Lineare Regression mit einem Regressor: Einf ¨uhrung
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Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Lineare Regression mit einem Regressor: Einführung • Quantifizierung des linearen Zusammenhangs von zwei Variablen • Beispiel Zusammenhang Klassengröße und Testergebnis o Wie verändern sich Testergebnisse, wenn sich die Klassengröße um eine bestimmte Anzahl an Schülern verändert βKG Änderung Testergebnisse ∆TE = = ∆KG Änderung Klassengröße o Interpretation βKG: Ändert sich KG um 1 Schüler (1 Einheit), verändert sich TE um βKG Punkte o ∆TE = βKG · ∆KG βKG = −0.6, ∆KG = −2 ⇒ ∆TE = −0.6 · (−2) = 1.2 1 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Lineare Regression mit einem Regressor: Einführung • Graphische Interpretation: βKG ist Steigung einer Geraden, die die Beziehung zwischen TE und KG beschreibt: o TE = β0 + βKG KG o β0 ist Konstante (Achsenabschnitt) der Geraden • Problem: alle anderen Faktoren, die (potentiellen) Einfluß auf TE haben, sind unberücksichtigt o Erweiterung: TE = β0 + βKG KG + andere Faktoren 2 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Formales Modell • Yi = β0 + β1Xi + ui, i = 1, . . . , n o Yi: Ø Testergebnisse im Schuldistrikt i (gemessen in Punkten) o Xi: Ø Größe der Schulklassen in Distrikt i = Anzahl der Schüler pro Lehrer im Distrikt i o ui: Effekte aller anderen Faktoren im Distrikt i o β0 ist Konstante und β1 ist Steigungsparameter der Geraden o n = 420 3 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Lineares Regressionsmodell • Yi = β0 + β1Xi + ui ist lineares Regressionsmodell mit einem Regressor o Y : abhängige (zu erklärende) Variable o X: Regressor bzw. unabhängige (erklärende) Variable o Vorgabe der Erklärungsrichtung von X nach Y • β0 + β1X ist Regressionsgerade bzw. Regressionsfunktion der Grundgesamtheit • Konstante β0 und Steigungsparameter β1 sind die Regressionskoeffizienten bzw. -paramter der GG o ändert sich X um 1 Einheit, ändert sich Y um β1 Einheiten o β0: Wert der Regressionslinie für X = 0 (nicht immer interpretierbar) 4 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Lineares Regressionsmodell • ui: Fehlerterm o Differenz zwischen tatsächlichem Yi (Testergebnis) und Wert gegeben durch Regressionsgerade o bestimmt durch alle ausgelassenen Faktoren 5 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Ziele • Schätzung der Parameter β0 und β1 der Grundgesamtheit Wie eine Gerade durch X, Y -Daten legen? • Hypothesentests bzgl. β1 (β0) • Konfidenzintervalle 6 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Schätzung der Regressionsparameter • Wie β0 und β1 schätzen • Kriterien: o Minimiere Summe der Abweichungen von Punkten und Gerade Problem: positive und negative Abweichungen heben sich auf o Minimiere Summe der absoluten Abweichungen Probleme : formal schwierig anzuwenden, oft keine eindeutigen Lösungen o Minimiere quadratische Abweichungen (KQ-Methode) Vorteile: große Abweichungen werden stärker bestraft“, leicht zu ” berechnen, in vielen Fällen gute bzw. sogar optimale Eigenschaften ⇒ Wir verwenden Methode der Kleinsten Quadrate (KQ) 7 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Herleitung des KQ-Schätzers • Minimiere Summe der quadrierten Abweichungen der prognostizierten Werte Ŷi = β̂0 + β̂1Xi von den tatsächlichen Werten Yi • Yi − Ŷi = ûi ist Residuum ⇒ Minmiere sog. Residuenquadratsumme S(β̂0, β̂1) = Pn ³ i=1 Yi − Ŷi ´2 ´2 ´2 Pn ³ Pn ³ • min i=1 Yi − Ŷi = min i=1 Yi − β̂0 − β̂1Xi β̂0 ,β̂1 β̂0 ,β̂1 o setze 1. Ableitungen bzgl. β̂0 und β̂1 gleich Null o löse nach β̂0 und β̂1 auf 8 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Herleitung des KQ-Schätzers • KQ-Schätzer ¢¡ ¢ Pn ¡ \ Yi − Y Cov (X, Y ) sXY i=1 Xi − X o β̂1 = = = 2 ¢2 Pn ¡ sX \ Var (X) i=1 Xi − X o β̂0 = Y − β̂1X • KQ-Schätzer β̂0 und β̂1 sind Zufallsvariablen! • Arithmetisches Mittel Y einer Stichprobe ist KQ-Schätzer! 