Formel -Sammlung

Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
Inhaltsverzeichnis
Formel
-Sammlung
Physik
1. Kinematik...................................................................................................... 2
2. Kinematik der Drehbewegung....................................................................... 3
3. Massenanziehung,Gravitation...................................................................... 5
4. Modulation.................................................................................................... 8
5. Drehimpuls................................................................................................. 10
7 Mechanik der Flüssigkeiten......................................................................... 11
30. Wärmelehre (Kalorik , Thermodynamik)................................................... 14
31. Schwingungen.......................................................................................... 20
47. Grundlagen............................................................................................... 22
48. Elektrostatik.............................................................................................. 25
49. Magnetismus............................................................................................ 28
50. R L C-Elemente........................................................................................ 34
51. Schwingkreis............................................................................................ 36
52. Wirk-Schein-Blindleistung......................................................................... 39
53. Transformator........................................................................................... 41
54. Motoren.................................................................................................... 42
55. Stromversorgung...................................................................................... 44
56. Halbleiter.................................................................................................. 46
57. Bipolar-Transistor..................................................................................... 47
58 FET-Schaltungen....................................................................................... 50
59. Operationsverstärker................................................................................ 53
60. Dreiphasensysteme.................................................................................. 55
62. Vierpol Parameter..................................................................................... 57
Autor: Drifte Marcel
Datum: 19. Nov. 2006
Dokumentname: Physik.sxw (openoffice.org)
Dokument zu finden unter: www.formelsammlung.telabo.ch
Autor: M.Drifte
Seite: 1/57
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Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
1.1.4 Der freie Fall
1. Kinematik
s
g⋅ t
s=
2
v = g⋅ t
1. Mechanik
- Kinematik
- Dynamik
Beschreibt den Ablauf der Bewegung
- Statik:
Kräfte an ruhigen Körpern
- Kenetik:
Zusammenhänge von Kinetik und Bewegung
g
t
1.1 Kinematik
1.1.1 Gleichförmig, Geradlinige Bewegung
v
∆s
v=
∆t
∆v
a=
∆t
a
t
t
v
s
t
a
[ m/s ]
[m]
[s]
[ m/s2 ]
a⋅ t
2
v = a⋅ t
s' =
[ m/s ]
[m]
[s]
[ m/s2 ]
t
t
t
:Geschwindigkeit
:Weg
:Zeit
:Beschleunigung
[ m/s ]
[m]
[s]
[ m/s2 ]
a ⋅ t2
s = s0 + v0 ⋅ t +
2
v
t“
=
v0
2⋅ g
t
t
t“
2⋅ v 0
g
a
v
1
2
y
at 2
y0

v
x0
x
1.1.7 Der schiefe Wurf
a
v = v0 + a ⋅ t
v0 ⋅ t '
2
x = x0 + v ⋅ t
1.1.3 Gleichmässig beschleunigte Bewegung mit
Anfangsgeschwindigkeit
v
t’
v0
y = y0 +
a*t
s
a
1.1.6 Der horizontale Wurf
v=a*t
t
s’
t’
t" =
½*at*t
v
s
t
a
v
Steighöhe:
a
v
½ a t2
t=
v0
g
Flugzeit:
v
v
2
s
t
:Geschwindigkeit
:Weg
:Zeit
:Beschleunigung
s
y p = v 0 ⋅ sin( α
0
)⋅t+
⋅ cos( α ) ⋅ t
x p = v0
0
1
2
ayt2

v
yp
y0
x0
α0
a
xp
a*t
v=v0+a*t
vo
t
v
s
t
a
Autor: M.Drifte
:Geschwindigkeit
:Weg
:Zeit
:9.91
1.1.5 Der senkrechte Wurf
Steigzeit:
1.1.2 Gleichmässig beschleunigte Bewegung ohne
Anfangsgeschwindigkeit
s=
t
t
v
s
t
g
v
s
a
v
2
t
a*t
t
:Geschwindigkeit
:Weg
:Zeit
:Beschleunigung
t
[ m/s ]
[m]
[s]
[ m/s2 ]
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2.3 Ungleichförmige Kreisbewegung
2. Kinematik der Drehbewegung
Mittlere Bahnbeschleunigung
2.1 Gleichförmige Drehbewegung
Bahnbeschleunigung

v1
Bahngeschwindigkeit


bei v1 = v 2 = v gilt:
v=
at =
∆ s t1
t2
Die Richtung der Bahnbeschleunigung ist
tangentiel zur Kreisbahn.
Mittlere Winkelbeschleunigung
r

a=
α =
[s-1]
[m/s]
[m]
[s]
ar =
dv
dt
ar =
v2
r
v
r
⋅
ds
dt
=
Änderung der Winkelgeschwindigkeit
dazu benötigte Zeit
∆ω
∆ t→ 0 ∆ t

v1

∆v
Kennzeichnung des Drehsinnes
v1 = v 2 = v



v 2 = v1 + ∆ v

v2

v1

v = const
=
Mittlere Winkelbeschl. =
α = lim
Bem: Der betrage bleibt konstant. Nur die
Richtung ändert sich.
Radialbeschleunigung

dv
dt
∆ω
∆t
Winkelbeschleunigung

dv
dt

ar =
Änderung der Bahngeschwindigkeit
dazu benötigte Zeit
∆v
∆ t→ 0 ∆ t
t 2 = t1 + ∆ t
v = 2π r ⋅ n
n:
Drehzahl
v:
Geschwindigkeit
s:
Strecke
t:
Zeit
Bahnbeschleunigung
Mittlere Bahnbeschl.=
at = lim

v2
ds
dt
∆v
∆t
∆s
t2

v2

ar
v2
r
t1
ar
t 2 = t1 + ∆ t
2.4 Drehzahlmessung mittels Stropkop
r
n=
2
= vω = ω r
Die Radialbeschleunigung der Kreisbewegung
steht immer senkrecht auf der BahnGeschwindigkeit und zeigt in radialer
Richtung auf den Kreismittelpunkt.
f1f 2
k ( f1 − f2 )
Situation
Eine Drehscheibe mit k Markierungen wird mit
einem Stethoskop abgeblitzt. Dabei gibt es
Blitzfrequenzen bei dem das Rad stehen
bleibend zu scheint. Um die Drehzahl
festzustellen braucht es zwei benachbarte
Blitzfrequenzen.
2.2 Drehzahl und Winkelgeschwindigkeit
Drehzahl
n=
N
t
v=
2π r
T
n=
1
T
= 2π r ⋅ n
Mittlere Winkelgeschwindigkeit
ϖ =
∆ϕ
∆t
Momentane Winkelgeschwindigkeit
∆ϕ
∆ t→ 0 ∆ t
ω = lim
ω =
2π
T
2π r
T
Autor: M.Drifte
Drehzahl 1s
N:
T:
Zahl der Umdreh.
Zeit für 1 Umdreh
r
T
Mittlere Winkelgeschwindigkeit =
ϖ
ϕ
t
gesamte überstrichener∠
dazu benötigte Zeit
:rad/sec=1/sec
:rad
:sec
= 2π n
Bahngeschwindigkeit
v=
[]
n:
= ω r
Mittlere Bahnbeschl.=
gesamte überstrichener Winkel
dazu benötigte Zeit
Seite: 3/57
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2.6 Arbeit,Leistung,Energie
2.5 Dynamik der geradlinigen Bewegung
Arbeit
Drehmoment

F
  
M= r× F

r
F:
r:
D:
Federkraft


FF = − D ⋅ x
m:
Beschleunigungskraft


F = m⋅ a
F:


F = m⋅ g
Haftreibung
FRmax = µ ⋅ FN
Gleitreibung
Rollreibung
FR = µ r ⋅ FN
µr ≈
µr =
1
r
f
r
Masse
Hubarbeit
 
W = F • h = mgh
m: Masse
g: 9.81
h: Hoehe
Kraft
[Kg]
[m/s]
[m]
Reibungsarbeit
 
Wr = F • s = FN ⋅ s
m
m

F
m
s
1
WB = m ⋅ V 2
2
[N]
Haftreibungskoeffizent
Normalkraft
µ:
Gleitreibungskoeffizent
m

F
∆ Wi =
W=
∑
F1 + F2
⋅∆s
2
∆ Wi
s
BEM: Hängt von der Beschaffenheit und der
Kontaktfläche sowie vom Radius des
Rades ab.
TIP:
Fläche unter der Kurve
Leistung
∆W
P=
∆t
v>0
F
D
Ruhelage
sa
F1
F2
F
i
[m]
m
v=0
Elastische Verformungsarbeit
[N]
µ<µ’
Rollreibungskoeffizent
Rollreibungslänge

F
h
[Kg]
µ:
FN:
µr:
f:
[Nm] = [J]
[m]
[N]
m
[Nm]
[m]
P:
sa
∆s
Leistung
s
[J/s] = [W]
Wirkungsgrad
η =
WN
PN
oder η =
WA
PA
0<η<1
Energie
Ek =
1
2
m⋅ v2
Potentielle Energie
E p = mg ⋅ h
Seite: 4/57
WA
WN
Aufgenomene
arbeit
Nutzarbeit
Spannungsenergie (pot. Energie)
Kinetische Energie
Autor: M.Drifte
Arbeit
Weg
Kraft
Beschleunigungsarbeit
Gewichtskraft
FR = µ '⋅ FN
Drehmoment
Radius
Federrate
W:
s:
F:
 
W = F• s
Ep =
1
2
D ⋅ s2
Energiesatz der Mechanik
∆ W = ∆ E p + ∆ Ek
E
[Nm] = [J]
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3.3 Potentielle Energie
3. Massenanziehung,Gravitation
Bezüglich der Oberfläche
siehe Hubarbeit
Bezüglich eines unendlich Weit entfernten
Punkts und einem Punkt im Abstand r.
3.1 Gravitationsgesetz [Benedetti 9.03]
F= γ
m1m2
r
F
m1,m2
r
γ
: Gravitationskraft
: Beliebige Massen
: Abstand
: Gravitationskonstante
6,68E-11 m3/(kg s2)
Schwerbeschleunigung auf der Erde
ϕ = ϕ
m2
2
[N]
[kg]
[m]
m
g = γ 2E
r
1
r
EPOT = m ⋅ ϕ
m1
: Masse Erde
: Radius von Zentrum
: Gravitationskonstante
= − γ ⋅ mp
Epot bezüglich derselben Masse in einem
unendlich entfernten Punkt
r
me
r
γ
∞
[kg]
[m]
[m3/(kg s2)]
ϕ
γ
mp
r
x2
mp
: Gravitationspotential
: Gravitationskonstante
: Masse des Planeten
: Abstand zum Zentrum
(Ausserhalb des Planeten)
x1
ins Unendliche
ϕ =-γ mp 1/r
[kg]
[m]
Rp
Rp
r
Siehe auch Mende Simon p.88
Anziehungskraft in Homogener Kugel
F= γ
m1 ⋅ m ⋅ r
m1
R3
r
Schwerbeschleunigung innerhalb einer
Homogenen Kugel
g= γ
m
m1 ⋅ r
R3
mp
R
3.4 Fluchtgeschwindigkeit

F
F
m1
m
R
r
: Kraft
: Masse der Kugel
: Testmasse
: Radius der Kugel
: Abstand der Testmasse
vom Zentrum m1
[N]
[kg]
[kg]
[m]
v FL
vFL
γ
mp
r
[m]
3.1.1 Geostationäre Bahn
r=
3
γ ⋅ mp
ω
2
ω
γ
mp
: Winkelgeschwindigkeit
: Gravitationskonstante
: Masse des Planeten
[1/s]
: Masse
: Schwerebeschleunigung
: Höhe von der Oberfläche
: Gravitationskonstante
6,68E-11 m3/(kg s2)
[kg]
[m/s2]
[m]
[kg]
Rp
3.2 Hubarbeit
Energie im Homogenes Kraftfeld
Wh = F ⋅ h = mgh
Energie im Inhomogenen Kraftfeld
(Wie die Erde)
m
g
h
γ
 2 ⋅ γ ⋅ mp 
= 

r


EPOT gilt für m
1
2
: Fluchtgeschwindigkeit
[m/s]
: Gravitationskonstante
: Masse des Planeten
kg]
: ursprünglicher Abstand
[m]
(Zentrum) vom Planeten
(Ausserhalb)
: Grenze der Kinetischen Energie
bei der ein Körper der Masse m an
die Erde gebunden bleibt.
[m]
Rp
Rp
r
Etot=EKin+EPot
 1 1
Wh = γ ⋅ m1m − 
 r1 r2 
Autor: M.Drifte
Seite: 5/57
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Massenträgheitsmoment für einfache Formen mit Schwerpunkt im Zentrum:
Vollzylinder:
Kugel:
3.5 Kinematik der Rotation
3.6 Zentripetalkraft
J=
Kreisbewegung
α =0 T,ω
Translation(Beschleunigt)

ar

ar

FZP
m
FZF
Zentripedalkraft

FZP = m ⋅ a r
= m ⋅ rϖ 2
= m ⋅ vϖ

v
rot
E kin
=
1
2
2
Massenträgheitsmoment
n
J=
∑
: Masse
: Massenträgheitsmoment
: Radius
: Länge [m]
E=
v
ar =
r
ar = r ⋅ ϖ
[kg]
[kg m2]
[m]
1
12
mL2
J=
1
12
mL2
1
2
[m/s2]
[m/s2]
[m/s]
[m]
[1/s]
[kg]
[kg m2]
( J s + ms )ω
2
ω
m
v
ω
J
E
Gesammt energie eines Rotierenden
Körpers
tot
rot
trans
E kin
= E kin
+ E kin
tot
E kin
=
1
2
Jϖ
2
+
1
2
mv 2
Geschwindigkeit unter berücksichtigung des
Massenträgheitssmoment
[kg m2]
2
( ri ⋅ ∆ mi )
v=
: Massenträgheitsmoment [kg m2]
: Energie
[J]
: Masse
[kg]
: Kreisfrequenz
[1/s]
: Verschiebung von Schw.p [m]
: Masse
[kg]
: Geschwindigkeit
[m/s]
: Rotationsgeschwindigkeit [1/s]
: Massenträgheitsmoment [kg m2]
: Energie
[J]
r
2mgh
J2
m+ 2
r
m
h
v
m
J
h
r
g
Seite: 6/57
S (Schwerpunkt)
s
2
2
: Radialbeschleunigung
: tangentialbeschleunigung
: Geschwindigkeit
: Radius
: Kreisfrequenz
: Gravitationskonstante
6,68E-11 m3/(kg s2)
: Masse
: Massenträgheitsmoment
: Kreisfrequenz
[1/s]
: Massenträgheitsmoment
Platte:
J
E
m
ω
s
i
Autor: M.Drifte
J=
J = J s + m ⋅ s2
2
Jϖ
2
Satz von Steiner
(Schwerpunkt verschiebung)
Rotationsbeschleunigung
m
J
ω
J
Rotationsenergie
m
J
R
L

FRES
FRES ist die resultierende Kraft
=> Verandwortlich für die
Beschleunigung
FT ist eine Scheinkraft
v
r
= m
2
5

a
m
ar
at
v
r
ω
γ
2
mR 2
J=
Stab:
J = mR

FT
ist die Zentripetalkraft
=> Verandwortlich für die
Kreisbewegeung
ist die Zentifugalkraft
=> Scheinkraft
mR 2
Hohlzylinder:

FZF

ar
FZP
1
2
: Geschwindigkeit
[m/s]
: Masse
[kg]
: Massenträgheitsmoment [kg m2]
: Höhe
[m]
: Radius der Kugel
[m]
: 9,81
[m/s 2]
19. Nov. 2006
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3.7 Drehmoment
  
M= r× F


M= J×α
v= ω ⋅r
  
v= ω × r
ω
v
r
α
v
J
r
ω
: Winkelbeschleunigung
[1/s2]
: Tangentialgeschwindigkeit [m/s]
: Massenträgheitsmoment [kg m2]
: Radius
[m]
: Rotationsgeschwindigkeit [1/s]
3.8 Arbeit und Leistung bei Drehbewegung
Arbeit bei M=const.
W = M⋅ ϕ
Leistung
∆W
∆t
M⋅∆f
P=
∆t
P=
M
ϕ
W
P:
ϕ
ω
M
:Drehmoment
:überstrichener Winkel
: Arbeit
:Leistung
:Drehwinkel
:Winkelgeschwindigkeit
:Drehmoment
[Nm]
[rad]
[ J ] [Nm]
[Watt]
[rad]
[1/s]
[Nm]
P = Mω
Autor: M.Drifte
Seite: 7/57
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4.3 Klassische Amplitudenmodulation AM
4. Modulation
HF Träger
4.1 Amplituden modulierte Signale
AM
(Amplitudenmoduliert klas.)
DSB
(Double Side Band)
s
fT
fT-fM
SM ( t ) = S M cos( 2π ⋅ f M ⋅ t )
fM
fT
fT+fM
Moduliertes Signal
SAM = S T cos( ω T t ) +
fT
fT-fM
PAM
PT
s
fT
fT-fM
f
M
(
cos ( ω T + ω
M
) ⋅ t) +
m
2
(
cos ( ω T − ω
= 1+
M
) ⋅ t)
: Modulationsgrad
: Zeit
: NF-Frequenz
: HF-Frequenz
4.4 Zweiseitenband Modulation ZM
Realisierung mit Mischer siehe 4.2
4.5 Einseitenband Modulation EM
BEM:
Reduziert Bandbreite, aber nicht Sendeleistung
4.6 Modulationsgrad m
⋅ S M ( t ) ⋅ ST ( t )
S
SM
: Modulationssteilheit
[]
(Verstärkung des Modulators)
S M
S
m = M
S
ST
αM
S T
T
4.7 Demodulation
Hüllkurvendetektor für AM m<100%
Dämpfung des Schwingkreises
Rp ≈
R
R
2
Synchrondemodulator (BSP: 1 Ton)
S NF ~ cos( 2π ⋅ f NF ⋅ t ) ⋅ cos( ϕ
Loc
)
- Träger wird nicht übertragen.
- Der Localosc. muss synchron mit dem Trägerosc.
laufen.
- Der Empfänger ist sowohl für AM als auch für ZM
geeignet
RP
: Last für den Schwingkreis
SNF
SZM
ST
SNF
fNF
ϕLOC
ST
Autor: M.Drifte
[]
[s]
[Hz]
[Hz]
m2
nur für eintonsignale
2
Realisierung mit Mischer und nachfolgendem
Filter.
4.2 Mischen von zwei Signalen
S( t ) = α
m
2
m
t
fM
fT
PAM = PT + 2 ⋅ PSeitenband
f
fM
Gemischtes Signal
)
Leistung der Seitenbänder
fM
fT+fM
fT
(
ST
Nicht lineare Kennlinie.
S (t)
SAM ( t ) = S T 1 + m SM M cos(2π fT ⋅ t )
s
fT
EM (Einseitenband moduliert)
SSB(SC) (Sigel Side Band)
SAM
AM
NF Signal
f
ZM (Zweiseitenband moduliet
ohne Träger)
DSBSC (Double Side Band
suppressed carryer )
SM
ST ( t ) = S T cos(2π ⋅ fT ⋅ t )
Seite: 8/57
SZM
SNF
SLOC
: Demodulierte NF Signal
: Frequenz des NF Signals
: Phasenverschiebung
gegenüber dem Idealen
Trägersignal
: Trägersignal
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4.8 Phasenmodulation (PM)
Phasenmodulation
S PM ( t ) = S T cos( ω T ⋅ t + α P ⋅ sM ( t ))
αP
η
: Modulationskonstante
: Phasenhup
αF
∆ωHF
: Modulationskonstante
: Frequenzhub
Phasenhub
η = α P ⋅ s M
4.9 Frequenzmodulation (FM)
Phasenmodulation

