Lineare Algebra 2 Klausur - Institut für Algebra, Zahlentheorie und

INSTITUT FÜR MATHEMATIK
Prof. Dr. Bessenrodt
Dr. Merziger
19. Juli 2003
Lineare Algebra 2
Klausur
Aufgabe 1
( 10 Punkte )

Gegeben sei die Matrix

−5
0 −2

3 
A :=  6 −1
 ∈ M 3 (IR). Bestimmen Sie
8
0
3
(a) die Jordan –Normalform von A,
(b) eine zugehörige Jordan –Basis und
(c) die additive und die multiplikative Jordan –Chevalley–Zerlegung von A.
Aufgabe 2
( 10 Punkte )
Aufgabe 3
( 10 Punkte )
√
Gegeben sei im IR3 die Quadrik x21 + 2x22 − x23 − 2 3 x1 x3 − 8 = 0.
(a) Bestimmen Sie die Normalform der affinen Ähnlichkeitsklasse der Quadrik,
(b) bestimmen Sie die Hauptachsen (Eigenvektoren der zugehörigen Matrix) der Quadrik
(c) und skizzieren Sie die Quadrik.


3 1 0

3
Sei A :=  1 2 0 
 ∈ M 3 (IR) und für v, w ∈ IR sei < v, w >:= v > Aw.
0 0 1
Zeigen Sie: < , > ist ein Skalarprodukt auf IR3 .
 
1
 
(b) Normieren Sie 0 bezüglich < , > und
0
ergänzen Sie diesen Vektor zu einer Orthonormalbasis von IR3 bezüglich < , >.
 


0
1



(c) Bestimmen Sie das orthogonale Komplement von IR 
1 + IR −2 bezüglich < , >.
2
−3
(a)
Aufgabe 4
( 10 Punkte )
Sei A ∈ GL n (IR). Zeigen Sie:
(a) A> A ist symmetrisch.
(b) A> A ist positiv definit.
(c) Es gibt ein B ∈ GL n (IR) mit A> A = B 2 .
Aufgabe 5
( 10 Punkte )
Zeigen Sie: Es gibt eine eindeutig bestimmte affine Abbildung α : IR2 → IR2 mit
!
!
−1
12
α
=
,
2
12
!
−2
20
α
=
1
16
!
!
!
−2
24
und α
=
.
5
12
Geben Sie diese in der Form α(x) = Ax + b mit A ∈ M2 (IR), b ∈ IR2 an.
Aufgabe 6
( 10 Punkte )
Seien A, B ∈ Mn (K) mit AB = BA und alle Eigenwerte von A, B einfach.
Zeigen Sie: A und B haben dieselben Eigenvektoren.
Aufgabe 7
( 10 Punkte )
Gegeben sei das Polynom p(X) = X 3 + aX 2 + bX + c ∈ ZZ3 [X].
(a)
(b)
Unter welchen Bedingungen für a, b, c ist das Polynom p irreduzibel?
Benutzen Sie diese Bedingungen, um die Anzahl der irreduziblen normierten Polynome
vom Grad 3 in ZZ3 [X] zu bestimmen.
Klausurrückgabe: Mi 13.08.03 im Raum C 401 (Merziger) von 10–12 Uhr
INSTITUT FÜR MATHEMATIK
Dr. Merziger
19. Juli 2003
Lineare Algebra 2
Klausur
Lösungshinweise
Aufgabe 1


−1
0
0

3
1 
(a) χA = . . . = (X + 1) , Rang (A + E) = . . . = 2, also J =  0 −1
.
0
0 −1

(b)
0 −4

6
Jordan-Basis S = . . . =  1
0
8

1
0 
 mit J = S −1 AS.
0
(c) Da S(−E)S −1 = −E, sieht man sofort
A = −E + (A + E) ist die additive J–C–Zerlegung von A.
Mit U := −A und D := −E gilt U D = DU = A.
A = (−E)(−A) ist die multiplikative J–C–Zerlegung von A.
Aufgabe 2
√ 
1
0 − 3
2
0 
Matrizenschreibweise der Quadrik: x> M x − 8 = 0 mit M = 
,
 √0
− 3
0
−1
2
χM = . . . = (X − 2) (X + 2).

