5. Dreiecke

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5. Dreiecke
Donaubrücke, Hainburg (NÖ)
Parlament, Wien
Heizhaus der Waldviertlerbahn, Litschau (NÖ)
Fachwerkhaus,
Karlskirche, Wien
Rothenburg / Tauber,
Deutschland
▶ Ziehe alle Dreiecke, die du auf den Bildern findest, mit Farbstift nach!
▶ Welche Gebäudeelemente (Dach, …) bilden die Dreiecke?
_________________________________________________________________________________________
▶ Erkläre, welche Funktionen das Parlament hat!
_________________________________________________________________________________________
▶ Sieh dich in deinem Klassenzimmer um! Wie viele verschiedene Dreiecke siehst du?
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Dieses Bild ist ein Werk von Pablo Picasso (1881 - 1973) und hat
den Titel „Die Schwalben“.
Scan:
69 x 55 mm (B x H)
(Nummer lt. Liste: 76.6)
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Picasso begründete 1907 den Kubismus. Menschen, Tiere und
Gegenstände stellte er durch geometrische Formen dar.
Was entdeckst du beim Betrachten dieses Werkes?
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5.4 Besondere Punkte des Dreiecks
Ein Uhrmacher soll die Uhr so befestigen, dass sie von allen drei Seiten
der dreieckigen Wand gleichweit entfernt ist.
a)Übertrage die Skizze und den Kreis auf ein Blatt Papier, 403
schneide sie aus und probiere!
Der Mittelpunkt der Uhr muss von allen _______________ den gleichen Abstand haben. Alle Punkte, die von Seite c und Seite b den gleichen Abstand haben, liegen auf der Winkels_______________________.
c)Falte nun dein Dreieck entlang der Winkelsymmetralen und ermittle so den Befestigungspunkt der Uhr!
Inkreismittelpunkt
Alle Punkte der Winkelsymmetralen sind gleichweit von den beiden Schenkeln entfernt. Die Winkelsymmetralen schneiden einander im Inkreismittelpunkt (I).
Der Inkreismittelpunkt ist von allen Seiten gleich weit entfernt.
Der Inkreis berührt alle drei Seiten.
C
C
b
404
wα
α
A
b
a
B
c
A
406
wγ
I
b
a
wβ
c
β
B
ρ
wα
A
ρ
I
ρ
a
wβ
B
c
Zeichne die Winkelsymmetralen ein! Beschrifte den Inkreismittelpunkt!
a)
405
γ
wγ
α wα
Der Inkreisradius ρ ist
der Normalabstand
vom Inkreismittelpunkt
zu den Seiten.
C
b)
c)
Konstruiere folgende Dreiecke und zeichne den Inkreismittelpunkt ein!
a) a=8cm, b=5cm, c=7cm
b) a=7cm, b=6cm, α=70°
c)a=b=c=4cm
d) c=7cm, α=45°, β=60°
Konstruiere folgende Dreiecke und zeichne den Inkreis ein. Gib den Inkreisradius an!
a)a=55mm, b=43mm, c=50mm b) a=b=c=6cm c) a=0,52dm, β=60°, γ=30° d) a=29mm, c=63mm, β=74°
Schwerpunkt
Konstruierst du die Streckensymmetralen der Dreiecksseiten, erhältst du die Halbierungspunkte der Seiten.
Verbindest du die Halbierungspunkte mit den gegenüberliegenden Eckpunkten, so erhältst du die
Schwerlinien sa, sb und sc.
Schwerpunkt S:
C
C
C
C
sc
b
A
b
a
sc
c
B
A
sb
c
b
a
B
A
b
a
sa
sa
c
B
A
a
S
sb
c
B
407
Zeichne auf Karton ein Dreieck und schneide es aus. Konstruiere die Schwerlinien
und den Schwerpunkt. Was fällt dir auf, wenn du das Dreieck
a) entlang der Schwerlinien
b) im Schwerpunkt balanzierst?
408
Zeichne das Dreieck in ein Koordinatensystem und konstruiere den Schwerpunkt! Gib seine Koordinaten an!
A(1|0), B(5|2),C(8|6)
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5.4 Besondere Punkte des Dreiecks
Konstruiere das Dreieck und zeichne H, U, S ein. Verbinde die drei Punkte. Was erkennst du?
a)a=110mm, b=85mm, c=120mm
5
409
b)a=7,4cm, b=13cm, β=66°
Jedes Dreieck hat einen
Höhenschnittpunkt H
Umkreismittelpunkt U
Schwerpunkt S
Inkreismittelpunkt I
C
Euler‘sche Gerade:
H
b
a
S
A
Der Höhenschnittpunkt, der Umkreismittelpunkt und
der Schwerpunkt liegen auf einer Geraden.
