59 Abb. 3.1. Lithostatische Spannung 3. Spannungen In

59
3. Spannungen
In diesem Kapitel soll zunächst die Spannung als Kraft pro Fläche eingeführt werden und dann
die unterschiedlichen Spannungskomponenten zu einem Spannungstensor zusammengefasst
werden. Es soll dabei das Augenmerk auf tektonophysikalische und geodynamische Aspekte
gerichtet werden, insbesondere auf mögliche Ursachen für Spannungsverteilungen in der Litho
sphäre.
3.1. Der Spanungstensor und seine Komponenten
Spannungen sind Kräftepaare pro Einheitsfläche, die von einer Seite einer inneren Oberfläche
eines Mediums auf die andere Seite übertragen werden mittels atomarer Kräftefelder. Spannungen, die senkrecht zur Fläche übertragen werden, heißen Normalspannungen, parallel zur
Fläche übertragene Spannungen heißen Scher- oder Tangentialspannungen. Der (negative)
Mittelwert der Normalspannungen heißt Druck. Während in der Geomechanik und Geologie
Kompression meist positiv genommen wird, wird in der Physik Kompression negativ genommen. Ihrer Zwitternatur zufolge kommen in der Geophysik beide Konventionen vor. In
der Geodynamik wollen wir hier der physikalischen Konvention folgen: Kompression negativ,
Zug positiv. Im Falle, dass aus Konsistenzgründen mit der Literatur oder aus Anschaulichkeit
die tektonische Konvention benutzt wird, werden wir
die Spannungen mit umgekehrtem Vorzeichen
genommen und mit einer Tilde versehen, z.B.
Physikalische
Tektonische Konvention
σ
− σ~
zz
=
zz
.
Einheiten: N/m2 = kg m-1 s-2 = Pa. 1 bar = 106
dyn/cm2 = 105 Pa. In den Geowissenschaften wird
häufig 1 MPa = 106 Pa = 10 bar benutzt.
Die in der Tektonophysik meistens dominierende
Normalspannung ist die lithostatische Spannung
(Abb. 3.1). Die Kraft, die durch das Gewicht einer
Massensäule in der Tiefe z auf ihre Grundfläche δA
Abb. 3.1. Lithostatische Spannung
ausgeübt wird, ist gleich Masse m mal Beschleunigung
g, also m g = ρ V g = p g δA z, wobei V das Volumen der Massensäule und ρ ihre als
konstant angenommene Dichte ist. Diese Gewichtskraft muss im Gleichgewicht mit einer
aufwärts gerichteten Spannungskraft -σzzδA stehen (minus, da sie in negative-z-Richtung
zeigt):
σ zz = − ρ g z ( 3.1 )
Falls die Dichte nicht konstant, sondern tiefenabhängig ist, muss über die Masse der Säule
interiert werden:
z
∫
σ zz = − ρ ( z ) g dz
0
oder
dσ zz
= − ρ( z ) g
dz
( 3. 2 )
Als Faustregel kann man sich für die Lithosphäre merken:
z (in km) = 3 σ~ zz
(in kbar) ±10% (Tilde: tektonische Spannung, Kompression positiv)
60
Häufig stellt sich in Gesteinen nach genügend langer Zeit und genügend hoher Temperatur ein
lithostatischer Spannungszustand ein, d.h. alle drei Normalspannungen sind gleich dem Gewicht der auflastenden Massensäule pro Fläche, d.h. (Dichte konstant)
− PL = σ xx + σ yy + σ zz = − ρ g z
( 3.3 )
Der lithostatische Spannungszustand ist identisch mit dem hydrostatischen Druck in einer
ruhenden Flüssigkeit. Abweichungen vom lithostatischen Spannungszustand können durch
tektonische Spannungen hervorgerufen werden.
In Glg (3.3) wurde als Vorzeichenkonvention ein kompressiver Druck P positiv gerechnet,
während eine kompressive Spannung negativ
genommen wird (wie üblich in der Physik).
Als Beispiel für tektonische Spannungen
betrachten wir das einfache Modell eines
kontinentalen Blockes der Dicke h und
Dichte ρk, der in einem Mantel mit der
Dichte ρm schwimmt. Wir nehmen zunächst
an, dass der Block isostatisch ausgeglichen
ist, d.h., dass er sich im Schwimmgleichgewicht befindet. Das Prinzip der Isostasie
Abb. 3.2
fordert, dass in einer bestimmten
Ausgleichstiefe die vertikale Normalspannung konstant ist und gleich dem Gewicht
der auflastenden Massensäule pro Fläche ist:
z t1
z t2
∫ ρ1 ( z ) g dz = ∫ ρ 2 ( z ) g dz
za
( 3.4 )
za
wobei ρ1, ρ2 die tiefenabhängigen Dichten an den Orten 1 und 2 sind, und zt1und zt2 die z
Werte der topographischen Oberfläche an den Orten 1 und 2. Für unser einfaches Modell ergibt sich aus (2.4):
ρ
ρ k h = ρ mb oder b = k h
ρm
( 3.5 )
Wir nehmen einen lithostatischen Spannungszustand außerhalb des kontinentalen Blockes an,
also Gültigkeit von (3.3). Dann können wir die gesamte horizontale Kraft Fm des Mantels ausrechnen, die auf die Seite des Kontinents wirkt (pro Einheitslänge in y-Richtung):
b
b
1
Fm = − PL dz = − ρ m g z dz = − ρ m gb 2
2
∫
0
∫
( 3.6 )
0
Wir nehmen an, dass im Innern des Kontinents eine tektonische Spannung herrschen kann.
Die gesamte horizontale Kraft (pro Einheitslänge in y-Richtung), die im Innern des Blockes
herrscht, kann dargestellt werden als Summe aus dem lithostatischen Druck plus einem tektonischen Beitrag ∆σxx:
61
h
∫
h
∫
Fk = σ xx dz = ( − ρ k gz + σ xx )dz =
0
0
1
ρ k gh 2 + ∆ σ xx h
2
( 3.7 )
Der Querstrich bedeutet Mittelwert. Im statischen Gleichgewicht müssen die beiden Kräfte
Fm und Fk gleich sein. Wir setzen (3.6) und (3.7) gleich, ersetzen b gemäß der IsostasieBedingung (3.5), und erhalten einen Ausdruck für die mittlere tektonische Horizontalspannung
∆ σ xx =

