Leitfähigkeit und Halleffekt in Halbleitern

Physikalisches Praktikum für Fortgeschrittene
Leitfähigkeit und Halleffekt in
Halbleitern
Anna Merdian und Tim IJsselstein
Gruppe 68
18.06.2007
INHALTSVERZEICHNIS
SEITE
Deckblatt
…1
Inhaltsverzeichnis
…2
1. Ziel des Versuches
…3
2. Theoretische Grundlagen
2.1. Halleffekt
2.2. Halbleiter
2.2.1. Das Bändermodell
2.2.2. Dotierung
2.2.3. Ladungsträgerdichte
2.2.4. Leitfähigkeit und Ladungsträgerbeweglichkeit
…3
…3
…4
…4
…5
…5
…6
3. Durchführung
…7
4. Auswertung
4.1. Fehlerabschätzung
4.2. Probe A – Germanium
4.2.1. Die Messwerte
4.2.2. Bereichsfestlegung
4.2.3. Art der Dotierung
4.2.4. Die intrinsische Ladungsträgerkonzentration
4.2.5. Die Bandlücke über das Arrhenius-Diagramm
4.3. Probe B – Galliumarsenid Multischichtprobe
4.3.1. Die Messwerte
4.3.2. Die Mobilität
4.4. Vergleich der Mobilitäten
…7
…7
…7
…7
… 10
… 10
… 11
… 11
… 12
… 12
… 15
… 16
1. Ziel des Versuches
In diesem Versuch sollen einige Eigenschaften von Halbleitern untersucht werden. Dazu wird
an einem stromdurchflossenen Halbleiter, der sich in einem konstanten Magnetfeld befindet,
die Hallspannung gemessen. Um auch den Temperatureinfluss zu untersuchen, werden die
Messungen in einem Temperaturbereich von -180°C bis +150°C durchgeführt. Mit diesem
Versuch können Aussagen über die Leitfähigkeit eines Stoffes, die Dichte der Ladungsträger,
ihr Vorzeichen und die Mobilität gemacht werden.
2. Theoretische Grundlagen
2.1. Halleffekt
Befindet sich ein stromdurchflossener Leiter in einem Magnetfeld, so findet in diesem Leiter
eine Ladungstrennung statt. Diese Trennung der Ladungsträger wird als Halleffekt
bezeichnet.
Abb.1: Der Halleffekt.
In der Abbildung 1 ist dieser Vorgang schematisch dargestellt. Zu sehen sind zwei
Metallplättchen, die von einem Strom I von links nach rechts durchflossen wird. Das
Magnetfeld zeigt in die Papierebene hinein. Auf die Ladungsträger (positiv: Abb.1(a),
negativ: Abb.1(b)) wirkt dann die Lorentzkraft
r
r r
FL = qvd × B
mit vd als Driftgeschwindigkeit der Ladungsträger. Diese beschleunigt nun die Ladungsträger
zum oberen Rand des Metallplättchens, wodurch unten ein Überschuss an den je nachdem
negativen oder positiven Ladungen entsteht. Diese Trennung von positiven und negativen
Ladungen erzeugt im Streifen ein elektrisches Feld, das ebenfalls Kraft auf die Ladungsträger
ausübt, jedoch entgegengesetzt der Lorentzkraft. Dieser Vorgang geht so lange bis ein
r
r
Gleichgewicht dieser beiden Kräfte sich einstellt: FL = Fel .
Misst man nun die Potentialdifferenz zwischen der oberen und der unteren Rand der
Metallplatte, so erhält man damit die Hallspannung. Für diese gilt
U H = vd Bb
Aus dem Vorzeichen der gemessenen Hallspannung kann man das Vorzeichen der
Ladungsträger ableiten.
2.2. Halbleiter
2.2.1. Das Bändermodell
Betrachtet man ein Atom isoliert von seiner Umgebung, so können seine Valenzelektronen als
freie Elektronen angesehen werden, die nur diskrete Energiezustände einnehmen können.
Bringt nun aber zwei gleiche Atome einander näher, so beeinflussen sie sich gegenseitig.