S FM ( t ) = S T cos ω T ⋅ t +

Frequenzhub
∆ω
HF

∫0 α P ⋅ sM ( t ) dt
t
= α F ⋅ s M
4.10 Einton - Winkelmodulation (PM/FM)
Eintonwinkelmodulation
S PM/ FM ( t ) = S T cos( ω T ⋅ t + η ⋅ sin(ω
M
⋅ t ))
Modulationsindex (FM)
η =
∆ ω HF
ωM
Spektrum
sPM / FM ( t ) = sT ⋅
wobei
+∞
∑
n= − ∞
(
J n ( η ) ⋅ cos ( ω T + n ⋅ ω ) ⋅ t
)
η
η
ωM
ωT
t
: Phasenhup (PM)
: Modulationsindex (FM) [ ]
: Frequenz Einton
[Hz]
: Frequenz Träger
[Hz]
: Zeit
[t]
a2
a-3
a-1
a-2
a0
a1
a3
n
J n ( η ) = ( − 1) ⋅ J − n ( η )
4.11 Praktische Bandbreite (PM/FM)
BPM / FM = 2( η + 1) ⋅ f M
Autor: M.Drifte
Seite: 9/57
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5. Drehimpuls
Siehe auch Benedetti 8.15
5.1 Drehimpuls bezüglich Ausgangspunkt

L=

L=
L=
 
r× p

J⋅ω
r⋅ p
= r ⋅ m⋅ v
Bemerkung:

Wenn p =const
Flugbahn
Ausgangspunkt
=>

L =const
dh.
L
J
ω
r
p
v
m
Es wirken keine Kräfte auf m

r
ϕ

p
m
: Drehimpuls
[kg m2/s]
: Massenträgheitsmoment [kg m2]
: Winkelgeschwindigkeit
[1/s]
: Radius
[m]
: Impuls
[kg m/s]
: Geschwindigkeit
[m/s]
: Masse
[kg]
5.2 Drehmoment

M=

L
∆ t
∆

M=

dL
dt
L : Drehimpuls
M : Drehmoment
t : Zeit
[kg m2/s]
[Nm]
[s]
5.3 Massenträgheitsmoment
J : Massenträgheitsmoment
r : Radius
m
: Masse [kg]
J = m⋅ r2
[kg m2]
[m]
5.4 Kreisel
Precision
ω
p
=
M
L0
Drehmoment

 ∆L
M=
∆t



M = ω p × L0
Wenn auf den Kreisel FG+F gedrückt wird zeigt
M in die andere Richtung
ωp
L0
:Precision
:Drehimpuls
[rad]
[Kg
m2/s]
M
:Drehmoment von r
r :Radius [m]
Autor: M.Drifte
[Nm]
Seite: 10/57
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7.1.4 Druckmessung Nanometer
7 Mechanik der Flüssigkeiten
Druckdifferenz
∆ p = p1 − p2
7.1 Ruhende Flüssigkeit
7.1.1 Allgemein
p1
∆p = δ ⋅ g⋅ ∆h
δ
p
F
A
F
p=
A
: Druck
[Pa]
: Kraft
[N]
: Fläche auf die die Kraft wirkt [m]
:Dichte
∆h
[Kg/m 3]
δ
Absuluter Druck
pa = δ ⋅ g ⋅ ∆ h
7.1.2 Kompressiblität
χ = −
p2
V
1 dV
dp
V
δ:
3
: Volumen
[m ]
Dichte
p
p=0
[Kg/m 3]
∆h
7.1.3 Druckausbreitung
δ
Kraftwandler
A2
F2 =
F
A1 1
F2
F1
Auftrieb
Der Auftrieb eines Körpers ist gleich dem
Gewicht der verdrängten Flüssigkeitsmenge.
A1
A2
FA = Vk ⋅ δ FL ⋅ g
Druckwandler
A
FA = A ⋅ δ FL ⋅ g • ∆ h
A2
p
A1 2
p1 =
FA
p2
δFL
Vk
p1
A1
A2
: Dichte der Flüssigkeit
: Volumen des Körpers
[Kg/m 3]
[m3]
Achtung:Die Dichte nimmt nach unten zu
∆h
FG
δ FL
Schweredruck
FG
A
p( h ) = δ ⋅ h ⋅ g
p( h) =
h
FG = mg = δ Ahg
δ:
h:
g:
m:
Dichte
Höhe
Erdbeschleunigung
Masse
Autor: M.Drifte
3
[Kg/m ]
[m]
9,81 [m/s2]
[kg]
A
δ
Seite: 11/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
7.3 Fluiddynamik
7.2 Ruhende Gase
7.2.1 Allgemein
Kontinuitätsgleichung
Für Inkompressible Fluide
Bei Konstanter Temperatur
p ⋅ V = const
p
V
: Druck
: Volumen
[Pa]
[m3]
: Druck
[Pa]
p1

+
Statischer
Druck
1
δ v12
2


Dynamischer
Druck
7.2.3 Schweredruck
p0
p( h )
=
δ 0 δ ( h)
h
dh
+ 
gh1δ
Schwere −
druck
⋅ p0
+
Statischer
Druck
1
δ v22
2


Dynamischer
Druck
+ δ
gh2
Schwere −
druck
oder
p(h)
Barometrische Höhenformel
Autor: M.Drifte
p2

Luftsäule
δ (h)
dp − δ 0
=
g ⋅ p ( h)
dh
p0
p(h) = e
S1=V1∆ t
S2=V2∆ t
=
Gesetzmässigkeit
δ0
gh
p0
A2
S1
p
v2
Bernulli Gleichung (Energie Erhaltung)
1
χ =
p
−
A1
A1v1 = A2 v2
Die beiden Volumen sind gleich gross.
7.2.2 Kompressibilität
Bei Temp. const.
S2
v1
p+
1
δ v2
2
+ ghδ = const .
P0/δ 0
p(h)
p0]
δ(h)
δ0
: Druck in der Höhe h
: Druck auf dem Boden
: Dichte in der Höhe h
: Dichte auf dem Boden
[Pa]
[Pa]
Seite: 12/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
7.5 Reale laminare Strömung (mit innere Reibung ,ohne Wirbel)
7.3.4 Druckmessungen in Strömungen
Bei linearer geschw. Verteilung
Statischer Druck
v
pstat = p2 + δ ⋅ g ⋅ ∆ h
v
p2
FR = η ⋅ A
∆h
Gesamtdruck
dv
dx
pGesammt = δ ⋅ g ⋅ ∆ h
(
∆h
)
π ⋅∆p 4
V=
R ⋅t
8⋅ η ⋅ l
V
V
Reibungskraft auf Rohr
Strömungsgeschwindigkeit
2 pDyn
v1 = v2 =
_
V1
V2
( )
A1 2
A2

− 1 δ

∆h
Austritts geschwindigkeit
v1 ≈ 0
2 gh
•
V
: Volumenstrom
Autor: M.Drifte
A1>>A2
Re =
A1
Volumenstrom
V
V=
= A2 ⋅ v2
t
h
l⋅δ ⋅ v
η
Strömungen um oder in geom. Körpern sind
gleich, wenn die Reynoldszahlen gleich sind.
A2
v2
[m3/s]
: Geschwindigkeit abh. von r [m/s]
: Viskosität
[Pa* s]
•
V
v= 2
r π
v
η
Ab kritischer Geschwindigkeit ein Wechsel
von laminarer zur turbulenten Strömung
Reynoldszahl Re
.
: Mittlere Geschwindigkeit
v(r)
η
v
: Radius Kugel
: Kraft
: Geschwindigkeit
Flüssigk. . oder Kugerl
: Viskosität
[Pa* s]
[m]
[N]
[m/s]
7.8 Turbolente Strömung (Wirbelbildung)
7.4 Volumenstrom
v2 =
_
v
r
FR
v
2∆ p


R
FR = 6 ⋅ π ⋅ η ⋅ r ⋅ v
Strömungsgeschwindigkeit
p2
v
r
Reibungskraft auf Kugel
∆ p = p1 − p2 = δ flüssig ⋅ g ⋅ ∆ h
p1>p2
p1
_
FR = 8 ⋅ π ⋅ η ⋅ l ⋅ v
δ
Druckdifferenzen (Venturirohr)
v1 =
FR = ∆ p ⋅ r 2 ⋅ π
∆h
[Pa*s]
[N]

Volumenfluss
pDyn = δ ⋅ g ⋅ ∆ h
: Viskosität
: Reibungskraft
∆ p = p1 − p2
Dynamischer Druck
∆v
Ruhende scheibe
∆p 2
v(r ) =
R − r2
4 lη
p=0
∆x
η
FR
Strömung in einem Rohr
V
V
v
x
Bei nicht lineare geschw. Verteilung
p1
FR
Bewegte scheibe
v
FR = η ⋅ A
x
[l]
[δ]
[η]
[v]
: char. länge des Körpers
: Dichte des Fluids
: Viskosität
: rel. Geschwindigkeit zwischen Körper
und Fluid
[A] :Stirnfläche
[Cw] :Widerstandsbeiwert
m2
-
Strömungswiderstand
Fw = cw ⋅ A 21 δ ⋅ v 2
Seite: 13/57
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Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
T=
2
⋅ E Kin
3⋅ k
Mittlere kinetische Energie der Gasatome
E Kin =
1
m⋅ v2
2
T:
k:
m:
Temperatur
Bolzmankonstante
1.3806619E-23 J/K
Masse
E Kin :
Mittlere kin. Energie
v:
Mittler Geschwindigkeit der
Gasmoleküle
K
C°
F
in Kelvin
in Celsius Grad
in Fahrenheit
[K]
[J/K]
(
[Kg]
[J]
T[ K ] = T[C° ] + 27315
.
T[ F ] = 95 T[C° ] + 32
T[C° ] = 95 ( T[ F ] − 32)
V = V0 1 + γ ⋅ ϑ
α:
γ:
∆ 
∼

∆T
Längenausdehnungskoeffizient
α =
γ
T:
l:

⋅ ∆ T
∆
∆V
V⋅∆ T
Flächenausdehungskoeffizent
[1/K]
Temperatur
Länge
[K]
[m]
v=
δϑ =
δ0
m
=
V0 (1 + γ ⋅ ϑ ) 1 + γ ⋅ ϑ
Autor: M.Drifte
m
Mr
k
v
ν:
: Druck
[Pa] [N/m]
: Normaldruck
[Pa]
: Volumen
[m3]
: Masse
[m]
: Temperatur
[K]
J
: spez. Gaskonstante
[ /Kmol]
: Allgem. Gaskonstante
[J/Kmol]
R = 8314 J/Kmol
: Kilomolmasse
[ Kg/Kmol]
: Anzahl Teilchen
:
Anzahl Teilchen pro Kilomol
NA =6.02 E26 (Advogradozahl)
: Bolzmankonstante
[J/K]
1.3806619E-23 J/K
:
Stoffmenge (Zahl der Kilomole)
30.5 Gemisch idealer Gase
p⋅V = ν ⋅ R⋅ T
pi ⋅ V = ν i ⋅ R ⋅ T
m1
=
m
γ = 2⋅α
m
Vϑ
Mr
N
NA
N
ν =
NA
Flächenausdehungs koeffizent
δϑ =
⋅ R⋅ T
p⋅V = k ⋅ N ⋅ T
= 3⋅ α
Flüssige Stoffe (Volumenausdehung):
Dichte bei der Temperatur ϑ
m
Mr
p⋅V =
Volumenausdehungds koeffizent
γ =
p
p0
V
m
T
Rs
R
p⋅V
= const = m ⋅ Rs
T
p⋅V
= v⋅ R
T
[m/s]
Längenausdehungskoeffizent [1/K]
Volumenausdehungskoeffizent [1/K]
≈ (1...100) 10-6 1/K
:
)
: Volumen
[m3]
: Volumen bei 0 C°
[m3]
: Volumenausdehungskoeffizent [1/K]
: Temperatur
[K]
30.4 Zustandsgleichung für ideale Gase
30.3 Thermische Längen und Volumenausdehnung
Feste Stoffe:
V
V0
γ
ϑ
Gasförmiger Stoffe
γ ≅ 3661⋅10 −6 1/Κ
für alle idealen Gase
Volumenausdehnung bei p=const.
30.2 Temperaturskala
Umrechnung:
p ⋅ T0
T ⋅ p0
δ = δ0
30.1 Temperatur (Mende Simon p.109, Beneteti 14.01)
Absolute Temperatur (T)
Mende Simon p.116
Dichte Umrechnung verschiedender
Temperaturen
30. Wärmelehre (Kalorik ,
Thermodynamik)
m
: Masse
[Kg]
Vϑ
: Volumen bei Temperatur ϑ
[m3]
ϑ
: Temperatur
[K]
δ0
: Dichte bei 0 C°
[Kg/m3]
γ
: Volumenausdehungskoeffizent [1/K]
Achtung:
Die Dichte von Wasser ist am
grössten bei 4 C°
Seite: 14/57
1
Mr
1
M1
pi
p=
−
−
1
M2
1
M2
V1 M r − M 2
=
V
M1 − M 2
∑
pi
V
R
m
m1
Mr
M1
M2
V
V2
: Partialdruck des i-ten Gases [Pa]
[N/m]
: Volumen
[m3]
: Allgem. Gaskonstante
[J/Kmol]
R = 8314 J/Kmol
: Masse
[Kg]
: Masse des 1. Gases
[Kg]
: Kilomolmasse
[ Kg/Kmol]
: Kilomolmasse 1.Gases
[ Kg/Kmol]
: Kilomolmasse 1.Gases
[ Kg/Kmol]
: Volumen
[m3]
: Volumen 1. Gases
[m3]
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
Tabelle
30.6 Gas kinetische Deutung des Drucks
p
N
T
V
k
2⋅ N
p=
E
3 ⋅ V Kin
1
E Kin = m ⋅ v 2
2
Mittlere Translationsener. eine idea. Gasmolek.
E Kin
3
= k⋅T
2
m
: Druck
: Anzahl Teilchen
: Temperatur
: Volumen
: Bolzmankonstante
1.3806619E-23 J/K
: Masse
[Pa] [N/m]
[]
[K]
[m3]
[J/K]
E Kin
: Mittlere kin. Energie
v
: Mittler Geschwindigkeit der
Gasmoleküle
3
f (v ) =
2
 m  2 2 − mv
= 4π ⋅ N 
v ⋅ e 2 kT