ρ 
1
ρ k gh 1 − k 
2
ρm 

( 3. 8 )
σxx ist positiv. Es wird also eine horizontale Zugspannung benötigt, um den Kontinent zusammen zu halten. Mit typischen Werten von ρk = 2750 kg/m3, ρm = 3300 kg/m3, h = 35 km
erhalten wir eine mittlere tektonische Horizontalspannung von 80 MPa (800 bar). Eine solche
Zugspannung ist in deutlichem Widerspruch zu vielen Beobachtungen. Diese zeigen, dass
insbesondere alte, stabile Schildregionen häufig unter horizontalen Kompressionsspannungen
von einigen 10 MPa stehen. Lediglich ausgedünnte kontinentale Kruste in Anwesenheit von
warmem Mantel steht häufig unter Zugspannungen. Wir kommen auf diesen Punkt weiter
unten zurück.
Die Komponenten des Spannungstensors
Um den dreidimensionalen Spannungszustand zu beschreiben, betrachten wir einen infinitesimalen Würfel (Abb. 3.3). Die Normalspannungen σxx, σyy, σzz wirken normal auf den
Würfelflächen in Richtung der Normaleneinheitsvektoren dieser Flächen. Die Scherspannungen σzx, σzy, etc. wirken tangential auf den Flächen. Der erste Index beschreibt
Abb. 3.3
die Fläche, auf der die Spannung wirkt, der zweite stellt die Richtung der Spannungskraft dar.
Aus dem Momentensatz (die Summe aller an einem Körper angreifenden Momente ist 0)
kann man herleiten, dass der Spannungstensor symmetrisch ist:
62
σ ij = σ ji
( 3.9 )
Alle Komponenten des Spannungszustandes lassen sich zusammenfassen als
 σ xx

σ ij =  σ yx

 σ zx
σ xy
σ yy
σ zy
σ xz 

σ yz 

σ zz 
( 3.10 )
und bilden einen Tensor (die Tensoreigenschaft ist physikalisch darin begründet, dass der
Spannungszustand unabhängig von der Orientierung des Koordinatensystems ist).
Cauchy Formel. Man kann den Spannungstensor
auch zur Bestimmung der Spannungs- komponenten auf einer beliebig orientierten Fläche
heranziehen. In der Abbildung (3.4) ist eine
Fläche durch ihren Normalenvektor ni = (nx, ny,
nz ) definiert. Der Spannungstensor kann aufgefasst werden als Abbildungsvorschrift, die ni
auf einen Kraftvektor pro Einheitsfläche ti abbildet. Dieser Zusammenhang lässt sich aus dem
y Kräftegleichgewicht herleiten, das an den
dargestellten infinitesimalen Tetraeder herrschen
muss. Er lautet:
 σ xx

