Mathematik für ChemikerInnen II

Mathematik für ChemikerInnen II
Prof. Dr. Ansgar Jüngel
Institut für Mathematik
Johannes Gutenberg-Universität Mainz
August 2005
unkorrigiertes Vorlesungsskript
Inhaltsverzeichnis
1 Fourier-Reihen
2
2 Eigenwerte
14
3 Gewöhnliche Differentialgleichungen
24
3.1 Differentialgleichungen erster Ordnung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.2 Systeme linearer Differentialgleichungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
.
.
.
.
48
48
57
64
71
5 Integration im Rn
5.1 Kurvenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Mehrfachintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Oberflächenintegrale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
79
79
88
99
4 Differentiation im Rn
4.1 Funktionen mehrerer Veränderlicher
4.2 Partielle Ableitungen . . . . . . . .
4.3 Minima und Maxima . . . . . . . .
4.4 Vektoranalysis . . . . . . . . . . . .
1
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5
5.1
Integration im Rn
Kurvenintegrale
Ziel dieses Abschnittes ist es, Integrale über Kurven Γ ⊂ Rn der Form
f (x) dx
Γ
zu definieren. Wir beginnen mit einigen Definitionen.
Definition 5.1
(1) Sei γ : [a, b] → R eine Funktion. Der Bildbereich von γ
Γ = {(γ(t) : t ∈ [a, b]} ⊂ Rn
heißt Kurve im Rn . Die Funktion γ nenen wir die Parametrisierung von Γ. Manchmal identifizieren wir γ mit Γ und nennen γ eine Kurve.
(2) Eine Kurve Γ ⊂ Rn mit Parametrisierung γ : [a, b] → Rn heißt geschlossen genau
dann, wenn γ(a) = γ(b).
(3) Eine Parametrisierung γ : [a, b] → Rn einer Kurve Γ heißt glatt genau dann, wenn
γ stetig differenzierbar ist und γ (t) = 0 für alle (bis auf endlich viele Ausnahmen)
t ∈ [a, b] gilt.
Beispiel 5.2 (1) Die Kurve γ : [0, a] → R3 , definiert durch
⎛
⎞
R cos t
⎜
⎟
γ(t) = ⎝ R sin t ⎠ ,
t ∈ [0, a],
t
stellt eine Spirale mit Radius R dar (siehe Abbildung 5.1 links). Der Vektor
⎛
⎞
−R sin t
⎜
⎟
γ (t) = ⎝ R cos t ⎠
1
√
√
gibt die Geschwindigkeit mit Betrag |γ (t)| = R2 sin2 t + R2 cos2 t + 1 = R2 + 1 an.
(2) Die Kurve γ : [−2, 2] → R2 , γ(t) = (t, cosh t) , stellt die sogenannte Kettenlinie dar, d.h. eine an den Seiten aufgehängte durchhängende Kette (siehe Abbildung 5.1
rechts). Allgemein wird der Graph einer Funktion f : [a, b] → R parametrisiert durch
t
.
γ : [a, b] → R2 ,
γ(t) =
f (t)
79
5
4
20
z
15
y
3
10
2
5
0
1
1
1
0
y
0
−1 −1
0
−2
−1
x
0
x
1
2
Abbildung 5.1: Spirale im R3 (links) und Kettenlinie x → cosh x (rechts).
In einer Raumdimension können wir die “Kurve” Γ = [0, 1] → R z.B. parametrisieren
durch γ : [a, b] → R. Dann ist nach der Substitutionsregel
b
b
dγ
f (x) dx = f (γ) dγ =
f (γ(t)) dt =
f (γ(t))γ (t) dt.
dt
Γ
Γ
a
a
In mehreren Dimensionen wird das Kurvenintegral entsprechend definiert, allerdings ist
der Betrag |γ (t)| der Geschwindigkeit zu verwenden.
Definition 5.3 Seien f : Df ⊂ Rn → R ein Skalarfeld und Γ ⊂ DF eine Kurve, parametrisiert durch eine glatte Parametrisierung γ : [a, b] → Rn . Das Kurvenintegral (1. Art)
von f über Γ ist definiert durch
b
f (x) dx =
f (γ(t))|γ (t)| dt.
Γ
a
Wählen wir speziell f (x) = 1, so beschreibt das Integral
b
dx =
|γ (t)| dt
γ
a
die Länge der Kurve Γ. Sind γ1 : [a1 , b1 ] → Rn und γ2 : [a2 , b2 ] → Rn zwei Parametrisierungen derselben Kurve Γ, so stimmen die Kurvenintegrale überein:
b1
b2
f (γ1 (t))|γ1(t)| dt =
f (γ2 (t))|γ2 (t)| dt.
a1
a2
Beispiel 5.4 (1) Die Länge der Spirale aus Beispiel 5.2 (1)
⎛
⎞
R cos t
⎜
⎟
γ : [0, a] → R3 ,
γ(t) = ⎝ R sin t ⎠ ,
t
80
ist gegeben durch
a
dx =
|γ (t)| dt =
0
Γ
a
2
2
(R sin t) + (R cos t) + 1 dt =
0
a
√
√
R2 + 1 dt = a R2 + 1.
0
Wir wählen nun eine andere Parametrisierung der Spirale:
⎛
⎞
R cos(at2 )
⎜
⎟
γ (t) = ⎝ R sin(at2 ) ⎠ ,
γ : [0, 1] → R3 ,
at2
die mit der ersten Parametrisierung über γ (t) = γ(at2 ) zusammenhängt. Damit erhalten
wir
⎛
⎞
−2atR sin(at2 )
⎜
⎟
γ (t) = ⎝ 2atR cos(at2 ) ⎠
2at
und
1
dx =
√
2
2a R + 1
Γ
1
1
|
γ (t)| dt =
0
2at R2 sin2 (at2 ) + R2 cos2 (at2 ) + 1 dt
0
√
t dt = a R2 + 1,
0
also denselben Wert wie oben. Der Wert des Kurvenintegrals ist also unabhängig von der
Parametrisierung.
(2) Betrachte den Graphen der Funktion f : [a, b] → R, parametrisiert durch γ :
[a, b] → R, γ(t) = (t, f (t)) , wie in Beispiel 5.2 (2). Die Länge des Graphen lautet
b
b 1
dx =
1 + f (t)2 dt.
dt =
f (t)
Γ
a
a
Im Falle der Kettenlinie, f (x) = cosh x, x ∈ [−2, 2], erhalten wir wegen cosh2 x−sinh2 x =
1 für x ∈ R
2
2
2
dx =
1 + sinh t dt =
cosh t dt = [sinh t]2−2
Γ
˜
−2
−2
1
1
= (e2 − e−2 ) − (e−2 − e2 ) = e2 − e−2 = 2 sinh 2 = 7.2537 . . . .
2
2
Als nächstes wollen wir das Kurvenintegral für vektorwertige Funktionen F
F (x) · dx
Γ
definieren. Anschaulich entspricht dieses Integral der Arbeit im Kraftfeld F entlang des
Weges Γ. Bewegen wir uns senkrecht zum Kraftfeld, so wird keine Arbeit verrichtet.
