MATHEMATIK PROGRAMMIEREN MIT PYTHON

MATHEMATIK PROGRAMMIEREN MIT
PYTHON
Univ.–Prof. Dr. Stefan Müller-Stach
AG Zahlentheorie
27. September 2006
JOGU
Mainz
PYTHON: Möglichkeiten einer Programmiersprache
PYTHON:
Objektorientierte Sprache von Guido van Rossum [1]
benannt nach der MONTY PYTHON Truppe
Genutzt für Content Management Systeme
wie PLONE/ZOPE und auch GOOGLE et.al.
leicht erlernbar, geeignet für Mathematik (longint)
Plattformunabhängig (läuft auf Win, Mac, Linux etc.)
Kostenlos erhältlich, siehe http://python.org
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Starten von PYTHON
Man startet das Programm mit Hilfe einer Konsole, am besten
sogar eine interaktive Version wie z.B. IPYTHON. In folgender
Beispielsitzung wird die Mathematik–Bibliothek math geladen:
>>> import math
>>> math.pi
3.1415926535897931
>>> math.e
2.7182818284590451
>>> 2**5
32
>>> math.cos(2*math.pi)
1.0
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>>> 221 % 17
0
>>> 4/3 (oder besser 4//3)
1
>>> from future import division
>>> 4/3
1.33333333333
>>> 2**190
1569275433846670190958947355801916604025588861116008628224L
>>> numbers=[i for i in range(1,8)]
>>> numbers
[1,2,3,4,5,6,7]
>>> [2**n for n in numbers]
[2,4,8,16,32,64,128]
>>> [x for x in range(-10,10) if (x**4-13*x**2+36==0)]
[-3, -2, 2, 3]
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Beispiel 1: Der ggT
Man kann kleine Programme wie hier den größten gemeinsamen
Teiler von zwei ganzen Zahlen auch selbst auf der Konsole
programmieren:
>>> def ggt(a,b):
>>>
while b:
>>>
a,b=b,a%b
>>>
return a
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Etwas allgemeiner kann man den erweiterten Euklidischen
Algorithmus programmieren, der auch noch eine Linearkombination
xa + yb = ggt(a, b) ausgibt:
>>> def xggt(a,b):
>>>
x1,x2,y1,y2=1,0,0,1
>>>
while b:
>>>
q=a//b
>>>
x1,x2,y1,y2=x2,x1-q*x2,y2,y1-q*y2
>>>
a,b=b,a%b
>>>
return a,x1,y1
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Beispiel 2: Primzahlen
Mit PYTHON kann man auch Programme in Dateien schreiben
und ausführen lassen. Schreiben Sie folgendes Programm in eine
Datei z.B. mit dem Namen primzahltest.py:
from math import sqrt
def isprime(n):
if n % 2 == 0 and not n == 2:
return (0)
else:
limit = int(sqrt(n)) + 1
for l in range(3, limit, 2):
if n % l == 0:
return (0)
return (1)
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Jetzt kann man diese Datei laden und neu definierte Kommando
isprime benutzen:
>>> from primzahltest import isprime
>>> [i for i in range(1,30) if isprime(i)]
2,3,5,7,11,13,17,19,23,29
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Beispiel 3: Fibonacci Zahlen
def fibonacci(n):
a,b = 0,1
list=[1,1]
for x in range(1,n-1):
a,b=b,a+b
list.append(a+b)
return list
Das Kommando fibonacci(7) produziert nun die Liste der ersten
sieben Fibonaccizahlen [1,1,2,3,5,8,13].
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Beispiel 4: Fakultät
Rekursive Programmierung:
def factorial(n):
assert n>=0, "n nicht negativ!"
if n=1:
return 1
else:
return n*factorial(n-1)
Das Kommando factorial(5) ergibt das korrekte Ergebnis
5! = 120.
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Beispiel 5: Binomialkoeffizenten
Die Binomialkoeffizienten
im Pascalschen Dreieck auf und
tauchen
n!
∈ N.
sind definiert durch kn := k!(n−k)!
= n(n−1)···(n−k+1)
1·2···k
def binomial(n,k):
out=1
for i in range(1,k+1):
out = (out*(n-i+1))//i
return out
Das Kommando binomial(5,3) ergibt das korrekte Ergebnis 10.
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Beispiel 6: Mersenne Primzahlen und Lucas–Lehmer Test
Der Lucas–Lehmer Test untersucht ob n = 2p − 1 mit p prim eine
(Mersenne) Primzahl ist, die größten bekannten Primzahlen, z.B.
derzeit die Zahl 232.582.657 − 1 mit über 9.8 Mio. Ziffern [6]. Dazu
konstruiert man rekursiv eine Folge sn mit s1 = 4 und sn+1 = sn2 − 2
und testet, ob sp−1 durch n teilbar ist:
def lucas(p):
s=4
val=pow(2,p)-1
for i in range(3,p+1):
s=(s*s-2)%val
return not s
Die ersten fünf Mersenne–Primzahlen sind 22 − 1 = 3, 23 − 1 = 7,
25 − 1 = 31, 27 − 1 = 127 und 213 − 1 = 8191.