9 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Terminologie • KQ-Regressionsgerade: Gerade gegeben durch β̂0 + β̂1X • Prognostizierter Wert (Prognosewert) von Yi gegeben Xi: Ŷi = β̂0 + β̂1Xi • Residuum für i-te Beobachtung: ûi = Yi − Ŷi o Residuum ûi ist das KQ-Äquivalent zum Fehlerterm ui 10 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Beispiel: Klassengröße • Schätzergebnisse: β̂0 = 698.9 und β̂1 = −2.28 • Interpretation β̂1: Schulbezirke mit einem Schüler mehr pro Lehrer, erreichen durchschnittlich 2.28 Punkte weniger in den Tests • Interpretation β̂0: ist nicht sinnvoll, Punkteanzahl bei Null Schülern pro Lehrer • Interpretation von Ŷi und ûi: siehe Illustration 11 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Gütemaße • Wie gut beschreibt die Regressionsgerade die Daten? • Zwei Maße: Bestimmtheitsmaß R2 und Standardfehler der Regression sû 12 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Bestimmtheitsmaß R2 • Bestimmtheitsmaß R2 beschreibt den Anteil der Varianz von Yi der durch Xi bzw. die Regression erklärt wird Yi = Ŷi + ûi ⇒ Stichprobenvarianz von Ŷi ESS = R = Stichbrobenvarianz von Yi TSS 2 • Erklärte Variation von Y (explained sum of squares) ´2 ³ ´ Pn ³ o ESS = i=1 Ŷi − Y , Ŷ = Y • Gesamtvariation von Y (total sum of squares) ¢2 Pn ¡ o TSS = i=1 Yi − Y • Residuenquadratsumme (sum of squared residuals): SSR = SSR 2 ⇒ R =1− , da TSS = ESS + SSR TSS Pn 2 i=1 ûi 13 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Bestimmtheitsmaß R2 • 0 ≤ R2 ≤ 1 • R2 = 0 ⇒ ESS = 0 (nichts wird erklärt) • R2 = 1 ⇒ ESS = TSS (alles wird erklärt) 14 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Standardfehler der Regression • Schätzer für Standardabweichung der Fehlerterme ui r r Pn 1 Pn SSR 2 ¯ • sû = û = (û = 1/n i=1 ûi = 0) n − 2 i=1 i n−2 o ”Standardabweichung der Residuen ûi” • Wieso n − 2? o Korrektur für Anzahl der geschätzten Parameter: Freiheitsgrade Hier: β0 und β1 • Beispiel: Klassengröße o R2 = 0.051 (sehr klein) o sû = 18.6 (relativ große Streuung der Residuen im Streudiagramm) o Interpretation: vermutlich viele (relevante) Faktoren ausgelassen 15 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Annahmen der KQ-Schätzung • Annahmen notwendig um Eigenschaften des KQ-Schätzer abzuleiten, nicht notwendig für Anwendung! • Spezifikation von Annahmen, für die KQ-Schätzung gute“Ergebnisse ” liefert • Orientierung für Anpassung des Schätzer bei Verletzung der Annahmen 16 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Annahme # 1: Bedingter Erwartungswert von ui ist Null • E [ui|Xi] = E [ui|Xi = x] = 0 o Xi ist stochastisch, d.h. ist eine Zufallsvariable • Andere Faktoren in ui stehen in keinem systematischen (linearen) Zusammenhang zu Xi o E [ui|Xi] = 0 ⇒ Cov (Xi, ui) = 0 o Merke: ui und Xi unabhängig ⇒ E [ui|Xi] = 0 o X verhält sich so, als ob es im Rahmen eines randomisierten ” Kontrollexperiment unabhängig von anderen Faktoren variiert wird “ 17 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Annahme # 1: Bedingter Erwartungswert von ui ist Null • ui ist im Mittel Null: E[ui] = E[E (ui|Xi)] = E[0] = 0 o Alle Faktoren in ui addieren sich im Mittel zu Null • E [Yi|Xi] = β0 + β1Xi o Regressionsgerade entspricht bedingtem Erwartungswert von Y gegeben X • Annahme relevant um E[β̂0] und E[β̂1] zu bestimmen 18 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Annahme # 2: (X, Y ) sind identisch, unabhängig verteilt • (X, Y ) sind gemeinsam identisch und unabhängig (iid) • Annahme garantiert, dass eine einfache Zufallsstichprobe aus einer Grundgesamtheit vorliegt • Regressor X ist auch stochastisch! • Annahme relevant zur Bestimmung der Verteilung von β̂0 und β̂1: Anwendung des ZGS für iid Variablen 19 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Annahme # 3: Extreme Ausreißer bzgl. Xi und Yi sind unwahrscheinlich • Ungewöhnlich große Werte (weit entfernt vom üblichen Wertebereich) können KQ-Schätzung verzerren • Eine mögliche formale Spezifikaton: o E[Xi4] < ∞ und E[Yi4] < ∞ o endliche vierte Momente (Kurtosis) o viele Ausreißer führen zu hohen Kurtosiswerten • Wichtig um Konsistenz von Varianzschätzer zu zeigen o Erinnerung: Gesetz der großen Zahlen für iid-Variablen Yi mit 4 2 p E[Yi ] < ∞ ⇒ sY → σY2 20 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Zusätzliche Annahme # 4: Bedingte Varianz der Fehlerterme ist konstant • E[u2i |Xi] = σu2 ∀i • vereinfacht Ableitung und Interpretation der Eigenschaften (Varianz) der KQ-Schätzer • Folgen der Annahmenverletzung werden später diskutiert 21 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Eigenschaften des KQ-Schätzers • Erinnerung: β̂0 und β̂1 sind Zufallsvariablen • Man kann bei Gültigkeit der Annahmen 1-3 zeigen, dass gilt: E[β̂0] = β0 und E[β̂1] = β1 o β̂0 und β̂0 sind erwartungstreu, d.h. unverzerrt • Bei Gültigkeit der Annahmen 1-4 ergibt sich: Var[β̂0] = σβ̂2 0 E(Xi2)σu2 = 2 nσX Var[β̂1] = σβ̂2 1 σu2 = 2 nσX 22 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Eigenschaften der KQ-Schätzer • Asymptotische Verteilung: Es gibt ZGS für iid Variablen, so dass ³ ´ d β̂0 → N β0, σβ̂2 und 0 d ³ β̂1 → N β1, σβ̂2 ´ 1 o Verteilungsapproximation für große n o Durchführung von Hypothesentests bzgl. β̂0 und β̂1 und Bestimmung von Intervallschätzern • Beachte σβ̂2 und σβ̂2 gehen gegen Null für n → ∞, bevorzuge 0 0 β̂i − βi d → N (0, 1), σβ̂i i = 0, 1 23 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Implikationen der Eigenschaften der KQ-Schätzer • β̂0 und β̂1 sind konsistente Schätzer für β0 und β1 o Wieso? • Var(u2i ) = σu2 ⇑ ⇒ 2 • Var(Xi2) = σX ⇑ ⇒ Var(β̂0) ⇑ und Var(β̂1) ⇑ Var(β̂1) ⇓ 24 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Homoskedastizität vs. Heteroskedastizität • Annahme 4: E[u2i |Xi] = σu2 für alle i: Homoskedastizität o Bedingte Varianz für alle i ist konstant 2 • Heteroskedastizität liegt vor, falls E[u2i |Xi] = σu,i verschieden ist für Einheiten i • Beispiel: Lohnregression für Männer und Frauen o Löhne der Frauen haben höhere Varianz 2 2 o Spiegelt sich in höherer Varianz der Fehlerterme wieder: σu,F > σu,M 25 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Konsequenzen von Heteroskedastizität • Varianzformeln für β̂0 und β̂1 gelten nicht mehr • Komplexere Formeln z. B. σβ̂2 = 1 1 Var[(Xi − µX )ui] n [Var(Xi)]2 • β̂0 und β̂1 bleiben aber weiterhin erwartungstreu (Annahmen 1-3 sind hinreichend) und konsistent (σβ̂2 → 0, i = 0, 1, gilt weiterhin) i 26 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Implikationen für empirische Arbeit • Heteroskedastizität ist für viele Situationen realistisch • Tests auf Heteroskedastizität o oft nicht gute Eigenschaften • Häufige Empfehlung: Anwendung der Varianzformel bzw. Varianzschätzer für Heteroskedastizität o sind auch bei Homoskedastizität gültig o Aber: Trade-off von geringer Fehlerwahrscheinlichkeit vs. Effizienz • Informelle Evidenz für Heteroskedastizität o Deutlich abweichende Varianzschätzwerte bei Homoskedastitzität und Heteroskedastizität 27 