Dabei werden die entarteten Energiezustände jeweils in zwei Zustände aufgespaltet, deren
Energien sich um einige eV unterscheiden. Betrachtet man jetzt nicht nur zwei benachbarte
Atome sondern ein N-Atom-System, so spaltet ein bestimmter Zustand der einzelnen Atome
in N verschiedene Energiezustände mit etwas unterschiedlichen Energien auf. Je größer also
die Anzahl der Atome, desto dichter liegen die Niveaus beieinander. Bei einem Halbleiter
handelt es sich um eine sehr große Anzahl der Atome, dementsprechend wird jedes
Energieniveau in eine große Anzahl sehr dicht aufeinander folgenden Niveaus aufgespaltet.
Und weil die Energiedifferenz der Niveaus sehr klein ist, bezeichnet man die Aufgespaltete
Energieniveaus als Band. Das Band, das von den Valenzelektronen besetzt ist, wierd
Valenzband genannt. Das energetisch niedrigste Band, das über dem Valenzband liegt und in
dem noch unbesetzte Zustände gibt, wird Leitungsband genannt.
Die verschiedenen Bänder können energetisch dicht oder nicht so dicht bei einander liegen
oder sich auch überlappen. Mit diesem Modell kann man nun den Unterschied zwischen
Leitern und Isolatoren erklären. Auch wie die Halbleiter sie hier einreihen lassen. Dabei soll
die folgende Abbildung 2 helfen.
Abb.2: Vier mögliche Bandstrukturen von Festkörpern.
Unter (a) ist die Bandstruktur eines Leiters zu sehen. Hier ist das Valenzband nur teilweise
gefüllt, so dass Elektronen leicht in das direkt darüber liegende Niveau springen können. (b)
zeigt die Bandstruktur eines Isolators. Sein Merkmal ist, dass das volle Valenzband und das
Leitungsband durch ein verbotenes Band getrennt sind. Die Elektronen hier schaffen es nicht,
diese Barriere zu überwinden. (c) zeigt eine Struktur, bei der sich das teilweise gefüllte
Valenzband und das Leitungsband überlappen. Die Elektronen können hier also ohne Mühe
aus dem Valenzband in das Leitband gelangen: Der Stoff leitet. (d) zeigt einen Halbleiter.
Sein Merkmal ist , dass die Energielücke zwischen dem vollen Valenzband und einem leeren
Leitungsband sehr klein ist. Einige Elektronen können auf Grund der Fermi-Verteilung bereits
bei Zimmertemperatur die Lücke überspringen. Verlässt ein Elektron das Valenzband, dann
hinterlässt er da einen leeren Platz. Dieser leere Platz wird Loch genannt. Es hat positive
Ladung und trägt zum Stromtransport bei.
2.2.2. Dotierung
Bei einem dotierten Halbleiter handelt es sich um einen Halbleiter, dem bestimmte
Fremdatome eingebaut wurden. Dabei unterscheidet man zwischen einem n-Typ- Halbleiter
und einem p-Typ-Halbleiter. Wie schon im Kapitel 2.1 erwähnt, kann man von der
Hallspannung die Art des Halbleiters ablesen: Ist die Hallspannung positiv, dann handelt es
sich um einen p-Typ-Halbleiter, bei negativer Hallspannung um einen n-Typ-Halbleiter.
Will man nun einen n-Typ-Halbleiter dotieren, so muss man ihm Fremdatome zuführen, die
einen Valenzelektron haben als der Halbleiter selbst. Damit bringt jedes Störatom ein
Elektron mit, das keine Bindung mit nächsten Nachbarn eingeht. Es ist also nur sehr schwach
an das Störatom gebunden und und können durch geringe Energiezufuhr getrennt werden.
Diese Elektronen bilden damit Energieniveaus, Donator-Niveaus genannt, die dicht unter dem
Leitungsband liegen. Sie können also leicht in das Leitungsband gelangen, so dass sie zur
elektrischen Leitfähigkeit beitragen.
Bei einem p-Typ-Halbleiter wählt man die Fremdatome so, dass sie ein Valenzelektron
weniger haben als der Halbleiter. Es fehlt also jedem Störatom ein Elektron zur Bindung.