 2π kT 
dN
dv
f(u)
U = E Kin + E Pot
[J]
Mittlere Geschwindigkeitsverteilung
Die Innere Energie U ist die gesammtheit der Kinetischen
Energie und potentiellen Energie aller seiner Molekühle,seiner
Atome, Elektronen, Kerne und Neutronen.
∫
  Das System gibt Arbeit ab!
dW = F • ds
= − p ⋅ A ⋅ ds
= − p ⋅ dV
f (v )dv = 1
0
b.) Wahrscheinlichste Geschwindigkeit
2k⋅T
m
vw =
c.) Mittlere Molekülgeschwindigkeit
v=
8k ⋅ T
π ⋅m
= 1128
. ⋅ vw
v [m/s]
T
v
k
m
: Temperatur
: Geschwindigkeit
: Bolzmankonstante
1.3806619E-23 J/K
: Masse
V2
[K]
[m/s]
[J/K]
WV = −
[Kg]
b.) Wärmeenergie:
v2 =
3k ⋅ T
m
∆ U = W+ Q
dU = dW + dQ
= 1.225 ⋅ v w
Mittlere freie Weglänge
=
1
2 ⋅ nσ
N:
V:
Anzahl Teilchen
Volumen
:
Mittlere freie Weglänge
50...200nm
σ = d2 ⋅π
n = VN
[]
[m3]
1
2
[m]
Potentielle Energie
[J]
U:
Innere Energie
[J]
F
A
F
W
s
A
p
V
: Kraft
[N]
: Arbeit [Ws]
: Weg
[m]
: Fläche [m2]
: Druck [Pa]
: Volumen
[m3]
W
Q
: Arbeit [Ws]
: Wärmeenergie
[J]
Q>0 System nimmt Wärme auf
Q<0 System gibt Wärme ab
cm
Mr
m
: Innere Energie
[J]
: Wärmeenergie
[J/K]
: Temperatur
[K]
: Wärmeenergie
[J]
: spezifische Wärmekapazität
[J/kg K]
: molare Wärmekapazität
[J/kmol K]
: Kilomolmasse
[ Kg/Kmol]
: Masse [Kg]
∆ Q = m⋅ c⋅ ∆ T
T
k
E Kin
f
Autor: M.Drifte
[J]
(Aus ungeordneten wärme Bewegung)
C
Matrialkonstante
m
Spezifische Wärmekapazität „spez. Wärme“
d
k ⋅ T⋅ f
EPot:
∆Q
∆T
C=
30.7 Gleichverteilungs Gesetz
E Kin =
Kinetische Energie
(aus Molekularen Kräften)
U
C
T
Q
c
c.) Wärmekapazität
c=
Die Mittlere kinetische Energie
∫ p( V) ⋅ dV
V1
d.) mittlere thermische Geschwindigkeit
v =
EKin:
a.) Volumenänderungsarbeit
Anzahlteilchen
∞
1
N
Total f
3
5
6
30.9 Arbeit, Energie, Wärme
T1 <T2
Eigenschaft der Maxwell Gleichung
a.)
Rotation
0
2
3
30.8 Innere Energie
[Kg]
[m/s]
Freiheitsgrad
Translation
3
3
3
Gasart
1 Atom
2 Atome
3 Atome
: Temperatur
: Bolzmankonstante
1.3806619E-23 J/K
[K]
[J/K]
: Mittlere kin. Energie
[J]
: Freiheitsgrad
[]
= − p⋅ ∆ V
Molare Wärmekapazität „molare Wärme“
Seite: 15/57
cm =
C C
=
Mr = c⋅ Mr
ν
m
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
30.11 Zustandsänderung idealler Gase
30.10 Spezifische Wärme von Idealen Gasen
Berechnung von cv
R⋅ f
2⋅ M r
cv =
Molare Wärme
R⋅ f
2⋅
c mv =
Berechnung von cp
cp =
R
Mr
Molare Wärme
c mp = R
(
f
2
+1
(
f
2
+1
cv
cp
: „spez. Wärme“ bei V=const
: „spez. Wärme“ bei p=const
R
: Allgem. Gaskonstante [J/Kmol]
R = 8314 J/Kmol
: Freiheitsgrad
[]
: Kilomolmasse
[Kg/Kmol]
f
Mr
)
Mende Simon p.138
Klassifikationen:
Prozesse
isochore
isobare
isotherme
isotrophe
(adiabatisch)
30.11.1 Isochor
Isochor ∆V=0 ,
)
Adiabaten Exponenten χ
χ =
cp
cv
cv
cp
f
χ
R
f+ 2
f
=
spez. Wärme von festen Körpern
• cp ≈ cv weil dV klein
: „spez. Wärme“ bei V=const
: „spez. Wärme“ bei p=const
: Freiheitsgrad
[]
: Adiabaten Exponent
: Allgem. Gaskonstante
[J/Kmol]
R = 8314 J/Kmol
: Temperatur
[K]
T
( Wärmezufuhr ergibt eine Zunahme der inneren
Energie, keine Volumenarbeit )
•
praktisch misst man cp
Ist T klein (0...50K)
∆ U = cv ⋅
∆U =
Isobare ∆p=0 ,
m
CG =
c:
T:
m:
0
0
J
kmol K
m
0
G
m
m1, c1, T1
∆Q=
Wärme Isoliert
p=const.
(Tm − T0 )
f+2
2
⋅
R
Mr
⋅ m⋅ ∆ T
f+ 2
∆Q= 
2 ⋅ p⋅ ∆ V
0
spezifische Wärmekapazität [J/kg K]
Temperatur
[K]
Masse [Kg]
Autor: M.Drifte
⋅V ⋅ ∆ p
∆ Q = cp ⋅ m⋅ ∆ T
[ m ⋅ c ( T − T ) ] = [ m ⋅ c ( T − T ) ] + [ C (T − T )]
[ m1 ⋅ c1( T1 − Tm ) ] − [ m0 ⋅ c0 ( Tm − T0 ) ]
1
⋅V ⋅ ∆ p
= const
∆ U = ∆ Q + ∆ Wv
Kaloriermetrie (Wärmemessung)
1
f
2
Mr
R
T
V
Ist T gross (>300K)
1
= const
T
Q
: Temperatur
: Wärmeendergie
[K]
[J]
Q>0 System nimmt Wärme auf
Q<0 System gibt Wärme ab
U
m
f
cv
p
V
R
: Innere Energie
[J]
: Masse
[Kg]
: Freiheitsgrad
[]
: „spez. Wärme“ bei V=const
: Druck
[Pa]
: Volumen
[m3]
J
: Allgem. Gaskonstante
[ /Kmol]
R = 8314
[J/Kmol]
siehe auch Benedetti 14.08
30.11.2 Isobar
c ∼ T3
c mv = 3 ⋅ R
≈ 25 ⋅ 10 3
T
p
∆ U = ∆ Q = cv ⋅ m ⋅ ∆ T
c mp = c mv + R
R
Mr
V=const.
dW v=0,
Abhängigkeit von cp & cv
cp = cv +
Eigenschaften
∆V=0 , V=const.
∆p=0 ,
p=const.
∆T=0 , T=const.
∆Q=0 , Q=const.
X
CG=cgmg
T
Q
: Temperatur
: Wärmeenergie
[K]
[J]
Q>0 System nimmt Wärme auf
Q<0 System gibt Wärme ab
U
m
f
V
p
R
: Innere Energie
: Masse
: Freiheitsgrad
: Volumen
: Druck
: Allgem. Gaskonstante
R = 8314
χ
: Adiabaten Exponent
siehe auch Benedetti 14.08
[J]
[Kg]
[]
[m3]
[Pa]
[J/Kmol]
[J/Kmol]
Tm
m0, c0, T0
Seite: 16/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
30.12 Änderung von Aggregatzustände
30.12.1 Allgemein
30.11.3 Isotherm
∆T=0 ,
dU=0,
Isotherme
•
T=const.
U=const
p ⋅ V = const
F
− Wv = + Q
V1, p1
V2
Q=
∫ p ⋅ dV
T
R
V1
V2
Q=
m
Mr
⋅ R⋅ T
∫
1
V
f
Mr
Wv
Q
m
p
p1
p2
V
V1
V2
dV
V1
V2
Q=
m
Mr
⋅ R ⋅ T ⋅ ln( V1 )
Q=
m
Mr
⋅ R ⋅ T ⋅ ln( p2 )
p1
(
= p ⋅ V ⋅ ln(
= p ⋅ V ⋅ ln(
= p ⋅ V ⋅ ln(
Q = p1 ⋅ V1 ⋅ ln
p2
p1
)
)
)
)
2
2
p2
p1
1
1
V1
V2
2
2
•
V2, p2
: Temperatur
: Allgem. Gaskonstante
R = 8314
: Freiheitsgrad
: Kilomolmasse
: Arbeit
: Energie
: Masse
: Druck
: Druck am Anfang
: Druck am Ende
: Volumen
: Volumen am Anfang
: Volumen am Ende
T2
T1
R
Mr
( )
V2
V1
p ⋅ V Χ = const
T ⋅p
Χ =
1− Χ
cp
cv
= const
Adiabatenexponent
Arbeit bei adiabatischen Zustandsänderung
∆W =
Autor: M.Drifte
flüssig
gasförmig
kondensieren
desublimieren
QS:
T s:
qs:
m:
Qs = m ⋅ q s
Schmelzwärme
[J]
Schmelztemp
[K]
Schm. enthalpie [J/Kg]
Masse
[Kg]
T
Schm.Temp.
Ts
fest &
flüssig
fest
flüssig
Q
Qs
Flüssig ⇔ Gasförmig
QV: Verdampfwärm.
[J]
Tv: Siedetemp.
[K]
qV: Verdampf. enthalp.
[J/Kg]
m: Masse
[Kg]
QV = m ⋅ q V
= ν :Stoffmenge:
T
Siede.Temp.
TV
flüssig
flüssig
& gas
gas
p2 ⋅ V2 − p1 ⋅ V1
Χ −1
cv:
cp:
χ
T
p
p1
p2
V
V1
V2
∆W
R
X
„spez. Wärme“ bei V=const
„spez. Wärme“ bei p=const
: Adiabaten Exponent
: Temperatur
: Druck
: Druck am Anfang
: Druck am Ende
: Volumen
: Volumen am Anfang
: Volumen am Ende
: Arbeit
: Allgem. Gaskonstante
R = 8314 J/Kmol
Q
30.12.2 Zusammenhang zwischen Dampfdruck und Temperatur
siehe auch Benedetti 14.07
Adiabatische Zustandsgleichung
Χ
fest
erstarren
Fest ⇔ Flüssig
dp
dT
V1
V2
⋅ ln
Verdampfen
QV
m
Mr
Isotrophe (adiabatisch) ∆Q=0 ,Q =const.
dU=dW v
( )= −
sublimieren
erstarren
MENDE SIMON p.143
Benedeti p.14.03
[K]
[ /kmol K]
[J/kmol K]
[]
[ kg/kmol]
[J] [Ws]
[J] [Ws]
[Kg]
[Pa]
[Pa]
[Pa]
[m3]
[m3]
[m3]
J
=
q1,2
v1,2
p
T
q 1, 2
T ( v 2 − v1 )
: molare Verdampfungswärme
: molare Volument [m3]
: Druck (Sättigung) [pa]
: Temperatur
[K]
30.14 Luftfeuchte
30.11.4 Isotroph
cv ⋅ ln
Die siede Temperatur ist stark
druckabhängig
Verflüssigen von Gasen durch
kompression ist nur möglich falls
T < Tk ist
[K]
[Pa]
[Pa]
[Pa]
[m3]
[m3]
[m3]
[Ws]
[J/Kmol]
Allgemein
• Luftfeuchte = Gehalt an Wasserdampf
• Luft löst Wasser nicht
Gesättigte Luft
partialdruck des Wasserdampfes = Sättigungsdampfdruck zur betrefenden Temp
Taupunkt
Relative Luftfeuchte = 100%
30.14.1 Absolute Luftfeuchte
ϕ =
V
m
ϕ
m Dampf
V
: Volumen
[m3]
: Masse Dampf
: Abs. Luftfeuchte
[g]
[g/m3]
30.14.2 Relative Luftfeuchte
:1.402 für Luft (Mende Simon p122)
ϕ
rel
=
ϕ
ϕ
max
=
p
p sattigung

ϕ
ϕmax
p
psättigung
siehe auch Benedetti 14.07
Seite: 17/57
: Abs. Luftfeuchte [g/m3]
: Max. abs. Luftfeuchte
[g/m3]
: partialdruck des Wasserdampf.
[pa]
: Sättigungs Dampfdruck
[pa]
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
30.16 Wärmestrahlung
Mende Simon p.319
30.15 Wärmetransport
Konvektion
Wärmeübertragung durch Matrialstransport
Man unterscheidet:
n Freie Konvektion
Durch Temperatur und damit Dichteunterschied
n
Erzwungene Konvektion
Durch Pumpen
Wärmestrom
P=
dQ
dt

= Q
P=
dm
dt
⋅ c⋅ ∆T
P
m
c
: Leistung
[W]
: Masse
[kg]
: Spezifische Wärmekapazität
[J/ (Kg K)]
∆T : Temperaturdifferenz [K]

: Wärmeenergie Änderung
Q
Wärmestrom=Energiestrom
=>
Die pro Zeiteinheit transportierte
Wärme(Energie)
Wärmeleitung
Imstationäre Zustand gilt:
P= λ
T1

λ
: Wärmeleitungskoeffizent
m)]]
MENDE SIMON p.127
A:
: Querschnitt [ m2 ]
l
: Stablänge [ m ]
∆T : Temperaturdifferenz [K]

P= Q
A
⋅ ∆T

α +ρ+ τ =1
Emisionsvermögen eines Körpers
ε ( λ , T) = α ( λ , T)
ε=α
Planckisches Strahlungsgesetz
(Spektralverteilung eines schwarzen Körpers ε=α=1)
2 π ⋅ h ⋅ c2 ⋅ A
dP =
A
Wärmetransport innerhalb eines Stoffes ohne Matrialtransport
α(λ)
ρ(λ)
τ(λ)
λ
α(λ,T)
ε(λ,T)
λ
T
h
Auftreffen von Strahlung (Anteile)
λ5 ⋅ e
h⋅ c
λ ⋅ k⋅ T
−1
λ
k
c
T
A
dλ
T2
[W/(K
Stefan-Bolzmann-Gesetz
T
(Spektralverteilung eines schwarzen Körpers ε=α=1)
Tu
Bei Bestrahlung von der Umgebung
∆ P = ε ⋅ σ A( T − Tu
4
4
)
Wärmeübertragung durch elektromagnetische Strahlung
P = α ⋅ A ⋅ ∆T
P = k ⋅ A ⋅ ∆T
∆T
P=
R
Fest

R=
A⋅ λ
A:
l
∆T
: Wärmeübergangszahl
[W/(m 2
: Wärme Leitwiederstand
: Wärmedurchgangszahl
[ W/(m 2K)]
: Querschnitt [ m2 ]
: Stablänge [ m ]
: Temperaturdifferenz [ K ]
[ K/W ]
A
σ
T
Tu
P
∆P
ε
Luft
∆T
α
K)]
R
k
P/m
P = ε ⋅ σ ⋅ A ⋅ T4
Wärmestrahlung

P= Q
: Absorptionsgrad
(schwarz=1)
: Reflexionsgrad
(weiss=1)
: Transmisionsgrad
: Wellenlänge
[m]
: Absorptionsgrad
: Emissionsgrad (Senkrecht zur Fläche)
: Wellenlänge
[m]
: Temperatur
[K]
: Plancksche Wirkungsquantum
6.625⋅10-34
[Js]
: Wellenlänge
[m]
: Bolzmankonstante 1.39⋅10-23 [J/K]
: Lichtgeschwindigkeit 2.998⋅108 [m/s]
: Temperatur
[K]
: Fläche
[m2]
: Stefan-Bolzmann-Konst
[Wm -2K-4]
-8
-2 -4
σ:=5.67⋅10 Wm K
: Absorbierende Temperatur
[K[
: Umgebungstemperatur
[K]
: Leistung
[W]
: Abgestrahlte Leistung
[W]
: Emissionsvermögen
Wiensiches Verschiebungsgesetz
λ
max
⋅ T = K = 2.8978mmK
30.16.1 Strahlungsflussdichte
Mende Simon p.274
ϕ =
φ
A⊥
Für die Sonne gilt:
ϕ=S=1.37E3 W/m 2
ϕ
φ
A⊥
S
: Strahlungsflussdichte
: Strahlungsfluss
: Bestrahlte Fläche
: Solarkonstante
Q
t
φ
: Strahlungsenergie
: Zeit
: Strahlungsfluss
[W/m 2]
[W]
[m2]
[W/m 2]
30.16.2 Strahlungsfluss
φ =
Autor: M.Drifte
Seite: 18/57
Q
t
=P
[J] [Ws]
[s]
[W]
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
30.16.3 Gleichgewichts Temperatur
T0
εe
εs
As
A sε sϕ s = A e ε e T0
Ae
: Gleichgewichtstemperatur
: Emisionsgrad Empfänger
: Emisionsgrad Sender
: Fläche der einfallenden
Energierstrahlen
: Oberfläche des Körpers
[K]
[m2]
[m2]
30.16.4 Abkühlung ohne Wärme einstrahlung
T=
(
1
T03
+ 3 Amσ⋅ cε t
)
−
1
3
T0
A
t
m
c
T
Autor: M.Drifte
: Temperatur am Anfang
[K]
: Oberfläche des Körpers
[m2]
: Abkühlzeit
[s]
: Masse
[kg]
: spezifische Wärmekapazität
[J/kg K]
: Endtemperatur
[K]
Seite: 19/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
31.1.2 Flüssigkeitspendel
31. Schwingungen
Kreisfrequenz
ω0=
31.1 Ungedämpfte Schwingung
x
D
m
ω0
ϕ0
A
Bewegungsgleichung
x + ω 20 ⋅ x = 0
Kreisfrequenz
Frequenz ist unabhängig von der
ω 20 =
2 D Lage. Dh. von der Schwerkraft.
m
: Auslenkung [m]
: Federrate [N/m]
: Masse [Kg]
: Kreisfrequenz
[Hz]
: Phase (Anfangsbed.) [rad]
: Amplitude(Anfangsb.) [ ]
δ
m
g
A
A
2⋅ A⋅ δ ⋅ g
m
: Dichte
: Gesamtmasse
: 9,81
: Querschnittsfläche
[Kg/m3]
[Kg]
[m/s 2]
[m2]
m
31.1.3 Doppelmasse
Bewegungsgleichung
Periode
T0 =
2π
ω0
D
m
Frequenz,Eigenfrequenz
f0 =
1
T
ω0
2π
=
D
Gleichphase
Amplitude f(t)
x( t ) = A ⋅ cos( ω 0 t − ϕ 0 )
v0
ω0
sin( ω 0 t )
v 20
cos( ϕ ) =
sin( ϕ ) =
tan( ϕ ) =
ω
2
0
J=
(Ort)
(Geschwindigkeit)
x0
A
ε +
D*
J
ε = 0
ω0=
Autor: M.Drifte
D∗
J
[m]
[rad]
[rad]
[Kg]
[Kgm2]
r
ϕ2
D2
D1
m⋅ r2
m ⋅ x = − A ⋅ δ ⋅ g ⋅ x
Kreisfrequenz
ω0=
0
m
D3
m
δ
m
g
A
: Dichte [Kg/m3]
: Gesammtmasse [Kg]
: 9,81 [m/s2]
: Querschnittsfläche [m2]
A⋅δ ⋅g
m
A
m
δ
x
[ ]
Nm
rad
D*
: Federrate
ε
: Winkelbeschleunigung
[Rad/s]
: Massenträgheitsmoment [ Kgm2 ]
J
Kreisfrequenz
1
2
:Radius
:Auslenkung
:Auslenkung
:Masse
:Trägheitsmom.
31.1.4 Hohlkörper in Flüssigkeit
31.1.1 Drehpendel
Bewegungsgleichung
6D
m
Bewegungsgleichung
v0
A⋅ ω 0
v0
x0 ⋅ ω
ω2=
m
D2
Massenträgkeitsmoment:
x( t = 0) = x 0
x ( t = 0) = v 0
Anfangsbedingungen
A 2 = x 20 +
Gegenphase
ω1=
2D
m
D3
m
D1
Kreisfrequenz
x
r
ϕ1
ϕ2
m
J
r
ϕ 2 + (2ϕ 2 − ϕ 1 ) 2mD = 0
x=0
= x 0 cos( ω 0 t ) +
ϕ1
ϕ 1 + (2ϕ 1 − ϕ 2 ) 2mD = 0
ε
Seite: 20/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
31.3 Mathematisches Pendel
31.1.5 Schiefer Wagen
Bewegungsgleichung
ϕ +
Kreisfrequenz
ω =
2
0
D
m
s
Anfangsbedingungen:
m⋅ g sin ( α )
x0 =
2 ⋅ s ⋅ g sin( α )
Amplitude:
A=
x 20 +
x 20
ω
2
0
D
sin( ϕ ) = 0
ϕ +
g