81
Allgemein hängt die verrichtete Arbeit vom Winkel zwischen Kraftfeld F (x) und Tangentenvektor γ (t)/|γ (t)| an die Kurve auch von der Stärke des Kraftfeldes ab, d.h. vom
Skalarprodukt an der Stelle x = γ(t)
F (γ(t)) ·
γ (t)
|γ (t)|
(siehe Abbildung 5.2). Integration über alle Kurvenpunkte x = γ(t) liefert das gesuchte
Integral:
b
b
γ (t) |γ (t)| dt =
F (γ(t)) · F (γ(t)) · γ (t) dt.
|γ
(t)|
a
a
Γ
F
γ (t)
|γ (t)|
x = γ(t)
F (x)
Abbildung 5.2: Weg auf einer Kurve Γ in einem Kraftfeld F . Der Tangentenvektor an die
Kurve in x = γ(t) ist gegeben durch γ (t)/|γ (t)|.
Definition 5.5 Seien F : DF ⊂ Rn → Rn ein Vektorfeld und Γ ⊂ DF eine Kurve,
parametrisiert durch γ : [a, b] → Rn . Das Kurvenintegral (2. Art) von F über Γ ist
definiert durch
b
F (x) · dx =
F (γ(t)) · γ (t) dt.
Γ
a
Beispiel 5.6 Sei Γ die Kreislinie im R2 um den Ursprung mit Radius 1, parametrisiert
durch
cos
t
.
γ(t) =
γ : [0, 2π] → R2 ,
sin t
(1) Sei F : R2 → R2 , F (x1 , x2 ) = (x1 + x2 , x1 − x2 ). Dann ist
2π − sin t
cos t + sin t
dt
·
F (x) · dx =
cos t
cos t − sin t
0
Γ
2π
=
(−2 sin t cos t − sin2 t + cos2 t) dt.
0
82
Mit den Additionstheoremen
1
cos(2t) = (cos2 t − sin2 t)
2
sin(2t) = sin t cos t,
folgt
2π
F (x) · dx =
(−2sin(2t) + 2 cos(2t)) dt
Γ
0
2π
= [cos(2t)]2π
0 + [sin(2t)]0 = 0.
Das Ergebnis ist plausibel, da in einem Kraftfeld entlang einer geschlossenen Kurve keine
Arbeit verrichtet oder gewonnen werden kann (sonst gäbe es ein Perpetuum mobile).
(2) Sei F : R2 → R2 , F (x1 , x2 ) = (x1 − x2 , x1 + x2 ). Wir berechnen wieder das
Kurvenintegral über Γ:
2π cos t − sin t
− sin t
F (x) · dx =
·
dt
cos t + sin t
cos t
Γ
0
2π
(sin2 t + cos2 t) dt = 2π.
=
0
Obwohl die Kurve geschlossen ist, erhalten wir einen von Null verschiedenen Wert. Woran
liegt das?
Bevor wir die obige Frage beantworten, benötigen wir eine Definition (siehe Abbildung 5.3).
Definition 5.7 (1) Die Menge G ⊂ Rn heißt zusammenhängend genau dann, wenn je
zwei Punkte aus G durch eine Kurve, die vollständig in G liegt, verbunden können.
(2) Die Menge G ⊂ Rn heißt sternförmig genau dann, wenn es einen Punkt x0 ∈ G
gibt, so daß für alle x ∈ G die Verbindungsgerade von x0 nach x ganz in G liegt.
Satz 5.8 Seien Df ⊂ Rn zusammenhängend und F : DF → Rn ein stetiges Vektorfeld.
Dann gilt
F (x) · dx = 0 für alle geschlossenen, glatten Kurven Γ ⊂ DF
Γ
genau dann, wenn es eine Funktion f : DF → R gibt mit
F = ∇f.
In Abschnitt 4.4 haben wir f ein Potential genannt und f ein Potentialfeld.
83
11111111111
00000000000
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
0000
1111
00000000000
11111111111
x
0000
1111
00000000000
11111111111
0000
1111
00000000000
11111111111
x0
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
weder zusammenhängend
noch sternförmig
11111111111
00000000000
x
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
x0
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
00000000000
11111111111
zusammenhängend,
nicht sternförmig
111111111111
000000000000
x
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
x0
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
000000000000
111111111111
zusammenhängend
und sternförmig
Abbildung 5.3: Zu den Begriffen “zusammenhängend” und “sternförmig”.
Beispiel 5.9 Sei Γ die Kreislinie mit Radius 1 in der (x1 , x2 )-Ebene, parametrisiert durch
⎛
⎞
cos t
⎜
⎟
γ(t) = ⎝ sin t ⎠ .
γ : [0, 2π] → R3 ,
0
Die Kurve Γ ist glatt und geschlossen.
(1) Sei F (x) = |x|−3 x, x ∈ R3 \{0}. Es gilt:
F (x) · dx =
2π
0
Γ
⎛
⎞ ⎛
⎞
cos t
− sin t
1
⎜
⎟ ⎜
⎟
√
3 ⎝ sin t ⎠ · ⎝ cos t ⎠ dt
cos2 t + sin2 t
0
0
2π
(− cos t sin t + sin t cos t) dt = 0.
=
0
Um Satz 5.8 anwenden zu können, müßten wir zeigen, daß das Kurvenintegral von F für
alle glatten, geschlossenen Kurven verschwindet. Wir wissen aber bereits aus Beispiel 4.25,
daß F ein Potential besitzt, nämlich f (x) = −|x|−1 . Das Potential f ist das Coulomb
Potential zum elektrischen Feld F .
(2) Sei
⎞
⎛
−x2
⎟
⎜
F (x) = ⎝ x1 ⎠ ,
x ∈ R3 .
0
Wir berechnen das Kurvenintegral über Γ:
⎛
⎞ ⎛
⎞
− sin t
2π − sin t
2π
⎜
⎟ ⎜
⎟
F (x) · dx =
(sin2 t + cos2 t) dt = 2π.
⎝ cos t ⎠ · ⎝ cos t ⎠ dt =
Γ
0
0
0
0
84
Nach Satz 5.8 kann F kein Potential besitzen. Dies ist nach den Ergebnissen aus Abschnitt
4.4 auch einleuchtend, denn gäbe es eine Funktion f mit F = ∇f , so folgt nach Satz 4.30
(2)
⎛ ⎞
0
⎜ ⎟
0 = rot (∇f ) = rot F = ⎝0⎠ ,
2
also ein Widerspruch.
Das letzte Beispiel läßt vermuten, daß es einen Zusammenhang zwischen dem Verschwinden des Integrals über geschlossenen Kurven und der Rotation im R3 gibt. Existiert
nämlich zu F = (F1 , . . . , Fn ) ein Potential f und ist F stetig partiell differenzierbar, so
folgt nach dem Satz 4.14 von Schwarz wegen Fi = ∂f /∂xi :
∂Fi
∂ ∂f
∂ ∂f
∂Fj
=
=
=
∂xj
∂xj ∂xi
∂xi ∂xj
∂xi
für alle i, j = 1, . . . , n.
Für n = 3 bedeutet dies gerade rot F = 0. Es gilt allgemein:
Satz 5.10 Seien DF ⊂ Rn sternförmig und F : DF → Rn ein stetig partiell differenzierbares Vektorfeld. Dann gilt
F (x) · dx = 0
für alle geschlossenen, glatten Kurven Γ ⊂ DF
Γ
genau dann, wenn
∂Fi
∂Fj
=
∂xj
∂xi
für alle i, j = 1, . . . , n.
