Komplexe Zahlen

Körper sind nullteilerfrei
Für Elemente a, b eines Körpers gilt stets:
Aus a · b = 0 folgt a = 0 oder b = 0.
Beweis: Aus a · b = 0 und a 6= 0 folgt
0 = a−1 · 0 = a−1 · (a · b) = (a−1 · a) · b = b,
also b = 0.
Körper sind also stets nullteilerfrei.
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Rechnen mit Zahlenpaaren
Die Menge
R × R := {(a, b) | a, b ∈ R}
aller Paare reeller Zahlen bildet mit der
komponentenweisen Addition
(a1 , b1 ) + (a2 , b2 ) := (a1 + a2 , b1 + b2 )
eine Gruppe.
Frage: Kann man für solche Zahlenpaare auch eine
vernünftige Multiplikation einführen?
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Komponentenweise Multiplikation
Die komponentenweise Multiplikation
(a1 , b1 ) (a2 , b2 ) := (a1 · a2 , b1 · b2 )
ist nicht nullteilerfrei:
(1, 0) (0, 1) = (0, 0).
Die komponentenweise Multiplikation führt also nicht zu
einer Körperstruktur.
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Komplexe Multiplikation
Es gibt nur eine Möglichkeit, eine Multiplikation für Paare
reeller Zahlen so zu definieren, dass sich eine
Körperstruktur ergibt:
(a1 , b1 ) · (a2 , b2 ) := (a1 a2 − b1 b2 , a1 b2 + a2 b1 ).
Es ist damit beispielsweise
(2, 3) · (1, 4) = (−10, 11).
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Die reellen Zahlen als Teilkörper
Die Paare mit 0 als zweiter Komponente werden wie reelle
Zahlen addiert und multipliziert:
(a1 , 0) + (a2 , 0) = (a1 + a2 , 0)
(a1 , 0) · (a2 , 0) = (a1 a2 , 0)
Man kann deshalb die Menge
{(a, 0) | a ∈ R}
mit den reellen Zahlen identifizieren.
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Imaginäre Einheit
Jedes Zahlenpaar (a, b) kann als Linearkombination
(a, b) = a · (1, 0) + b · (0, 1)
der Paare (1, 0) und (0, 1) geschrieben werden.
Das legt eine vereinfachte Schreibweise nahe:
Statt (1, 0) schreibt man 1.
Statt (0, 1) schreibt man i.
Statt (a, b) schreibt man a + bi.
Man nennt i die imaginäre Einheit und die Paare der
Form (0, b) = bi imaginäre Zahlen.
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Merkregel für die Multiplikation
Für die imaginäre Einheit i gilt i · i = (0, 1) · (0, 1) = (−1, 0),
also
i2 = −1.
Es genügt, sich dies zu merken; die komplexe Multiplikation
ist dann mit den Rechenregeln für Körper festgelegt:
(a1 + b1 i) · (a2 + b2 i) = a1 a2 + a1 b2 i + b1 a2 i + b1 b2 i2
= a1 a2 − b1 b2 + (a1 b2 + a2 b1 )i.
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Die komplexen Zahlen
Die reellen Zahlenpaare a + bi mit diesen
Rechenoperationen nennt man die komplexen Zahlen.
Die Menge der komplexen Zahlen wird mit C notiert.
Man nennt
a den Realteil und
b den Imaginärteil
der komplexen Zahl a + bi.
Der Betrag der komplexen Zahl z := a + bi ist definiert als
p
|z| := a2 + b2 .
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Konjugation
Die zu z := a + bi konjugiert komplexe Zahl ist
z := a − bi.
Es gilt stets
z · z = a2 + b2 = |z|2 .
Insbesondere: Das Produkt von z und z ist stets reell.
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Komplexe Division
z1 · z 2
z1 · z 2
z1
=
=
.
2
z2
z2 · z 2
|z2 |
Beispiel:
8 − 12i
−4i
−4i · (3 + 2i)
−8i2 − 12i
8 12
=
=
=
= − i.
2
3 − 2i
(3 − 2i) · (3 + 2i)
9 − 4i
13
13 13
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Polarkoordinaten
Setzt man für eine komplexe Zahl z := a + bi 6= 0
r := |z| und
für φ den Winkel zwischen der positiven reellen Achse
und der Linie zwischen dem Punkt (0, 0) und dem Punkt
(a, b),
dann gilt
a = r cos φ,
b = r sin φ.
Man kann dehalb die komplexe Zahl z schreiben als
z = r(cos φ + i sin φ).
Dies nennt man die Darstellung in Polarkoordinaten.
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Beispiel
√
Die √
komplexe Zahl z := 1 + i 3 hat den Betrag
r = 1 + 3 = 2. Aus
1 = 2 cos φ
√
3 = 2 sin φ
erhält man φ =
π
3
= 60◦ .
Damit ist die Polarkoordinatendarstellung
π
π
z = 2(cos + i sin ).
3
3
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Rechnen mit Polarkoordinaten
Mit Hilfe der Rechenregeln für die trigonometrischen
Funktionen erhält man aus
z1 = r1 (cos φ + i sin φ)
und
z2 = r2 (cos ψ + i sin ψ)
für das Produkt
z1 · z2 = r1 r2 (cos(φ + ψ) + i sin(φ + ψ)).
Das kann man so formulieren:
Bei der komplexen Multiplikation multiplizieren sich die
Beträge und addieren sich die Winkel.
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Beispiel
Wir ziehen die dritten Wurzel als −8.
Der Betrag von −8 ist 8, das Argument ist φ = π . Damit
erhalten wir insgesamt drei Wurzeln, nämlich
√
π
π
2(cos + i sin ) = 1 + i 3
3
3
2(cos π + i sin π) = −2
√
5π
5π
+ i sin ) = 1 − i 3.
2(cos
3
3
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Einheitswurzeln
Aus der Formel
√
1
φ 2kπ
φ 2kπ
n
n
z = r cos( +
) + i sin( +
) , k = 0, . . . , n,
n
n
n
n
ergeben sich die n-ten Einheitswurzeln
2kπ
2kπ
cos
+ i sin
,
n
n
k = 0, . . . , n.
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