1.) Neue Sicht der Binomialkoeffizienten

1.) Neue Sicht der Binomialkoeffizienten
Aufbauend auf: "Kombinatorik (Inklusions-Exklusions-Prinzip)"
Aufgaben: 1
> restart;
Neue Sicht der Binomialkoeffizienten
Wir wollen uns überlegen, wie die Binomialkoeffizienten in einfachster Weise unter Benutzung
des Summationsoperators und des Differenzenoperators konstruiert werden können. Zwei
Anwendungen werden gegeben:
MATH: Wenden wir
auf die Folge
an, so erhalten wir die Folge
.
Wir iterieren die Anwendung:
> factor(sum(expand(binomial(i,0)),i=1..n)),factor(expand
(binomial(n,1)));
(1.1.1)
> factor(sum(expand(binomial(i,1)),i=1..n)),factor(expand
(binomial(n+1,2)));
(1.1.2)
> factor(sum(expand(binomial(i+1,2)),i=1..n)),factor(expand
(binomial(n+2,3)));
(1.1.3)
> factor(sum(expand(binomial(i+2,3)),i=1..n)),factor(expand
(binomial(n+3,4)));
(1.1.4)
DENKANSTOSS: Vergleiche diesen Summenoperator mit dem aus dem Abschnitt "Definition
von Folgen".
MATH: Allgemein gilt:
> Sum(binomial(i+k,k+1),i=1..n) = binomial(n+k+1,k+2);
(1.1.5)
(1.1.5)
wobei wir beide Seiten als Folgen in für festes auffassen.
Beweisen kann man dies ganz einfach durch Benutzung von
(mit der Konvention
)
DENKANSTOSS: Vergleiche diesen Differenzoperator mit dem aus dem Abschnitt "Definition
von Folgen"
Überzeuge dich, dass die neuen (linearen) Operatoren invers zueinander sind.
Die linke Seite unserer Formel liefert bei Anwendung von
( ist invers zu ):
und die rechte Seite
,
aber die rekursive Definition der Binomialkoeffizienten ist gerade
,
womit die Gleichheit etabliert ist, wenn man noch die Anfangsdaten der Rekursionen vergleicht.
DENKANSTOSS: Mache eine Skizze im Pascalschen Dreieck.
MAPLE: Man kann mit Maple so etwas nicht direkt zeigen, aber man kann sich mit Maple die
Vermutung verschaffen.
ÜBUNG [01]:
Leite aus der Formel
der natürlichen Zahlen für
eine Summenformel für die -ten Potenzen
her, also Formeln für
.
(Hinweis: Drücke die relevanten Binomialkoeffizienten
> expand(binomial(n+1,2));
expand(binomial(n+2,3));
(1.1.6)
etc. durch Potenzen von aus. Benutze dies, um die Potenzen durch die Binomialkoeffizienten
auszudrücken.)
2.) Formale Potenzreihen
Aufbauend auf: "Polynome", "Neue Sicht der Binomialkoeffizienten"
Aufgaben: 4
> restart;
Definition formaler Potenzreihen
Formale Potenzreihen sind eine Verallgemeinerung von Polynomen, die es im Falle des reellen
oder komplexen Zahlkörpers ermöglicht, Potenzreihen, wie sie später in der Analysis behandelt
werden, in zwei Schritten zu behandeln: erst formal (meist einfacher), dann unter dem
Konvergenzgesichtspunkt. Hier beschränken wir uns (vorerst) auf den formalen Fall.
MATH:
sei ein Körper. Eine Zahlenfolge
kann auch als
notiert werden. Hier liegt kein Grenzwert vor, sondern nur eine Notation für eine solche Folge.
Die Menge aller dieser Folgen wird auch mit
abgekürzt und heißt formaler
Potenzreihenring. Die Elemente nennt man formale Potenzreihen. Dass diese einen Ring
bilden, werden wir unten sehen.
Wir hatten bereits gesehen: Gibt es ein
In der Mathematik schreibt man oft auch
auch nur Notation.
mit
für
so heißt auch Polynom in .
für das Polynom oder die Potenzreihe . Dies ist
BEISPIEL: Die Folge
liefert uns eine Potenzreihe, die MAPLE auch verarbeiten kann:
> Sum(x^i,i=0..infinity);
(2.1.1)
Allgemeiner kann man die Folge in Maple auch als Potenzreihe schreiben:
> Sum(b[i]*x^i,i=0..infinity);
(2.1.2)
MATH: Es ist sehr naheliegend, eine Addition für Potenzreihen einzuführen:
> Sum(b[i]*x^i,i=0..infinity)+Sum(c[i]*x^i,i=0..infinity);
(2.1.3)
soll gleich
> Sum((b[i]+c[i])*x^i,i=0..infinity);
(2.1.4)
(2.1.4)
sein. Dies ist eine nicht sehr überraschende Definition.
MATH:
und auch
bilden eine abelsche Gruppe mit dieser Addition:
Assoziativgesetz und Kommutativgesetz der Addition in übertragen sich sofort, die Null ist
> Sum(`0`*x^i,i=0..infinity);
(2.1.5)
Das Negative von
> Sum(b[i]*x^i,i=0..infinity);
(2.1.6)
ist
> Sum(-b[i]*x^i,i=0..infinity);
(2.1.7)
MATH: Ist
eine Zahl (im Sinne von Körperelement), so kann man diese Zahl in jedes
Polynom
für einsetzen und bekommt eine Zahl aus . In formale Potenzreihen
kann man nur einsetzen, weil unendliche Summen in einem Körper nicht definiert sind.
