Klausur Dynamik

Klausur Dynamik
vom 02.02.2012
Aufgabe 1 (14 Punkte)
Ein Massenpunkt (Gewicht G) gleitet aus der Ruhelage reibungslos auf einer Rampe (Länge
l, Neigungswinkel α) herunter. Im Punkt B beginnt ein freier Flug, der im Punkt C endet.
Der vertikale Abstand zwischen Punkt B und Punkt C ist gleich h.
1111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
0000000000000000000000000000000000
1111111111111111111111111111111111
G
g
l
A
α
B
h
C
R
a) Ermitteln Sie den horizontalen Abstand R zwischen Punkt B und Punkt C.
b) Wieviel Zeit braucht der Körper für den Weg zwischen Punkt A und Punkt C?
Gegeben: G = 200N, α = 30◦ , l = 5m, h = 1m, g = 9.81 sm2
Klausur Dynamik
vom 02.02.2012
Lösung zu Aufgabe 1
a) Ermitteln Sie den horizontalen Abstand R zwischen Punkt B und Punkt C.
Aufstellen der Energiebilanz (Nullniveau wird auf Punkt B gelegt.):
Ekin0 + Epot0 = Ekin1 + Epot1
(1)
Eingesetzt:
1
m vB2 + m g · 0
(2)
2
Auflösen nach der Geschwindigkeit im Punkt B:
r
p
1
m
m
(3)
vB = 2 g l sin α = 2 · 9, 81 2 · 5 m · = 7, 0036
s
2
s
Berechnen der benötigten Zeit von Punkt A nach Punkt B:
Bewegungsgleichung und die Beschleunigung, Geschwindigkeit und die Strecke auf der
schiefen Ebene:
m ẍ = m g sin α
ẍ = g sin α
(4)
ẋ = g sin α t
1
x = g sin α t2
2
Einsetzen der Geschwindigkeit vB im Punkt B in die Gl. (4)3 :
0 + m g l sin α =
7 ms
vB
=
t1 =
g sin α
9.81 sm2 ·
1
2
= 1, 4278s
(5)
Oder Einsetzen der Strecke l zwischen Punkt A und Punkt B in die Gl. (4)4 :
s
s
2l
2 · 5m
= 1.4278s
=
t1 =
g sin α
9, 81 sm2 · 12
11111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000
00000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111
00000000000000000000000000000000000
11111111111111111111111111111111111
G
g
l
A
α
h
(6)
B
x
α
vB
y
C
R
Klausur Dynamik
vom 02.02.2012
Beschleunigung, Geschwindigkeit und die Strecke für den freien Flug:
ÿ = g
ẏ = g t + (v0 )y
1
y = g t2 + (v0 )y · t
2
m
m
(v0 )y = vB sin α = 7, 0036
sin α = 3, 5018
s
s
(7)
Bedingung für Auftreffen:
h=
1
m
m
· 9, 81 2 t2 + 3, 5018 · t
2
s
s
9, 81 t2 + 7, 0036 t − 2 = 0
(8)
(9)
Benötigte Zeit für Flug:
t2 =
−7, 0036 +
Horizontaler Abstand R:
p
(10)
ẍ = 0
ẋ = 0 · t + (v0 )x
x = (v0 )x · t
(v0 )x = v · cos α
(11)
7, 00362 + 4 · 9, 81 · 2
s = 0, 2186s
2 · 9, 81
m
cos α · 0, 2186 s = 1, 3259 m
s
b) Wieviel Zeit braucht der Körper für den Weg zwischen Punkt A und Punkt C?