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Optimalität der KQ-Schätzer • Wenn Annahmen # 4 erfüllt ist, kann man zeigen, dass die KQ-Schätzer BLUE sind (gegeben X1, ..., Xn) BLUE: Best Linear Unbiased Estimator • KQ-Schätzer haben die kleinste Varianz gegeben X1, ..., Xn (bedingte Varianz) aus der Klasse aller linearen unverzerrter Schätzer • Linear: Lineare Funktion von Yi • Gauss-Markov Theorem • Optimalität gilt nicht, falls Annahme # 4 verletzt ist 28 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Hypothesentests • Typische Fragestellung: Gibt es Evidenz dafür, dass eine Reduzierung der Klassengröße zu besseren Schülerleistungen (Testergebnissen) führt? • Beantwortung: einseitiger Hypothesentest bzgl. β1 mit H0: β1 ≥ 0 vs. β1 < 0 • Plan o Zweiseitiger Hypothesentest bzgl. β1 (Hat die Klassengröße überhaupt einen Effekt auf die Testergebnisse) o Einseitiger Hypothesentest bzgl. β1 o Hypothesentest bzgl. β0 29 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Zweiseitiger Hypothesentest bzgl. β1 • ZGS: d β̂1 → N (β1, σβ̂2 ) 1 o Verteilungsergebnis analog zu Y ⇒ Wende t-Test nun analog bzgl. β̂1 an 30 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Testanwendung: 5 Schritte 1.) Hypothesenspezifikation: H0 : β1 = β1,0 vs. H1 : β1 6= β1,0 o β1,0 ist der Wert, der überprüft werden soll o Beispiel: β1,0 = 0 ⇒ Hat die KG überhaupt einen Einfluss? 2.) Teststatistik aufstellen β̂1 − β1,0 d t= → N (0, 1) σ̂β̂1 o Müssen σ̂β̂1 schätzen: Heteroskedastie oder HomoskedastieAnnahme treffen 31 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Testanwendung: 5 Schritte 3.) Teststatistik mit Hilfe der Schätzergebnisse berechnen ⇒ tact 4.) p-Wert mit Hilfe N (0, 1) Verteilung ermitteln ¡ act p-Wert = P |t| > |t ¡ act ¢ = 2Φ −|t | ¢ | 32 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Testanwendung: 5 Schritte 5.) Testentscheidung o Signifikanzniveau wählen, z. B. α = 0.05 o p-Wert < α ⇒ Lehne H0 ab o p-Wert ≥ α ⇒ Lehne H0 nicht ab o Alternative: Vergleich von tact und kritischen Wert zum Signifikanzniveau α Beispiel: α = 0.05 ⇒ kritischer Wert = 1.96 Lehne H0 ab, falls |tact| > 1.96 33 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Testanwendung: Beispiel • KQ-Regressionsergebnisse für Schuldaten c = 698.9 − 2.28 KG, TE (10.4) (0.52) o σ̂β̂0 = 10.4 und R2 = 0.051, su = 18.6 σ̂β̂1 = 0.52 o Standardabweichungen heteroskedastie-robust geschätzt 34 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Testanwendung: Beispiel • H0 : β1 = 0 vs. H1 : β1 6= 0 (β1,0 = 0) o Signifikanzniveau α = 0.05 o kritischer Wert: 1.96 t= β̂1 − 0 σ̂β̂1 ⇒ tact = o ⇒ p-Wert = 0.000012 2.28 − 0 = −4.38 0.52 oder 0.0012% o p-Wert < α ⇒ Lehne H0 zum Signifikanzniveau 0.05 ab, d. h. KG hat signifikanten Einfluss auf TE o |tact| > 1.96 ⇒ Lehne H0 ab 35 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Einseitiger Test bzgl. β1 • Auf Basis des zweiseitigen Tests dürfen wir formal nur schlussfolgern, dass β1 zum Niveau α = 0.05 signifikant von Null abweicht; nicht aber ob die Abweichung signifikant positiv oder negativ ist • Einseitiger Test für Entscheidung über Vorzeichen der Abweichung o H0 : β1 ≥ β1,0 vs. H1 : β1 < β1,0 o H0 : β1 ≤ β1,0 vs. H1 : β1 > β1,0 • Beispiel: Positiver Einfluss der Reduzierung der KG auf TE H0 : β1 ≥ 0 vs. H1 : β1 < 0 o Beachte β1 < 0 unter H1, da wir KG reduzieren 36 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Einseitiger Test bzgl. β1 • Achtung: Aussage in S&W, dass H0 : β1 = β1,0 ist nicht korrekt! Formal müssen H0 und H1 den gesamten Wertebereich von β1 abdecken. • Praktisch ist β1 = β1,0 der Wert in H0, der am schwierigsten abzulehnen