Beispiel 5.11 Sei Γ ⊂ R2 parametrisiert durch γ(t) = (cos t, sin t) , 0 ≤ t ≤ 2π, und sei
−x2
x1
1
F (x) = 2
für x =
∈ R2 \{0}.
|x|
x1
x2
Dann gilt
−x2
2x22
x22 − x21
−1
+
=
,
=
x21 + x22
x21 + x22 (x21 + x22 )2
(x21 + x22 )2
∂
2x21
x22 − x21
x1
1
∂F2
=
−
= 2
,
= 2
∂x1
∂x1 x21 + x22
x1 + x22 (x21 + x22 )2
(x1 + x22 )2
∂F1
∂
=
∂x2
∂x2
also
∂F2
∂F1
=
.
∂x2
∂x1
85
Nach Satz 5.10 würden wir vermuten, daß das Kurvenintegral von F über Γ verschwindet.
Wir prüfen dies nach:
2π
−
sin
t
−
sin
t
1
dt = 2π = 0.
·
F (x) · dx =
2
cos t + sin2 t cos t
cos t
Γ
0
Dieses Ergebnis scheint in Widerspruch zu Satz 5.10 zu stehen. Der Widerspruch löst sich
aber auf, denn der Definitionsbereich DF = R2 \{0} ist nicht sternförmig: Für beliebiges
x0 ∈ R2 liegt die Verbindungsgerade von x0 nach x = −x0 nicht ganz in DF (siehe
Abbildung 5.4).
R2 \{0}
x2
0
x0
x1
−x0
Abbildung 5.4: Die Verbindungsgerade von x0 nach −x0 liegt nicht ganz in DF = R2 \{0},
denn 0 ∈ DF .
Als Korollar zu den Sätzen 5.8 und 5.10 erhalten wir folgendes Ergebnis.
Korollar 5.12 Sei F : DF ⊂ Rn → Rn ein Vektorfeld. Dann gilt:
(a) ∃ f : DF → R : F = ∇f =⇒ rot F = 0.
(b) DF sternförmig und rot F = 0 =⇒ ∃ f : DF → R : F = ∇f .
Beispiel 5.13 In der Elektrostatik gilt rot E = 0 für das elektrische Feld. Gilt diese Gleichung in einem sternförmigen Gebiet, so besitzt E ein Potential, nämlich das elektrische
Potential U mit E = −∇U.
86
Fragen zum Selbsttest:
1. Die folgenden Parametrisierungen beschreiben eine Kreislinie mit Radius R um den
2
Nullpunkt
im R (t∈ [0, 2π]):
√
sin t
− cos t
cos t
√ .
(a)
, (b)
, (c)
cos t
sin t
sin t
2. Seien f : Df ⊂ Rn → R und γ : [a, b] → Rn eine Parametrisierung einer Kurve
Γ ⊂DF . Dann ist das Kurvenintegral
von f über Γ definiert
durch
b
(a)
f (γ(t))γ (t) dt,
b
(b)
a
f (γ(t))|γ (t)| dt,
b
(c)
a
f (t)γ (t) dt.
a
3. Die Länge der Kurve γ(t) = (t2 , t2 ) , 0 ≤ t ≤ 1, beträgt
√
(a) 1 (b) 2, (c) 2.
4. Die Länge der Kurve γ(t) = (t, f (t)), t ∈ [a, b], wobei f : [a, b] → R eine Funktion
ist, beträgt
b
b
b
2
2
1 + f (t) dt, (b)
1 + f (t) dt, (c)
t2 + f (t)2 dt.
(a)
a
a
a
5. Seien DF ⊂ Rn sternförmig und F = (F1 , . . . , Fn ) : DF → Rn stetig partiell
differenzierbar. Es gelte für alle geschlossenen glatten Kurven Γ ⊂ DF , daß
F (x) · dx = 0.
Γ
Dann folgt für alle i, j = 1, . . . , n:
∂Fi ∂Fj
∂Fi ∂Fj
+
= 0, (b)
−
= 0,
(a)
∂xj
∂xi
∂xj
∂xi
(c)
∂Fi ∂Fj
−
= 0.
∂xi
∂xj
6. Seien DF und F wie in 5. und sei Γ ⊂ DF eine geschlossene, glatte Kurve. Der Wert
von I = Γ F (x) · dx ist
(a) gleich Null für alle Γ,
(b) ungleich Null für alle Γ,
(c) ungleich Null für manche Γ.
Richtige Antworten:
1a, 1b; 2a; 3b; 4b; 5b; 6a.
87
5.2
Mehrfachintegrale
Wir definieren zunächst das Integral einer Funktion f : [0, 1]2 → R über dem zweidimensionalen Quader Q = (0, 1)2. Ähnlich wie im eindimensionalen Fall approximieren wir
das Integral durch die Summe der Flächeninhalts kleiner Quadrate um einen Punkt x(i) ,
multipliziert mit f (x(i) ):
n
(i)
(i)
f (x(i) )∆x1 ∆x2
i=1
(siehe Abbildung 5.5). Im Grenzwert immer feiner werdender Zerlegungen von Q durch
kleine Quadrate erhalten wir das Integral über Q:
f (x1 , x2 )dx1 dx2 = lim
n→∞
Q
n
(i)
(i)
f (x(i) )∆x1 ∆x2 .
i=1
Allgemein definieren wir:
x2
1
(i)
x(i)
1111
0000
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
0000
1111
∆x2
(i)
0
∆x1
1
x1
Abbildung 5.5: Zerlegung des Quadrats (0, 1)2 in kleine Quadrate mit Flächeninhalt
(i)
(i)
∆x1 ∆x2
Definition 5.14 Seien Q = (a1 , b1 ) × . . . × (an , bn ) ein Quader im Rn und f : Q → R
eine stetige Funktion. Wir definieren das Integral von f über Q durch
b2 b1
bn
f (x) dx =
···
f (x) dx1 dx2 · · · dxn .
(5.1)
Q
an
a2
a1
Tatsächlich spielt die Reihenfolge, in der wir die einzelnen Integrale auswerten, keine
Rolle, und wir können die Klammern weglassen, denn es gilt das folgende Resultat.
88
Satz 5.15 (Fubini)
Sei f : Q → R eine stetige Funktion. Dann spielt die Reihenfolge, in der das Integral
(5.1) ausgerechnet wird, keine Rolle. Insbesondere gilt im Fall n = 2:
b2
b1
b1
b2
f (x) dx1 dx2 =
a2
f (x) dx2 dx1 .
a1
a1
a2
Beispiel 5.16 (1) Sei f (x) = x1 + x22 , x = (x1 , x2 ) ∈ Q = (0, 1) × (0, 2). Dann ist
2
1
f (x) dx =
Q
0
0
(x1 + x22 ) dx1 dx2 .
(5.2)
Wir werten zuerst das innere Integral bezüglich x1 aus, indem wir x2 als konstanten
Parameter betrachten:
x1 =1
1
1 2
1
2
2
(x1 + x2 ) dx1 = x1 + x2 x1
= + x22 .
