Translation vom Ruhesystem aus gesehen eine andere
Länge, so dass bei der Rückverschiebung im ursprünglichen System nicht um denselben Betrag
geschieht.
4.4.3
P 2 -Kommutatoren
Bei P 2 handelt es sich in der SRT um eine Erhaltungsgröße, nämlich die Ruhemasse. Wir erwarten
also, dass P 2 invariant unter allen Transformationen bleibt.
2 µ
2 2
P ,P = 0
P , Ji = 0
P , Kj = 0
Die Kommutatoren bestätigen also die obige Hypothese.
4.5
Kovariante Kommutatoren
Damit dem geneigten Leser die kovariante Formulierung der Kommutatoren in M-Matrizen nicht
vorenthalten bleibt:
[M µν , M στ ] = i(M µσ g ντ + M ντ g µσ − M µτ g νσ − M νσ g µτ )
Dieser Kommutatoren enthält alle vorher Genannten und wird analog interpretiert.
8 Die
Metrik kommt daher, dass hier P kontravariant geschrieben ist
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Literatur
1. Y.S. Kim, Theory and Application of the Poincaré Group, Reidel Publishing Co. ’86 (SL(2C)
und Grundverständnis)
2. M. Chaichian, Symetries In Quantum Mechanics, IOP Publishing Ltd. ’98
3. F. Scheck, Theoretische Physik: Band 1 - Mechanik, Springer ’03
4. F. Scheck, Theoretische Physik: Band 4 - Von den Symetrien der QM zu QED, Springer ’03
5. Nolting, Grundkurs Theoretische Physik: Band 4,Vieweg Verlag ’97
6. Institut für Physik und Physikalische Technologien der TU Clausthal, Prof. Dr. Wolfgang
Lücke, http://www.pt.tu-clausthal.de/˜aswl/scripts/rel.html (gutes verständliches Skript übersichtlich)
7. http://theory.gsi.de/˜vanhees/faq/relativity (übersichtliche FAQ-Sammlung auf hohem Niveau)
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