 √
3
0
1
0
2 √0 
Orthonormalbasis aus Eigenvektoren ist A = . . . = 12 
.

−1
0
3
2
2
2
Die Substitution y = Ax liefert 2y1 + 2y2 − 2y3 − 8 = 0 mit affiner Normalform y12 + y22 − y32 = 1,
einschaliges Hyperboloid.

Aufgabe 3
(a) A = A> , χA = (X − 1)(X 2 − 5X + 5), also alle EW positiv.
Also ist < , > ein Skalarprodukt (positiv definite, symmetrische Bilinearform).
1√
(b) Für b1 = (1, 0, 0)> gilt b>
1 Ab1 = 3, also b = 3 3 b1 ist normiert.
>
b> Ax = 0 liefert z.B. b2 = (1, −3, 0)> und b3 = (0, 0, 1)> mit b>
2 Ab2 = 15, b3 Ab3 = 1.
√
√
1
Orthonormalbasis: 31 3 b1 , 15
15 b2 , b3 .
(c) (0, 1, 2)Ax = 0 und (1, −2, −3)Ax = 0 ergibt als Lösung des LGS die Gerade x = (0, 1, −1)> IR
als orthogonales Komplement der gegebenen Ebene.
Aufgabe 4
(a) (A> A)> = A> A, also AA> symmetrisch.
(b) x> A> Ax = (Ax)> (Ax) > 0 für x 6= 0, da für x 6= 0 auch Ax 6= 0 ist. Also A> A positiv definit.
(c) Ist S −1 A> AS = diag (λ1 , . . . , λn ) mit λ1 , . . . , λn > 0, dann ist
√
√
√
√
A> A = S diag ( λ1 , . . . , λn )S −1 S diag ( λ1 , . . . , λn )S −1 =: B 2 und B ∈ GL n (IR).
Aufgabe 5
α(x) = Ax + b,
A = (aij ) ∈ M2 (IR), b ∈ IR2 sind gemäss den Vorgaben zu bestimmen:
!
−1
A
+b=
2!
−2
A
+b=
1!
−2
+b=
A
5
!
12
12!
20
16!
24
12
!
=⇒
!
−1
8
A
=
−1!
4!
−1
12
=
A
3
0
=⇒
a11 = −9
a12 = 1
eindeutige Lösung des LGS.
a21 = −3
a22 = −1
Also ist A und damit die zugehörige
lineare Abbildung
!
! eindeutig
! bestimmt.
1
−9
1
1
, also α(x) =
x+
.
Man erhält weiter b =
11
−3 −1
11
Aufgabe 6
A, B ∈ Mn (K), AB = BA, alle Eigenwerte von A, B einfach, dann gilt:
Ist x Eigenvektor von A zum Eigenwert λ, also x 6= 0, Ax = λx, dann ABx = BAx = λBx,
also Bx ∈ Eig (A, λ) = < x >, da λ einfacher Eigenwert, also dim Eig (A, λ) = 1.
Also Bx = µx, d.h. x ist Eigenvektor von B zum Eigenwert µ.
Also ist jeder Eigenvektor von A Eigenvektor von B und umgekehrt.
Aufgabe 7
(a) Sei ZZ3 = {0, 1, −1} und p = X 3 + aX 2 + bX + c ∈ ZZ3 [X]. Es gilt:
p irreduzibel in ZZ3 [X] ⇐⇒ p keine Nullstelle in ZZ3
0 ist keine Nullstelle
c 6= 0
1 + a + b + c 6= 0
1 ist keine Nullstelle
⇐⇒
⇐⇒
−1 ist keine Nullstelle
1 + a − b + c 6= 0
(b)
Man sieht: Genau für folgende (a, b, c) sind obige Bedingungen erfüllt:
Es gibt also genau 8 irreduzible Polynome in ZZ3 [X].
a
b
c
1
1
1
0
0
1
1 −1
1
−1
0
1
0
1 −1
1
0 −1
0 −1 −1
−1
0 −1