2
2
0
x1 =0
Schließlich integrieren wir das äußere Integral bezüglich x2 , indem wir das obige Resultat
in (5.1) einsetzen:
f (x) dx =
Q
0
2
x =2
1
1
1 3 2
8
11
2
( + x2 ) dx2 = x2 + x2
=1+ = .
2
2
3
3
3
x2 =0
(2) Sie f (x) = x1 · c22 , x = (x1 , x2 ) ∈ Q und Q wie in (1). Wir können das Integral in
zwei Faktoren zerlegen:
2 1
2
1
2
2
f (x) dx =
x1 · x2 dx1 dx2 =
x2 dx2 ·
x1 dx1
Q
=
0
0
1 3
x
3 2
2 0
1 2
x
2 1
0
1
=
0
4
8 1
· = .
3 2
3
0
Integrale über den gesamten Raum Rn können wir als Grenzwert immer größer werdender Quader QR = (−RR)n = (−R, R) × · · · × (−R, R) definieren:
f (x) dx = lim
f (x) dx.
R→∞
Rn
QR
Diese Definition macht Sinn, wenn
|f (x)| dx
lim
R→∞
QR
existiert.
89
Beispiel 5.17 Sei f (x) = e−|x1 |−|x2|−|x3| , x ∈ R3 . Wir berechnen zuerst das Integral von
f über QR = (−R, R)3 und führen dann den Grenzwert R → ∞ durch:
R
R
R
e−|x1 |−|x2 |−|x3| dx3 dx2 dx1
f (x) dx =
−R
R
QR
−R
−R
−|x1 |
=
e
dx1
−R
R
−|x2 |
e
−R
3
e−|x| dx
=
R
dx2
R
−R
e−|x3 | dx3
.
−R
Wegen der Symmetrie der Funktion x → e−|x| erhalten wir
R
R
R
−|x|
e
dx = 2
e−x dx = 2 −a−x 0 = 2(1 − e−R ),
−R
0
also
3
f (x) dx = lim 2(1 − e−R ) = 8.
f (x) dx = lim
R→∞
R3
R→∞
QR
Um Funktionen über kompliziertere Gebiete integrieren zu können, ist es zweckmäßig,
das Gebiet geeignet zu parametrisieren. Wir illustrieren die Vorgehensweise anhand einiger
Beispiele.
Beispiel 5.18 (1) Integriere f (x) = cos x1 · e−x2 , x = (x1 , x2 ) ∈ R2 , über das in Abbildung 5.6 links skizzierte Dreieck G. Wir parametrisieren das Gebiet wie folgt:
G = {(x1 , x2 ) ∈ R2 : 0 < x1 < π, 0 < x2 < x1 }.
Dann ist
π
f (x) dx =
G
x1
cos x1 · e−x2 dx2 dx1 .
0
0
Hier können wir die Integrationsreihenfolge nicht vertauschen, da das innere Integral von
der Variablen x1 des äußeren Integrals abhängt. Wir berechnen zuerst das innere Integral
x1
π
π
−x2
f (x) dx =
cos x1
e
dx2 dx1 =
cos x1 (1 − e−x1 ) dx1
G
0
0
0 π
π
=
cos x1 dx1 −
cos x1 e−x1 dx1 .
0
Wegen
folgt
0
1
cos xe−x dx = e−x (sin x − cos x)
2
f (x) dx =
G
[sin x1 ]π0
1
− e−x1 (sin x1 − cos x1 )
2
90
π
0
1
= − (e−π + 1).
2
(2) Berechne den Flächeninhalt einer Kreisscheibe mit Radius R. Wir müssen also das
Integral
1 dx
mit K = Kreisscheibe mit Radius R
K
lösen. Dazu parametrisieren wir den Viertelkreis G durch
0 < x2 < R2 − x21
0 < x1 < R,
(siehe Abbildung 5.6 rechts) und erhalten
√ 2
dx = 4
dx = 4
K
R
dx2 dx1 = 4
0
G
R −x21
R
0
0
R2 − x21 dx1 .
Mit der Substitution x1 = R sin y, also 0 < y < π/2 und
dx1
= R cos y
dy
ergibt sich
π/2
dx = 4
0
K
dx1 = R cos y dy
R2
−
(R sin y)2 R cos y dy
π/2
= 4R2
bzw.
cos2 y = 4R2
0
= 4R
π/2
2
1 − sin2 y cos y dy
0
1
(y + sin y cos y)
2
π/2
= πR2 .
x2
R
G
0
R2 − x21
x2
G
x1
0 < x1 < x2
0
x1
π x1
0
x1 R x1
Abbildung 5.6: Zur Parametrisierung eines Dreiecks (links) und eines Viertelkreises
(rechts).
Im letzten Beispiel scheint es angebrachter, Polarkoordinaten zu verwenden, um den
Flächeninhalt zu berechnen. Dies bedeutet, daß wir eine mehrdimensionale Transformation
x1
r cos φ
x=
(5.3)
= g(r, φ) =
r sin φ
x2
91
durchführen möchten. Wir erinnern, daß im eindimensionalen Fall die Substitution x =
g(y) mit g : [c, d] → [a, b]
b
d
f (x) dx =
a
f (g(y))g (y) dy
c
oder symbolisch
dx = g (y) dy
lautet. Im Fall der zweidimensionalen Polarkoordinaten motivieren wir, wie dx = dx1 dx2
transformiert werden muß. In Abbildung 5.7 sehen wir, daß das Flächenelement ∆x1 ∆x2
durch die Polarkoordinaten (5.3) auf r∆r∆φ abgebildet wird. Die Abbildung g “verzerrt”
also das Element ∆x1 ∆x2 . Ein Maß für die Flächenverzerrung ist die Determinante. In
der Tat gilt
cos
φ
−r
sin
φ
= r(cos2 φ + sin2 φ) = r.
det g (r, φ) = det
sin φ
r cos φ
Im Grenzwert ist das Flächenelement dx1 dx2 also gleich | det g (r, φ)| dr dφ = r dr dφ. Der
folgende Satz sagt aus, daß dies allgemein gilt.
x2
φ + ∆φ
φ
r∆φ
x1
r
0
r + ∆r
∆r
Abbildung 5.7: Das Flächenelement in Polarkoordinaten lautet r∆r∆φ.
Satz 5.19 (Transformationsformel)
Seien f : G ⊂ Rn → R stetig und g : Q → G invertierbar und stetig partiell differenzierbar. Dann gilt:
f (x) dx =
f (g(y))| det g (y)| dy.
G
Q
92
Beispiel 5.20 (Integration mit Polarkoordinaten)
(1) Wir wollen den Flächeninhalt einer Kreisscheibe K mit Radius R mit Hilfe der Polarkoordinaten (5.3) berechnen. Wir haben bereits die symbolische Formel
dx1 dx2 = r dr dφ
berechnet. In Polarkoordinaten wird die Kreisscheibe durch 0 ≤ r < R, 0 ≤ φ < 2π
beschrieben. Daher ist
2π R
2π
R
dx =
dx1 dx2 =
r dr dφ =
dφ
r dr = πR2 .
K
K
0
0
0
0
−|x|2 /2
, x ∈ R. Wir berechnen das Integral von f über R2 , parametrisiert
(2) Sei f (x) = e
durch 0 ≤ r < ∞, 0 ≤ φ < 2π. Wegen r = |x| folgt
−|x|2 /2
e
R2
2π
∞
dx =
−r 2 /2
e
r dr dφ = 2π
∞
2
= 2π.
