a) 1 − 1

Mathematik für Pharmazeuten
W. Nagel
WS 2015/16
Übungsaufgaben, 1. Serie
1. Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke:
a
+ a+1
1 − a1
1−a
a
b)
c)
a)
1
a−1
1
a
− a2
− a+1
a
a
a+
1−
1
1−ab
1
1−ab
√
d) ln e
e) lg 0, 01.
2. Schreiben Sie folgende Terme in Potenzschreibweise (ohne Verwendung von Wurzelzeichen):
√
q p
3
p
p
4
a4 a2 · b
3
4
√
a)
x x · x4
b)
c)
xy 3 · 6 x−3 y .
a3 b
3. Stellen Sie die Formeln nach den angegebenen Größen um:
q
2πεl
a) T = 2π · gl nach l
b) C = ra
nach ra
ln ri
β
αh
4πε
nach ri
d) p = p0 1 +
nach h .
c) C = 1
T0
− r1a
ri
4. Skizzieren Sie (ohne Taschenrechner) die Graphen der folgenden Funktionen f , die für
reelle Zahlen definiert sind. Bestimmen Sie jeweils den genauen Wertebereich. Machen
Sie gegebenenfalls geeignete Fallunterscheidungen für die vorkommenden Konstanten. Es
bezeichnet R die Menge der reellen Zahlen.
a) Für festes a ∈ R: f (x) = a für
( alle x ∈ R.
a für x ≤ c,
b) Für feste a, b, c ∈ R: f (x) =
b für x > c.
c) Für feste a, b, c ∈ R: f (x) = ax2 + bx + c für alle x ∈ R.
d) f (x) = |x| für alle x ∈ R.
e) Für feste a, b ∈ R: f (x) = |x + a| + b für alle x ∈ R.
f) Für festes a ∈ R: f (x) = |x − a| für alle x ∈ R.
g) f (x) = ex für alle x ∈ R.
h) f (x) = e−x für alle x ∈ R.
i) Für festes a ∈ R: f (x) = eax für alle x ∈ R.
2
j) f (x) = e−x für alle x ∈ R.
2
k) Für festes a ∈ R: f (x) = e−(x−a) für alle x ∈ R.
l) f (x) = ln x.
m) Für festes a ∈ R: f (x) = ln(x − a).
n) f (x) = ln |x|.
a + b + |a − b|
.
2
6. Berechnen Sie die Lösungsmengen folgender Gleichungen:
5. Vereinfachen Sie den Ausdruck
a) (x − 3)2 = 16
b) (x + 3)2 = x2
d) |x − 1| + 4x = x2 + 3 e)
c) | 52 x + 3| =
|1 − x| − |2x + 3| = 1 .
3
2
7. Lösen Sie die folgenden Ungleichungen graphisch:
b) x2 + 3x − 10 > 0 .
a) |x + 1| ≤ x2 + 2
8. Bestimmen Sie die Lösungsmengen der folgenden Ungleichungen:
3x − 4
a)
≥4
b) (2x − 3)(3x − 2) < 0
c) x2 + 4x + 2 ≤ −1
2 − 3x
d) |2 − 4x| ≥ 1
e) |2x − 1| > x + 4
f) |x| < |2x − 2| .
9. Für welche x ∈ R sind folgende Ausdrücke definiert?
√
1
a) −x2 + 8x − 7
b)
c) ln(2x − 5)
2
(x + x − 2)(x − 1)
d) lg |x + 3|.
10. Der Zähler eines Bruches ist um 5 kleiner als der Nenner. Vergrößert man den Zähler um
23 und den Nenner um 8, dann erhält man den reziproken Wert des gesuchten Bruches.
Wie heißt der Bruch?
n
11. Bestimmen Sie den Wert der folgenden Binomialkoeffizienten: 64 , 100
,
.
97
n−2
12. Vereinfachen Sie folgende Ausdrücke durch Kürzen und Zusammenfassen:
a)
(n+1)!
n(n−1)!
b)
n!
(n+2)!
c)
1
n!
−
1
(n−1)!
d)
(2n)!
n!
e)
n!
2n!
13. Bestimmen Sie alle Lösungen n ∈ N (Menge der natürlichen Zahlen)
der Gleichung n! − 7(n − 1)! + 8(n − 2)! = 0.
.