α
g

m
Bewegungsgleichung
31.2 Zusammenschalten von Federn
=
1
D1
+
1
D2
+ ...
D1
ϕ +
D2
ϕ +
D1
m⋅ g⋅ s
JA
g
: Gewichtskraft

: Stangenlänge
ϕ
: Auslenkwinkel
siehe auch Benedetti p.10.05
siehe auch Mede Simon p.253
D2
m⋅ g⋅ s
JA
ϕ = 0
Kreisfrequenz
ω0=
mgs
JA
Trägheitsmoment
J A = J Sp + m ⋅ s2
Autor: M.Drifte
[kg]
[m]
[rad]
Seite: 21/57
Aufhängepunkt
ϕ
Schwerpunkt
s
sin( ϕ ) = 0
Für kleine Auslenkung sin(ϕ)≈ϕ
Parallel-Schaltung
D = D1 + D 2 + ...
FG=mg
31.4 Physikalisches Pendel
M = s ⋅ sin( ϕ ) ⋅ FG
1
D
Ff
mg sin α
Drehmoment
Serie-Schaltung

ϕ = 0
Frequenz
ω0=
x0
ϕ
Für kleine Winkel sin(ϕ)≈ϕ
g
a
D
x 0 = v 0 =
m
g

FG=mg
Ruhelage
JA
: Trägheitsmoment
[kg m2]
JSp
: Trägheitsm. im Schwerpunkt [kg m2]
m
: Masse
[kg]
ϕ
: Auslenkwinkel
[rad]
ω
: Kreisfrequenz
[ 1/rad]
g
: Gravitationsbeschl. 9.81
[m/s 2]
FG
: Gewichtskraft
[N]
s
: Abstand Drehpunkt-Schwerpunkt [m]
siehe auch Benedetti p.10.05
siehe auch Mede Simon p.253
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
47.5 Potential (Volt)
47. Grundlagen
U=
47.1 Beweglichkeit der Ladungsträger
b=
ν
E
b
:Beweglichkeit der Ladungsträger
ν
:Driftgeschwindigkeit
E:
:Feldstärke
Q
I
n
q
A
b
E
: Ladung
[C]
: Strom [A]
: Freie Elektronen [ ]
: Elementarladung 1.602E-19
: Querschnitt
[m2]
: Beweglichkeit der Ladungsträger
: Feldstärke
[V/m]
ν
: Driftgeschwindigkeit
2
[m ]
I = n⋅ q⋅ A⋅ ν = n⋅ q⋅ A⋅ b⋅ E

F  F
E=
E=
Q
Q
[V/m]
2
[m ]
Vs
J
γ
b
n
q
: Stromdichte
[A/m2]
: Spez. Leitwert
: Beweglichkeit
: Freie Elektronen [ ]
:
J= γ ⋅E
E
: Feldstärke
: Spannung
: Energie
: Ladung [C]
[V]
[Ws] [J]
Q
E
: Ladung
: Feldstärke
W
t
P
U
I
: Energie
: Zeit
: Leistung[W]
: Spannung
: Strom [A]
η
Pab
Pauf
: Wirkungsgrad
: Leistung abgegeben
: Leistung aufgenommen
[C]
[N/C] [V/m]
47.7 Leistung(Watt)
∆W
∆t
P = U⋅ I
P=
[Ws] [J]
[s]
[V]
47.8 Wirkungsgrad
47.3 Stromdichte
I
J=
A
J = n⋅ q⋅ b⋅ E
U
W
Q
47.6 Feldstärke
Vs
47.2 Strom(Ampere)
∆Q
I=
∆t
W
Q
η =
Pab
Pauf
[]
[W]
[W]
V
[m ]
47.4 Energie/Arbeit (Joule)
W = F⋅ s
W = Q⋅ U
W = U⋅ I⋅ t
W
t
Stromkosten K
K = k⋅W
Autor: M.Drifte
W
F
s
Q
U
I
t
k
K
: Energie
: Kraft
: Weg
: Ladung
: Spannung [V]
: Strom
: Zeit
: Kosten pro Ws
: StromKosten
[J] [Ws] [Nm]
[N]
[m]
[C]
[A]
[s]
[Fr/Ws]
[Fr]
Seite: 22/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
47.15 VRD
47.10 Zweipole
Aktiv wirkender Zweipol
Gibt Energie ab
Passiv wirkender Zweipol
Nimmt Energie auf
C ,B
U
U = C ⋅ IB
:Bauteilspezifisch
47.11 Passiver Zweipole
47.11.1 Widerstand / Glühlampe
I
Widerstand
I
U
R=
I
47.16 Temperaturabhängigkeit von Widerständen
∆U
Für „ kleine“ Temperaturen gilt
∆I
R ϑ = R 20 ⋅ ( 1 + α ⋅ ∆ ϑ )
differentieller Widerstand
r=
∆U
∆I
ρ
l
A
R
U
I
Leitungswiderstand
ρ ⋅l
R=
A
: Spezifischer Widerstand
: Leiterlänge
[m]
: Querschnitt
: Widerstand
: Spannung
: Strom [A]
Für „grosse“ Temperaturen
[m2]
[Ω]
[V]
{
R ϑ = R 20 ⋅ ( 1 + α ⋅ ∆ ϑ ) + ( β ⋅ ∆ ϑ
2
)}
:Temperaturdifferenz (<150K)
:Temperaturkoeffizient
∆ϑ
α
:Temperaturdifferenz (>150K)
:Temperaturkoeffizient
47.20 Aktiver Zweipol
47.21 Spannung und Stromquelle
47.12 Diode
differentieller Widerstand
Spannungsquelle:
IF
∆U
r=
∆I
Ri =
US
U0
Ik
Ri =
∆U
∆I
I
Ri
U
U0
UF
Stromquelle
47.13 Kaltleiter(PTC)
(α>0)
I0
R = f (ϑ ) = A ⋅ e
A ,B
ϑ
α
∆ R = R 20 ⋅ α ⋅ ∆ ϑ
U
∆ϑ
α
B
ϑ
R
Ri
:Bauteilspezifisch
:Temperatur in [K]
:Temperaturkoeffizent
U
ϑ
47.14 Heissleiter(NTC)
(α<0) (Negativ)
B
R = f (ϑ ) = A ⋅ e ϑ
A ,B
ϑ
α
R
:Bauteilspezifisch
:Temperatur in [K]
:Temperaturkoeffizent
ϑ
Autor: M.Drifte
Seite: 23/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
47. 22 Elektrolyse
47.21 Gesetz von Faraday
Masse des abgeschiedenen Stoffes
m = Ä⋅ Q = Ä⋅ I⋅ t
M
Ä=
z⋅ F
m:
Masse des abgeschiedenen Stoffes
[kg]
M:
Molare Masse
[kg/mol]
Q:
Ladung [C]
Ä:
elektrochem Äquivalent
z:
Wertigkeit
(Wie viele e- können abgegeben /
aufgenommen werden)
F:
Faradaykonstante
N Ae = 9.65 ⋅ 104
C
mol
47.22 Peltierelement (Kühlelement)
Wärmemenge
Q = Π ⋅ I⋅ t
Q
I
t
: Wärmemenge
: Strom [A]
: Zeit
[s]
[J]
Π ≈ 10− 3 CJ
47.23 Wellenlänge
In Luft und Vakuum
c
f
λ = c⋅ T
λ =
Autor: M.Drifte
c
f
λ
T
: Lichtgeschwindigkeit
: 3E8
: Frequenz
: Wellenlänge
: Periodendauer
[m/s]
[m/s]
[1/s] [Hz]
[m]
[s]
Seite: 24/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
48.3.2 E-Feld einer geladenen Kugel
48. Elektrostatik
Im inneren:
E= 0
Ausserhalb:
48.1 Elementarladung

E=
e = 1602
.
⋅ 10− 19 C
48.2 Elektrische Leitung im Vakuum (Glühemission)
j:
A:
WA
j = A ⋅ T 2 ⋅ e − k⋅ T
T:
k:
(k
W A:
= 1381
. ⋅ 10 − 23
Nm
K

Q
r
2 ⋅
4π ε 0 r r
r:
Elektronenemisionsstrom
Richardson-Konstante
(Materiealabhängig)
Temperatur und Kelvin
Bolzmankonstante
E
r
Kugelradius [m]
48.4 Verschiebungsarbeit in einem Stationären Feld
W = Q ⋅ U AB
Feldstärke zwischen 2 Platten
)
E=
Austrittsarbeit
(Material und Oberflächenabhängig)
U
s
s
48.2 Das Gesetz von Columb
Q1 ⋅ Q 2
r2

Q ⋅Q
F = 4 π1ε 0 ⋅ 1 2 2 ⋅
r
F=
1
4π ε 0
U:
Spannung [V]
E:
elek. Feldstärke [ m ]
Arbeit [Ws]
Ladung [As] [C]
W:
Q:
⋅

r
Q1
F:

r
r
ε0:
Bei mehren Punktladung müssen die
Kraftvektoren addiert werden.
Q:
48.5 Kraft zwischen Kondensatorplatten
Q2
F=
Kräfte zwischen ruhenden
Punktladungen im Vakuum
Influenzkonstante
ε

r
⋅
r
ϕ (r) =
Ladung [As]=[C]
E pot
Q0
Q
ϕ (r) =
4π ε 0 r
Probeladung Q0
Quelladung Q
dW
Q2
=
ds 2ε 0A
48.6 Potential einer Punktladung
2
= 8.854 ⋅ 10− 12 C
0
Nm2
48.3 Elektrisches Feld
 
 
F( r )
Q
E ( r , Q) =
=
Q0
4π ε 0 r 2
V
Bezugspunkt ist im Unendlichen
+Q0 Punkt im
unendlichen
+Q
ϕ (r)

r
48.3.1 E-Feld mehrer Punktladungen

E2

E1
Q1

E
Superposition oder Überlagerung der Felder.
Vek. Addition.
 

E = E1 + E 2
Q2
Autor: M.Drifte
Seite: 25/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
48.14 Kapazität
48.7 Feldfluss und Satz von Gauss
Φ
A
 
= A ⋅ E ⋅ cos(ϕ ) = E • A
ϕ
Feldfluss durch beliebige Fläche
Φ
A
=


∫ E • df
C=

E
Feldfluss durch Fläche A
C:
Kapazität [F]
Q:
Ladung [As]
U:
Spannung [V]
Serie geschaltet Kondensator tragen die
gleiche Ladung

A
A
A
Satz von Gauss
Φ
A
Q = C1 ⋅ U 1 = C 2 ⋅ U 2
48.9 Flächenladungsdichte σ
Plattenkondensator
Q
A
=Ladung [C] [As]
=Oberfläche [m2]
Q
A
48.10 Feld einer unendlich langen, geladen Geraden
σ =
1 λ
1
⋅
≈
2π ε 0 r
r
C = ε 0ε ⋅
r
C=
s
E(r )
Q
s
48.11 Feld einer unendlich ausgedehnten,ebenen, homogenen
Flächenladung
λ =
σ
σ
2ε 0
C=
x
48.12 Feld einer Doppelschicht
E Aussen = 0
E Innen =
EInnen
σ
ε0
2π ⋅ l ⋅ ε 0ε r
ln( r2 r1 )
Formelbuch S.59f
C
: Kapazität
[F]
ε0
: elek.Feldkonstante
εr
A
d
C
: Permitivitätszahl
: Oberfläche
: Durchmesser
: Kapazität
ε0
: elek.Feldkonstante
εr
A
d
r1
r2
C
: Permitivitätszahl [ ]
: Oberfläche
[m2]
: Durchmesser
[m]
: Radius innere Kugel
: Radius äussere Kugel
: Kapazität
[F]
ε0
: elek.Feldkonstante
εr
A
d
r1
r2
: Permitivitätszahl
: Oberfläche
: Durchmesser
: Radius innen
: Radius aussen
As
[ Vm ]
[]
[m2]
[m]
[F]
As
[ Vm ]
[m]
[m]
As
[ Vm ]
[]
[m2]
[m]
[m]
[m]
EAussen
EInnen
σ1
4 π ε 0ε r
1
1
r1 − r2
Zylinderkondensator
A
=Flächenladungsdichte
A
d
Kugelkondensator
Linienladungsdichte:
E ( x) =
Reelles C
Ideales C
Q = C tot ⋅ U
Q: Ladung inerhalb von A [As]
1
=
Q
ε0
E( r ) =
Q
U
σ2
A
48.13 Elektrisches Feld im inneren und an der Oberfläche eines Leiters
E Innen = 0
Autor: M.Drifte
E Aussen =
σ
ε0
Seite: 26/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
48.15 Energie im elektrischen Feld
W=
1
2
U2 ⋅ C
Energiedichte
W
V
ε ε
w = 0 r E2
2
w=
w=
dW
dV
Energie einer geladenen Kugel
2
W=
Q
8π ε 0 ε r R
C
U
W
V
W
: Kapazität
: Spannung
: Energie [J ][Ws]
: Volumen
: Energie [Ws]
[F]
[V]
w
: Energiedichte
[
ε0
: elek.Feldkonstante
εr
: Permitivitätszahl [ ]
E
: elek. Feldstärke
Q
R
:Ladung [As]
: Radius [m]
[m3]
Ws
]
m3
As
[ Vm ]
V
[m ]
48.16 Endgeschwindigkeit eines Ions/Elektrons in einer Ionen /
Elektronenkanone
v=
Q
2⋅ U
m
An der Grenze der Lichtgeschwindigkeit

m0 c 2 

v = c ⋅ 1− 
 QU + m0c 2 
Autor: M.Drifte
2
m
: Masse [Kg]
Q
: Ladung [C]
U
: Spannung
[V]
EKin
: Energie
[J]
Mende Simon p.225,327
Ladung eines Elektrons
Q=e=1.6021773E-19 C
Masse eines Elektrons
me=9.10939E-31 kg
Mende Simon p.394
c:
v-Licht=2.9979246E8 m/s
m:
Masse in ruhe [Kg]
Q:
Ladung [C]
U:
Spannung [V]
v:
Geschwindigkeit [m/s]
Seite: 27/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
49.5 Magnetische Feldstärke
49. Magnetismus

H=
49.1 Magnetische Flussdichte B (Induktion)
Die wirkende Kraft F auf einen Leiter der Länge
l im mag.Fluss B und einem Strom I.
F
B=
⋅ I
Einheit:
F
I
l
B
: Kraft
: Strom
: Strecke
: Flussdichte
[B] =
N
Am
=
N
 

F = I ⋅ (  × B)
Vs
m2
= Tesla
H=
H=
B = H⋅ µ
Einheit:
φ
B
A
H
µ0
A
: Fluss
: Flussdichte
: Fläche senkr. zu B
: Feldstärke
: 4π10-7
[Vs] [Wb]
[T] [Vs/m2]
[m2]
[A/m]
[Vs/Am]
Vs
Am
µ 0 = 1257
.
⋅ 10
− 6 Vs
Am
Autor: M.Drifte
d
I
2π ⋅ r
I⋅r
2π ⋅ ra2
H=
3.Aussenleiter
: Permeablitätszahl (mat. abhängig)
µ
: Permeablität
Vs
Am
I
2π ⋅ r
r2 ≤ r ≤ r3
H=
µr
I⋅ r
2 π ⋅ r12
2.Zwischenraum r1 ≤ r ≤ r2
4.Aussenraum
r
 = 2π r
H=
49.4 Permeabilität µ
µ = µ 0⋅µ

r
Magnetfeld in einer langen Koaxialleitung
1.Innenleiter
0 ≤ r ≤ r1
49.3 Magnetische Feldkonstante µ0
µ 0 = 4 π ⋅ 10 − 7
[A/m]
[A]
[T] [Vs/m 2]
Magnetfeld im Innern eines langen, geraden,
zylindrischen Leuters.
I
49.2 Magnetischer Fluss φ
Φ = B⋅ A
Allgemein


Φ = ∫ B • dA
H
: Feldstärke
Θ
: Durchflutung
B
: Flussdichte
H ist eine Rechenhilfsgrösse
Magnetfeld in der Umgebung eines langen,
geraden, zylindrischen Leiters.
S
B
l zeitg in Stromrichtung
Im homogenen mag. Feld
r
N⋅I
H=

[N]
[A]
[m]
[T] [Vs/m2]
α
F = I ⋅  ⋅ B ⋅ sin(α )
Θ = ⋅ H
Im inneren einer Kreisringspule
Kraftwirkung im homogenen mag.Feld:
Allgemein:

B
µ 0⋅µ
I r32 − r 2
⋅
2π r r32 − r22
r3 ≤ r ≤ ∞
H= 0
Magnetfeld im
1. r < a
Metallrohr
2. a ≤ r ≤ b
H= 0
I r 2 − a2
H=
⋅
2π r b 2 − a 2
Seite: 28/57
3. r>b
H=
I
2π r
a
b
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
49.7 Kräfte auf stromdurchflossen Leiter im magn. Feld
49.6 Gesetz von BIOT-SAVART
Für l>>a gilt:

Q ⋅ v ⋅ sin(α )
H= H =
4π ⋅ r 2

Q
 
H=
⋅ (v × r)
4π ⋅ r 3

v
P
Q
Q
v
α

r
+
F

a
: Punktladung
: Geschw. der Punktladung
sin α
⋅ dl
r2

 
I
dr × r
H=
⋅
⋅ dl
4π
r3
I
⋅
4π
F

H
[As]
[m/s]
49.8 Kraft auf eine bewegte Ladung im magn. Feld (Lorenzkraft)

 
F = Q ⋅ ( v × B)
Allgemein:
H=
I2
I1
l
F ≅ 0.2 ⋅ 10− 6 AN2 ⋅ ⋅ I1 ⋅ I 2
a
Das Gesetz von BIOT-SAVART
∫
[Q]
[v]
= As (Ladung)
=m/s (Geschw. der
[B]
=