= 2π −e−r /2
0
∞
0
re−r
2 /2
dr
0
(5.4)
0
Andererseits gilt in kartesischen Koordinaten:
2
2
−|x|2 /2
e
dx =
e−x1 /2−x2 /2 dx2 dx1
R2
R R
2
−x21 /2
−x22 /2
−x2 /2
=
e
dx1 e
dx2 =
e
dx .
(5.5)
Setzen wir (5.4) und (5.5) gleich, erhalten wir die wichtige Beziehung
√
2
e−x /2 dx = 2π.
(5.6)
R
R
R
R
2
Beachte, daß die Funktion x → e−x /2 keine elementare Stammfunktion besitzt, so daß
deren Integral über ein Intervall i.a. nur numerisch berechnet werden kann.
Die Zylinderkoordinaten sind nach Abschnitt 4.1 definiert durch
⎛
⎞
r cos φ
⎜
⎟
g(r, φ, z) = ⎝ r sin φ ⎠ ,
0 ≤ r < ∞, 0 ≤ φ < 2π, z ∈ R.
z
Wir berechnen die Ableitung von g und deren Determinante:
⎛
⎞
cos φ −r sin φ 0
cos
φ
−r
sin
φ
⎜
⎟
= r.
det g (r, φ, z) = det ⎝ sin φ r cos φ 0 ⎠ = det
sin φ r cos φ
0
0
1
Also gilt symbolisch:
dx1 dx2 dx2 = r dr dφ.
93
Beispiel 5.21 (Integration mit Zylinderkoordinaten)
(1) Ein Zylinder Z mit Radius R und Höhe H wird beschrieben durch 0 ≤ r < R, 0 ≤
φ < 2π, 0 < z < H. Das Volumen dieses Zylinders lautet also
H 2π R
R
dx =
r dr dφ dz = 2πH
r dr = πR2 H.
Z
0
0
0
0
Das Volumen ist wie erwartet gleich der Zylindergrundfläche πR2 , multipliziert mit der
Höhe H.
(2) Ein umgedrehter Kegel K mit Radius R und Höhe sei mit einem Gas der Dichte
f (x) = e−x3 gefüllt. Wir wollen die Gesamtmasse des Gases in dem Kegel berechnen. Wir
parametrisieren den Kegel in Zylinderkoordiaten durch
0 ≤ r < R, 0 ≤ φ < 2π, 0 < z <
H
r
R
(siehe Abbildung 5.8). Dann ist mit z = x3 :
2π
R
Hr/R
f (x) dx =
K
0
0
R
0
Hr/R
r
= 2π
0
−z
e
R
dz dr = 2π
0
R
= 2π
e−z r dz dr dφ
r 1 − e−Hr/R dr.
0
Hr/R
r −e−z 0
dr
0
Wegen
−αr
re
1 −αr
1
dr = − e
r+
α
α
für α = 0
folgt
R
R
r dr − 2π
re−Hr/R dr
0
0
R
R −Hr/R
R
2
e
= πR + 2π
r+
H
H 0
2
2
R
R
2
−H
= πR + 2π
e (H + 1) −
.
H
H
f (x) dx = 2π
K
Ist die Höhe des Kegels sehr viel größer als dessen Radius, d.h., R/H ist sehr viel kleiner
als Eins, können wir das Integral approximieren durch
f (x) dx ≈ πR2 .
K
94
z = x3
H
z=
R
H
r
R
0
r
x1
x2
Abbildung 5.8: Zur Parametrisierung eines umgedrehten Kegels mit Radius R und Höhe
H.
Die Kugelkoordinaten lauten gemäß Abschnitt 4.1:
⎛
⎞
r sin θ cos φ
⎜
⎟
g(r, θ, φ) = ⎝ r sin θ sin φ ⎠ ,
0 ≤ r < ∞, 0 ≤ φ < 2π.
r cos θ
Die Determinante der Ableitung berechnet sich zu
⎛
⎞
sin θ cos φ r cos θ cos φ −r sin θ sin φ
⎜
⎟
det g (r, θ, φ) = det ⎝ sin θ sin φ r cos θ sin φ −r sin θ cos φ ⎠
cos θ
−r sin θ
0
= r 2 sin θ cos2 θ cos2 φ + sin2 θ sin2 φ + cos2 θ sin2 φ + sin2 θ cos2 φ
= r 2 sin θ cos2 θ + sin2 θ = r 2 sin θ.
Symbolisch lautet damit das Volumenelement in Kugelkoordinaten:
dx1 dx2 dx3 = r 2 sin θ dr dθ dφ.
Beispiel 5.22 (Integration mit Kugelkoordinaten)
(1) Das Integral
2
e−|x| /2 dx
R3
95
kann mit Kugelkoordinaten berechnet werden:
2π π ∞
2
−|x|2 /2
e
dx =
e−r /2 r 2 sin θ dr dθ dφ
R3
0
0
0
2π
π
∞
2
=
dφ ·
sin θ dθ ·
r 2 e−r /2 dr
0
0
∞ 0
2
r 2 e−r /2 dr.
= 4π
0
Partielle Integration liefert
∞
∞ −r 2 /2
−r 2 /2
1·e
dr = r · e
−
0
0
∞
−r 2 /2
r · (−r)e
∞
dr =
0
r 2 e−r
2 /2
dr.
0
Das Integral auf der linken Seite haben wir bereits in Beispiel 5.20 (2) berechnet (siehe
(5.6)):
∞
1
1√
2
−r 2 /2
e
dr =
e−r /2 dr =
2π.
2 R
2
0
Wir schließen
∞
√
√ 3
2
−|x|2 /2
e
dx = 4π
e−r /2 dr = 2π 2π = 2π .
R3
0
Dieses Ergebnis war zu erwarten, da mit (5.6)
−|x|2 /2
−x21 /2
e
dx =
e
dx1
R3
R3
=
−x22 /2
e
R3
dx2
3
√ 3
−x2 /2
e
dx = 2π
2
R3
e−x3 /2 dx3
R
folgt.
(2) Wir wollen die mittleren Abstände des Elektrons zum Atomkern für das s-Orbital
(Grundzustand) und das pz -Orbital des Wasserstoffatoms bestimmen. Der mittlere Abstand ist gleich dem Erwartungswert des quantenmechanischen Ortsoperators:
ψ|r|ψ =
ψ(x) r ψ(x) dx,
R3
wobei r = |x|. Das s- bzw. pz -Orbital wird durch die folgenden Wellenfunktionen beschrieben:
ψs (r, θ, φ) = √
1
πa3
e−r/a ,
1
r −r/a
cos θ,
ψp (r, θ, φ) = √
e
4 2πa3 a
wobei a der erste Bohrsche Radius ist. Um die Abstände zu bestimmen, müssen wir
also nur die Integrale über die entsprechenden Wellenfunktionen in Kugelkoordinaten
96
ausrechnen:
2π π ∞
1
ψs (x) r dx = 3
re−2r/a r 2 sin θ dr dθ dφ
ψs |r|ψs =
πa
3
0
0
0
R
∞
1
· 2π · 2 ·
r 3 e−2r/a dr.