r
t = ti = ( n x , n y , n z ) ⋅  σ yx

 σ zx
bzw.
ti =
σ xy
σ yy
σ zy
σ xz 

σ yz 

σ zz 
Abb. 3.4
( 3.11 )
3
∑ n jσ ij
j =1
oder in der Indexschreibweise (Summenkonvention, über alle doppelt vorkommenden Indizes
wird summiert):
t i = n jσ
ji
= n j σ ij
Der Spannungsvektor t i steht beliebig schräg auf der Fläche, die drei Komponenten t1, t2, t3
weisen in x, y, z-Richtung. Häufig ist man jedoch an den Komponenten des Spannungsvektors interessiert, die parallel und senkrecht auf der Fläche stehen. Diese erhält man, indem
man einen tangentialen Einheitsvektor t i* auf der Fläche definiert, bzw. den Normaleneinheitsvektor ni benutzt, und zwischen diesen und dem Spannungsvektor ein Skalarprodukt bildet Bekanntlich stellt nämlich ein Skalarprodukt zwischen einem Vektor und einem Einheitsvektor (z.B. ni) die Projektion von ti auf eine Gerade dar, die durch ni läuft. Es gilt also
für die Normalkomponente von ti die wir mit σn bezeichnen (Summenkonvention):
63
σ n = t i ⋅ ni = n j σ ji ⋅ ni
( 3.12 )
und für die Tangentialkomponente σt parallel zum tangentialen Einheitsvektor t i*:
σ t = t i ⋅ t *i = n j σ ji ⋅ t *i
( 3.13 )
Hauptspannungen. In einem beliebigen Spannungszustand heißt eine Fläche Hauptspannungsfläche, wenn auf ihr der Spannungsvektor normal steht. Der Wert dieses Vektors ist
dann eine Hauptspannung. Wir suchen also einen Normalenvektor ni der parallel zu ti verläuft,
also
t i = λ ni
( 3.14 )
Mit der Definition für ti (Glg. 3.11) folgt (Summenkonvention)
σ ij n j = λ ni
σ ij n j = λ n j δ ij
n j ( σ ij − λ δ ij ) = 0
( 3.15 )
Hierbei ist δij die Einheitsmatrix (Kronecker delta). (3.15) stellt ein homogenes Gleichungssystem für ni dar. Es hat nur dann nicht triviale Lösungen, wenn seine Determinante
verschwindet. Für das räumliche Hauptspannungsproblem muss also gelten:
 σ xx − λ
σ xy
σ xz 


det  σ yx
σ yy − λ
σ yz 


σ zy
σ zz − λ 
 σ zx
( 3.16 )
Dies ist die charakteristische Gleichung. Sie ist eine kubische Bestimmungsgleichung für λ.
Die drei Lösungen λ1, λ2, λ3 heißen Eigenwerte. Sie sind die drei Hauptspannungen. Für jede
Hauptspannung lässt sich das Gleichungssystem (3.15) lösen und die zugehörigen Eigenvektoren bestimmen. Man erhält somit die Richtungen des Hauptspannungssystems. Man kann
zeigen, dass die Eigenvektoren, also die Richtungen der drei Hauptspannungen, aufeinander
senkrecht stehen (wenn die Hauptspannungen paarweise
unterschiedlich sind). Es kann also zu jedem beliebigen
Spannungszustand ein orthogonales Koordinatensystem
gefunden werden, in dem die Tangentialspannungen verschwinden und die Normalspannungen die Hauptspannungen darstellen (Abb. 3.3).
Im zweidimensionalen Spannungszustand (alle y-Komponenten = 0) kann man die Hauptspannungen und ihre
Richtung direkt angeben. Die Abb. 3.5 zeigt, wie sich der
Spannungsvektor t i dreht, wenn man die Orientierung
Abb. 3.5 Spannungszustand σij und
einer inneren Fläche variiert. Der Winkel zwischen der xSpannungsvektor t i auf unterschiedliAchse und den Hauptspannungsebenen ist gegeben durch
chen Flächen
64
tan 2θ =
2σ xz
σ xx − σ zz
( 3.17 )
während der Betrag der Hauptspannungen gegeben ist durch
σ 1,2 =
σ xx + σ zz
1
2
±
( σ xx − σ zz )2 + σ xz
2
4
( 3.18 )
Auf Flächen 45o zu den Hauptspannungsebenen wird der Betrag der Tangentialspannungen σt
maximal. Im zweidimensionalen Spannungssystem ist diese maximale Scherspannung gegeben durch
1
σ t ( 45° ) = + ( σ 1 − σ 2 )
2
oder
1
− (σ1 −σ 2 )
2
( 3.19 )
Das Beispiel rechts zeigt als Spannungszustand reine Scherung (pure shear). σ1 ist gleich - σ2 in diesem Fall. Auf den
45o-Flächen treten in diesem Fall nur Tangentialspannungen
auf. Es sollte hier bemerkt werden, dass die Unterscheidung
zwischen reiner und einfacher Scherung (simple shear) nur
im Zusammenhang mit Deformation sinnvoll ist. Betrachtet
man nur Spannungen, so sind beide Zustände identisch,
abgesehen von einer Drehung des Koordinatensystems.
Deviatorische Spannungen
Wir definieren den Druck P durch den negativen Mittelwert
der Normalspannungen:
1
1
P = − ( σ xx + σ yy + σ zz ) = − ( σ 1 + σ 2 + σ 3 )
( 3.20 )
3
3
Wir können den deviatorischen Spannungstensor definieren, indem wir von den Normalspannungskomponenten die mittlere Normalspannung subtrahieren. Dies ist gleichbedeutend mit
der Addition des Druckes auf die Spur des Tensors:
 τ xx τ xy τ xz   σ xx + P
σ xy
σ xz 

 

τ ij =  τ yx τ yy τ yz  =  σ yx
σ yy + P
σ yz 

 