R = 7, 0036
(12)
t = t1 + t2 = 1, 4278 s + 0, 2186 s = 1, 6464 s
(13)
Klausur Dynamik
vom 02.02.2012
Aufgabe 2 (24 Punkte)
Auf einer schiefen Ebene (Neigungswinkel α, Gleitreibungskoeffizient µ) gleitet eine Masse m1 in x1 -Richtung. Das dargestellte mechanische System besteht zusätzlich aus einer
Stufenrolle (m2 , θ2 ), um die auf den Radien R und r ein Seil geschlungen ist. Das Seil
(1) zwischen den betrachteten Körpern wird über eine masselose Umlenkrolle geführt. Das
andere Ende von Seil (2) ist an einem raumfesten Punkt befestigt. Beide Seile sind masselos und dehnstarr. Das betrachtete System befindet sich im Schwerefeld der Erde mit der
Erdbeschleunigung g.
11111111
00000000
00000000
11111111
g
masselos (m = 0)
(2)
x1
11111111111111
00000000000000
00
11
00000000000000
11111111111111
00
11
00000000000000
11111111111111
m
00
11
00000000000000
11111111111111
00
11
00000000000000
11111111111111
00
11
00000000000000
11111111111111
00
00000000000000
11111111111111
µ 11
00000000000000
11111111111111
α
00000000000000
11111111111111
00000
11111
00000
11111
00000
11111
(1)
1
ϕ2
R
r
x2
m2 , θ2
a) Wieviele Freiheitsgrade besitzt das vorliegende System?
b) Bestimmen Sie die kinematischen Zusammenhänge zwischen den Koordinaten x1 , x2
und ϕ2 .
c) Schneiden Sie alle relevanten Teilkörper frei und bestimmen Sie die für die Bewegungsbeschreibung notwendigen Gleichungen.
d) Bestimmen Sie die Beschleunigung ẍ2 der Stufenrolle unter Einbeziehung der Kinematik
aus Aufgabenteil b).
Gegeben: µ, α, m1 , m2 , θ2 , r, R, g
Klausur Dynamik
vom 02.02.2012
Lösung zu Aufgabe 2
a) Wieviele Freiheitsgrade besitzt das vorliegende System?
Das System besitzt 1 FHG.
b) Bestimmen Sie die kinematischen Zusammenhänge zwischen den Koordinaten x1 , x2
und ϕ2 .
ϕ̇2
A
1
0
0
x1
0
1
2
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
x1
C(MGP)
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
r
R
1
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
ẋ2
ẍ2
⇒ ϕ̈2 =
r
r
R
ẋ1 = ϕ̇2 (r + R) ⇒ ẍ1 = ẍ2 1 +
r
ẋ2 = ϕ̇2 r ⇒ ϕ̇2 =
(14)
(15)
c) Schneiden Sie alle relevanten Teilkörper frei und bestimmen Sie die für die Bewegungsbeschreibung notwendigen Gleichungen.
Masse (m1 ):
y1
x1
S1
α
FR
m1 g
N
Klausur Dynamik
vom 02.02.2012
m1 ẍ1 = S1 − m1 g sin α − FR
m2 ÿ1 = 0 = N − m1 g cos α
⇒ N = m1 g cos α
(16)
(17)
(18)
Stufenrolle (m2 , θ2 ) (Schwerpunktsatz + Drallsatz bzgl. Schwerpunkt A):
S2
S1
ϕ2
A
x2
m2 g
m2 ẍ2 = m2 g − S1 − S2
θ2 ϕ̈2 = S2 r − S1 R
θ2 ϕ̈2 + S1 R
θ2
R
⇒ S2 =
= ϕ̈2 + S1
r
r
r
(19)
(20)
(21)
Reibgesetz:
R = µN
aus (16), (18), (22) und Kinematik
R
+ µ m1 g cos α + m1 g sin α
S1 = m1 ẍ2 1 +
r
(22)
(23)
aus (21) + Kinematik
S2 =
R
θ2 ẍ2
+ S1
r r
r
(24)
mit (23)
R
θ2
R
m1 ẍ2 1 +
+ µ m1 g cos α + m1 g sin α
S2 = 2 ẍ2 +
r
r
r
(25)
(23) + (25) in (19):
R
θ2
m2 ẍ2 = m2 g − m1 ẍ2 1 +
− µ m1 g cos α − m1 g sinα − 2 ẍ2
r
r
R
R
m1 ẍ2 1 +
+ µ m1 g cos α + m1 g sin α
−
r
r





R
R 
R
θ2
 ẍ2

1+
+ m1 1 +
⇒ m2 + 2 + m1

r
r
r
r

|
{z
}
2
m1 (1+ R
r)
R
= m2 g − m1 g 1 +
(µ cos α + sin α)
r
(26)
(27)
Klausur Dynamik
vom 02.02.2012
ẍ2 =
m2 g − m1 g 1 +
m2 +
θ2
r2
R
r
(µ cos α + sin α)
2
+ m1 1 + Rr
(28)
Alternativer Lösungsweg; Bewegungsbeschreibung der Stufenrolle als reine Rotation →
Drallsatz bezüglich MGP
b) Schneiden Sie alle relevanten Teilkörper frei und bestimmen Sie die für die Bewegungsbeschreibung notwendigen Gleichungen.
