Welcher Körper kommt als erster unten an?

Welcher Körper ist schneller unten?
Versuch
Folgende Körper werden gleichzeitig eine schiefe Ebene runterrollen gelassen:Eine
Kugel, ein Zylinder und ein Hohlzylinder.
Sie kommen in folgender Reihenfolge unten an: Kugel, Zylinder, Hohlzylinder. Warum?
Erklärung
Hier beitet sich der Ansatz über den Energieerhaltungssatz an. Am oberen Ende
der schiefen Ebene haben alle Körper die gleiche potentielle Energie Epot . Während
dem Runterrollen wird diese potentielle Energie umgewandelt: in kinetische Energie
Ekin und Rotationsenergie Erot .
Es gilt:
Epot = Ekin + Erot (Energieerhaltungssatz)
Epot = mgh wobei m..Masse, g..Fallbeschleunigung, h..Höhe der geneigten Ebene
2
Ekin = mv
2 wobei m..Mase, v..Geschwindigkeit
2
Erot = Jω2 wobei J..Massenträgheitsmoment, ω..Winkelgeschwindigkeit, Drehgeschwindigkeit des Körpers
Das Massenträgheitsmoment gibt an, wie trägeëin Körper auf ein Andrehen reagiert, sprich wieviel Energie nötig ist, um ihm eine bestimmte Winkelgeschwindigkeit(daraus folgt die Umdrehungsfrequenz) zu geben. Das Massenträgheitsmoment
wird für unsere drei Körper unterschiedlich berechnet:
Körper 1, Kugel:
2
J = mr2
5
Körper 2, Zylinder:
1
J = mr2
2
Körper 3, (dünnwandiger) Hohlzylinder:
J = mr2
Um heraus zu finden, welcher Körper am schnellsten unten ist, müssen wir jetzt
nur noch nach v umstellen. Der Körper mit der größten Endgeschwindigkeit ist am
schnellsten unten.
Kugel:
Epot
= Ekin + Erot
2
2
mgh =
gh =
gh =
v2
=
v1
=
(1)
2
2
Jω
mv
2mr ω
mv
+
=
+
2
2
2
5·2
v2
r2 ω 2
+
2
5
1 2 1 2
v + v
2
5
−1
1 1
+
gh
2 5
r
10
gh
7
Erklärung der Umformungen:
1
2
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
1. Energieerhaltungssatz
2. Einsetzen
3. Kürzen und durch m teilen
4. Die Geschwindigkeit v des Körpers ist genau so groß wie die Bahngeschwindigkeit vB , da der Körper nicht rutscht, sondern rollt. Daher: vB = rω = v ⇒
r2 ω 2 = v2
5. Nach v 2 umstellen
6. Wurzelziehen
Das ganze in Kurzform für Körper 2:
Epot
= Ekin + Erot
mr2 ω 2
mv 2
+
2
2·2
1 2 1 2
gh =
v + v
2
4
r
4
gh
v2 =
3
mgh =
Und für Körper 3:
Epot
= Ekin + Erot
mv 2
mr2 ω 2
+
2
2
1 2 1 2
v + v
gh =
2
2
p
v3 =
gh
mgh =
Daraus folgt:
10
>
7
4
3
>1
10
4
> gh
gh >
3 gh
7
r
q
p
10
4
gh > gh
gh >
3
7
v1 >
v2
> v3
Daraus folgt: Die Kugel ist als Erstes unten, dann kommt der Zylinder und zum
Schluss der Hohlzylinder.
2