σ zy
σ zz + P 
 τ zx τ zy τ zz   σ zx
( 3.21 )
Der deviatorische Spannungszustand ist sinnvoll im tiefen Erdinnern, wenn der Umgebungsdruck sehr groß ist, und die geodynamischen Prozesse nur von den deviatorischen Spannungen abhängen.
65
3.2. Spannungsmessungen
Eine vollständige Bestimmung des Spannungstensors in der Lithosphäre erfordert, unter Annahmen isotroper elastischer Parameter, die Bestimmung sechs unabhängiger Größen (sechs
unabhängige Komponenten des Spannungstensors, oder drei Hauptspannungen und drei Winkel). Eine solche Bestimmung aller Komponenten ist in der Regel nicht möglich, aber auch
nicht unbedingt erforderlich. Die Anwesenheit einer freien, in erster Näherung horizontalen
Oberfläche führt nämlich dazu, dass in der Regel eine der drei Hauptspannungen nahezu vertikal orientiert ist, und etwa gleich dem lithostatischen Auflastdruck ist. Die Bestimmung der
übrigen tektonisch wichtigen Größen (Richtung der maximalen Horizontalspannung, ihr Betrag, und der Betrag der minimalen Horizontalspannung) kann mit unterschiedlichen Methoden erfolgen.
Überbohrverfahren . Dieses Verfahren ist in Abb. 3.6 gezeigt und erklärt (Becker et al.
1984, Techn Ber 84-37, Nagra). Man erhält alle drei gesuchten Größen gleichzeitig. Die
Doorstopper-Methode, ein Überbohrverfahren, dass von LEEMAN (1971) und
CAHNBLEY, 1970)
entwickelt worden ist,
zählt heute zu den
gebräuchlichsten
Spannungsmessverfahren. Es handelt
.sich dabei um eine
Messzelle
(sog.
Doorstopper) mit vier
Dehnungmessstreifen
(DMS), die jeweils um
45° zueinander versetzt angeordnet sind.
Wird
ein
solcher
Doorstopper auf Gestein aufgeklebt und
überbohrt, so können
die Deformationen des
Gesteins über die
Längenänderung der
Dehnungsmessstreifen
gemessen werden. Die
mechanischen Deformationen der vier
Dehnungsmessstreifen
b. 3.6 Ausführung einer Spannungsmessung mit der Door- stoplassen sich elektronisch über die Ändeper-Methode. Auf die plangeschliffene, polierte, gesäuberte und
rung des elektrischen Wider- getrocknete Bohrlochsohle (a) wird mit Hilfe der Setzeinstandes infolge der Verlänge- richtung ein Doorstopper aufgeklebt (b). Nachdem der Kleber
rung oder Verkürzung der abgebunden ist und eine Nullmessung gemacht worden ist, wird
DMS ermitteln. Streng genommen sind daher Doorstop- die Setzeinrichtung gezogen (c) und der Doorstopper überbohrt
per-Messungen keine Span- (d). Der Bohrkern mit aufgeklebten Doorstopper wird zusamnungsmessungen, sondern De- men mit dem Kernrohr gezogen (e) und wieder an die Setzeinformationsmessungen. Erst die richtung angeschlossen (f). Nun können die Deformationen des
Ermittlung der Gesteinspara- freigeschnittenen Gesteinskerns an der Messbrücke ermittelt
meter E (Elastizitätsmodul) werden.
und ν (Poissonzahl) ermöglicht
die Berechnung der Spannungen. Es ist sogar möglich, den zu ziehenden Kern innen auszubohren, und die Messstreifen innen an die vertikale Wand der Kernes zu kleben. Nach Überbohren läßt sich dann auch die vertikale Spannung bestimmen.
66
Bohrlochrandausbrüche. Ein ursprünglich rund gebohrtes Bohrloch weist in verschiedenen
Tiefenbereichen häufig Ausbrüche der Bohrlochwand auf. Diese werden durch Horizontalspannungen hervorgerufen, die wegen der neu geschaffenen freien Oberfläche an der Bohrlochwand plötzlich nicht mehr im Gleichgewicht gehalten werden. Das lokal veränderte
Spannungsfeld führt zu Ausbrüchen an den Seiten des Bohrlochs, die in Richtung der minimalen Horizontalspannung weisen. Man misst die Ausbrüche gegen magnetisch Nord entweder mechanisch mit einem Vierarmkaliper-Messinstrument oder mit Hilfe von Laufzeitmessungen hochfrequenter akustischer Signale. Diese Methode ermöglicht nur, die Richtung der
Horizontalspannungen, nicht ihren Betrag, zu bestimmen.
Hydraulic Fracturing. Bei dieser Methode wird ein von Brüchen freier Abschnitt des Bohrlochs oben und unten abgedichtet. Daraufhin wird der Flüssigkeitsdruck solange erhöht, bis
beim sogenannten breakdown pressure ein Bruch stattfindet (Abb. 3.7). Das Einpumpen wird