B

F
+
Ladung)
∫

v

v
Q
Q
-

B

F
Vs
(Flussdichte)
m2

49.9 Durchflutungsgesetz / Magnetische Spannung
Magnetfeld eines dünnen, geraden Leiters
beliebiger Länge.
Θ =
I
H=
( cos(α 1 ) − cos(α 2 ))
4π ⋅ a
Θ =
Spezialfall: Unendlich langer Leiter
I
H=
2π ⋅ a
I
2⋅ r
Autor: M.Drifte

∫

B • ds
µ
Θ = N⋅I
Θ = ⋅ H
Magnetfeld im Mittelpunkt einer
kreisförmigen,dünnen Leiterschleife
H=

∫ H • ds
Θ
B
H
ds
I
N
µ
: Durchflutung
: Flussdichte
: Feldstärke
: Intergrationsweg
: Strom
: Windungen
: Permeablität
[A]
[Vs/m2]
[A/m]
[m]
[A]
[]
[Vs/Am]
H
I
r
I
Seite: 29/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
49.12 Berechnen des Arbeitspunktes
49.10 Hysterese eines Ferrormagn. stoffes
Allgemein
Remanenzflussdichte
Koerzitivfeldstärke
Br
-Hc
Daten aus der Neukurve: (erst Magnetisierung)
Anfangspermeablität
µa -> H=0
maximale Permeablität
Magnetostriktion:
Werkstoffarten:
Harte Stoffe:
Weiche Stoffe:
µ max =
Br
Neukurve
( )
ALuft
H
Hc
-Hc
B
H max
Auslesen aus Magnetisierungskurve
Θ = H Fe ⋅  Fe + H L ⋅  L
BL
= H Fe ⋅  Fe + µ 0 L
B
Hystereseschleife
B* =
-B r
Hc gross
Hc klein
ALuft
Magentisierungskurve oder Kommutierungskurve bei
magn. weichen Stoffen: (Hc gering)
weicht nur geringfügig von der Neukurve ab.
B*
= AEisen (BL=BFe) gleicher Querschnitt
B * µ 0 ⋅  Fe
=
L
H*
Änderung der Abmessung des Stoffes.
µ0⋅Θ
L
H* =
Θ
 Fe
≠ AEisen
(BL≠BFe) unterschiedlicher Q.sch.
µ 0 ⋅ Θ AL
Θ
H* =
B* =
⋅
 Fe
L
AFe
Sie wird für die technischen Brechungen verwendet.
BAP
HFe AP
µ0
lFe
Θ
H
N
I
AFe
AL
Magnetischer Leitwert
Λ =
1
Rm
Magnetische Spannung
Vm = H ⋅  = Θ
Vm = N ⋅ I = Θ
Rm
: Magn. Widerstand
A
[ Vs
=
1
Henry ]
Λ
: Magn. Leitwert
Vs
[ A
= Henry ]
Θ
Φ

µ
Vm
H
N
I
: Durchflutung
: Fluss
: Länge
: Permeablität
: A = 1.256 Gilbert (Gb)
: Feldstärke
: Windungszahl
: Strom
[A]
[Vs] [Wb]
[m]
[Vs/Am]
H*
HFe
: mit Länge des Luftspaltes
[m]
: 4π10-7
[Vs/Am]
: mit. Länge des Eisens
[m]
: Magnetische Spannung
[A]
: Feldstärke
[A/m]
: Windungszahl
[]
: Strom
[A]
: Querschnitt Eisen
[m2]
: Querschnitt Luft
[m2]
lL
Θ = N⋅I
Magnetischer Widerstand

Rm =
µ⋅A
Arbeitspunkt
BLuft=f(HFe)
49.10 Magnetische Kreise
Θ
Rm =
Φ
BFe=f(HFe)
B
Θ = ⋅ H
49.12.1 Dauermagnet
Berechnung des Arbeitspunktes
Schnittpunkt (Luftspaltgerade,Magnetkurve)
BFe − µ 0 ⋅  D ⋅ AL
=
H Fe
 L ⋅ AD
AL
AD
lD
lL
[A/m]
[]
[A]
AL
D
B
B Fe
H Fe
L
BFe
AD
: Fläche Luftspalt
[m2]
: Querschnittsfläche Magnet [m2]
: Länge Magnet
[m]
: Länge Luftspalt
[m]
HFe
H
49.12.1 Achtung bei schräger Schnittfläche
49.11 Umrechnungen
1T =
Wb
m2
=
Vs
m2
4
= 10 G
1Wb = 1Vs = 108 M
1
1Gb = 1.256
A
Autor: M.Drifte
Wb
T
M
G
Oe
Gb
= Weber
= Tesla
= Maxwell
= Gauss
= Oersted
= Gilbert
Bei schräger Schnittfläche ist der Eisenquerschnitt
AFe nicht gleich dem Luftquerschnitt AL. d.h die
Schnittfläche ist nicht gleich der aktiven Fläche.
Dies ist insbesondere bei grossem Luftspalt der Fall.
Der Grund liegt darin, dass die Feldlinien senkrecht
das Eisen verlassen.
AFe
F
F
AL
Seite: 30/57
L
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
49.15 Gegenseitige Induktion („Trafo“)
49.13 Bewegungsspannung
  
u L = B • ( v × )
B
V
uL = B⋅ v ⋅ 

I
v
B
l
v
uL
: Flussdichte
: Länge Stab
: Geschwindigkeit
: Ind. Spannung
[T][Vs/m2]
[m]
[m/s]
[V]
Flussverkettung
Ψ 1 = N 1 ⋅ φ 1 + N 2 ⋅ φ 12 = Ψ 11 + Ψ 12
Ψ 2 = N 2 ⋅ φ 2 + N 1 ⋅ φ 21 = Ψ 21 + Ψ 22
Gegeninduktivität
L12,L21
Ψ
M = L12 = L 21
L12 =
49.14 Selbstinduktion
Für Sinusgrossen gilt:
Selbstinduktive Spannung
u( t ) = L ⋅ ω ⋅ cos(ω t )
dψ m N ⋅ dφ
u=
=
dt
dt
di
µ ⋅A
2
u= N ⋅Λ
Λ =
dt

di
u= L
dt
Selbstinduktivität
L=
ψ
m
I
L = N2 ⋅ Λ
N⋅ φ
L=
I
µ ⋅A
Λ =

Ψ 12
I2
(M ist veraltet)
L 21 =
= [ Henry H] (Gegeninduktivität)
= [Vs] (Verkettungsfluss )
Ψ 21
I1
Gegeninduktivität von zwei einlagige
Zylinderspulen nebeneinander auf einem Kern
L12 =
µ ⋅ N1 N 2 ⋅ π d
4

N2
2
d
N1
Gegeninduktivität von zwei Doppelleitungen
L
Λ
I
N
φ
: Induktivität
: Magnetischer Leitwert
: Strom
: Windungen
: Fluss
L12 =
[Henry]
[A]
[]
[Vs]
µ 0⋅ 
a2 
ln 1 + 2 
2π
b 


b
a
Kopplungsfaktor
k =
Bei ideeller Kopplung (k=1) gilt:
L12
L12 =
L1 ⋅ L 2
Feste Kopplung:
Lose Kopplung
Streufaktor
L1 ⋅ L 2
k≈1
k < 0.8
δ = 1− k2
Autor: M.Drifte
Seite: 31/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
49.19 Kräfte im mag. Feld
49.16 Streuung ,Skineffekt, Wirbelstrom
Wirbelstrom ohne Lamenierung
Allgemein
2
PWirbel = I wo
⋅R
Iwo:
I 2wo
n
PWirbel =
Wirbelstrom ohne Lamenierung
Iwm:
I wm =
∫
I wo
n
L ⋅ I2
=
=
φ 2
2⋅ µ ⋅ A
=
1
2
H⋅ µ ⋅ ⋅ A =
B⋅ H =
1
2
B2  ⋅ A
µ
1
2
W = F⋅ 
µ ⋅ H2
Die Gesamte Energie
: Energie
: 4π10-7
: Kraft
: Fläche Luft
: Feldstärke
: Flussdichte
: Fluss
[J]
[Vs/Am]
[N]
[m2]
[A/m]
[T] [Vs/m 2]
[Vs] [Wb]
W = w ⋅ dV
Verluste:
Eisenverluste=Hysterese+Wirbelverluste
V
f
dW
=
⋅V
dV
dW
⋅ V⋅ f
dV
B
Br
-Hc
Hc
Hystereseschleife
: Energie pro Volumen [Ws/m3] [J/m3]
: Volumen
: Frequenz
[m3]
[Hz] [1/s]
I
dW
ds
F=
1
2
F=
Φ2
2⋅ A⋅ µ
F=
-Br
B
A⋅ B
2⋅ µ 0
H 2 µ 0A
0
Für die berechnung des Arbeitspunktes B (oder
H) siehe 49.12 Berechnung der Arbeitspunktes
F
A
µ0
F
A
H
B
φ
: 4π10-7
: Kraft
: Fläche Luft
: Feldstärke
: Flussdichte
: Fluss
[Vs/Am]
[N]
[m2]
[A/m]
[T] [Vs/m 2]
[Vs] [Wb]
Sättigung: Punkt bei welchem das B mit µ
steigt.
( )= µ .
B
H
Kommutierungskurve: auch
Magnetierungskurve genannt :entsteht durch
Aufnahmen mehrere hysteresenkurven mit
unterschiedlichen Höchstwerten.
H
49.21 Ablenkung von Elektronen im Magnetischen Feld
r=
H
Siehe auch 53.1 Transformator
Autor: M.Drifte
F

2
Magnetostriktion: Änderung der
geometrischen Abmessung im Magnetfeld.
Neukurve: Kurve die entsteht wenn ein nicht
magnetisierter ferromagnetischer Stoff
magnetisiert wird.
Koerzitivfeldstärke: Das Hc in der Hystereseschleife bei welchem das B Null wird.
Remanenzflussdichte: Das Br in der
Hysterese-schleife bei welchem das H Null
wird.
Im Wechselfeld
dW
dV
F
49.20 Fachbegriffe
siehe auch 53.1 Transformatoren
49.18 Eisenverluste
Verluste ist die komplette Fläche unter der
hysterese Kurve
PVerlust =
l
⋅ ⋅ I1 ⋅ I 2
a
Kraft an Grenzflächen
F=
W
µ0
F
A
H
B
φ
B2
E
=
2⋅ µ V
PVerlust
N
A2
I2
a
Im nicht linearen Feld
w=
I
I1
F ≅ 0.2 ⋅ 10− 6
siehe auch 50.2
Im linearen Feld
1
2
S
B
Für l>>a gilt:
49.17 Energie im mag. Feld
1
2
N
F = i ⋅ B ⋅  (senkrecht)
Wirbelstrom mit Lamenierung
Siehe auch 53.1 Transformator
W=
α


 → 
F = i  d× B


0
Wirbelstrom mit Lamenierung
Seite: 32/57
m⋅ v
q⋅ B
v:
m:
q:
B:
r:
: Geschwindigkeit
: Masse der Ladung
: Ladung
: Flussdichte
: Radius
[m/s]
[Kg]
[As]
[T]
[m]
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
49.22 Kreisstrom
49.27 Magnetisierung

 
B = µ 0 ( H + M)


M= χ m⋅H
NI
H=
N⋅ I⋅ r
2
r
3
2 ⋅ (r 2 + z2 ) 2
ur = 1+ χ
z
m
χ:
M:
Magn. Suszeptibilität
Magnetisierung durch Ausrichtung
magn. Dipole
Temperaturabhängigkeit des Paramagnetismus
χ
m
~
1
T
0
49.23 Zylinderspule
H=

z + 2
N⋅ I 

2⋅   2
r + z+

(
z−
−
)
 2
2

2
(
r2 + z −
)
 2
2





r
dH
z
z=0
I
I
 N I
49.24 Helmholzspule

N ⋅ I⋅ r2 
1
H=

2
2
 r + z +
(
b
2
)
3
2
+
1
(
r2 + z −
b
2
)
3
2




r
r
0
I⋅ N
-
b
2
b
+
b
2
I⋅ N
49.25 Magnetisches Moment



j = I⋅ A⋅ n = I⋅ A
  

 
M = j× B
M = I ⋅ (A × B)
j:
n:
A:
B:
M:
magnetisches Moment
[Am2]
normalen Vektor
Fläche um den der Strom fliesst [m2]
Fluss
[T]
Drehmoment
[Nm]
49.26 Spannungsstoss
Die über die Zeit integrierte Spannung nennt
man Spannungsstoss. Sie ist unabhängig von
der Geschwindigkeit:
t1
∫ u ⋅ dt = N∆ Φ
t= 0
Autor: M.Drifte
Seite: 33/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
50.3 Widerstand
50. R L C-Elemente
Strom
50.1 Kondensator
Spannung
Strom:
C
i = C du
dt
Spannung
1
i ⋅ dt + U 0
C t∫0
u=
Energie
W=
Kapazität
1
2
C⋅ u
2
Q = C⋅ U
Wechselspannung
Z=
i
Leistung
u
t1
i:
C:
u:
W:
t0:
t1:
U0:
Q:
Strom i(t) [A]
Kapazität [F]
Spannung u(t)
[V]
Gespeicherte Energie
Zeit zum Zeitpunkt 0
Zeit zum Zeitpunkk 1
Spannung zum Zeitpunkt 0
Ladung
[Ws]
[s]
[s]
[V]
[As]
L
di
u= L
dt
i=
1
u ⋅ dt + I 0
L t∫0
Energie (Integral i*u)
W=
1
2
L ⋅ i2
Wechselspannung
i:
R:
u:
W:
P = U⋅ I
Strom i(t) [A]
Widerstand
[Ω]
Spannung u(t)
[V]
Abgegebene Leistung
Umrechnung Strom-Spannungsquelle <=>
R1 = R 2
Uq = I q ⋅ R 2
Uq
I
i
U q 2 = U q1
Strom i(t) [A]
Induktivität
[H]
Spannung u(t)
[V]
Gespeicherte Energie
Zeit zum Zeitpunkt 0
Zeit zum Zeitpunkt 1
Strom zum Zeitpunkt 0
[Ws]
[s]
[s]
[A]
U
I
Uq1
R 1R 3
R2
R 33 = R 1 + R 2 +
R 1R 2
R3
Ri
Uq2
R2
U
U
1
R R
R 11 = R 2 + R 3 + 2 3
R1
R 22 = R 1 + R 3 +
I
R1
Umrechnung Stern - Dreieck
HP [/HOME/ALGE/ELEKTR]
Z = jω L
R2
U
R2
R1 + R 2
Die Spannung eilt dem Strom 90° voraus
I
Iq
R1
Uq
R1
R i = R1 R 2
u
i:
L:
u:
W:
t0:
t1:
I0:
[W]
50.4 RCL-Schaltungen
50.4.1 R - Schaltungen
Umrechung Spannungsquelle mit
Spannungsteiler
Strom
t1
u
u = i⋅ R
Die Spannung eilt dem Strom 90° nach
50.2 Spule
i
u
R
Iq =
1
jω C
Spannung
R
i=
1
R1
R22
R33
R2
R3
3
2
3
2
R11
Umrechnung Dreieck - Stern
R1 =
R 22 R 33
R 11 + R 22 + R 33
R 11R 33
R2 =
R 11 + R 22 + R 33
R3 =
Autor: M.Drifte
Seite: 34/57
R11R 22
R 11 + R 22 + R 33
1
1
R22
R1
R33
R3
3
R11
2
3
R2
2
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
50.4.3 RL-Schaltung
Laden
Laden
i(t)
i( t ) =
Uq
R
e
t
RC
−
i0 =
uq
R
t


−
RC
uC = Uq ⋅  1 − e 


u R = Uq ⋅ e
−
t
RC
(
t = − ln
Uq
uC
τ = R⋅ C
u L = Uq ⋅ e
I0
Laden
Entladen
t= −
1
) ⋅ R⋅ C
2
3
4
5
6
7
8
9 10
t= −
t/τ
I0

−
i = − i0 ⋅ e
t
−
RC
u0
R
Laden
L  uL 

⋅ ln
R  U q 
L
R
⋅ ln
(
i = i0 ⋅ e
Spannung uC
Laden
u 
t = − ln C  ⋅ RC
 u0 
1
Bei Belastetem Kondensator siehe 50.4.1
Umrechnung Spannungsteiler
2
3
4
R1
Uq
R2
Entladen
u0
Uq
5
6
7
8
9 10
t=
U q − i ( t )⋅ R
Uq
t⋅ R
L
1
)
2
3
Entladen
I0
4
5
6
7
8
9 10
t/τ
Spannung uL
Laden
Uq
t⋅ R
−
L
i0 =
τ = LR
u0
R
1
2
3
4
Entladen
5
L  uL 
⋅ ln

R  U0 
6
7
8
9 10
t/τ
u0
t/τ
Bei Belasteter Spule siehe 50.4.1Umrechnung
Spannungsteiler
i(t)
C
−
uL
Strom
t⋅ R
−
L
u R = u L = − U0 ⋅ e
t 

R⋅ C 
i0 =
i0 =
R
Uq
Entladen
Entladen
uC = u R = u0 ⋅ e
L
u0
R
t⋅ R


−
u R = Uq  1 − e L 


Strom
 i( t ) ⋅ R 
 ⋅ R⋅ C
t = − ln
 Uq 
Uq − UC
C
R
Uq
i
t⋅ R
Uq 

−
i=
 1− e L 

R 
50.4.2 RC-Schaltungen Kories p.23
R1
Uq
uC
i
R2
L
uL
Bemerkung:
Wenn der Kondensator bereits vorgeladen ist, dann ist in obigen Formeln Uq=Uq1UC0 und Uc=Uc0+Uc1
Autor: M.Drifte
Seite: 35/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
51.1.6 Bandbreite
51. Schwingkreis
B= ω
51.1 Serie-Schwingkreis
51.1.1 Resonanzfrequenz
1
LC
ω0=
Die Dämpfung R hat keinen Einfluss auf
die Resonanzfrequenz
1
f0 =
2 π LC
R
I2 ⋅ XL XL
Q= 2
=
I R
R
L
ω L
Q=
Q= 0
R
R LR
1
R
C
UR
UC
I Ser =
UL
XC+XL
UX
Z
U
: Kreisgüte
: Dämpfung
V= −∞
V= 0
V= +∞
IRes:
UX:
UR:
U 
ϕ = arctan X 
 UR 
[]
[]
Spule:
UL = U ⋅
51.1.4 Verstimmung
ω
ω
v=
− 0
ω0 ω
Normierte Frequenzabweichung
⇒
⇒
⇒
ϕ = − 90°
ϕ = − 0°
ϕ = + 90°
Strom bei Resonanz
Spannung über XC+XL
Spannung über R
1
Ω
ω0
ω
v
: Kreisfrequenz (res.)
: Ist Frequenz
: Verstimmung
[]
2πf
2πf
 1
= ω 0 ±
+
 2Q