Dieses fehlende Elektron wird durch ein Elektron des Valenzbandes ersetzt, wodurch im
Valenzband ein Loch entsteht. Dieses Loch kann nun als freies Loch am Ladungstransport
teilnehmen. Da die Störstellen Elektronen aus dem Valenzband aufnehmen, werden sie als
Akzeptoren und ihre Energieniveaus als Akzeptor-Nieveaus bezeichnet.
2.2.3. Ladungsträgerdichte
Die Dichte der freien Elektronen und Löcher in einem reinen Halbleiter ergibt sich zu
3
2
ni (T ) = A ⋅ T ⋅ e
−
EG
2 k BT
mit ni (T ) = n = p , Konstanten A und EG = EL − EV als Differenz der Bänderenergien. Diese
Trägerdichte der Eigenleitung wird auch die intrinsische Ladungsträgerdichte bezeichnet.
Ist der Halbleiter mit der n-dotiert, dann ergibt sich für die Konzentration der freien
Elektronen
ED
nD N L − 2 k B T
n (T ) =
e
2
mit der Konzentration der Donatoratome nD , der Zustandsdichte des Leitungsbandes N L . Bei
einem p-Typ-Halbleiter gilt mit der Akzeptoren-Konzentration n A und der Zustandsdichte des
Valenzbandes NV entsprechendes. Man bewegt sich im extrinsichen Bereich. der Leitung.
n
extrinsisch
intrinsisch
T/
Abb.3: Extrinsische und intrinsische Leitung, schematische Darstellung.
Die Abbildung 3 zeigt einen Idealfall der Veränderung der Trägerdichte. Der erste Anstieg
der Kurve erklärt sich durch die n-Dotierung. Die Elektronen können bereits bei seht tiefen
Temperaturbereichen das Ladungsband erreichen. In dem konstanten Bereich des Verlaufs
sind die Elektronen der Fremdatome alle in das Ladungsband übergesprungen, die
Temperatur reicht jedoch noch nicht aus um die Elektronen des Halbleiters aus dem
Valenzband in das Leitungsband zu erregen. Ist die Temperatur hoch genug, so setzt die
intrinsische Leitung ein.
2.2.4. Leitfähigkeit und Ladungsträgerbeweglichkeit
Wenn man an eine Halbleiter eine Spannung anlegt, dann fließen die freien Elektronen zur
Anode. Die gebundenen Elektronen, die sich in der Nähe von Löchern befinden, können
durch Platzwechsel in ein Loch springen, so dass das Loch dadurch in Richtung Kathode
wandert. Will man den Gesamtstrom des Halbleiters betrachten, muss man beide
Ladungstransporte berücksichtigen. Die Gleichung für die elektrische Leitfähigkeit eines
Leiters σ = enµ muss also erweitert werden. Es ergibt sich für die Leitfähigkeit eines
Halbleiters
σ = e ( nµ n + pµ p ) .
Dabei ist n die Dichte der Elektronen, p die Dichte der Löcher, µn und µ p die
entsprechenden Beweglichkeiten der Ladungsträger. Diese wird im klassischen Modell wird
die Beweglichkeit durch stöße der Elektronen mit dem Atomrümpfen erklärt. Zusätzlich
verlangt das Ohmsche Gesetz, dass die Driftgeschwindigkeit eines Elektrons proportional
zum elektrischen Feld im Inneren des Leiters ist. Die Beweglichkeit µ ist dabei die
Proportionalitätskonstante
e
µ= τ
me
mit der Relaxationszeit τ , die der mittleren Zeit zwischen zwei Stößen entspricht.
3. Durchführung
Wir führten den Versuch gemäß der Ausliegenden Versuchsanleitung durch. Dabei hatten wir
anfänglich Probleme mit dem einstellen der Temperatur, da diese nur mit großen
Überschwingern angefahren wurde. Mit zunehmender Versuchsdauer bekamen wir dies
jedoch immer besser in den Griff, was sich auch dadurch äußerte, dass sich der Abstand der
einzelnen Messungen zum Ende hin stark verringerte.