sofort gestoppt, und der Druckabfall gemessen.
Dieser erreicht dann ein Niveau, der "instantaneous shut-in pressure" genannt wird. Dies ist
der Druck, der überschritten werden muss, um
den Bruch zu öffnen. Er wird mit der minimalen
Horizontalspannung identifiziert. Lässt man den
Druck vollständig abfallen, so wird bei späterem
Einpumpen des Bohrlochs nurmehr der Druck
ISIP erreicht. Aus dem breakdown pressure kann
man die Bruchfestigkeit des Gesteins
bestimmen, und unter Berücksichtigung
geeigneter Bruchkriterien die maximale Horizontalspannung abschätzen.
Abb. 3.7 Druckverlauf während
Hydrofracturing
Herdmechanismen. Aus der Orientierung der
Herdflächen von Beben kann man die Lage der Hauptspannungen bestimmen. Allerdings sind
diese ungenau, wenn der Bruch auf einer vorhandenen Schwächezone stattfindet, die nicht
exakt mit der Orientierung der Fläche maximaler Tangentialspannung übereinstimmt. Abschätzungen ihres Betrages sind aus Bestimmungen der Magnitude und des seismischen Moments nur mit Annahmen über Bruchmechanismen möglich. Lediglich der Spannungsabfall,
der eine untere Grenze darstellt, lässt sich aus seismologischen Parametern ermitteln.
Messungen der Spannungsbeträge
In Kontinenten sind viele Spannungsmessungen in Bohrlöchern durchgeführt worden. Sie
weisen eine große Streuung auf. In älteren Kontinentalbereichen (Kratonen) ist der Spannungszustand oft kompressiv, d.h. die mittlere Horizontalspannung ist größer (kompressiver)
als die Vertikalspannung (Abb. 3.8a). Die maximale Scherspannungen (=σ1-σ3)/2 ist im allgemeinen kleiner als die lithostatische Spannung, liegt jedoch in Bereichen von mehreren 10
MPa (Abb.3.8c).
In Ozeanen sind sehr viel weniger Spannungsmessungen durchgeführt worden. Man ist daher weitgehend auf Herdflächenlösungen von Beben (am besten innerhalb der Platten,
intraplate-Beben) angewiesen. Der Betrag der Spannungen ist daher schlecht abzuschätzen,
jedoch ist schon die Unterscheidung zwischen Kompression (thrust faulting) und Dehnung
(normal faulting) aussagekräftig. Man findet, dass der Spannungszustand von Dehnung für
junge ozeanische Lithosphäre bei einem Alter zwischen 10 und 20 Ma in Kompression übergeht (Abb. 3.9).
67
Abb. 3.8
Abb. 3.9 aus Sykes, Sbar,
1973, Nature
68
Messungen der Spannungsrichtungen.
In den letzten Jahren wurde eine Vielzahl von Spannungsbestimmungen zusammengetragen
und in einer zentalen Datenbasis gespeichert. Hieraus konnte mit entsprechender Bewertung
der Güte der Daten (Unterteilung in verschiedene Qualitätskategorien) eine Weltspannungskarte erstellt werden. Abb. 3.10. zeigt die Richtungen der größten Horizontalspannungen in
Europa (siehe auch Abb. 3.11). Man kann verschiedene Spannungseinheiten identifizieren.
Abb. 3.10 World stress map für Europa
(siehe http://www.world-stress-map.org)
69
Die Spannungen in Großbritannien, S-Schweden und Deutschland haben eine NW-SEOrientierung, die etwa in Richtung der Ridge push Kraft vom Nordatlantik zeigt. Spannungen
Abb. 3.11 World stress map (siehe http://www.world-stress-map.org)
in N-Skandinavien streuen und zeigen relativ starke Kompression. Spannungen in der Ägäis
sind kompressiv senkrecht zur Konvergenzrichtung zwischen Afrika und Europa. Dies bedeutet, sie haben eine deviatorische Zugspannung senkrecht dazu, die mit der Randmeerbeckenbildung hinter der ägäischen Subduktionszone im Einklang steht.
Abb. 3.11 zeigt die Weltspannungskarte. Es sind die Richtungen der größten Kompressionsspannungen gegeben. Zum Teil sind sogar Unterscheidungen zwischen Kompressionsregionen (das Mittel der Horizontalspannungen (σHmax +σHmin)/2 ist kompressiver als der lithostatische Druck) und Extensionsregionen ((σHmax + σHmin)/2 weniger kompressiv als Plith) möglich
(dies ist in der farbigen Version der Abb erkennbar). Es können folgende generelle Aussagen
gemacht werden:
a) die meisten inneren Plattenregionen sind durch kompressive Spannungen gekennzeichnet
(Beben mit kombiniertem Aufschiebungs- und Blattverschiebungscharakter)
