Aufgabe 1: Zusammenhang Masse ↔ Geschwindigkeit: m ≡ m (v

Aufgabe 1:
Zusammenhang Masse ↔ Geschwindigkeit:
m ≡ m(v) = m0 · p
1
1 − β2
= m0 · q
1
1−
(1)
v2
c2
mit der Ruhemasse m0 .
a) Ansatz m(v) = a · m0 in Gl. (1) einsetzen und auflösen nach v ergibt
s
2
1
v =c· 1−
a
b) Für m → ∞ gilt
Es gilt:
m0
m
→ 0, sodass man die Wurzelfunktion entwickeln kann.
f (x) =
und damit:
(2)
√
1+x ∧ x→0
⇒
f (x) ' 1 +
1 m 0 2
v 'c· 1−
2 m
x
2
(3)
(4)
Aufgabe 2:
a) Durch Einsetzen von f~ und u = ~v in Gl. (9) ergibt sich:
~a =
1
γ 3m
(1.00N, 0, 0)
(5)
0
b) Durch Einsetzen von f~ und u = ~v in Gl. (9) ergibt sich:
~a =
1
(0, 1.00N, 0)
γm0
(6)
c) Der Zusammenhang zwischen Kraft f~ und Beschleunigung ~a lässt sich aus f~ = dtd p~
herleiten:
d
d
d
d
f~ = p~ = (m0 γ~v ) = m0 ~v γ + γ ~v
dt
dt
dt
dt
m
0
f~ = γ 3 2 (~a~v )~v + γm0~a
(7)
c
Skalarmultikplikation von Gl. (7) mit ~v ergibt:
2
~v = γ 3 m0 v (~a~v ) + γm0 (~a~v ) = γ 3 m0 (~a~v )
f~
c2
Einsetzen von Gl. (8) in Gl. (7) und umformen nach ~a ergibt:
!
~v )~v
(
f~
1
f~ +
~a =
γm0
c2
(8)
(9)
Aufgabe 3:
1 q1 q2
Aus der Coulombkraft FC (r) = 4π
2 ergibt sich die potentielle Energie bei einem Start
0 r
im Unendlichen“ zu:
Z ∞
”
1 q1 q2
UC (r) =
(10)
FC (r) dr =
4π0 r
r
(i) Es sei die kinetische wie auch die potentielle Energie im Unendlichen“ Null, dann
”
gilt dies nicht-relativistisch auch für die Gesamtenergie. In einem beliebigen Abstand
r setzt sich die Energie aus der kinetischen und potentiellen Energie des Elektrons
zusammen:
UC (∞) + Ekin (∞) = UC (r) + Ekin (r)
1 e2 1
0 =
+ me v 2
4π0 r
2
s
2 e2 1
·
v(r) =
me 4π0 r
(11)
(ii) Relativistisch muss man die Ruhemasse des Elektrons beachten und bei der kinetischen Energie die Beziehung zwischen Masse und Geschwindigkeit aus Gl. (1) beachten:
UC (∞) + Ekin (∞) = UC (r) + Ekin (r)
1 e2
me c2 =
+ m(v)c2
4π0 r
s
2
1 e2 1
v(r) = c · 1 − 1 −
·
me c2 4π0 r
(12)
Aufgabe 4:
a) Die Rotationsenergie ergibt sich aus Trägheitsmoment und Winkelgeschwindigkeit. Das
Trägheitsmoment ergibt sich aus der Integration zu J = 12 m0 r2 , sodass für die Rotationsenergie gilt:
1
Erot = m0 ω 2 R2
(13)
4
b) Rotiert ein Massenelement dm auf einem Kreisring im Abstand r, so gilt für seine
Gesamtenergie:
c2
ρc2
dE = dm0 q
= dV · q
(14)
ω2 r2
ω2 r2
1 − c2
1 − c2
Die Rotationsenergie der Scheibe ergibt sich daraus durch Integration über das gesamte
Volumen und Subtraktion der Ruheenergie der Scheibe:
!
r
4
2 R2
ω
c
− m0 c2
(15)
Erot = E − m0 c2 = 2πDρ 2 1 − 1 − 2
ω
c
4
Erot wird also maximal für ωr = c und nimmt den Wert Erot = 2πDρ ωc 2 − m0 c2 an.
In der Realität würden in diesem Grenzfall die Fliehkräfte für die äusseren Schichten
unendlich gross werden und der Körper deshalb zerfallen.
c) Für ωR → 0 kann man die Wurzelfunktion entwickeln. Man benötigt aber auch die
zweite Ordnung.
Es gilt:
√
x x2
f (x) = 1 + x ∧ x → 0 ⇒ f (x) ' 1 + −
(16)
2
8
und damit:
!
r
4
2 R2
c
ω
Erot = E − m0 c2 = 2πDρ 2 1 − 1 − 2
− m0 c2
ω
c
c4
1 ω 2 R2 1 ω 4 R4
' 2πDρ 2 1 − 1 +
+
− m0 c2
2
4
ω
2 c
8 c
1
= πDρR2 c2 + m0 ω 2 R2 − m0 c2
4
1
=
m0 ω 2 R2 q.e.d.
4
Aufgabe 5:
Lorentz-Transformation gegeben durch:
0 ct
1 −β
ct
= γ·
x
−β 1
x
E 0 /c
p0x
= γ·
1 −β
−β 1
E/c
px
(17)
a) Einsetzen und umformen:
(ct0 )2 − (x0 )2 = [γ(ct − βx)]2 − [γ(x − βct)]2
. . . = γ 2 [(ct)2 (1 + β)2 − x2 (1 + β)2 ]
= (ct)2 − x2
q.e.d.
(18)
b) Einsetzen und umformen:
(E 0 /c)2 − (p0x )2 = [γ(E/c − βpx )]2 − [γ(px − βE/c)]2
. . . = γ 2 [(E/c)2 (1 + β)2 − p2x (1 + β)2 ]
= (E/c)2 − p2x
q.e.d.
(19)