ist. • Deshalb wird β1 = β1,0 für die Testdurchführung verwendet o β1 = β1,0 liegt am nächsten zu H1“ ” 37 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Einseitiger Test bzgl. β1 • Nehme β1 = β1,0 als Wert aus H0 für Testdurchführung o Teststatistik wie für zweiseitigen Test berechnen o Ermittlung der Testentscheidung und Interpretation ändern sich ⇒ Betrachte nur noch eine Seite 38 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Einseitiger Test: Beispiel KG • Effekt der Schulklassengröße • H0 : β1 ≥ 0 vs. H1 : β1 < 0 • Signifikanzniveau: α = 0.05 ⇒ kritischer Wert = −1.6454 • tact = −4.38 • p-Wert= P (t < tact) = Φ(tact) = 0.000006 • Lehne H0 zum Signifikanzniveau α = 0.05 ab, d. h. Verringerung der KG hat einen signifikant positiven Effekt auf TE bzw. KG hat einen signifikant negativen Effekt auf TE 39 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Einseitiger Test mit H1 : β1 > β1,0 • Bei H0 : β1 ≤ β1,0 vs. H1 : β1 > β1,0 • p-Wert = P (t > tact) = 1 − Φ(tact) 40 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Bestimmung der Alternativhypothesen • Standardwahl: zweiseitiger Test • Einseitiger Test, nur wenn gute (ökonomische) Gründe vorliegen o a priori oft nicht klar, ob β1 ≥ β1,0 oder β1 ≤ β1,0 sinnvollere Alternative o Gefahr der Verfälschung der Testentscheidung 41 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Hypothesentests bzgl. β0 • Analog zu β1 • H0 : β0 = β0,0 vs. β0 6= β0,0 • H0 : β0 ≤ β0,0 vs. β0 > β0,0 • H0 : β0 ≥ β0,0 vs. β0 < β0,0 • Teststatistik: β̂0 − β0,0 t= σ̂β̂0 42 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Konfidenzintervall für Regressionsparameter • Ableitung und Schätzung analog zu µY • (1 − α) − Konfidenzintervalle: n o β̂1 ± zα/2 σ̂β̂1 β1 : β0 : n o β̂0 ± zα/2 σ̂β̂0 • Beispiel: α = 0.05 ⇒ zα/2 = 1.96 • Beispiel für Schulklassendaten: siehe Illustration 43 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Regression mit binären Variablen • Bisher stetige Variablen als Regressor betrachtet z. B. ∅ Klassengröße • In vielen Anwendungen werden sogenannte binäre Variablen benötigt o Nehmen nur zwei Werte an, z. B. 0 und 1 ½ X1 = ½ X2 = 1 falls Schülerin 0 falls Schüler 1 0 falls Schuldistrikt in der Stadt falls Schuldistrikt in ländl. Region o Binäre Variable werden auch als Indikatorvariablen oder Dummyvariablen bezeichnet 44 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Regression mit binären Variablen: Anwendungsbeispiel • KQ-Regression wie für stetige Variablen, aber Interpretation von β1 ändert sich • Regressor Di mit ½ 1 falls ∅ KG im Distrikt i < 20 Di = 0 falls ∅ KG im Distrikt i ≥ 20 • Regressionsmodell Yi = β0 + β1Di + ui, i = 1, ..., n • Di kann nur zwei Werte annehmen o Interpretation von β0 + β1Di als (Regressions-) Gerade und β1 als Steigungsparameter ist nicht sinnvoll 45 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Binäre Variablen: Interpretation • Di = 0 o Regressionsmodell vereinfacht sich zu Yi = β0 + ui o E[Yi|Di = 0] = β0 o β0 ist Erwartungswert der GG, falls die ∅ KG hoch ist • Di = 1 o E[Yi|Di = 1] = β0 + β1 o β0 + β1 ist Erwartungswert der GG, falls die ∅ KG klein ist 46 Empirische Volkswirtschaftslehre 2. Lineares Regressionsmodell Binäre Variablen: Interpretation • β1 beschreibt den Unterschied in den EWen der GG für den Fall von großen und kleinen ∅ KG o β̂1 misst den Unterschied in den Stichprobenmitteln für kleine und große Klassen • t-Test mit H0 : β1 = 0 vs. H1 : β1 6= 0 o Test auf Erwartungswert bzw. Mittelwertunterschiede zw. beiden Untergruppen • Anwendung auf Schulklassendaten (siehe Illustration) c = 650.0 + 7.4 D, TE (1.3) (1.8) R2 = 0.035, sû = 18.7 47