b) die meisten Extensionsregionen (Abschiebungsmechanismen) haben hohe Topographie
(westliche US-Kordillieren, Ostafrikanisches Rift, Baikalrift, Himalaya, Anden)
c) es gibt ausgedehnte Regionen mit relativ einheitlicher Spannungsrichtung (N-Amerika,
Europa)
Hier noch einige weitere Resultate aus der Weltspannungskarte:
70
-
-
-
-
In einigen Platten kann eine Korrelation zwischen den Plattentrajektorien (Richtungen
der absoluten Plattenbewegungen, siehe Abb. 2.47) und der Richtung der maximalen
Kompression festgestellt werden. Dies ist besonders für N-Amerika und S-Amerika der
Fall. Ein solches Verhalten könnte aus einer Wechselwirkung zwischen antreibenden
Ridgepush und bremsenden drag force Kräften resultieren.
Für die pazifische Platte ist eine solche Korrelation wegen des Mangels an Daten nicht
so deutlich. Erkennbar ist jedoch eine geschwindigkeitsparallele Ausrichtung für relativ
junge Bereiche. Alte Teile des Pazifiks dagegen auch Kompressionsspannungen orthogonal zur Plattenrichtung an.
In Ostasien ist deutlich die Kollision zwischen Indien und Asien im Spannungsfeld zu
erkennen. Es ist mit dem Indentormechanismus (Eindringen der harten Indischen Platte
in die weichere asiatische Platte) gut vereinbar.
Es gibt zwei unterschiedliche Typen von Extensionsgebieten, die mit Subduktion verknüpft sind. Einmal die anomal hohen Gebirgsregionen wie die Anden. Hier weisen die
maximalen Kompressionsspannungen trotz relativer Extension in Richtung der Plattenkonvergenz. Zum anderen die Randmeerbecken-Regionen, von denen gegenwärtig nur
die Ägäis gut durch Daten repräsentiert ist. Hier findet Extension in Richtung der Konvergenzrichtung der Platten statt, daher sind die Kompressionsrichtungen 90o gedreht im
Vergleich zum Anden-Typus.
3.3 Spannungsquellen
Es gibt eine Reihe von geodynamischen Ursachen für das Auftreten deviatorischer Spannungen in der Lithosphäre. Hier sollen sie nur pauschal aufgezählt werden, und die tektonisch
wichtigen eingehender diskutiert werden:
1) Tektonische Spannungen. In Abb. 3.12 sind eine Reihe tektonischer Quellen für Spannungen aufgezählt. Hierbei kann man unterscheiden zwischen
a) plattentektonisch induzierten Spannungen, die durch Ridge push, Slab pull, ;antle drag,
Trench suction, Kollisions - Kräfte hervorgerufen werden, und
b) lokalen tektonischen
Spannungen. Hierbei sind
die wichtigsten die durch
Dichteheterogenitäten bzw.
Krusten- und Lithosphärendickenvariationen hervorgerufenen Spannungen. Sie
werden durch isostatische
Kompensationskräfte hervorgerufen. Für diese Spannungen gibt es keinen einheitlichen Namen. Namen
Abb. 3.12
wie strukturelle
Spannungen, isostatische
Spannungen, Potenzialspannungen werden benutzt. Ebenfalls Biegespannungen fallen unter lokale tektonische Spannungen. Weiterhin fallen Spannungen in diese Kategorie, die durch Auflast z.B. durch einen Vulkan, oder eine Inlandsvereisung hervorgerufen werden.
2) Membranspannungen. Diese treten auf, wenn Platten auf der Erdoberfläche Änderungen der Oberflächenkrümmung erfahren. Solche Änderungen können auftreten, wenn Platten
als Folge von Kontinentaldrift unterschiedlich gekrümmte Bereiche der abgeplatteten Erde
71
überfahren. Weiterhin könnten Änderungen der Abplattung der Erde solche Spannungen hervorrufen. Diese Spannungen sind jedoch nicht sehr wichtig, da sie sich erst über sehr lange
Zeiträume aufbauen können, und Relaxationsprozesse entgegenwirken
3) Thermische Spannungen. Abkühlungseffekte beispielsweise einer abkühlenden Lithosphäre können Thermospannungen hervorrufen. Hierunter fallen auch die Spanungen, die
bei einer abühlenden Lavaschicht zu Zugrisse und damit verbundenen Basaltsäulen führen
4) Erosionsspannungen. Durch Erosion einer Massensäule kann die vertikale Auflastspannung vollständig eliminiert werden, während die horizontale Spannung nur zum Teil abgebaut
wird (wegen des Poissoneffektes in der Elastizitätstheorie). Es resultieren starke horizontale
Kompressionen.
5) zeitabhängige Spannungen, hervorgerufen durch Gezeiten, Beben, etc.