=
πa3
0
2
Wir verwenden folgende Rechenformel, die man durch sukzessive partielle Integration
nachweisen kann:
∞
k!
r k e−αr dr = k+1
für k ∈ N0 .
α
0
Dann folgt
ψs |r|ψs =
4 3!
3
= a.
3
4
a (2/a)
2
Für die Wellenfunktion des pz -Orbitals rechnen wir:
2π π ∞ 2
1
r
r
e−r/a cos2 θ · r 2 sin θ dr dθ dφ
ψp |r|ψp =
3
32πa 0
a
∞ s
π 0 0
r −r/a
2π
2
cos θ sin θ dθ
e
dr
=
3
32πa 0
a2
0
π
1
1 5!
1 2 1
1
3
=
=
120a6 = 5a.
− cos θ
3
2
6
3 3 a2
16a
3
a
(1/a)
16a
0
Der mittlere Abstand des Elektrons zum Wasserstoffkern beträgt also 32 a im Grundzustand
(s-Orbital) und 5a im pz -Orbital (siehe Abbildung 5.9).
5a
Wasserstoffkern
3
a
2
s-Orbital
pz -Orbital
Abbildung 5.9: Mittlere Abstände des Elektrons im Wasserstoffatom zum Kern.
97
Fragen zum Selbsttest:
1. Das Integral
1
1
1
x1 x2 dx1 dx2 dx3
0
besitzt den Wert
(a) 0, (b) 14 , (c) 12 ,
0
0
(d) 1.
2. Seiten f : G ⊂ Rn → R stetig und g : Q → G invertierbar und stetig partiell
differenzierbar. Dann lautet die Transformationsformel
(a) Q f (x) dx = G f (g(y))| det g (y)| dy,
(b) G f (x) dx = Q f (g(t))| det g (t)| dt,
(c) G f (x) dx = Q f (g(y))g (y) dy.
3. Das Volumenelement dx1 dx2 dx3 lautet in Zylinderkoordinaten:
(a) r 2 sin φ dr dφ dz, (b) r sin θ dr dθ dφ, (c) r dr dφ dz.
4. Das Volumenelement dx1 dx2 dx3 lautet in Kugelkoordinaten:
(a) r dr dθ, dφ, (b) r 2 sin φ dr dθ dφ, (c) r 2 sin θ dr dθ dφ.
5. Das Integral von f (x) = |x|−2 , x ∈ R3 \{0}, über eine Kugel mit Radius 1 um den
Ursprung hat den Wert
(a) ∞, (b) 4π, (c) 2π, (d) π.
Richtige Antworten:
1b; 2b; 3c; 4c; 5b.
98
5.3
Oberflächenintegrale
Ziel dieses Abschnitts ist die Definition und Berechnung von Integralen der Form
f (x) ds,
(5.7)
S
wobei S ⊂ R3 eine Fläche (englisch: surface) sei. Flächen im R3 können wir durch Funktionen g : Q → S parametrisieren, wobei Q ein zweidimensionaler Parameterbereich sei.
Beispiel 5.23 (1) Das Rechteck S = (0, 1) × (0, 1) × {2} im R3 kann durch die Funktion
⎛ ⎞
s
⎜ ⎟
g(s, t) = ⎝ t ⎠ ,
(s, t) ∈ Q = (0, 1) × (0, 1)
2
parametrisiert werden (siehe Abbildung 5.10 links).
(2) Für die Parametrisierung der Oberfläche der Nordhalbkugel mit Radius R um den
Ursprung (siehe Abbildung 5.10 rechts) wählen wir Kugelkoordinaten, wobei der Radius
R fest ist:
⎛
⎞
R sin θ cos φ
π
⎜
⎟
(5.8)
g(θ, φ) = ⎝ R sin θ sin φ ⎠ ,
0 ≤ θ ≤ , 0 ≤ φ < 2π.
2
R cos θ
Dann ist g : Q → S mit Q = [0, π2 ] × [0, 2π) und S = Oberfläche der Nordhalbkugel (ohne
Boden).
⎛ ⎞
s
⎜ ⎟
g(s, t) = ⎝ t ⎠
0
x3
2
g(θ, φ)
x3
θ
s
1
R
x1
x1
R
t
x2
1
φ
x2
Abbildung 5.10: Parametrisierung eines Rechtecks (links) und der Oberfläche der Nordhalbkugel (rechts).
99
Das Integral (5.7) definieren wir als den Grenzwert immer feiner werdender Zerlegungen der Summe über die Flächenelemente ∆s(i) , gewichtet mit f (xi ), wobei xi ∈ ∆s(i) :
n
f (x) ds = lim
f (x(i) )∆s(i) .
n→∞
S
i=1
Die Frage ist, wie das Flächenelement ∆S (i) formuliert werden kann. Nach Abbildung 5.11
wird die Fläche approximiert durch die Parallelogramme ∆S (i) , deren Flächeninhalt durch
den Betrag des Kreuzprodukts der Tangentialvektoren ∂g/∂s und ∂g/∂t gegeben ist:
∂g
∂g
(i)
Flächeninhalt von ∆s = (s, t) × (s, t) .
∂s
∂t
Daher ist das Flächenelement ∆s(i) gleich
∂g
∂g
(i)
(s, t) ∆s∆t.
∆s = (s, t) ×
∂s
∂t
Das Kreuzprodukt steht senkrecht auf den Tangentialvektoren ∂g/∂s und ∂g/∂t und
folglich auch senkrecht auf dem Flächenelement, das durch die Tangentialvektoren aufgespannt wird. Das Kreuzprodukt wird daher auch die Normale auf S an x(i) genannt und
mit
∂g
∂g
(s, t) ×
(s, t)
(5.9)
n(s, t) =
∂s
∂t
bezeichnet. Die Definition des Oberflächenintegrals (5.7) ist also wie folgt.
n(s, t)
x(i) = g(s, t)
∂g
(s, t)
∂t
∆S (i)
∂g
(s, t)
∂s
S
Abbildung 5.11: Tangentialvektoren ∂g/∂s und ∂g/∂t und Normalenvektor n(s, t) an der
Fläche S.
Definition 5.24 Seien S eine Fläche im R3 mit invertierbarer und stetig partiell differenzierbarer Funktion. Dann ist das Oberflächenintegral (1. Art) von f über S definiert
durch
f (x) ds =
f (g(s, t))|n(s, t)| ds dt,
S
Q
und die Normale n(s, t) ist gegeben durch (5.9).
100
Beispiel 5.25 (1) Seien f (x) = x1 ·x3 , x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 und S = (0, 1)×(0, 1)×{2}
das Rechteck im R3 aus Beispiel 5.23 (1) mit Parametrisierung
⎛ ⎞
s
⎜ ⎟
g(s, t) = ⎝ t ⎠ ,
(s, t) ∈ Q = (0, 1)2.
2
⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛ ⎞
1
0 0 ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟
∂g
∂g
(s, t) ×
(s, t) = ⎝0⎠ × ⎝1⎠ = ⎝0⎠ = 1
∂s
∂t
0
0 1 Wir rechnen
und erhalten
1
f (x) ds =
S
0
1
1
f (s, t, 2) · 1 ds dt =
0
1
2s ds dt = 1.