4. Auswertung
4.1.Fehlerabschätzung
In dem hier vorliegenden Experiment macht es keinen Sinn eine genaue Fehlerrechnung
durchzuführen, da eine genaue Angabe der Fehler nur sehr schwer möglich ist. Für die
verwendeten Geräte und vorgegebenen Eichgeraden waren keine Fehlerangaben gegeben,
weshalb die Annahme dieser Fehler eine Reine Schatzung ohne Grundlage wäre. Aus diesem
Grund beschränken wir uns darauf eine kurze Liste der Fehlerquellen zu erstellen ohne im
Weiteren eine explizite Fehlerrechnung durchzuführen.
-
Alle Messinstrumente sind in ihren Angaben eine Mögliche Fehlerquelle. Hierzu
zählen alle Strom und Spannungsmessgeräte sowie die Temperaturanzeige
Die Eichgerade, welche angibt welchen Spulenstrom man einstellen muss um das
Gewünschte B-Feld zu bekommen birgt einen gewissen Fehler in sich, was dem BFeld –Wert von 0,5 Tesla einen gewissen Fehler anlastet.
Die Einstellungen in welcher Art und Weise die gewünschte Temperatur angefahren
werden sollen sind immer nur für einen gewissen Bereich gültige Durchschnittswerte.
Somit ergeben sich Fehler beim einstellen der Temperatur.
Das Einstellen der Temperatur erwies sich teilweise trotz richtiger Einstellungen als
schwierig, da großes Übersteuern auftrat und Nachregelungen nötig wurden. Auch
dies birgt einen möglichen Fehler.
4.2. Probe A – Germanium
4.2.1. Die Messwerte
Auf der nächsten Seite folgt eine tabellarische Auflistung der Werte für Germanium. Dabei
wurden die Felder mit den grau hinterlegten Überschriften im Versuch gemessen und die
Felder mit weißen Überschriften aus ihnen berechnet. Diese Berechnungen erfolgten gemäß
der in der Vorbereitung erwähnten Gleichungen, welche aus Gründen der Übersichtlichkeit
nochmals aufgelistet werden.
Temperatur in Kelvin :
Hall-Spannung
:
Stromdichte
:
E-Feld in x-Richtung :
E-Feld – Halleffekt :
Leitfähigkeit
:
Hall Koeffizient
:
T [°K] = ( T[°C] / [°C] + 273,15) * [°K]
UHall = ( Uquer+ - Uquer- ) / 2
j = I / A = I / bd
Ex = ULeit / l
EHall = UHall / b
σ = j / Ex
RH = EHall / ( j * B )
Die so gewonnen Daten lassen sich nun in Schaubilder darstellen, aus deren Form man
weitere Rückschlüsse ziehen kann.
Hallkoeffizient über Temperatur
4,000
140,00
3,500
120,00
3,000
100,00
2,500
R -H all [Ω /T ]
160,00
80,00
60,00
2,000
1,500
40,00
1,000
20,00
0,500
0,000
0,00
90
140
190
240
290
340
390
90
440
140
190
240
290
340
390
T [ K]
T [ K]
reziproker Hallkoeffizient über Temperatur
1000
1/R-Hall [T/Ω ]
100
10
1
90
140
190
240
290
340
390
0,1
T [ K]
Mobilität über Temperatur
9,00
8,00
7,00
6,00
µ [m^2/Vs ]
σ [ 1/Ωm ]
Leitfähigkeit über Tem peratur
5,00
4,00
3,00
2,00
1,00
0,00
90
140
190
240
290
T [ K]
340
390
440
440
4.2.2. Bereichsfestlegung
Ein interessanter Punkt dabei ist die Festlegung des intrinsischen und extrinsischen Bereichs.
Hierzu ist es nützlich die Mobilität gegen die Temperatur in einer doppelt logarithmischen
Abbildung darzustellen, wobei bereits der Ausschnitt auf den gewünschten Bereich
eingeschränkt wurde. Leider hatten wir kein gutes Programm zur Verfügung, welche eine
doppelt logarithmische Skala gut darstellen konnte. Deshalb logarithmierten wir die Werte um
das Verfahren anzuwenden und rechneten dann wieder auf die eigentlichen Temperaturen um.