U
B
c
ge
Zu Ehren des Schweizer Mathematikers Leonhard
Euler (1707 - 1782) wird sie Euler‘sche Gerade ge
genannt.
Der Inkreismittelpunkt liegt nur in Sonderfällen auf
dieser besonderen Geraden.
Konstruiere folgende Dreiecke! Zeichne H, U, S ein und verbinde sie durch die Euler‘sche Gerade!
a) a=7cm, b=6cm, c=8cm
b) c=10cm, α=40°, β=60°
410
c) A(1|1), B(8|3), C(5|9)
d) A(4|2), B(8|7), C(2|9)
Konstruiere folgende Dreiecke! Zeichne die besonderen Punkte H, U, S und I ein! Was fällt dir auf, wenn du die 411
Euler‘sche Gerade einzeichnest?
a) a=4,5cm, b=4,5cm, c=4,5cm
b) c=9cm, α=45°, β=45°
c) A(0|4), B(8|4), C(4|7)
d) A(1|2), B(7|3), a=b=c
Erkläre, was dir im vorherigen Beispiel aufgefallen ist! Formuliere einen weiteren Merksatz für jedes dieser 412
Dreiecke!
90mm
60mm
mm
124
Aus einem dreieckigen Holzstück soll ein möglichst großer Kreis ausgeschnitten 413
werden. Zeichne dieses Dreieck in dein Heft und konstruiere den Kreis! Welchen
Radius hat der er?
Überprüfe anhand des Dreiecks folgenden Sachverhalt:
414
„Wird der Höhenschnittpunkt eines Dreiecks an den Seiten gespiegelt, so erhält man Punkte auf dem Umkreis
dieses Dreiecks!“
A(1|1), B(9|5), C(4|9)
Zeichne die gegebenen Dreicke und die Schwerlinien sa, sb, sc und den Schwerpunkt S !
a) c=0,6dm, α=45°, β=120°
b) a=0,8dm, b=45mm, γ=80°
415
c) c=80mm, α=60°, β=75°
d) a=5,6cm, b=61mm, c=0,07m
Konstruiere das gleichseitige Dreieck mit der Seitenlänge a=5,5cm. Konstruiere H, S, U und I. Was kannst du über 416
die Lage der Punkte sagen?
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Vermessungsgeräte
Um die gesuchten Entfernungen a und b berechnen zu
können, müssen die beiden Winkel α und β gemessen
werden.
Man könnte natürlich auch gleich die beiden fehlenden
Seitenlängen abmessen, doch können Hindernisse wie
Flüsse oder Seen dies verhindern. Daher muss man auf die
Messung der Winkel und die anschließende Berechnung der
Entfernungen zurückgreifen.
Der Feldvermesser kennt nun eine Seitenlänge und die
beiden angrenzenden Winkel.
Um welche Art der Konstruktion handelt es sich bei diesem
Dreieck?
___________ - Satz
Welche Arten von Dreieckskonstruktionen kennst du noch?
Seit der Mitte des 19. Jahrhunderts werden Theodolite zum Vermessen der Winkel verwendet.
Von dem nun bekannten Dreieck
ausgehend können die Entfernungen zu weiteren Punkten in der
Landschaft ermittelt werden.
Die Arbeit des Vermessers lässt
sich nach dem gleichen Schema
fortsetzen, bis das ganze Land von
einem Netz aus Dreiecken überzogen ist.
Heute wird die Arbeit des Landvermessers durch Theodolite, die auch mit einem Distanzmesser
ausgestattet sind, vereinfacht.
Ein derartiges Messinstrument wird Tachymeter (Tachymetrie bedeutet Schnellvermessung) genannt.
Dieses Messgerät, mit dem man sehr rasch Entfernung, Richtung und Höhenunterschied zu einem anderen Punkt messen kann, kann mit einem Fernrohr verglichen werden.
Strecken werden vom Tachymeter mit Hilfe eines Lichtstrahls, der von einem Prisma reflektiert
wird, gemessen.
Noch genauere Ergebnisse lassen sich mit Tachymetern erzielen, welche die exakte Position über
Satelliten ermitteln und mit Laserstrahlen arbeiten.
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