Masse (m1 ):
y1
x1
S1
α
FR
m1 g
N
m1 ẍ1 = S1 − m1 g sin α − FR
m2 ÿ1 = 0 = N − m1 g cos α
⇒ N = m1 g cos α
(29)
(30)
(31)
Stufenrolle (m2 , θ2 ):
S2
S1
ϕ2
C(MGP )
x2
m2 g
θC ϕ̈2 = m2 g r − S1 (R + r)
mit θC = θ2 +
m2 r 2
}
| {z
Steiner Anteil
(32)
(33)
Klausur Dynamik
vom 02.02.2012
Reibgesetz:
FR = µ N
(34)
FR = µ m1 g cos α
(35)
m1 ẍ1 = S1 − µ m1 g cos α − m1 g sin α
(36)
θ2 + m2 r 2 ϕ̈2 = m2 g r − S1 (R + r)
(37)
(31) in (34):
(35) in (29):
(33) in (32):
(37) nach S1 in (29):
m1 ẍ1 =
θ2 + m2 r 2
r
m2 g −
ϕ̈2 − m1 g (µ cos α + sin α)
R+r
R+r
(38)
mit Kinematik Teilaufgabe a):
m1
R+r
θ2 + m2 r 2
r
ẍ2 +
ẍ2 =
m2 g − m1 g (µ cos α + sin α)
r
r (R + r)
R+r
⇒ ẍ2 =
r
R+r
(39)
m2 g − m1 g (µ cos α + sin α)
m1
R+r
r
+
θ2 +m2 r 2
r (R+r)
r 2 m2 g − r (R + r) m1 g (µ cos α + sin α)
=
m1 (R + r)2 + θ2 + m2 r 2
(40)
Klausur Dynamik
vom 02.02.2012
Aufgabe 3 (20 Punkte)
Die Walze 1 (Masse m1 , Radius r1 ) ist wie dargestellt in ihrem Schwerpunkt drehbar
gelagert und über ein undehnbares Seil mit der Walze 2 (Masse m2 , Radius r2 ) verbunden.
Zwischen der Walze 1 und dem Untergrund wirkt Reibung (Gleitreibungskoeffizient µ).
Die Walze 2 rollt auf der schiefen Ebene (Neigungswinkel α), ohne zu Gleiten. Das System
befindet sich zu Beginn in Ruhe und unterliegt der Gravitation mit der eingezeichneten
Beschleunigung g.
ϕ1
masselos (m = 0)
m1 , r1
g
11
00
00
11
00
11
µ
ϕ2
m2 , r2
x2
α
a) Stellen Sie den Arbeitssatz sowie alle weiteren Gleichungen auf, mit denen der Bewegungszustand vollständig beschrieben wird.
b) Welche Geschwindigkeit hat der Schwerpunkt der Walze 2 nach n Umdrehungen der
Walze 1?