0
0
(2) Wir berechnen die Oberfläche der Halbkugel S aus Beispiel 5.23 (2). Dazu bestimmen wir zunächst den Normalenvektor (siehe (5.8)):
⎛
⎞ ⎛
⎞
R cos θ cos φ
−R sin θ sin φ
∂g
∂g
⎜
⎟ ⎜
⎟
(θ, φ) ×
(θ, φ) = ⎝ R cos θ sin φ ⎠ × ⎝ R sin θ cos φ ⎠
n(θ, φ) =
∂θ
∂φ
−R sin θ
0
⎛
⎞
sin θ cos φ
⎜
⎟
= R2 sin θ ⎝ sin θ sin φ ⎠ = R sin θg(θ, φ).
cos θ
(5.10)
In diesem speziellen Fall zeigt der Normalenvektor in Richtung des Vektors g(θ, φ). Der
Betrag von n(θ, φ) berechnet sich zu
|n(θ, φ)| = R sin θ|g(θ, φ)| = R2 sin θ.
Damit erhalten wir
ds =
S
0
2π
π/2
1 · |n(θ, φ)| dθ dφ =
0
0
2π
π/2
R2 sin θ dθ dφ = 2πR2 .
0
Beispiel 5.26 Wir betrachten die Oberfläche S eines Zylinders Z mit Radius R und
Höhe H (siehe Abbildung 5.12). Die Oberfläche umschließt den Zylinder und wird auch
als Rand des Zylinders bezeichnet. Wir schreiben insbesondere S = ∂Z, wobei das Symbol
∂ für “Rand von” steht. Der Zylinderrand besteht aus Deckel, Boden und Mantel, die wir
getrennt parametrisieren:
101
⎛
⎞
r cos φ
⎜
⎟
Boden: gB (r, φ) = ⎝ r sin φ ⎠ ,
0
⎛
⎞
r cos φ
⎜
⎟
Deckel: gD (r, φ) = ⎝ r sin φ ⎠ ,
H
⎛
⎞
R cos φ
⎜
⎟
Mantel: gM (φ, z) = ⎝ R sin φ ⎠ ,
z
(r, φ) ∈ QB = [0, R] × [0, 2π),
(r, φ) ∈ QD = [0, R] × [0, 2π),
(φ, z) ∈ QM = [0, 2π) × [0, H].
x3
Deckel
H
R
Mantel
0
Boden
x1
x2
Abbildung 5.12: Bei der Zylinderoberfläche parametrisieren wir den Deckel, Boden und
Mantel separat.
Die entsprechenden Normalen lauten:
⎛ ⎞
0
∂gB
∂gB
⎜ ⎟
nB (r, φ) =
(r, φ) ×
(r, φ) = ⎝0⎠ , |nB (r, φ)| = r,
∂r
∂φ
r
⎛ ⎞
0
∂gD
∂gD
⎜ ⎟
(r, φ) ×
(r, φ) = ⎝0⎠ , |nD (r, φ)| = r,
nD (r, φ) =
∂r
∂φ
r
⎛
⎞
R cos φ
∂gM
∂gM
⎜
⎟
nM (φ, z) =
(φ, z) ×
(φ, z) = ⎝ R sin φ ⎠ , |nM (φ, z)| = R.
∂φ
∂z
0
Wir haben die Parametrisierung so gewählt, daß die Normalen nach außen zeigen (also
nicht in das Zylinderinnere). Man nennt diese Vektoren daher auch äußere Normalen.
102
Das Oberflächenintegral ist die Summe der drei Teilintegrale:
2π R
2π R
2π H
ds =
r dr dφ +
r dr dφ +
R dr dφ
∂Z
0
0
0
0
0
0
= 2π ·
Boden
2
Deckel
Mantel
2
R
R
+ 2π ·
+ 2πRH + 2πR(R + H).
2
2
Das Ergebnis ist einleuchtend: Die Zylinderoberfläche ist gleich den Flächeninhalten von
Deckel und Boden (2 · πR2 ) und der Fläche des Mantels (Höhe mal Breite = H · 2πR).
Ist F : S → R3 ein Vektorfeld, so definieren wir das Oberflächenintegral von F über
S ähnlich wie bei Kurvenintegralen (2. Art) (siehe Abschnitt 5.1).
Definition 5.27 Seien S eine Fläche im R3 mit invertierbarer und stetig partiell differenzierbarer Parametrisierung g : Q → S und F : S → R3 stetig. Dann ist das Oberflächenintegral (2. Art) von F über S gegeben durch
n(s, t)
F (x) · ds =
F (g(s, t)) ·
|n(s, t)| ds dt
|n(s, t)|
S
Q
F (g(s, t)) · n(s, t) ds dt.
=
Q
Beispiel 5.28 (1) Sei F (x) = x, x ∈ R3 . Wir wollen das Integral von F über die Kugel
mit Oberfläche ∂K und Radius R um den Ursprung besimmen. Die Kugeloberfläche wird
parametrisiert durch
⎛
⎞
R sin θ cos φ
⎜
⎟
g(θ, φ) = ⎝ R sin θ sin φ ⎠ ,
(θ, φ) ∈ Q = [0, π] × [0, 2π)
(5.11)
R cos θ
mit äußerer Normalen (siehe (5.10))
n(θ, φ) =
∂g
∂g
(θ, φ) ×
(θ, φ) = R sin θg(θ, φ).
∂θ
∂φ
Es folgt für das Oberflächenintegral
2π π
F (x) · ds =
F (g(θ, φ)) · n(θ, φ) dθ dφ
∂K
0
0
2π π
=
(g(θ, φ) · R sin θg(θ, φ) dθ dφ
0
0
2π π
R3 sin θ dθ dφ = 2π · 2R3 = 4πR3
=
0
0
= 3 · Volumen der Kugel.
103
(5.12)
(2) Wir integrieren das Vektorfeld F (x) = (−x2 , x1 , 0) über die Kugeloberfläche wie
in (1):
⎛
⎞
⎛
⎞
R sin θ cos φ
2π π −R sin θ sin φ
⎜
⎟ 2
⎜
⎟
F (x) · ds =
⎝ R sin θ cos φ ⎠ · R sin θ ⎝ R sin θ sin φ ⎠ dθ dφ
∂K
0
0
0
R cos θ
2π π
R2 sin θ −R2 sin2 θ sin φ cos φ + R2 sin2 θ cos φ sin φ dθ dφ
=
0
0
= 0.
Es gilt auch div F (x) = 0. Zufall? Nein, zwischen der Divergenz und dem Oberflächenintegral besteht ein Zusammenhang, der im Satz von Gauß präzisiert wird.
Satz 5.29 (Gauß)
Seien G ⊂ R3 ein beschränkter Bereich und ∂G der Rand von G, parametrisiert durch
eine invertierbare, stetig partiell differenzierbare Funktion g : Q ⊂ R2 → ∂G. Sei weiter
F : ∂G → R3 ein stetig partiell differenzierbares Vektorfeld. Bezeichnet n(s, t) die äußere
Normale
∂g
∂g
(s, t) × (s, t),
n(s, t) =
∂s
∂t
so gilt
div F dx =
(F · n) ds.