Leitfähigkeit über Temperatur
2,5
2
ln (σ [ 1/Ωm ] )
1,5
1
0,5
0
5,1
5,2
5,3
5,4
5,5
5,6
5,7
5,8
5,9
6
6,1
-0,5
ln (T [ K ] )
Nun legt man an das Schaubild zwei parallele Gerade an. Die gesuchten Bereiche zeichnen
sich dadurch aus, dass genau die Punkte des Schaubilds annähernd auf dieser Geraden liegen.
Es ergibt sich:
Intrinsischer Bereich : 320 K – 390 K
Übergangsbereich
: 250 K – 329 K
Extrinsischer Bereich : 180 K – 250 K
4.2.3. Art der Dotierung
Ein weiterer Punkt, der sich über die Schaubilder klärt, ist die Frage ob ein N oder P Leiter
vorliegt. Hierzu kann man nun folgende Überlegung anstellen. Im Intrinsischen Bereich sind
die Ladungsträgerkonzentrationen von Elektronen und Löcher als gleich anzusehen. Die
Elektronen besitzen jedoch aufgrund ihrer kleineren effektiven Masse eine höhere Mobilität,
weshalb hier hauptsächlich Elektronenleitung vorliegt. Betrachtet man nun das 1/RH –
Schaubild, so erkennt man, das beim Übergang in den extrinsischen Bereich keine Polstelle
auftritt, was gleichbedeutend damit ist, das sich der Leitungstyp nicht ändert. Somit ist es klar,
das es sich um einen N dotierten Halbleiter handeln muss, weil eben bei diesem die
auftretende Leitungsart vorherrscht.
4.2.4. Die intrinsische Ladungsträgerkonzentration
Als nächstes ermitteln wir die intrinsische Ladungsträgerkonzentration. Hierbei benutzen wir
folgende Formeln:
ni =
1 1− b
*
; b = 1,2688+(0,00097*T)
Rh e 1 + b
In dem nun folgenden Plot ist die Ladungsträgerkonzentration über dem intrinsischen Bereich
aufgetragen.
Intrinsische Ladungsträgerkonzentration
1,4E+20
1,2E+20
ni [1/m³]
1E+20
8E+19
6E+19
4E+19
2E+19
0
250
270
290
310
330
350
370
390
410
T [K]
4.2.5. Die Bandlücke über das Arrhenius-Diagramm
Als letztes ist die Bandlücke gefragt. Diese bestimmen wir über ein so genanntes
Arrheniusdiagramm in linearer Nährung. Hierzu wird ln ( ni*T-3/2 ) über 1/T aufgetragen. Um
dies zu bewerkstelligen kommen folgende Formeln zur Anwendung:
ln(ni (T ) * T 3 / 2
3/ 2
 E G , 0 − αT 

* exp
 2k B T 
3/ 2

 α
EG ,0
3 / 4  kb 
= ln (mn * m p *) 
−
 +
 2πh   2k B 2k B T

ni (T ) = (mn * m p *)
3/ 4
 k bT 


 2πh 
für Germanium: mn* = 0,22*me , mp* = 0,37*me
Arrhenius Diagramm
37,5
37
ln (ni/T^3/2)
36,5
36
35,5
35
34,5
0,0025
y = -4497,9x + 48,772
0,0026
0,0027
0,0028
0,0029
0,003
0,0031
0,0032
1/T [1/K]
Über den y-Abschnitt und die Steigung der Ausgleichsgerade lassen sich nun α und EG,0
näherungsweise bestimmen. Es ergeben sich:
EG,O ≈ 0,775 eV
α ≈ 0,321mev/K
Hierbei sind wir dem Literaturwert von α, der mit 0,4 meV/K angegeben wird, relativ nahe
gekommen.
In einem weiteren kleinen Schritt lässt sich nun, über ein lineares Nährungsverfahren, E0(T)
bestimmen als:
E0 (T) = EG,O – α T
E0 (300K) = 0,679 eV
Auch bei diesem letzten Wert sind wir erstaunlich nahe am Literaturwert, welcher sich zu
0,67 eV ergibt. Zieht man den Literaturwert von α zur Rechnung heran, so kommt man zu
einem E0 von 0,66 eV, was ebenfalls sehr nahe bei 0,67 eV liegt.