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Beispiel 7: Sierpinski Grafik
1
1
1
1
1
1
1
3
5
7
9
..
.
1
5
13
25
41
..
.
1
7
25
63
129
..
.
1
9
41
129
321
..
.
1
···
···
···
···
Bild wird durch PYTHON Imaging Library als JPEG–Bild erzeugt.
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PYTHON MATH LAB
PYTHON MATH LAB [3] ist eine Webseite, die zum Ziel hat,
Mathematik mit PYTHON zu unterstützen. Dort findet man
Bibliotheken für viele mathematische Teilgebiete, wie z.B.
Zahlentheorie, Geometrie, Kryptographie, Numerische Analysis.
Ebenso findet man dort PYTHON–Programme, die auf
Smartphones laufen (siehe unten).
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SAGE
SAGE [5] ist ein auf PYTHON aufgebautes freies und kostenloses
CAS. Es enthält u.a. NTL, MWRANK, NUMERIC, SINGULAR,
MAXIMA, GAP und PARI/GP.
sage: 2/3
2/3
sage: 2//3
0
sage: parent( )
Rational Field
sage: factor(232 + 1)
641 * 6700417
In der letzten Zeile sieht man, dass die 5–te Fermatzahl 232 + 1
nicht prim ist.
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NZMATH
NZMATH [7] ist ein eng auf die Zahlentheorie fokussiertes und in
PYTHON geschriebenes CAS. Im Gegensatz zu SAGE sind alle
Algorithmen ausschließlich in PYTHON implementiert und bilden
damit ein Lehrbeispiel für die Programmierung in PYTHON.
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NOKIA PYTHON für Series 60
Series 60 Telefone besitzen ein SYMBIAN Betriebssystem, für das
eine Opensource PYTHON Implementation von NOKIA existiert
[2].
Features:
2D Grafik, Bildbetrachtung
Kamera, Kalender und Kontaktdatenbankzugang
Soundaufnahme und Playback
Zugang zu Systeminformation (e.g. GSM Location)
Telefon und SMS-Nutzung
GPRS, Webserver und Bluetooth Applikationen
Standalone Programme herstellbar
Aktives Developer Forum [2]
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Mathematik auf dem Telefon
Das kleine in PYTHON geschriebene CAS mathlab.py läuft auf
Serie 60 Mobiltelefonen und löst viele kleine mathematische
Probleme der Zahlentheorie [3].
Features:
Elementare Zahlentheorie
Algebraische Zahlentheorie (Klassenzahlen)
Rationale Zahlen, Vektoren, Matrizen, Gleichungen
Taschenrechnerfunktionen
Elementare Kombinatorik
Eine Weiterentwicklung ist geplant. Götz Schwandtner vom
Institut für Informatik in Mainz hat z.B. einen
spigot–Algorithmus zur Berechnung beliebig vieler Ziffern von π
und e implementiert [13].
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Screenshots
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Andere PYTHON–Mathematik Links
In der numerischen Mathematik (Scientific Computing) werden oft
extrem große Matrizen benutzt und manipuliert. Dazu gibt die
Bibliothek NUMPY [4] (früher NUMERIC oder NUMARRAY).
Weitere Links: Kombinatorische Mathematik ALADIM [8],
MATHGUIDE [9] (weiteres CAS), Kryptographische Tools
PYCRYPTO [9], 2D und 3D Visualierungs- und Geometrietools
VPYTHON [10] und PYGEO [11].
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Bibliographie
[1 ] PYTHON, http://python.org
[2 ] NOKIA, http://opensource.nokia.com/projects/pythonfors60/
[3 ] PYTHON MATH LAB, http://hodge.mathematik.uni-mainz.de/
∼stefan/python/index.html
[4 ] NUMPY, http://numeric.scipy.org/
[5 ] SAGE, http://modular.math.washington.edu/sage/
[6 ] GIMPS, http://www.mersenne.org
[7 ] NZMATH, http://sourceforge.net/projects/nzmath/
[8 ] ALADIM, http://www.math.uni-siegen.de/ring/aladim.html
[9 ] MATHGUIDE, http://www.math.uni-siegen.de/ring/mathGUIde/
[10 ] PYCRYPTO, http://www.amk.ca/python/code/crypto.html
[11 ] VPYTHON, http://vpython.org/
[12 ] PYGEO, http://home.netcom.com/∼ajs/index.html
[13 ] http://wombatz.informatik.uni-mainz.de/∼goetz/PyS60/
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