G
∂G
Der Satz 5.29 von Gauß ist eine Verallgemeinerung des Hauptsatzes der Differentialund Integralrechnung:
b
f (x) dx = f (b) − f (a)
a
für differenzierbare Funktionen f : [a, b] → R, denn mit den äußeren Normalen
n(a) = −1, n(b) = 1
an den Intervallenden a und b (siehe Abbildung 5.13) und G = (a, b); ∂G = {a, b} folgt
b
f (x) dx =
f (x) dx = f (b)n(b) + f (a)n(a) =
f (x)n(x) dx.
G
∂G
a
Beispiel 5.30 Wir greifen das Beispiel 5.28 auf und zeigen, daß die entsprechenden Oberflächenintegrale mit Hilfe des Satzes 5.29 von Gauß bequem berechnet werden können.
(1) Für F (x) = x, x ∈ R3 , gilt div F = 3, also nach dem Satz 5.29 von Gauß
F (x) · ds =
div F dx = 3
= 3 · Volumen der Kugel.
∂K
K
K
104
n(a) = −1
n(b) = 1
b
a
x
Abbildung 5.13: Äußere Normalenvektoren n(a) und n(b) am Rand des Intervalls (a, b).
(2) Für F (x) = (−x2 , x1 , 0), x = (x1 , x2 , x3 ) ∈ R3 , folgt div F = 0, also nach dem
Satz 5.29 von Gauß
F (x) · ds =
div F dx = 0.
∂K
K
Beispiel 5.31 Wir wollen den Fluß des elektrischen Feldes einer Punktladung
F (x) =
x
,
|x|
x ∈ R3 \{0},
durch die Oberfläche einer Kugel K vom Radius R um den Ursprung berechnen. Mit der
Parametrisierung (5.11) und der Normalen (5.12) erhalten wir
⎛
⎞
⎛
⎞
sin θ cos φ
R sin θ cos φ
2π π
1 ⎜
⎜
⎟
⎟ 2
F (x) · ds =
⎝ R sin θ sin φ ⎠ · R sin θ ⎝ sin θ sin φ ⎠ dθ dφ
3
0
0 R
∂K
cos θ
R cos θ
2π π
sin θ sin2 θ cos2 φ + sin2 θ sin2 φ + cos2 θ dθ dφ
=
0
2π 0
π
sin θdθ dφ = 2π.
=
0
Andererseits ist
∂
∂F1
(x) =
∂x1
∂x1
=
und analog
(5.13)
0
x1
2
2
(x1 + x2 + x23 )3/2
=
2x21
3
1
−
(x21 + x22 + x23 )3/2 2 (x21 + x22 + x23 )5/2
−2x21 + x22 + x23
|x|5
∂F2
x21 − 2x22 + x23
(x) =
,
∂x2
|x|5
∂F3
x21 + x22 − 2x23
(x) =
.
∂x3
|x|5
Es folgt
∂F2
∂F3
∂F1
(x) +
(x) +
(x) = 0
∂x1
∂x2
∂x3
und daher nach dem Satz 5.29 von Gauß
F (x) · ds =
div F dx = 0
div F (x) =
∂K
K
105
im Widerspruch zu (5.13). Was ist schiefgelaufen? Die Divergenz von F ist gleich Null für
alle x = 0, aber ungleich Null für x = 0. Genauer gesagt haben wir eine Singularität in
x = 0, die so stark ist, daß das Integral
div F dx = 2π
K
gemäß obiger Rechnng ist.
Satz 5.29 von Gauß eine hat einfache Interpretation: Der Fluß des Vektorfeldes F durch
den Rand eines Gebietes ist gleich der Stärke der Quellen bzw. Senken (Divergenz) von
F in diesem Gebiet. Der Satz kann auch dazu benutzt werden, um Transportleichungen
herzuleiten. Betrachte etwa eine Flüssigkeit mit Dichte (x, t) und Teilchenfluß J(x, t).
Die zeitliche Änderung der Flüssigkeitsmasse in einen Gebiet G
d
(x, t) dx
dt G
ist gleich dem Fluß der aus dem Gebiet heraus- oder hineintretenden Teilchen:
J(x, t) · n(x) ds,
∂G
wobei es genügt, nur die Normalkomponente J ·n zu berücksichtigen (falls J ·n = 0, ist der
Fluß tangential zum Rand, und es fließen keine Teilchen hinaus oder herein). Gleichsetzen
der beiden Gleichungen und Anwenden des Satzes 5.29 von Gauß führt auf
d
∂
(x, t) dx =
(x, t) dx =
J(x, t) · n(x) ds =
div J(x, t) dx.
dt G
G ∂t
∂G
G
Für alle Gebiete G ⊂ R3 gilt also
G
∂
− div J
∂t
dx = 0.
Dann muß auch der Integrand verschwinden (wenn die Funktionen stetig sind):
∂
− div J = 0,
∂t
x ∈ R3 , t ∈ R.
Man nennt diese Gleichung eine Transportgleichung für die Teilchendichte.
106
Fragen zum Selbsttest:
1. Das Oberflächenintegral von einem stetigen Skalarfeld f über die Kugeloberfläche
mit Radius R um den Ursprung lautet, wobei
⎛
⎞
R sin θ cos φ
⎜
⎟
g(θ, φ) = ⎝ R sin θ sin φ ⎠ ,
R cos θ
2π
2π
π
f (g(θ, φ))R2 sin θ dθ dφ,
(a)
0
0
0
π
f (g(θ, φ))R sin θ dθ dφ,
(b)
0
2π
(c)
π
f (g(θ, φ)) sin θ dθ dφ.
0
0
2. Das Oberflächenintegral von einem stetigen Vektorfeld F : S → R3 über eine durch
g : Q → S parametrisierte Oberfläche S lautet, wobei n(s, t) die äußere Normale an
S ist:
(a)
F (g(s, t))|n(s, t)| ds dt,
Q
Q
F (g(s, t)) · n(s, t) ds dt,
(b)
F (g(s, t)) · n(s, t) ds dt.
(c)
G
3. Der Satz von Gauß für ein Gebiet G ⊂ R3 mit Rand ∂G, äußerer Normale n(x) und
stetig partiell differenzierbarem Vektorfeld F : G → R3 lautet:
(a)
F (x) dx =
(F · n) ds,
G
∂G
(b)
div F (x) dx =
(F · n) ds,
G
∂G
(c)
div F (x) dx = (F · n) ds
∂G
G
4. Es erfüllen G ⊂ R3 und F : G → R3 den Satz von Gauß. Außerdem sei div F = 0.
Dann gilt
(F · n) ds = 0
∂G
(a) immer, (b) manchmal (hängt von F ab),
107
(c) nie.
5. Es erfüllen G ⊂ R3 und F : G → R3 den Satz von Gauß. Der Wert von
(rot F ) · n ds
∂G
lautet:
(a) 0, (b) 2π, (c) irgendein Wert von R\{0} (hängt von F ab).
6. Seien G ⊂ R3 ein Gebiet mit Rand ∂G und f : G → R zweimal stetig partiell
differenzierbar. Der Wert von
(∇f · n) ds
∂G
lautet:
(a) 0, (b) 2π, (c) irgendein Wert von R\{0} (hängt von f ab).
Richtig Antworten: 1a; 2b; 3b; 4a; 5a; 6c.
108