Wir wollen im folgenden eine Möglichkeit geben, strukturelle Spannungen im Zweidimensionalen zu berechnen. Mit diesem Ansatz wird es möglich sein, die durch ridge push hervorgerufenen Spannungen in einer ozeanischen Lithosphäre abzuschätzen, sowie den kontinentalen
Spannungszustand zu verstehen.
Berechnung struktureller Spannungen
Ein einfaches, zweidimensionales Modell wird hergeleitet, das es ermöglicht, die vertikal gemittelten deviatorischen Horizontalspannungen einer lateral heterogenen Lithosphäre zu berechnen. Am Ort x0 habe die Lithosphäre die Referenzdicke l0, und eine Referenzdichteverteilung ρ0(z). l0 kann allgemein auch die
Tiefe zu einer unterhalb der
Lithosphärenbasis gelegenen
isostatischen Ausgleichsfläche sein.
Am Ort x habe die Lithosphäre (oder
allgemeiner, die Schicht zwischen
Ausgleichsfläche und Oberfläche)
eine Dicke l(x) und eine möglicherweise unterschiedliche
Dichteverteilung ρ(z). Wir nehmen
isostatischen Ausgleich an, d.h. die
Vertikalspannung in der Tiefe z=l0 ist
überall gleich. Weiterhin wird angenommen, dass σxz(z=l0)=0, dass also keine Scherkräfte aus
der Asthenosphäre wirken.
Bei x0 wird eine horizontale Kraft auf unsere Schicht wirken, die durch die horizontale
Komponente des lithostatischen Drucks
z
∫
PL0 = ρ0 ( z ′ ) gdz ′
( 3.22 )
0
sowie durch eine tektonische regionale Kraft ∆Fx gegeben ist:
l0
Fx =
∫ PL0 ( z ′ )dz ′ + ∆Fx
( 3.23 )
0
Der Einfachheit halber setzen wir ∆Fx=0. Die mittlere horizontale Spannung bei x0 ergibt sich
72
zu
F
σ xx0 = − x
l0
( 3.24 )
Fx ist unabhängig von x, daher können wir für die mittlere horizontale Spannung bei x entsprechend schreiben
F
σ xx = − x
l
( 3.25 )
Aus (3.24) und (3.25) lässt sich Fx eliminieren, so dass gilt
σ xx ( x )
l
= 0
σ xx0
l( x )
( 3.26 )
Es wird angenommen, dass die vertikale Spannung gleich der lithostatischen Spannung ist,
alsoσzz = -PL. Ersetzen wir PL entsprechend in (3.23), setzen (3.23) dann in (3.24) ein, so erhalten wir:
1
σ xx0 =
l0
l0
∫ σ zz dz = σ zz 0
( 3.27 )
0
Die mittlere horizontale Spannung bei x0 ist also gleich der mittleren vertikalen Spannung bei
x0.
Die mittlere deviatorische Spannung bei x kann geschrieben werden als Differenz der mittleren horizontalen und vertikalen Spannungen
2τ xx ( x ) = σ xx ( x ) − σ zz ( x )
( 3.28 )
Wir ersetzen σxx0 in (3.26) durch (3.27), und können dann das σxx aus (3.26) in (3.28) einsetzen. Es ergibt sich dann
l
2τ xx ( x ) = 0 σ zz 0 − σ zz ( x )
l
( 3.29 )
Hieraus wird deutlich, dass eine Änderung der mittleren vertikalen Spannung
in x-Richtung deviatorische Spannungen
hervorrufen kann. Hierbei sind die
vertikalen Spannungen immer noch
durch den lithostatischen Druck gegeben.
Das Auftreten einer deviatorischen Spannung ist in der Abb. rechts demonstriert.
Hierbei ist σzz am Boden konstant wegen
Isostasie. Andererseits war Fx unab-
73
hängig von x, was gleichbedeutend ist mit gleicher Fläche unter den σxx Profilen. Schließlich
war im bei x0 angenommenen lithostatischen Spannungszustand die Flächen unter den σzz0und σxx0 - Profilen gleich. Daraus folgt, dass die Flächen unter den σxx- und σzz-Profilen bei x
ungleich sein müssen, folglich existiert eine mittlere deviatorische Spannung. Vereinfacht
könnte man sagen, dass "das Gebirge bei x auseinander fließen will", und dies nur mit deviatorischen Spannungen (z.B. horizontalen Zugspannungen) machen kann.
In der Tat ist der Spannungsunterschied zwischen σxx und σzz bei x die Konsequenz einer
geänderten potentiellen Energie der Lithosphäre in Bezug auf x0. Dies kann man zeigen, indem man das Integral für die potentielle Energie E bezüglich des Ausgleichsniveaus z=l0 auswertet:
l0
E( x0 ) =
∫ ρ0 ( z )g( l0 − z )dz
0
= partielle Integratio n
l0 z
=g
∫∫ ρ0 ( z ′ )dz ′dz
( 3.30 )
00
Die mittlere Vertikalspannung war:
l0
1
1
σ zz 0 =
σ zz dz =
l0
l0
∫
0
l0 z
∫ ∫ ( − ρ0 ( z' ))gdz' dz
( 3.31 )
00
Also gilt
E( x0 ) = −l0σ zz 0
( 3.32 )
Ebenso kann die potentielle Energie einer Gesteinssäule bei x berechnet werden:
E( x ) = −l0σ zz
( 3.33 )
