Terme und Formeln: Goniometrie

Terme und Formeln
Goniometrie
Diese Figur erschien in einer der der ersten Enzyklopädien, der „Cyclopaedia or an universal
dictionary of arts and sciences“, im Jahr 1728 in London. Trigonometrische Berechnungen in der
Ebene und vor allem der Kugeln sind dargestellt. Die Anwendung war in erster Linie die Seefahrt.
1. Goniometrische Gleichungen
Gleichungen, in denen die Variablen auch als Argument von trigonometrischen Funktionen
vorkommen, heissen goniometrische Gleichungen. Gegeben sind also Funktionswerte, und
gesucht werden die dazugehörigen Winkel im Grad- oder im Bogenmass.
Wegen der Periodizität der trigonometrischen Funktionen gibt es meistens mehrere oder sogar
unendlich viele Lösungen.
Um goniometrische Gleichungen lösen zu können, stellen wir die wichtigsten Eigenschaften der
trigonometrischen Funktionen noch einmal zusammen.
Definitionen der Winkelfunktionen:
Definition: Die trigonometrischen Funktionen sind am
Einheitskreis wie folgt festgelegt:
I sin ( α ) = y
II tan ( α ) =
cos ( α ) = x
y
x
cot ( α ) =
x
y
Periodizität
Satz: Die trigonometrischen Funktionen haben folgende Periodizitäten ( k ∈ ] ):
I sin ( α + k ⋅ 360° ) = sin ( α )
cos ( α + k ⋅ 360° ) = cos ( α )
II tan ( α + 180° ) = tan ( α )
cot ( α + 180° ) = cot ( α )
Wir betrachten nun die Gleichung
sin ( α ) = 0.5
Ÿ
α = asin ( 0.5 ) = 30°
Die Gleichung wird also durch α = 30° gelöst. Wegen der Periodizität sind jedoch auch
α = 30°+360° = 390°, α = 30° + 5⋅360° = 1830° oder α = 30° – 4⋅360° = –1440°
Lösungen. Wir schreiben die Lösung wie folgt:
α = 30° + k ⋅ 360°, k ∈ ]
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Reduktionsformeln
Die Gleichung sin ( α ) = 0.5 hat jedoch pro Periode zwei Lösungen, da der Sinus in einer Periode
von α zweimal den Wert 0.5 annimmt. Wir können die zweite Lösung mithilfe der Reduktionsformel
finden.
Satz: Es gelten folgende Reduktionsformeln:
I
sin(90° – α) = cos(α)
cos(90° – α) = sin(α)
II sin(90° + α) = cos(α)
cos(90° + α) = –sin(α)
cos(180° – α) = –cos(α)
III sin(180° – α) = sin(α)
VI sin(180° + α) = –sin(α)
cos(180° + α) = –cos(α)
V sin(–α) = –sin(α)
cos(–α) = cos(α)
cos(360° – α) = cos(α)
VI sin(360° – α) = –sin(α)
Für das Auffinden einer zweiten Lösung in einer Periode werden meistens die beiden kursiv
gedruckten Formeln verwendet. Wenn α = 30° eine Lösung der Gleichung sin ( α ) = 0.5 ist, so
muss wegen der Reduktionsformel III auch 180° – 30° = 150° eine Lösung sein.
Die vollständige Lösung der Gleichung sin ( α ) = 0.5 lautet also:
α = 30° + k ⋅ 360°, k ∈ ] ∪ α = 150° + k ⋅ 360°, k ∈ ]
Grafisch sehen die Lösungen wie folgt aus:
f(x)
360
1
180
0
180
x
360
540
720
1
Aufgabe 1: Notiere die Lösung der Gleichung sin ( α ) = 0.5 im Bogenmass.
Aufgabe 2: Überlege dir an den Winkelfunktionen im Einheitskreis, ob die angegebenen
Reduktionsformeln stimmen.
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Beziehungen unter den Winkelfunktionen
Satz: Unter den Winkelfunktionen gelten folgende Beziehungen:
I sin2 ( α ) + cos2 ( α ) = 1
II tan ( α ) =
III
sin ( α )
cos ( α )
tan ( α ) ⋅ cot ( α ) = 1
cos ( α )
sin ( α )
cot ( α ) =
1
= 1+ cot 2 ( α )
sin2 ( α )
1
= 1+ tan2 ( α )
cos2 ( α )
Aufgabe 3: Beweise drei dieser Beziehungen. Du brauchst dazu die Definitionen der
Winkelfunktionen.
Die Additionstheoreme
Satz: Vielleicht brauchst Du bei einigen Gleichungen noch diese Spezialfälle der
Additionstheoreme:
I sin ( 2α ) = 2sin ( α ) cos ( α )
II cos ( 2α ) = 1− 2sin2 ( α )
2. Übungen
Wir messen den Winkel bei goniometrischen Gleichungen immer im Bogenmass. Üblicherweise
wird in goniometrischen Gleichungen x für den Winkel geschrieben. Bestimme sämtliche Lösungen
im Intervall [0, 2π[.
Aufgabe 4: a) 3sin(x) – 2 = 0
c) 4cos(x) = 1 – 2cos(x)
b) 3sin(x) – sin(x) = 1.2
d) 3tan(x) = 4 – tan(x)
( )=1
c) tan ( x − ) =1
Aufgabe 5: a) sin x −
( x + 1)=0
d) cos ( 4x + ) =0
π
2
b) cos
2⋅π
3
1
2
π
4
Aufgabe 6: a) sin2(x) = ¼
c) sin2(x) – 3sin(x) + 1 = 0
b) 5cos2(x) = 1
d) 2cos2(x) + 3cos(x) + 1 = 0
Aufgabe 7: a) cos2(x) – 3sin2(x) = 1
b) 4cos2(x) = 1 + 3sin2(x)
Aufgabe 8: a) sin(x) = cos(x)
c) 3sin(x) – 4cos(x) = 5
b) sin(x) + sin(x)cos(x) = 0
d) sin(x) + tan(x) = 0
e) 3sin(2x) – 2cos(x) = 0
g) sin(x) + 0.5sin(2x) = 1 + cos(x)
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f) sin(x) + cos(x) = 2
h) 8cos(x) + 12sin2(x) – 5 = 0
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