Gegeben: m1 , m2 , r1 = r2 = r, µ, α, g
Klausur Dynamik
vom 02.02.2012
Lösung zu Aufgabe 3
a) Stellen Sie den Arbeitssatz sowie alle weiteren Gleichungen auf, mit denen der Bewegungszustand vollständig beschrieben wird.
Das Nullniveau wird auf den Anfangszustand gelegt.
Arbeitssatz:
Epot0 + Ekin0 + WR = Epot1 + Ekin1
(41)
1
1
1
0 + 0 − m1 gµ · ϕ1 r = −m2 g · x2 sin α +
θ1 ϕ̇21 + m2 v22 + θ2 ϕ̇22
(42)
2
2
2
Massenträgheitsmomente der Walzen 1 und 2:
1
θ1 = m1 r 2 ,
2
1
θ2 = m2 r 2
2
(43)
Kinematik:
ẋ
ϕ̇2
v2
x = ϕ1 r,
1
2v2
v2 = ẋ ⇒ ϕ̇1 =
2
r
v2
v2 = ϕ̇2 r ⇒ ϕ̇2 =
r
ẋ = ϕ̇1 r,
(44)
(45)
Anzahl der Umdrehungen:
ϕ1
⇒ ϕ1 = 2πn
(46)
2π
b) Welche Geschwindigkeit hat der Schwerpunkt der Walze 2 nach n Umdrehungen der
Walze 1?
Einsetzen ergibt:
n=
−m1 gµ · 2πn · r = − m2 g · πn · r · sin α
( 2
)
1
1
2v
v2 2
1
1 1
2
m1 r 2
m2 r 2
+ m2 v22 +
+
2 2
r
2
2 2
r
Umgeformt:
g · πn · r(m2 sin α − 2m1 µ) =
1
1
m1 + m2 + m2 v22
2
4
Geschwindigkeit der Walze 2 nach n Umdrehungen der Walze 1:
s
g · πn · r(m2 sin α − 2m1 µ)
v2 =
m1 + 43 m2
(47)
(48)
(49)
Klausur Dynamik
vom 02.02.2012
Aufgabe 4 (22 Punkte)
Der dargestellte homogene, starre Stab (Länge l1 , Masse m1 ) ist in A drehbar gelagert. Im
System sind, wie dargestellt, eine Drehfeder (Federkonstante cT ), ein Dämpfer (Dämpfungskonstante d) und ein masseloser Stab (Dehnsteifigkeit EA, Länge l2 ) eingebaut. Weiterhin
ist an dem Stab eine Punktmasse m2 befestigt. Dargestellt ist die statische Ruhelage des
Systems (ϕ = 0). Das System ist schwach gedämpft und unterliegt der Gravitation mit der
eingezeichneten Beschleunigung g. Durch konstruktive Maßnahmen wird garantiert, dass
der Dämpfer und der masselose Stab zu jeder Zeit die dargestellte Orientierung beibehalten.
1111111
0000000
0000000
1111111
masselos
g
EA, l2
ϕ
A
m1 , l1
cT
m2
d
11
00
2
l
3 1
1
l
3 1
a) Bestimmen Sie die Federsteifigkeit cS für den masselosen Stab (EA, l2 ).
b) Zeichnen Sie das Freikörperbild für den starren Stab (m1 , l1 ).
c) Ermitteln Sie die Bewegungsgleichung für den starren Stab (m1 , l1 ) bei großen Auslenkungen.
d) Bestimmen Sie die um ϕ = 0 linearisierte Bewegungsgleichung.
e) Berechnen Sie die Eigenfrequenz ω der ungedämpften Schwingung und den Dämpfungsgrad D.
f) Ermitteln Sie die Schwingung um die Ruhelage (ϕ = 0) bei einer Anfangsauslenkung
von ϕ0 und einer Anfangswinkelgeschwindigkeit von ϕ̇0 = 0.
g) Welche Bedingung muss d erfüllen, wenn das System nicht schwingfähig sein soll?
