Das Invarianzprinzip

Mathe-Camp Kaiserslautern 2016
Das Invarianzprinzip
Was ist das Invarianzprinzip?
Beim Invarianzprinzip sucht man Invarianten, also Größen, die sich unter bestimmten Operationen nicht ändern (invariant sind). Diese „Operationen“ können zum Beispiel Spielzüge in einem
Spiel sein. Normalerweise ist ein Startzustand vorgegeben und man soll untersuchen, ob man vom
Startzustand in einen bestimmten Endzustand gelangen kann. Wenn aber die Invariante im Startzustand einen anderen Wert hat, als sie im Endzustand haben sollen, kann man den Endzustand
nicht erreichen, weil die Invariante sich dafür irgendwann ändern müsste.
• Überlege zuerst, unter welcher Operation deine Invariante invariant sein muss, d. h. was genau
ist ein „Spielzug“?
• Oft ist die Invariante kein einfacher Wert, den man direkt ablesen kann, sondern eine Summe
oder Differenz von Werten. Wenn zum Beispiel in einem Spielzug immer ein Wert a um 1
größer wird und dabei b um 1 kleiner wird, ist a + b eine Invariante. Schaue daher, welche
Werte sich immer gemeinsam ändern.
• Invarianten sind oft Reste bestimmter Werte beim Teilen. Wenn eine Zahl zum Beispiel immer
nur um 2 größer oder kleiner wird, ist sie keine Invariante, aber ihr Zweierrest ist invariant.
Oft muss man auch Reste von Summen oder Differenzen betrachten.
• Um Invarianten zu sehen, hilft es oft, Positionen geschickt „einzufärben“ oder ihnen Zahlen
zuzuweisen, zum Beispiel kann man die Felder auf einem Schachbrett in weiße und schwarze
Felder einteilen.
• Bei manchen Spielen ist das Spiel umkehrbar, d. h. zu jedem Zug ist auch der umgekehrte
Spielzug ein erlaubter Zug. Dann kann man auch zeigen, dass man von der Endsituation nicht
in die Anfangssituation kommen kann, was manchmal (eher selten) leichter ist.
Aufgabe 1
Sechs Häuser stehen im Kreis. Auf dem Dach jedes Hauses sitzt ein Spatz. Jede Minute wechseln zwei Spatzen das Haus: Einer fliegt im Uhrzeigersinn zum nächsten Haus, einer gegen den
Uhrzeigersinn.
Ist es möglich, dass sich irgendwann alle Spatzen auf einem Haus versammeln?
Ändert sich das Ergebnis, wenn es auch möglich ist, dass jede Minute beide Spatzen in dieselbe
Richtung fliegen (also beide im Uhrzeigersinn oder beide gegen den Uhrzeigersinn)?
Aufgabe 2
Wir betrachten ein Schachbrett (8 × 8 Felder), von dem zwei gegenüberliegende Ecken entfernt
wurden.
Kann man dieses Schachbrett so mit Dominosteinen auffüllen, dass auf jedem Feld genau ein Stein
liegt? Ein Dominostein belegt dabei immer zwei benachbarte Felder.
Aufgabe 3
Zehn Schalen stehen im Kreis. Sie werden – irgendwo beginnend – im Uhrzeigersinn mit 1, 2, . . . ,
9 bzw. 10 Murmeln gefüllt. In einem Zug darf man zu zwei benachbarten Schalen je eine Murmel
hinzufügen oder aus zwei benachbarten Schalen – wenn beide nicht leer sind – je eine Murmel
entfernen.
Kann man erreichen, dass nach endlich vielen Zügen in jeder Schale genau 2011 Murmeln liegen?
Aufgabe 4
Auf dem Tisch liegt ein Haufen mit 2001 Spielsteinen, der schrittweise in Haufen mit je drei Steinen
umgewandelt werden soll. Dabei besteht ein Schritt darin, dass ein Haufen ausgewählt, daraus ein
Stein entfernt und der Resthaufen in zwei Haufen zerlegt wird.
Kann dies mit einer Folge von vollständig ausgeführten Schritten erreicht werden?
Hinweis: Ein Haufen besteht immer aus mindestens einem Stein.
Aufgabe 5
Zwei Spieler spielen folgendes Spiel: Zu Beginn liegen zwischen den Spielern 23 Spielsteine. Wer
am Zug ist, entfernt nach seiner Wahl einen, zwei oder drei Spielsteine. Wer den letzten Spielstein
entfernt, hat gewonnen.
Kann ein Spieler den Sieg erzwingen (d. h. ist es für ihn möglich so zu spielen, dass er immer
gewinnt)? Wie ändert sich die Situation, wenn zu Beginn mehr oder weniger Spielsteine ausliegen?
Aufgabe 6
Zu Beginn eines Spiels stehen an der Tafel die Zahlen 1, 2, . . . , 2004. Ein Spielzug besteht daraus,
dass man
• eine beliebige Anzahl der Zahlen an der Tafel auswählt,
• den Elferrest der Summe dieser Zahlen berechnet und an die Tafel schreibt,
• die ausgewählten Zahlen löscht.
Bei einem solchen Spiel standen irgendwann noch zwei Zahlen an der Tafel. Eine davon war 1000;
man bestimme die andere Zahl.
Aufgabe 7
Auf einer Insel leben 13 rote, 15 grüne und 17 blaue Chamäleons. Immer wenn sich zwei verschiedenfarbige Chamäleons begegnen, wechseln beide ihre Farbe zur dritten Farbe. (Wenn sich also ein
grünes und ein blaues Chamäleon begegnen, werden sie beide rot.)
Ist es möglich, dass es irgendwann auf der Insel nur noch Chamäleons einer Farbe gibt?
Aufgabe 8
Zwei natürliche Zahlen, von denen die eine durch Ziffernpermutation aus der anderen entsteht,
haben die Summe 999...9 (lauter Neunen). Ist dies möglich, wenn jede der Zahlen 1999 Stellen hat?
Ist es möglich, wenn jede Zahl 2000 Stellen hat?
Aufgabe 9
Ein rechteckiger Fußboden der Größe k × n wurde mit Fliesen der Form 2 × 2 und 1 × 4 komplett
parkettiert. Nun soll eine der 4 × 1-Fliesen durch eine 2 × 2-Fliese ersetzt werden, wobei die anderen
Fliesen umgelegt werden dürfen. Ist es möglich, die Fliesen so anzuordnen, dass sie danach wieder
den gesamten Fußboden bedecken?
Aufgabe 10
In einem ebenen Koordinatensystem stehen auf Punkten mit ganzzahligen Koordinaten vier Spielsteine. Sie können nach folgender Regel gezogen werden: Ein Stein kann auf eine neue Position
gezogen werden, wenn in der Mitte zwischen seiner alten und neuen Position einer der übrigen
Steine liegt. Zu Beginn stehen die vier Spielsteine auf den Punkten (0, 0), (0, 1), (1, 0) und (1, 1).
Kann man nach endlich vielen Zügen erreichen, dass die vier Steine auf je einem der Punkte (0, 0),
(1, 1), (3, 0) und (2, −1) stehen?