Hieraus ergibt sich schließlich mit (3.28)
1
2τ xx ( x ) = ( E( x ) − E( x0 ))
l
( 3.34 )
So ergeben sich beispielsweise horizontale Zugspannungen in einem Gebirge also direkt aus
einer Erhöhung der potentiellen Energie.
74
Strukturelle Spannungen in ozeanischer und kontinentaler Lithosphäre
Gleichung (3.30) kann jetzt benutzt werden, um vertikal gemittelte, strukturelle Spannungen
in verschiedenen Lithosphärenregionen zu berechnen. Hierzu muss eine Referenzlithosphäre
definiert werden, für die eine Dichteverteilung ρ0(z) bis zu einer angenommenen isostatischen
Ausgleichsfläche gegeben ist. Das ρ(z) des interessierenden Lithosphärenabschnittes muss der
Isostasiebedingung genügen. Durch die Isostasiebedingung lässt sich meist eine Größe wie
Dichte oder Dicke einer Schicht im Lithosphären-Schichtpaket einschränken. Glg (3.29) lässt
sich dann direkt durch Integration der vertikalen lithostatischen Spannungen über die Tiefe
lösen. Bei mehreren Schichten sind solche Lösungen etwas unhandlich, daher soll hier lediglich ein wichtiges Ergebnis gezeigt werden.
Ozeanische Lithosphäre. Abb. 3.13a zeigt links ein einfaches Modell einer sich verdickenden ozeanischen Lithosphäre, die aufgebaut ist aus eine Wasserschicht mit der
Dichte ρw, einer ozeanischen Kruste (ρok)
eines lithosphärischen
Mantels (ρol), und
einer Asthenoshphäre
(ρa). Als Referenzlithosphäre wurde ein
20Ma alter Plattenabschnitt gewählt, da
dort das Spannungsfeld von Extension in
Kompression wechselt
(siehe Abb. 3.9). Den
Zusammenhang zwischen Meerestiefe und
Lithosphärendicke
erhält man gemäß Glg.
2.37 aus der Isostasie.
Setzt man diese
Dichten und die altersabhängige Meerestiefe und Lithosphärendicke
(Wurzel-t-Gesetz) in
Glg. 3.29 ein, so erhält
man eine mittlere deviatorische Horizontalspannung in der
Lithosphäre, die proportianal zur Meerestiefe ist.
τ xx ~ z w ~ t ~
x
( 3.35 )
Abb. 3.13
75
Das Produkt aus dieser Spannung und der Lithosphärendicke (die selbst dem Wurzel-t-Gesetz
folgt) ist also proportional zu x:
2
lτ xx ~ z w
~x
( 3.36 )
Dies ist in Übereinstimmung mit der Abschätzung der Ridge push Kraft aus dem vorigen Kapitel. Diese Kraft war proportional zu x (oder b in Glg. 2.5.8), erzeugt also in der Entfernung
x ein τxx l, das ebenfalls proportional zu x ist.
Das Produkt τxx l ist in Abb. 3.13b dargestellt. Es fällt linear von 70⋅1010 N/m (entspricht
12 MPa Zugspannung in einer 60 km Platte) auf -200⋅1010 N/m (-33 MPa) ab. Alte ozeanische
Bereiche stehen also unter Kompression. Da das Wurzel-t-Gesetz für Lithosphären älter als 80
Ma nicht mehr zu gelten scheint, flacht die Kurve ab. Die Zugspannungen könnten durch
Ridge Resistance- und Transform Resistance- Kräfte kompensiert werden.
Kontinentale Lithosphäre. Man kann nun die mittlere deviatorische Normalspannung für
einen typischen Kontinent mit einer Kruste von 40 km bestimmen. Hierzu folgt zunächst aus
der Isostasiebedingung, dass er einer Dichte von 2900 kg/m3 haben muss (bei einer Topographie nahe Meereshöhe). Falls er auf einem Mantel mit gleicher Dichte wie der ozeanische
Mantel lagert, dann resultiert eine Zugspannung um 12 MPa (Abb. 3.13b). Eine solche Zugspannung steht nicht in Übereinstimmung mit der Mehrzahl von Beobachtungen.
Nimmt man dagegen an, dass die oberen 15 km der kontinentalen Kruste nur eine (durchaus
vernünftige) Dichte von 2700 kg/m3 haben, dann kann man die für die Isostasie erforderliche
Überschussmasse in die obersten 100 km des Mantels packen (dieser hat dann eine leicht höhere Dichte von 3380 kg/m3 im Vergleich zu 3350 kg/m3 des ozeanischen Mantels) (Abb.
3.13c). Eine Berechnung der mittleren deviatorischen Horizontalspannung dieser Lithosphäre
weist nun Kompression auf (-33 MPa, Abb. 3.13d). Die Verlagerung der Masse nach unten
erniedrigt also die potentielle Energie der kontinentalen Lithosphäre so stark, dass kompressive Spannungen resultieren, wie sie beobachtet werden.
Überlagert man eine Mantle drag Kraft, die den Ridge push kompensiert, so resultiert die
gestrichelte Horizontalspannung.