Gegeben: l1 , l2 , cT , d, E, A, m1 = 3 m, m2 = m, g
Klausur Dynamik
vom 02.02.2012
Lösung zu Aufgabe 4
a) Bestimmen Sie die Federsteifigkeit cS für den masselosen Stab (EA, l2 ).
Ersatzsteifigkeit:
EA
cS =
l2
b) Zeichnen Sie das Freikörperbild für den starren Stab (m1 , l1 ).
cT ϕ
(50)
Ax
ϕ
Ay
d ẋd
cs xc
Hinweis: In der dargestellten statischen Ruhelage (ϕ = 0) ist das System bereits durch
die Gewichtskräfte belastet. Die Gewichtskräfte werden daher nicht mehr angetragen!
c) Ermitteln Sie die Bewegungsgleichung für den starren Stab (m1 , l1 ) bei großen Auslenkungen.
Kinematik:
2
2
(51)
xc = l1 sin ϕ, xd = l1 sin ϕ, ẋd = l1 ϕ̇ cos ϕ
3
3
Massenträgheitsmoment:
2
1
l1
2
ΘA =
m1 l1 + m1
+ m2 l12
12
2
(52)
1
= m1 l12 + m2 l12
3
= 2 m l12
Drallsatz bezüglich A:
ΘA ϕ̈ = −cT ϕ − cS xc · l1 cos ϕ − d ẋd ·
2
l1 cos ϕ
3
(53)
Einsetzen ergibt:
2 m l12 ϕ̈ +
4 2
l d cos2 ϕ ϕ̇ + cT ϕ + l12 cS sin ϕ cos ϕ = 0
9 1
(54)
d) Bestimmen Sie die um ϕ = 0 linearisierte Bewegungsgleichung.
Linearisierung: cos2 ϕ ≈ 1, sin ϕ cos ϕ ≈ ϕ, cos ϕ ≈ 1
2 m l12 ϕ̈ +
4 2
l1 d ϕ̇ + (cT + l12 cS ) ϕ = 0
9
(55)
Klausur Dynamik
vom 02.02.2012
2 d
ϕ̈ +
ϕ̇ +
9m
cS
cT
+
2
2 m l1 2 m
ϕ=0
(56)
e) Berechnen Sie die Eigenfrequenz ω der ungedämpften Schwingung und den Dämpfungsgrad D.
r
cS
cT
+
ω=
2
2 m l1 2 m
(57)
2 d
d
1
1
q
q
D=
=
cS
cT
9 m 2·
9 · m c2T + m cS
2 +
2 m l1
2m
2 l1
2
f) Ermitteln Sie die Schwingung um die Ruhelage (ϕ = 0) bei einer Anfangsauslenkung
von ϕ0 und einer Anfangswinkelgeschwindigkeit von ϕ̇0 = 0.
ϕ(t) = e−D ω t (A cos(ωD t) + B sin(ωD t))
ϕ̇(t) = −D ω e−D ω t (A cos(ωD t) + B sin(ωD t))
(58)
+ e−D ω t (−A ωD sin(ωD t) + B ωD cos(ωD t))
Einsetzen der Anfangsbedingungen:
ϕ(0) = ϕ0 = A
ϕ̇(0) = 0 = −D ω A + B ωD
⇒
B = D ϕ0
ω
ωD
(59)
Daraus folgt:
−D ω t
ϕ(t) = e
ω
ϕ0 cos(ωD t) + D
sin(ωD t)
ωD
(60)
g) Welche Bedingung muss d erfüllen, wenn das System nicht schwingfähig sein soll?
Für ein nicht-schwingfähiges System muss D > 1 gelten:
r
m cS
1
d
m cT
q
+
>1⇒d>9
(61)
2
m
c
m
c
S
T
9·
2 l1
2
2 +
2 l1
2