 1  
1+ 

 2Q  
2
R
ω
1
⋅ Q⋅
2
ω0
1 + ( Qv)
UR
C
UC
L
I
UL
U
Bei Resonanz
UL = U ⋅ Q
Bei der Verstimmung v=1/Q besteht ein
Phasenverhältnis von 45°
Kondensator:
[Hz]
[Hz]
51.1.5 Grenzfrequenz
UC = U ⋅ Q ⋅
1
ω
2
⋅ 1 + ( Qv)
ω0
?
B
u
3dB
ω g- ω 0 ω g+
Autor: M.Drifte
2
51.1.10 Spannung über der Induktivität und Kapazität
Relative Frequenzabweichung
g±
1 + [ Qv]
 I 
ϕ = arccos

 I Re s 
1
d= σ =
Q
ω
IR: Resonanzstrom
IR
tg( ϕ ) = Q ⋅ v
UR
Verlustfaktor:
v= Ω −
[Hz]
[Hz]
[Hz]
51.1.9 Phasenverschiebung
I
R
Q
D:
1
2Q
2πf
2πf
2πf
ZSer = R ⋅ [ 1 + jQv]
51.1.3 Dämpfung oder Verlustfaktor
D=
g−
3dB Grenze
ω0
: Kreisfrequenz (res.)
ωg+
: Obere Grenzfrequenz
ωg: Untere Grenzfrequenz
Q
: Kreisgüte
[]
ω0
Q
51.1.7 Impedanz
L
I
U
L
C
Dämpfung:
g+
=
51.1.8 Der Stromverlauf
51.1.2 Kreisgüte
Q=
− ω
ω
Seite: 36/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
51.2 Parallelschwingkreis
51.2.1 Resonanzfrequenz
51.1.11 Frequenz für die Maximalwerte für UL und UC
1
2
fL =
⋅
2π
2 ⋅ L ⋅ C − R 2 C2
Die Abweichung zur Stromresonanz beträgt
weniger als 2.5% wenn R ≤ 0.1*XResonanz.
fC =
1
LC
ω0≅
2
1
1
R
⋅
⋅
2π
LC ( 2 ⋅ L) 2
Rp
Exakt:
1  RL 
−
LC  L 
ω0=
51.1.12 Funktionen
UR = f(UX)
Der Verlustwiderstand RL bewirkt dass die
Resonanzfrequenz niedriger wird
Ungefähr:
ϕ
UX
I
IC
IL
U
ω0
[Hz]
U
C
L
U=konst.
 I 
ϕ = arccos

 I Re s 
I
2
IR
: Kreisfrequenz (res.)
2πf
51.2.2 Umwandeln Reihenwiderstand RL in Parallelwiderstand RP
RL
: steht in Serie zu L
(Spulenwiderstand)
Rp
: Spulenwiderstand
L
RP =
C⋅ RL
UR
51.2.3 Strom im Resonanzfall
I Res
U
IRes
Rp
U
=
RP
: Spannung bei Resonanz
: Strom bei Resonanz
: Parallelwiderstand [Ω]
[V]
[A]
: Kreisfrequenz (res.) 2πf
: Parallelwiderstand
: Kreisgüte
: Dämpfung
[]
[Hz]
[Ω]
[]
51.2.4 Dämpfung oder Verlustfaktor
ω0
Rp
Q
δ
L
ω ⋅L
1
C
δ = 0
=
=
RP
ω 0C ⋅ R P R P
δ =
1
Q
51.2.5 Kreisgüte
Q = R pω 0C
Q = Rp
Q=
Autor: M.Drifte
Seite: 37/57
Eventueller Vorwiderstand wirkt parallel zu Rp
C
L
1 RP
= L
δ
C
Q=
RP
ω 0L
ω0
Rp
Q
δ
: Kreisfrequenz (res.)
: Parallelwiderstand
: Kreisgüte
: Dämpfung
[]
2πf
[Hz]
[Ω]
[]
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
51.2.13 Strom durch die Induktivität und Kapazität
51.2.6 Verstimmung
Spule:
ω
ω
v=
− 0
ω0 ω
ω0
ω
v
Normierte Frequenzabweichung
v= Ω −
ω
Ω =
ω0
1
Ω
I Res
IL = 2
δ + Ω 2(1− δ 2 )
Bei der Verstimmung v=1/Q besteht ein
Phasenverhältnis von 45°
Relative Frequenzabweichung
: Kreisfrequenz (res.)
: Ist Frequenz
: Verstimmung
[]
2πf
2πf
[Hz]
[Hz]
51.2.7 Grenzfrequenz
ω
g±
 1
= ω 0 ±
+
 2Q

2
 1  
1+ 

 2Q  
Q=
ω
g+
− ω
ω0
−ω
ω0
Q
=
g−
ω0
ωg+
ωgQ
g−
: Kreisfrequenz (res.)
: Obere Grenzfrequenz
: Untere Grenzfrequenz
: Kreisgüte
2πf
2πf
2πf
[Hz]
[Hz]
[Hz]
[]
RP
1 + jQv
2
2 ⋅ L ⋅ C − R 2C2
1
fL =
⋅
2π
1
R2
⋅
LC ( 2 ⋅ L) 2
v
Q
Rp
: Verstimmung
: Kreisgüte
: Parallelwiderstand [Ω]
[]
[]
U0
v
Q
: Spannung im Resonanzfall
: Verstimmung
: Kreisgüte
Frequenzunabhängig und
Impedanz Reel
R=
51.2.10 Spannungsresonanz
U0
U=
1
fC =
⋅
2π
Die Abweichung zur Spannungsresonanz
beträgt weniger als 2.5% wenn R ≤
0.1*XResonanz.
R=Rp
: Paralellwiderstand [Ω]
51.3 Spezialfall
51.2.9 Impedanz
Z=
[]
2πf
51.2.14 Frequenz für die Maximalwerte für IL und IC
ω
51.2.8 Bandbreite
g+
IL
U
3dB
ω g- ω 0 ω g+
B= ω
IC
L
I C = Ω ⋅ ω 0C ⋅ U
= Ω ⋅ I Res
: Dämpfung
: Kreisfrequenz (res.)
IR
C
I
Kondensator:
δ
ω0
[Hz]
B
u
R
1 + [ Qv]
2
[V]
[]
[]
L
C
R
C
L
R
51.2.11 Der Stromverlauf
I=
( Ω 2 − 1)( 1 − δ 2 ) 3
δ ⋅ [ δ 2 + Ω 2(1− δ 2 ) ]
δ2+ Ω
2
Ω =
δ
ω
ω0
: Dämpfung
[]
51.2.12 Phasenverschiebung
tan(ϕ ) =
Autor: M.Drifte
(
1− δ
δ
)
3
Ω ⋅ ( Ω − 1)
2
Ω =
δ
ω
ω0
: Dämpfung
[]
Seite: 38/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
52.4 Scheinleistung
52. Wirk-Schein-Blindleistung
Für beliebige Spannungen und Ströme
S = U Eff ⋅ I Eff
52.1 Effektivwert / quadratischer Mittelwert /true r.m.s
Spannung
T
S=
u
T
U Eff =
1
T
∫u
2
⋅ dt
Der Effektivwert orientiert sich an der Leistung
T
I Eff =
∫i
⋅ dt
0
Messinstrumente die den eff.Wert messen
Messgrösse
Dreheisen
I,U
α = f ( I2 )
u=
∫
u:
i:
Spannung u(t)
Strom i(t)
[V]
[A]
P=
Elektrostatisch
α = f ( U2 )
Messinstrumente die den gl.ri.Wert messen
Weitere Messgeräte Kories p.210
Wirkleistung
Effektivspannung
Effektivstrom
Spannung u(t)
Strom i(t)
[W]
[V]
[A]
[V]
[A]
1
T
∫ u ⋅ i ⋅ dt
u
ϕ
i
cos(ϕ)
Leistungs- oder Wirkfaktor
[]
P:
S:
Q:
Wirkleistung
Scheinleistung
Blindleistung
[W]
[VA]
[VAr]
UEff:
IEff:
u:
i:
sin(ϕ)
Effektivwert der spannung
Effektivwert des stromes
Spannung u(t)
Strom i(t)
Blindfaktor
[V]
[A]
[V]
[A]
[]
52.6 Blindleistung
Für beliebige Spannungen und Ströme
Q=
T
0
P:
UEff:
IEff:
u:
i:
P = U Eff ⋅ I Eff ⋅ cos( ϕ )
u ⋅ dt
i ⋅ dt
[VA]
[V]
[A]
[V]
[A]
Für Sinusgrössen
Messgrösse:
U
Strom
∫
dt
Scheinleistung
Effektivspannung
Effektivstrom
Spannung u(t)
Strom i(t)
0
0
Weitere Messgeräte Kories p.210
t
1
T
2
T
0
i =
∫ ( i)
u
i
T
1
T
dt *
1
T
Für beliebige Spannungen und Ströme
52.2 Gleichrichtwert
Spannung
∫ ( u)
T
2
S:
UEff:
IEff:
u:
i:
52.5 Wirkleistung
t
Strom
2
1
T
0
0
1
T
(Kories p.193ff)
u:
Spannung u(t)
i:
Strom i(t)
Drehspul mit Messgrösse:
gleichrichter U , I
[V]
[A]
S − P
2
2
Für Sinusgrössen zusätzlich
Q = U Eff ⋅ I Eff ⋅ sin( ϕ )
α = k⋅ i
52.3 Gleichwert / arithmetischer Mittelwert
Spannung
T
u=
1
T
u
i
∫ u ⋅ dt
0
t
Strom
T
i=
1
T
∫ i ⋅ dt
0
Messinstrumente die den Gleichwert
messen
Messgrösse:
Drehspul
U,I
α = k⋅ i
Autor: M.Drifte
Weitere Messgeräte Kories p.210
Drehmagnet
α = k⋅ i
Messgrösse:
U,I
Seite: 39/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
52.7 Leistungs- oder Wirkfaktor
P
cos(ϕ ) =
S
cos(ϕ)
Leistungs- oder Wirkfaktor
[]
sin(ϕ)
Blindfaktor
[]
52.7.1 Blindfaktor
Q
sin(ϕ ) =
S
52.8 Scheitelfaktor

U
ks =
U eff
ks= 1.414
1.732
1.000
2.000
1.414
1.190
1.732
Sinus
Dreieck
Rechteck
Einweggleichrichter
Doppelweggleichrichter
Dreiphasengleichrichtung
Sägezahn
52.8 Formfaktor
U
k f = eff
U
kf= 1.111
1.155
1.000
1.571
1.111
1.017
1.155
Sinus
Dreieck
Rechteck
Einweggleichrichter
Doppelweggleichrichter
Dreiphasengleichrichtung
Sägezahn
Drehspul-Messinstrument mit vorgeschaltetem Gleichrichter werden mit dem
Formfaktor geeicht. Das Messinstrument zeigt den Gleichrichtwert an.
Somit: U eff = k f ⋅ U
Autor: M.Drifte
Siehe auch 52.2
Seite: 40/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
53. Transformator
Unter Last
n
Kupferverluste
53.1 Eigenschaften
n
Die Kupferverluste sind Quadratisch von der Belastung abhängig
n
Gesamtverluste
n
1. Im Kurzschluss
Die Kurzschlussspannung Uk ist ein mass für Spannungsfestigkeit/Spannungsänderung bei
Belastungsänderung des Trafos
n
Relative kurzschlussspannung
Im Leerlauf
n Trafo wirkt wie eine Drosselspule
n cos(ϕ)=0.1...0.4
n Leerlaufstrom
n Es treten die Eisenverluste PFE auf. Sie sind belastungsunabhängig. Weil der
Arbeitspunkt nicht verändert wird
n
Die Hysteresenverluste sind
= Induktion
= Frequenz
= Eisenqualität
PFE = PH + PW
abhängig von
B
[T]
f
[Hz]
δH
=>
n
=>
PH ≅ δ H ⋅ f ⋅ B
n
n
n
n
2
Wirbelstromverluste sind abhängig von
= Induktion
B
[T]
= Frequenz
f
[Hz]
= Eisenqualität δW
= Konstruktion
=> P
W
PCU = I 2P ⋅ R P + I S2 ⋅ R S
PV = PCU + PFE
ε =
Uk
⋅ 100[ % ]
U1
Uk Eingangsspannung(Primärspannung) wenn im Ausgang (Sek.) Nennstrom fliesst.
BEISPIELE
Grosser Trafo
ε = 3...10%
Kleintraffo
ε = 15%
Klingeltrafo
ε = 40%
Schweistrafo
ε = 100%
53.2 Übersetzungsverhältnis (Linder p.162)
Übertragungsfaktor
≅ δW⋅f ⋅B
2
2
N
U
I
u = 1 = 1 = 2
N 2 U 2 I1
Wirbelverluste steigen im
Quadrat
der Frequenz
Im Beispiel des Netzes 50 / 60Hz steigen die Wirbelverluste um
2
I1
Z2’
I2
N1
N2
Z2
Impedanzverhältnis
2
 N 
Z2 ' = Z2  1  = Z2 ⋅ u 2
 N2 
Bemerkung:
Bei sehr kleinen Frequenzen ( fast Gleichspannung) hat man nur noch hysterese
Verluste.
dh. PW ≈ 0
k*B2
53.3 Induzierte Spannungen
3000
f
2
Eingangsspannung (Prim.)
U1eff =
2500
2π
2
N1 ⋅ Φ ⋅ f
I1
U1
N1
I2
N2
U2
Ausgangsspannung (Sek.)
2000
U2 eff =
2π
2
N 2 ⋅ Φ ⋅ f
Primär
Sekundär
1500
1000
500
f
0
0
Autor: M.Drifte
10
20
30
40
50 Hz
60
Seite: 41/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
54. Motoren
54.1 Allgemein (Lindner p.199)
Folgende Motorarten haben sich durchgesetzt
Spannungsversorgung
Motorart
Gleichstrom
Kollektormotor
Drehstrom
Asynchronmotor
Synchronmotor
Einphasen Wechselstrom Kollektormotor
Kleine Leisung
(Universalmotor)
Grosse Leistung (Antrieb)
Für geregelten Antieb geeignet
JA
JA
Frequenzumrichter
NEIN
54.2 Lastmoment
n Beharrungsmoment (Losbrechmoment)
n Beschleunigungsmoment
Arten von Lastmomenten
n M = konstP ~ n
n M~n
P ~ n2
M
M
P~n2
M=konst
n
n
ns =
M ~ n2
M ~ 1/n
M
P ~ n3
P = konst.
M
P~n3
n
n
M~n2
n
n
Schlupf:
s<0
s>0
Generator betrieb
Motorbetrieb
P = M⋅ ω
P = M ⋅ 2π ⋅ n
Vorwiegend verwendet in der
Energieerzeugung.
GS
3~
AP
G
Lastenkennlinie
AP
ns
Abeitsbereich
f:
p:
ns:
Bremse
F2
Frequenz der Spannung
Polpaarzahl
Synchrondrehzahl
[Hz]
[]
[min-1]
Motor
Losbrechmoment
n
Stabiler AP
Generator
Induktionsregeler:
Die Rotorspannung wird über Schleifringe nach
Aussen geführt. Der Rotor wird blockiert und
steht in einem Winkel zum Stator. Die dabei
vom Fluss durchflossenen Fläche A ist die
Stellgrösse.
s
Eigenschaften:
n Kleines Anlaufmoment bei grosser
Seite: 42/57
Netzfrequenz
[Hz]
Flussdichte
[T]
Rotorwindungen
[]
Fläche vom Fluss durchflossen [m2]
Spannung vom Rotor abgegeben [V]
Schlupf
[]
Lastenkennlinie
n=0
s=1
n=ns
s=0
Abeitsbereich
Stabiler AP
-s
Instabil
Bremse
Motor
Stator
Generator
Stator
Umax
Umin
Amin
Rotor
 ⋅ A ⋅ const
U 20 = 4.44 ⋅ fs ⋅ N 2 ⋅ B
f:
B:
N2:
A:
U20:
s:
P~M
Kippunkt
Kippunkt
Instabil
F1
[min-1]
[]
[Nm]
[rad]
Schlupfkennlinie
P~M
W1
54.4 Asynchronmaschine (Linder p223)
Autor: M.Drifte
fi = f ⋅ s
Losbrechmoment
n
Der Asynchronmotor kann nicht oder nur wenn
die Statorwicklung mit Strom durchflossen ist
n − n
s= s
ns
Drehzahlkennlinie
L1
L2
L3
U1 V1
f ⋅ 60
ns =
p
Diese wird normalerweise nie erreicht.
Ist Drehzahl
Schlupf
Drehmoment
Winkelgeschwindigkeit
n
Generator
n Erregerleistung beträgt weniger als 2% und
muss von aussen zugeführt werden
Synchronisation mit Netz bei gleicher
Frequenz,Phase und Spannung
Motor
n Drehzahl entspricht dem Drehfeld
n Braucht eine Anfahrhilfe
n Verwendet Drehstrom
Drehzahl
f ⋅ 60
p
Frequenz der Spannung
[Hz]
Frequenz der Rotorspannung
Polpaarzahl
[]
Synchrondrehzahl
[min-1]
n:
s:
M:
ω:
54.3 Synchronmaschiene (Lindner p217)
n
f:
fi:
p:
ns:
Die ist Drehzahl ist kleiner als ns
Leistung:
P=konst
M~n
Stromaufnahme
n
Schleifringläufermotor
Der Läufer(Rotor) enthält eine
Drehstromwicklung mit gleicher polzahl wie der
Ständer und ist in Sterngeschaltet. Die
Wicklungsenden werden über Schleifringe
nach außen geführt und zu einem Anlasser
geführt.
Drehzahl:
M~1/n
P~n
als Generator betrieben werden, da das
Erregerfeld via Induktion aus der
Ständerwicklung genommen wird.
n Kurzschlussläufermotor
Kurzgeschlossene Drehstromwicklung in
Sternschaltung.
Besitzt einen grossen an Anlaufstrom.
Amax
Stator
Stator
U 2 = U 20 ⋅ s
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
Drehzahlregelung:
n polpaarumschaltung (Dahlanderschaltung)
n Variable Spannung
Hauptschlussmotor:
n
n
n
U
n~
M
Frequenzumrichter
Schlupfsteuerung
n
n~
U
M
Dieser Motor darf nur unter Lastbetrieben
werden da es sonst zu einer zerstörerischen
Drehzahl kommen kann.
M
54.5.3 Aufbau
54.5 Gleichstrommaschine / Kollektormaschinen / Einphasenmotor
1
Diese Art von Motoren kann so wohl für Gleichspannung wie auch für EinphasenWechselspannung verwendet werden, sofern
kein Permament Magnet verwendet werden
2
3
Erregung
10
Rotor Wicklung
9
8
8
4
Wendepol
n
IA
UA=konst
Anker
UA
M
Hauptschluss
(Traktionsaufgaben)
Besitzt ein grosses
Anzugsmoment.
Feld
n
IA
Anker
( Laststrom und Erregerstrom
sind gleich )
Doppelschluss
Nur bei gesteuertem
Antrieb.
Beeinflussungen der
Lastromabhängigen
Drehzahländerung.
Kompund
n
Feld
Anker
Autor: M.Drifte
Nebenschluss
-
Doppelschluss
-
M = km ⋅ I ⋅ Φ
p⋅ Z
km =
2π ⋅ a
U
n≅
kg ⋅ Φ
Z⋅ p
a ⋅ 60
U
M
Wendepole
Mitkompoundschaltun
g
54.5.2 Drehzahl / Drehmoment
Nebenschlussmotor: Fremd
IA
err.
kg =
n~
M
+
+
IA
5
<20'000 min-1
< 5'000 min-1
< 2'000 min-1
0..5kW
5...100kW
100... kW
Die maximale Drehzahl ist durch die
mechanische Festigkeit, insbesondere durch
den Kollektor, bestimmt.
54.5.1 Schaltungsarten
Nebenschluss
IA
(Regelungsaufgaben)
Feld
M
M
Ui:
I:
k m:
kg:
M:
Φ:
a:
p:
Z:
n
U
Kompoundwicklung
M
IA
IA ~ M2
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
Stator, Jochring
Hauptpole
Feldwicklung
Rotor (Anker)
Rotorwicklung
(6) Wendepole
(7) Wendepolewicklung
(8) Kompensationswicklung (Kompound)
Bewirken eine Verbesserung der
Kommutierung.
Die Bürsten schalten dann nahezu stromlos.
Erregung erfolgt durch den Laststrom
Für mehr als 200W standard
Wird vom Laststrom durchflossen.
Es wird eine Lastromabhängige Komponente
der Erregung hinzugefügt.
Siehe auch Ankerrückwirkung.
Für mehr als 100kW standardmässig
vorhanden.
M
Durch die
Kompoundschaltung
verliert die
Momentenkenlinie ihre
proportionalität zum
Laststrom.
Induzierte Spannung
[V]
Aufgenommener Strom
[A]
Maschinen konstante
[]
Maschinen konstante
[]
Drehmoment
[Nm]
Fluss
[Vs][Wb]
Anzahl parallele Rotorwicklungszweigpaare.
[]
Polpaarzahl
[]
Anzahl Leiter im Rotor
[]
Sollte der Fluss aus irgend einem Grund
verschwinden wird sich die Maschinen eine
zerstörerische Geschwindigkeit erreichen
Seite: 43/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
54.5.4 Ankerrückwirkung
Deformation des Erregerfeldes auf Grund der Last. Bei reduziertem Erregerfluss tritt die
Ankerrückwirkung stärker auf.
Auswirkungen:
Reduktion & beseitigung:
• Verschiebung der neutralen Zone.
• Verschieben der Bürsten in die
Stromwendung findet nicht mehr bei 0
Neutralenzone(Einstellung auf mittlere
statt. Verschlechterung der
Leistung)
Komutierung
• Konstruktive Massnahme. Geeignet
• Erhöhung der Lamellenspannung. Darf
polschuhform verwenden.
nicht grosser als 20-25V werden.
• Einsetzen von Wendepolen. Hierbei wird
Rundfeuergefahr
die neutrale Zone für die komutierung
• Sättigungserscheinungen an den Polkanten
sichergestellt. (Die AR bleibt bestehen)
und Ankerzähnen
• Verwendung von
Kompesationswicklungen. Nur
P>100kW. Mit ihr wird die Ursache der
Ankerrückwirkung eliminiert
54.5.5 Kommutator / Stromwender
Während der der neutralen Zone ändert im
Kommutierungsverlauf:
Stromleiter die von +Ia auf -Ia. Dieser Wechsel
i
Tk
erfolgt während der kommutierungsphase Tk.
b
Tk = k
vk
bk:
vk:
54.7 Linearmotor (Lindner p.239)
Kurzstatormotor
Langstatormotor
55. Stromversorgung
55.1 Brumspannung
 =
U
Br
 =
U
Br