Alles in allem ist man also über diesen Versuch zu einem sehr genauen Wert der Energielücke
gelangt.
4.3. Probe B – Galliumarsenid Multischichtprobe
4.3.1. Die Messwerte
Bei dem zweiten Versuch wird eine Probe in der Van-der-Pauw Geometrie, genauer in der
Kreuzform, verwendet. Wie in der Vorbereitungsmappe beschrieben, können wir hierbei von
einem 2-dimensionalen Fall ausgehen, was es uns erleichtert aus den Messwerten
Leitfähigkeit und Hallkoeffizient zu berechnen. Es folgt eine Auflistung der Messdaten, dabei
sind wieder grau hinterlegte Spalten gemessene Werte und weis hinterlegte Spalten
berechnete Werte.
Aus den Messdaten lassen sich Leitfähigkeit und Hallkoeffizient folgendermaßen berechnen.
σ=
ln 2 I AB
π U Leit
;
RH =
U BD 1
I AC B
Die mit diesen Formeln berechneten Werte lassen sich nu wiederum gut in einem Diagramm
darstellen.
Leitfähigkeit über Tem peratur
0,0035
0,0030
0,0025
0,0020
0,0015
0,0010
0,0005
0,0000
80
100
120
140
160
180
200
220
240
260
280
Te mpe r a t ut [ K]
Hallkoeffizient über Temperatur
5000,00
4500,00
4000,00
3500,00
3000,00
2500,00
2000,00
80
100
120
140
160
180
200
Te mpe r a t ut [ K ]
220
240
260
280
4.3.2. Die Mobilität
Die Mobilität wurde genauso wie bei der Probe A bestimmt. Leider waren wir mit unserem
Programm nicht in der Lage eine definierte Fitfunktion anzulegen, so dass wir eine
Anpassung an die Kurve C* Tγ vorgenommen haben.
µ (T) = C*Tγ
ln (µ (T)) = ln(C) + γ ln ( T )
Diagrammtitel
3,5
ln ( Mobilität [m²/VS] )
3
2,5
y = -2,4069x + 13,283
2
1,5
1
0,5
0
-0,5 4,4
4,8
5,2
5,6
6
-1
ln (Tem peratur [K] )
Über die Gleichung der Ausgleichsgeraden lassen sich sehr schnell die Koeffizienten C und γ
bestimmen.
γ = -2,41 m²/VS
C = 5,87 *105
Zeichnet man noch einmal den realen Verlauf mit der Anpassung in ein Diagramm, so erkennt
man, dass bei tiefen Temperaturen eine Abweichung besteht, welche sich zu höheren
Temperaturen hin deutlich abschwächt.
14,00
Mobilität [m²/VS]
12,00
10,00
8,00
6,00
4,00
2,00
0,00
80
130
180
230
280
Tem peratur [K]
4.4. Vergleich der Mobilitäten
Als letzter Aufgabenteil sollen die beiden Mobilitäten von Probe A und B in einem Diagramm
verglichen werden.
Vergleich der Mobilitäten
14,00
Probe B
Mobilität [m²/VS]
12,00
Prpbe A
10,00
8,00
6,00
4,00
2,00
0,00
80
180
280
380
Temperatur [K]
Ein guter Vergleich ist vor allem daher Möglich, da die Mobilitäten beider Halbleiter, trotz
unterschiedlicher Hallkoeffizienten und Leitfähigkeiten, in der gleichen Größenordnung
liegen. Man kann nun feststellen, dass Probe A bei höheren Temperaturen eine höhere
Mobilität besitzt. Gleichzeitig erkennt man, dass sie gegen tiefe Temperaturen zu einem
Isolator zu werden scheint.
Im Gegensatz dazu besitzt Probe B bereits bei tiefen Temperaturen eine hohe Mobilität, die
sich jedoch bei höheren Temperaturen schnell abschwächt.