U
Br
t
Idealekommutierung
-Ia
Überkommutierung
UA
Die Induzierte Spannung beträgt
Ui :
kg:
n:
Φ:
a:
Z⋅ p
kg =
a ⋅ 60
p:
Z:
[V]
[A]
[V]
[Hz]
[F]
[Ohm]
i
2⋅ f ⋅ C
u
=
R⋅ 2⋅ f ⋅ C
ÛBr
Ua
t
T
IL_Eff
U GL ≈ 115
. ⋅ U InEff
UOutGL
RL
UInEff
PTrafo ≈ 3.1 ⋅ PGL
Zweiweg
t
Induzierte Spannung
[V]
Maschinen konstante
[]
Drehzahl
[min-1]
Fluss
[Vs][Wb]
Anzahl parallele Rotorwicklungszweigpaare.
[]
Polpaarzahl
[]
Anzahl Leiter im Rotor
[]
IL
U GL ≈ 13
. ⋅ U InEff
UinEff
RL
UGL
I eff ≈ 1.1 ⋅ I GL
PTrafo ≈ 1.5 ⋅ PGL
Brückenschaltung
54.6 Brushless DC-Motor / Schrittmotor (Lindner p.241)
Autor: M.Drifte
Brumspannung
mittlere Strom
mittlere Spannung
Frequenz der Trafospannung
Kapazität
Lastwiederstand
I eff ≈ 2.1 ⋅ I GL
t
Ui = k g ⋅ n ⋅ Φ
ÛBr:
i:
u:
f:
C:
R:
Faustformeln für Spannungen > 10V
Einweg
Bei besseren Spulenanordung erhält man eine
weichere Ausgangsspannung
u
R⋅ 4⋅ f ⋅ C
t
T
 =
U
Br
Bürstenbreite
Umfangsgeschwindigkeit Kollektor
UA
i
4⋅ f ⋅ C
Halbweg Gleichrichter
+Ia
54.5.6 Generatorbetrieb
Durch das Umschalten des Kommutators erhält
man am Ausgang immer eine Pulsierende
Gleichspannung
ÛBr
Ua
Unterkommutierung
Während der Kommutierungsphase sind
mindestens zwei Lamellen kurzgeschlossen.
(Kories p.483)
Für Vollweg Gleichrichter gilt:
Seite: 44/57
U GL ≈ 13
. ⋅ U InEff
IL
RL
UGL
UInEff
I eff ≈ 1.57 ⋅ I GL
PTrafo ≈ 1.23 ⋅ PGL
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
55.2 Gleichrichterschaltungen
(Lindner p.648 ,Kories p.483)
U
Einwegschaltung
U
U InEff
= 0.45
RL
Uout
~ = 121
.
U
f Br = f

U
In
UInEff :
U
Max. Repetive Diodenspannung


U
RRM = U In
Mittelwert des Durchlassstromes der Diode
I F = I RL
Uout

U
RRM
~
U
IF
IRL
ωt
U
IL
= 0.9
UTR
U0
Brummfrequenz:
[V]
[A]
[A]
UEff
u
π
Uout
[V]
[V]
[V]
[V]
[V]
Û
RL
Welligkeitsfaktor
kw =
2π
Spizenspannung Trafo
Effektivspannung Trafo
Mitterlwertspannung Trafo
Mittelwertspannung über RL
max. period. Sperrspannung
Effektivwert der Summe der
Fourierwechselspannungen
Mittelwertstrom der Diode
Mittelwertstrom der Last
Zweiweg-Mittelpunktschaltung
U InEff
π
UInEff
Brummfrequenz:
U
UEff
uout
UOutEff
Welligkeitsfaktor
kw =
Û
IL_Eff
2π
ωt
~ = 0.48
U
f Br = 2 ⋅ f
Repetive Diodenspannung


U
RRM = 2 ⋅ U In
Mittelwert des Durchlassstromes der Diode
I F = 0.5 ⋅ I RL
Zweiweg-Brückenschaltung
U
U InEff
= 0.9
U
IL
U0
π
Uout
Brummfrequenz:
UEff
u
UTR
Welligkeitsfaktor
kw =
Û
RL
2π
ωt
~ = 0.48
U
f Br = 2 ⋅ f
Repetive Diodenspannung


U
RRM = U In
Autor: M.Drifte
Mittelwert des Durchlassstromes der Diode
I F = 0.5 ⋅ I RL
Seite: 45/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
56.3 Thyristor
56. Halbleiter
56.1 Diode
Symbol:
IL
Näherung:
UL
UD
Nach dem Zünden kann der Tyristor
nur duch einen Stromunterbruch
gelöscht werden.
Es gibt sie als
• kathodenseitiges Gate
• anodenseitiges Gate
Phasenanschnittsteuerung mit Tyristor
IL
t
Siehe auch Lindner p.344
RD
Grenzwerte:
Kennwerte: charakteristisch
UR:
IF:
PV:
IR (UR):
UF(IF):
α (IF):
max. zulässige Spannung
max. zulässiger Flussstrom
max. zulässige Verlustleistung
Durchlassspannung
( ) + R⋅ I
U F = n ⋅ u T ln
IF
IS
F
Thermospannung in Druchlassrichtung
(Shockwell Formel)
I 
U F = n ⋅ U T ⋅ ln F  + R D ⋅ I F
 IS 
UT =
k⋅ T
≈26mV/
q
25°C
Sperrstrom bei angegeben. Sperrsp.
Flussspannung beim ang. Flussstr.
Temp koeefizent bei geg. Flussstrom
Kennwerte: dynamisch
CD(UR): Sperrsch. kapaz. bei geg. Sperrsp.
rd(IF):
dyn. diff Wiederstand
qs (IF):
gesp. Ladung beim geg. Flussstrom
trr (IF):
Sperrerholzeit (anstelle von qs)
n=1
:nach Model. In der Praxis 1..3
uT:
26mV bei Raumtemperatur
IS:
Sättigungsstrom der Diode
IF:
Strom in Flussrichtung
UF:
Spannung in Flussrichtung
R:
Seriewiderstand der Diode
n:
UT:
IS:
IF:
k:
q:
T:
56.4 Triac
Nach dem Zünden kann der
Triacstor nur duch einen
Stromunterbruch gelöscht werden.
IL
Phasenanschnittsteuerung mit Triac
IL
Er leitet die positive wie die
Negative Halbwelle
t
Siehe auch Lindner p.350
Qualitätsparameter
Thermospannung
Sperrstrom
Vorwärtstrom
Bolzmankonstante
Elementarladung
Temperatur
56.2 Z-Diode
In Durchlassrichtung verhalten einer Normalen
Diode.
• Zenerdioden unter 5V dominiert der
• Zenerdioden grösser als 6V dominiert der
Zenereffekt. Diese Dioden haben eine
Avelanche-Effekt. Diese Dioden haben
negativen Temperatur Koeffizienten.
eine positiven Temperatur
Der Knick ist weich.
Koeffizienten. Der Knick ist scharf.
• Z-Dioden im Übergangsgebiet (5..6 V) haben eine sehr geringen Temperatur Koeffizienten
Autor: M.Drifte
Seite: 46/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
57.2.2 Emitterschaltung Arbeitspunkt
57. Bipolar-Transistor
Der Transistor besteht aus einer stark dotierten N-Schicht (Emitter) und einer
schwach dotierten und sehr dünnen P-Schicht (Basis) und aus einer schwach
dotierten N-Schicht (Kollektor).
57.1.1 Grenzwerte:(Ratings)
57.1.2 Kennwerte:
UCEO
UCBO
UCES
ICEO(UCE)
ICBO(UCB)
ICES(UCE)
zul. CE-Spannung bei offener Basis.
zul. CB-Span. bei offenem Emitter.
zulässige CE-Spannung bei kurzschluss zwischen Basis und Emitter.
Kollektorsperrstr. bei offener Basis
Kollektorsperrstr. bei offen. Emitter
Kollektorsperrstr. bei geg. Span.,
wenn Basis mit Emitter verbunden.
Praktiker angaben
UCE so wählen dass UR3=Ucc/2
IC wählen oder ist gegeben.
UR4≈1...2V oder gegeben
I R1 ≈ 7 ⋅ I B
IR2 ≈ 6 ⋅ IB
B=
C
B
IC
I B auch hFE oder HFE
Dynamische Daten
E
uBE
R1 =
E
iB
i C = h11E ⋅ i B + h 22 E ⋅ u CE
Widerstand R1
Ic=B⋅ IB
IB
UBE
u BE = h11E ⋅ i B + h12 E ⋅ u CE
R3 =
B
iC
iB ⋅ β
rCE
rBE
uCE
h11E = rBE =
IC =
AP
u BE
i B u CE = 0 auch hie
∆ IB
∆ UBE
UCE=konst.
iC
i B u CE = 0. auch hfe
h 21E = β =
h 22 E =
1
rCE
=
Eingang offen
Autor: M.Drifte
iC
u CE i B = 0.
Widerstand R4
UR3
IC
R4 =
U CC − ( U R 4 + U BE )
7 ⋅ IB
Widerstand R2
R2 =
UR4
IC + IB
U R 4 + U BE
6 ⋅ IB
U CC ⋅ R 2
R1 + R 2
R1 R 2
B
− U BE
+ R4
U CE = U CC − I C ( R 3 + R 4 )
UBE
IC
∆ IC
Ausgang kurzgeschlossen
Leerlauf Ausgangsleitwert
R5
=0
≈ 0
Eingang offen
Kurzschluss Vorwärtsstromverstärkung
U2
Kollektor-Emitterspannung UCE
Leerlauf Spannungsrückwirkung
dU CE
dU BE i B = konst .
C3
R2
57.2.3 Emitterschaltung Arbeitspunkt bei gegeben Komponenten
IB
Ausgang kurzgeschlossen
h12 E =
C2
Kollektor-Strom
57.2.1 h-Parameter
Kurzschluss Eingangswiderstand
R3
C1
U1
Widerstand R3
C
UCE
R1
R4
57.2 Transistor Kenndaten in Emitterschaltung (Kories p.334)
Statische Daten
Stromverstärkung B
Ucc
∆ IB
UCE=konst.
IC
UCE
∆ UCE
AP
∆ IC
UCE
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Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
57.3.1 Kollektorschaltung Arbeitspunkt
57.2.4 Emitterschaltung Dynamische Daten
iB
R5 bestimmt wie stark die Stromgegenkopplung ist
und dient der AP Stabilisierung
Phasendrehung 180°
u1
iB ⋅ β
rBE
R1
Praktiker angaben
UCE =Ucc/2
IC wählen oder ist gegeben.
iC
R1
u2
rCE
I R1 ≈ 7 ⋅ I B
IR2 ≈ 6 ⋅ IB
R3
R2
Ucc
iE=iB(β +1)
C2
C1
R2
U1
U2
R4
R4
Eingangswiderstand
(
Z1 ≈ R1 R 2 ⋅ rBE + β ( R 4 R 5 )
Spannungsverstärkung ohne RL
Vu =
[
− β ⋅ R3
rBE + ( 1 + β ) ⋅ ( R 4 R 5 )
Die Verstärkung hat ein negatives Vorzeichen
)
Ausganswiderstand ohne RL
(
)
Widerstand R4
Z2 = rCE + R 4 R 5 R 3
≈ R3
Stromverstärkung ohne RL
]
R5
i
V ⋅Z
Vi = 1 = u 1
i2
Z2
R4 =
Widerstand R1
R1 =
UR4
IC + IB
Widerstand R2
U CC − ( U R 4 + U BE )
7 ⋅ IB
R2 =
U R 4 + U BE
6 ⋅ IB
57.3.1 Kollektorschaltung Dynamische Daten
iE
iB
Phasendrehung 0°
u1 R
rBE
R2
1
rCE
R4
u2
iC= iB ⋅ β
Eingangswiderstand ohne RL
Ausganswiderstand ohne RL
Z1 ≈ R1 R 2 ( rBE + R 4 ⋅ (β + 1))
Z2 =
Eingangswiderstand mit RL
(
Z1 ≈ R1 R 2 rBE + R 4 R L ⋅ (β + 1)
Spannungsverstärkung ohne RL
Vu =
( β + 1) ⋅ R
+ [ ( β + 1) ⋅ R ]
Vu =
4
Autor: M.Drifte
Seite: 48/57
rBE +
4
i2
= β +1
i1
Stromverstärkung mit RL
+ 1) ⋅ R 4 R L
[ ( β + 1) ⋅ R
rBE
β
Vi =
Spannungsverstärkung mit RL
(β
≈
Stromverstärkung ohne RL und R4
4
rBE
)
( rBE
R 4 ⋅ rBE
+ (1 + β ) R 4 ) ⋅ β
RL
]
Vi =
i2
β ⋅ R4
=
i1 R 4 + R L
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Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
57.4 Basisschaltung Arbeitspunkt
57.5 Kopplungskondensatoren für Emitter & Kolektor & Basis-Schaltung
Praktiker angaben
UCE =Ucc/2
IC wählen oder ist gegeben.
UR4≈1...2V oder gegeben
Eingangskondensator C1
Ucc
R1
C1
I R1 ≈ 7 ⋅ I B
IR2 ≈ 6 ⋅ IB
C1 =
R3
C2
an
(
2 π ⋅ fgu ⋅ Z1 + ZQ
C2 =
U2
R4
R2
C3
an
an
C3 =
2 π ⋅ fgu ⋅ ( R Re s )
Widerstand R4
U
R3 = R3
IC
R4 =
Widerstand R1
U CC − ( U R 4 + U BE )
R1 =
7 ⋅ IB
UR4
IC + IB
R5
Widerstand R2
U + U BE
R2 = R4
6 ⋅ IB
R5
R4
C3
R4
Ze*
C3
R5
57.4.1 Basisschaltung dynamische Daten
R5
R4
rCE
iC=iB ⋅ β
Phasendrehung 0°
u1
R4
rBE
R3
iB
Eingangswiderstand
Z1 = R 4
an:
Koeffizient abhängig von Anzahl der
Kondensatoren in der Schaltung
Ze
*
R4
C3
(
)
(
)

R1 R 2 + h ie 

R Re s = R 4  R 5 +

1
+
h
fe



R1 R 2 + h ie 

R Re s = R 4 +  R 5

1
+
h
fe


Koeeffizent an abhängig von Anzahl Kondensatoren (Serieschaltung von Filtern)
n 1
2
3
4
5
6
7
8
an 1
1.55
1.96
2.30
2.59
9
Z2 = ( rCE + R 4 ) R 3
rBE
1+ β
[
β ⋅ R3
rBE + ( 1 + β ) ⋅ R 4
Autor: M.Drifte
Lastwiderstand
Koeffizient abhängig von Anzahl der
Kondensatoren in der Schaltung
Ausganswiderstand ohne RL
≈ R3
Spannungsverstärkung ohne RL
Vu =
u2
C3
RL:
an:
2 π ⋅ fgu ⋅ ( Z2 + R L )
Emitterkondensator C3
Widerstand R3
Quellenwiederstand
Koeffizient abhängig von Anzahl der
Kondensatoren in der Schaltung
)
Eingangskondensator C2
U1
ZQ:
an:
Stromverstärkung ohne RL
]
Vi =
i1
β
=
i2 β + 1
Seite: 49/57
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Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
58.2 Innere Widerstände
58 FET-Schaltungen
(Kurzschluss- ) Transadmitanz
58.1 Typen
IG-FET & MOS-FET
Auf einem sehr schwachen dotierten pleitendem Halbleiter („Bulk“ B ) sind zwei stark
dotierte n-leitende Inseln („source“ S und
„Drain“ D) vorhanden. Die Zone zwischen den
beiden Inseln ist mit einem dünnen Isolator
(häufig ein Oxyd) bedeckt, dessen Oberfläche
mit einem elektrisch leitenden Schicht („Gate
G“) überzogen ist. Unter der Oxydschicht kann
ein sehr dünne schwach dotierte n-leitende
Schicht (der so genannte Kanal) sein.
J-FET
Das Gate ist hier nicht eigentlich isoliert,
sondern bestehend aus einem p-leitendem
Material. Gegenüber dem eingebauten n-Kanal
ist es durch einen gesperrten pn-Übergang
„isoliert“, solange das Gate negativ ist
gegenüber dem Kanal. J-FET gibt es nur als
„Verarmungstyp“ (Depletion-Mode)
Eingeschalteter Widerstand:
R DS ( on )
Übertragungsadmitanz
ID
ID
ID
UGS=2V
UGS=1V
U(T)GS
UGS
+
y fs(max) =
UDS
58.1.2 Depletion-Mode“Verarmungstyp“ (Selbstleitend)
ID
UGS=1V
UDSS
IDSS
UGS=0V
UGS
+/-
Ub
Ausgangsadmitanz
UDS
yos =
58.1.3 Grenzwerte (Ratings):
UDS
UGSO
UDGO
ID
IG
zulässige
zulässige
zulässige
zulässige
zulässige
D
yos
uDS
S
2 ⋅ I DSS
− U ( P ) GS
y fs = y fs(max)
+
UGS=-1V
U(P)GS
iDS
ix=yfs⋅ uGS
Für andere Werte
ID
ID
uGS
UDS=const.
Höchsterwert bei UGS=0
Ub
+
G
∆ ID
i
y fs = S =
= D
∆ UGS u GS
UGS=3V
 U GS

I D = I DSS 
− 1
 U ( P ) GS 
(UGS=const)
U
= DS
ID
58.2.1 Kleinsignalparameter
58.1.1 Enhanced-Mode „Anreicherungstype“ (Selbstsperrend)
2
(auch Steilheit genannt)
I
i
y fs = D = d
U GS U gs
1
rDS
ID
I DSS
∆ ID
i
=
= d
∆ U DS Uds
UGS=0
DS-Spannung (unabhängig von der Beschattung des Gates).
GS-Spannung bei offenem Drain.
DG-Spannung bei offenem Source.
Drainstrom
Gatestrom
58.1.4 Kennwerte:
IDSS (UDS)
IGSS (UGS)
U(P)GS (ID)
U(T)GS (ID)
Drainstrom bei UGS=0 V. Beim Verarmungstyp (Depletionmode) ist dies der
maximal mögliche Arbeitsstrom, beim Anreicherungstyp (Enhancement-Mode)
dagegen ein Sperrstrom.
Gate-Sperrstrom bei angegebener GS-Spannung (Drain auf Source
kurzgeschlossen).
Pinch-off-Voltage (Abschnürspannung) beim verarmungstyp. Nötige GSSpannung, um den Drainstrom auf den angegeben (sehr kleinen) Wert zu
reduzieren.
Treshold-Voltage (Schwellspannung) beim Anreicherungstyp. Nötige GSSpannung, um den Drainstrom auf den angegeben (sehr kleinen) Wert zu erhöhen.
Autor: M.Drifte
Seite: 50/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
58.4 Sourceschaltung Arbeitspunkt (Kories p.386)
58.3 Übertragungs- und Ausgangs-Kennlinie (n -verarmungstype)
UDD
Gatespannung
U GS = U G − US
R1
R3
Widerstand R4
US = I D ⋅ R 4
D
G
Widerstand R1,R2
C1
U ⋅R
U G = DD 2
R1 + R 2
C2
S
U2
ID
UGS
C3
U1
R2
R4
R5
Widerstand R3
U DS = U DD − I D ( R 3 + R 4 )
ID:
ID aus der Transverkennlinie oder mit
der Formel (58.1.2) weiter vorne!
58.4.1 Sourceschaltung Dynamische Daten
Übertragungskennlinie
ID =
(
I DSS U GS − U ( P ) GS
U ( P ) GS
Anlaufgebiet:
ID =
2
)
2
(
 U GS

I D = I DSS 
− 1
 U ( P ) GS 
2
iG
Z1 = R1 R 2
u2
Ausgangswiderstand ohne RL
Z2 =
)
I DSS ⋅ 2 ⋅ U DS U GS − U ( P ) GS − U DS 2
(
1 + ( y fs + y os ) ⋅ R 4 R 5
y os
)R
Strom ohne Gegenkopplung R5=0
1
=
R DS
[ (
)
I DSS 2 ⋅ U GS − U ( P ) GS − U DS
U ( P ) GS 2
R1
R2
R4
R5
R3
3
Strom mit Gegenkopplung
i DS = y fs ⋅ u GS
U
= DS
ID
oder
u1
Z2 ≈ R 3
U ( P ) GS 2
Widerstand:
R DS
iD
Eingangswiderstand
oder einfacher geschrieben
]
i DS =
y fs ⋅ u GS
1 + ( y os + y fs ) R S
Spannungsverstärkung ohne RL
Vu =
u2
− y fs ⋅ R 3
=
u1 1 + ( y os ⋅ R 3 ) + ( y fs + y os ) R 4 R 5
(
)
In den meisten Fällen reicht:
58.3.1 Temperaturverhalten im Sättigungsbereich
Mit steigender Temperatur nimmt die Beweglichkeit
der Ladungsträger ab; Die Übertragungskennlinie wird
vert. zusammengestaucht.
Wegen Änderung von Kontakt- und Diffusionsspannung verschiebt sich die Übertragungskennlinie
nach links (<-- ) vorwiegend bei kleinen strömen.
Vu =
100° C
-20° C
ID
− y fs ⋅ R 3
1 + y fs ⋅ R 4 R 5
Stromverstärkung ohne RL
i
Vi = 2 =
i1
25° C
u2
u1
R3
R1 R 2
= Vu
R1 R 2
R3
-UGS
Autor: M.Drifte
Seite: 51/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
58.5 AC-Verstärker in Drain-Schaltung
Ähnliches vorgehen wie bei S-Schaltung
us =
y fs ⋅ ZS
Us
1 + y os Z D + ( y fs + y os ) ZS
u
i
v u = s vi = d = − ∞
ug
ig
zs*
zg*
ZG
Ud
ZS
ZD
ug0
58.6 AC-Verstärker in Gate-Schaltung
ud =
u so ⋅ YS ( y fs + y os )
YS ( y os + YD ) + YD ( y fs + y os )
( y fs + yos ) ZD
u
vu = d =
us
1 + y os ⋅ Z D
vi =
zS*
zD*
is
id
ZS
Ud
Us
ZD
ZG
us0
id
= −1
is
58.7 Berechnung der Kondensatoren
SIEHE Transistoren weiter vorne
Autor: M.Drifte
Seite: 52/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
59.5 Integrator
59. Operationsverstärker
Ausgangsspannung
C
t1
Ua = −
Kories p.404
Lindner p.452
59.1 Nichtinvertierender Verstärker
Verstärkung
1
u ( t )dt + U a ( t 0 )
RC t∫0 e
Ie
R
−
Ui=0
Ue
Ua
+
+
U
R
Vu = a = 1 + 1
Ue
R2
Ue
Ui=0
−
59.6 Differenzierer
R1
Ua
Eingangswiderstand
Z in ≈ ∞
R
Ausgangsspannung
U a = − RC
R2
dU e
dt
Eingangsstrom
Ie = C
Ie
C
−
Ui=0
Ue
dU e
dt
Ua
+
59.2 Invertierender Verstärker
Verstärkung
59.7 Invertierender Schmitt-Trigger
R2
U
R
Vu = a = − 2
Ue
R1
Schaltschwellen
R1
Ui=0
Ue
Eingangswiderstand
−
Ua
+
Z in = R1
Ueein
R1
= −
U
R1 + R 2 a max
U eaus
R1
= +
U
R1 + R 2 a max
59.3 Addierer
Verstärkung
(
Ua = − U
RN
e1 R 1
+ U
RN
e2 R 2
)
+ ......
RN
Uen
R1
Zin = R1 R 2 .... R n
Zin1 = R1
Zin2 = R1
Autor: M.Drifte
R2
Ua
R1
59.8 NichtInvertierender Schmitt-Trigger
Schaltschwellen
−
Ui=0
Ue1
Ua
+
U eein
R
= + 1 U a max
R2
U eaus = −
59.4 Subtrahierer
Verstärkung
U a = ( U e1 − U e 2 )
+
Ue
Rn
Eingangswiderstand
Eingangswiderstand
−
Ui=0
R2
R1
R2
R1
Ui=0
Ue2
Ue1
R1
R1
U
R 2 a max
R2
R1
Ue
Ui=0
+
−
Ua
−
+
Ua
R2
Seite: 53/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
59.10 Multivibrator
Frequenz
f=
1
R3
(
2 ⋅ R 1C1 ⋅ ln 1 +
2⋅ R 2
R3
)
R2
+
Ui=0
−
C1
Ua
R1
59.11 Dreieck-Rechteckgenerator
Frequenz
f=
R3
1
⋅
R 2 4 ⋅ R 1C1
R2
C1
R1
R3
+
−
U1
+
U2
−
Schmitt-Trigger
Integrator
59.12 Spannungsgesteuerte Stromquelle
Konstantstrom
Ia =
Ue
R
+
Ui=0
Ue
Autor: M.Drifte
−
Ue
Ia
RL
R
Seite: 54/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
60.1.3 Symetrische Belastung (Vierleiter-,Dreileitersystem)
60.1.4 Spannung,Strom
60. Dreiphasensysteme
U R + US + U T = 0
60.1 Vierleiternetz
60.1.1 Allgemein
Stern
U RS + UST + UTR = 0
R
U R = U∠ 0°
US = U∠ − 120°
S
Dreieck
U RS = U 3∠ 30°
I1
L2
URS UTR I
2
UR
I1* + I*2 + I*3 = 0
Umrechnung:
IN
I1 = I12 ⋅ 3
U: Betrag der Spannung UR
60.1.5 Leistung bei symmetrische Belastung
Im
UST = U 3∠ − 90°
Stern
U TR = U 3∠ 150°
UTR
UT
U RS = U R 3
UST
Alle Werte sind komplex
P = 3 ⋅ U R ⋅ I1 ⋅ cos( ϕ )
120°
120°
US
S ∠ = 3 ⋅ U R ⋅ I1 ∠ ϕ
Dreieck
P=
Wirkleistung ist nicht komplex
60.1.2 Umrechnung der Lasten von Stern <--> Dreieck
siehe 50.4.1
3 ⋅ U RS ⋅ I1 ⋅ cos( ϕ )
P = 3 ⋅ U RS ⋅ I12 ⋅ cos( ϕ )
Strangspannung
Verkettete Spannung,
Phasenspannung
I1
L2
L3
Re
UR
URS
UR,US,UT:
URS,UST,UTR:
L1
Die Wirkleistung ist nicht komplex
120°
U RS = U R − US
UST = US − U T
U TR = U T − U R
I1 + I 2 + I 3 = 0
I3
UT
N
N
UST
US
L3
T
U T = U∠ 120°
L1
Alle Werte sind komplex
I*
: Konjugiertkomplex siehe Math. 10
Z1
Z2
UR
Z3
I2
I3
L1
L2
Z12
L3
I12
Z23
Z31
I31
I23
Umschaltung von Stern auf Dreieck
1
S ∆ = 3S
1
R1
R22
R33
R2
R3
3
2
3
2
R11
60.1.2.1 Umrechnung Ströme
Leiterströme
I1 = I12 − I 31
I 2 = I 23 − I12
I 3 = I 31 − I 23
Autor: M.Drifte
L1
L2
L3
I1
URS
UTR
UST
I2
Z12
I12
Z31
I31
Z23
I23
I3
Seite: 55/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
60.2 Unsymmetrische Belastung
60.2.1 Vierleiterssystem
Alle Werte komplex
Bem: Ist IN=0 so muss nicht eine Symetrische
Belastung vorliegen, es kann aber
Nullleiterstrom (Stern)
I N = I1 + I 2 + I 3
IN =
UR
IR
+
US
IS
+
UT
IT
60.2.2 Leistung Vierleiternetz
Alle Werte Komplex
S
: Komplexe Leistung
I*
: Konjugiert komplex siehe Math. 10
S∠ = U R I*R + USI*S + UTI *T
60.2.3 Dreileitersystem
Berechnung der Nullleiterspannung
1.Virtueller Nullleiterstrom:
I0 =
Im
U R US U T
+
+
R R RS R T
Nullleiterspannung: (Sternpunktspannung)
[
U0 = I 0 ⋅ R 0 = I 0 ⋅ R R R S R T
Berechnung der Strangspannungen
U R ' = U R − U0
US ' = US − U 0
UT' = UT − U0
UT
UT’
UR
U0
]
US’
Re
UR’
US
U0=0 Bedeutet nicht das eine
symmetrische Belastung vorliegt.
Alle Werte sind komplex
60.2.4 Leistung Dreileiternetz
Stern
S∠ = U R 'I1* + US' I*2 + U T'I*3
L1
I1
L2
Z1
Alle Werte sind komplex
Z2
L3
I*
: Konjugiert komplex siehe Math. 10
S
: Komplexe Scheinleistung
UR’,US’,UT’ : Strangspannung aus 60.2.3
Stern und Dreieck
S∠ = UST I*2 − UTR I1*
= U I − U I
*
TR 3
*
RS 2
= U RSI1* − USTI*3
I + I + I = 0
*
1
*
2
*
3
Alle Werte sind komplex.
Autor: M.Drifte
I2
L1
L2
L3
UR’
Z3
US’ UT’
I3
I1
URS
UTR
UST
I2
Z12
I12
Z31
I31
Z23
I23
I3
I*
Konjugiert komplex siehe Math 10
Bem: Es müssen nur Aussenleiter grössen
bekannt sein
Seite: 56/57
19. Nov. 2006
Formelsammlung Physik/Elektrotechnik
62. Vierpol Parameter
Eingangswiderstand
Funktion
ZEIN
Lindner p.403
Allgemein
Eingang
Ausgang
Ausgangswiderstand
Funktion
ZAUS
Rechnen mit den Vierpolparameter (HP48)
Selbst geschriebene Funktionen
[HOME/ALGEMEIN/ELEKTR/VIERPOL]
Alle Parameter auf den Stack x11,x12,x21,x22
Hilfsfunktionen
Parameter -> Array
Spannungsverstärkung
Funktion
A
Y
→ ARR
rr
Array - Parameter
ARR→
rr
Umrechnender Vierpolparameter
Umrechnen z-Parameter
Z→Y
Z→A
Z→H
Parameter
z11 z12 z21 z22
Umrechnen y-Parameter
Y→Z
Y→A
Y→H
Parameter
y11 y12 y21 y22
Umrechnen a-Parameter
A→Y
A→Z
A→H
Parameter
a11 a12 a21 a22
Umrechnen h-Parameter
H→Y
H→A
H→Z
Parameter
h11 h12 h21 h22
Autor: M.Drifte
Stromverstärkung
Funktion
A
Z
H
Seite: 57/57
Z→rr
EIN
Parameter
z11 z12 z21 z22 ZL
(RL=Lastwiderstand)
Parameter
z11 z12 z21 z22 ZG
(RG=Quellenwiderstand)
Parameter
a11 a12 a21 a22 ZL
y11 y12 y21 y22 ZL
(RL=Lastwiderstand
Parameter
a11 a12 a21 a22 ZL
z11 z12 z21 z22 ZL
h11 h12 h21 h22 ZL
(RL=Lastwiderstand
Z→ rr
AUS
VU
rr
VI
rr
19. Nov. 2006