MATH: Formale Potenzreihen lassen sich multiplizieren, indem man die bekannte Multplikation
von Polynomen fortzusetzen versucht:
> for n from 1 to 3 do
collect(sum(b[i]*x^i,i=0..n)*sum(c[i]*x^i,i=0..n),x);
od;n:='n':
(2.1.8)
Beachte: Der Koeffizient von ist in allen drei Produkten gleich, ebenso der von . Jedoch hat
sich der von anfangs noch geändert und ist dann stabil geblieben. Schauen wir uns den
Koeffizienten von an:
> map(n->coeff(sum(b[i]*x^i,i=0..n)*sum(c[i]*x^i,i=0..n),x,3),
[$1..8]);
(2.1.9)
Ab dem dritten Glied ist er konstant.
MATH: Man definiert also das Produkt von zwei formalen Potenzreihen als
> Sum(b[i]*x^i,i=0..infinity)*Sum(c[i]*x^i,i=0..infinity)=Sum
(Sum(b[j]*c[i-j],j=0..i)*x^i,i=0..infinity);
(2.1.10)
MATH: Die obigen Überlegungen über die formale Annäherung durch Polynome zeigt dann,
dass auch
ein kommutativer Ring mit ist, der
als Teilring enthält.
Elemente, die in
nicht invertierbar sind, können sehr wohl in
:
> Sum(x^i,i=0..infinity)=sum(x^i,i=0..infinity);
invertierbar sein, z. B.
(2.1.11)
ÜBUNG [01]:
1.) Beweise mit der Formel zum Ausmultiplizieren:
> simplify((1-x)*Sum(x^i,i=0..infinity)=(1-x)*sum(x^i,i=0..
infinity));
(2.1.12)
2.) Zeige: Jede formale Potenzreihe
mit
3.) Zeige: Die formale Potenzreihe
ist invertierbar.
ist nicht invertierbar.
Einsetzen in formale Potenzreihen
MATH: Während das Einsetzen einer Zahl einen (Ring- oder -Algebren-)Homomorphismus
des
definiert, ist das Einsetzen für formale Potenzreihen nur für
definiert.
Für die Fälle
und
kann man hoffen, dass das Einsetzen eines
für einige Potenzreihen eine konvergente Reihe liefert.
zumindest
BEISPIEL:
> p:=Sum(x^i,i=0..infinity);
(2.2.1)
> subs(x=1/2,p);
(2.2.2)
> value(%);
(2.2.3)
2
(2.2.3)
> value(p);
(2.2.4)
Man könnte nun denken, dass man auch
> subs(x=-1,p);
einsetzen kann:
(2.2.5)
> value(%);
(2.2.6)
Da Maple streikt, müssen wir nachhelfen:
> limit(sum((-1)^i,i=0..n),n=infinity);
(2.2.7)
Dies sieht wirr aus, bedeutet aber im Wesentlichen, dass es keinen Grenzwert gibt.
Grenzwerte werden später in der Analysis genau behandelt wird (Stichwort: Konvergenzradius) wir kommen auch hier auf das Thema zurück.
Formale Potenzreihen und Binomialkoeffizienten
MATH: Im Abschnitt "Neue Sicht der Binomialkoeffizienten" hatten wir die Formeln
> Sum(binomial(i+k,k+1),i = 1 .. n) = binomial(n+k+1,k+2);
(2.3.1)
welche von den zwei Parametern und (
) abhängen. Wir wollen dies in eine äquivalente
Formel für formale Potenzreihen verwandeln, die nur noch von einem Parameter abhängt.
Maple kennt schon das Resultat für die ersten 5 Werte von . Wir betrachten:
> Sum(binomial(i+k,k)*q^i,i = 1 .. infinity);
(2.3.2)
was unabhängig von geworden ist, und erhalten:
> map(k->factor(sum(binomial(i+k,k)*q^i,i=0..infinity)),[$0..5]
) ;
(2.3.3)
MATH: Unsere Vermutung ist somit: Im formalen Potenzreihenring
gilt:
> Sum(binomial(i+k,k)*q^i,i=0..infinity)=1/(1-q)^(k+1);
(2.3.4)
Wenn wir die obige Rechnung glauben, haben wir schon für die Induktion nach den
Induktionsanfang. Für
haben wir die berühmte geometrische Reihe:
> Sum(q^i,i=0..infinity)=sum(q^i,i=0..infinity);
(2.3.5)
Für den Induktionsschritt brauchen wir also nur noch zu zeigen:
> Sum(q^i,i=0..infinity)*Sum(binomial(i+k,k)*q^i,i=0..infinity)
=Sum(binomial(i+k+1,k+1)*q^i,i=0..infinity);
(2.3.6)
Verinnerlicht man die Definition des Produktes von formalen Potenzreihen und betrachtet
danach den Koeffizienten von in beiden Fällen, so lässt sich die Gleichheit der Reihen
zurückführen auf
> Sum(binomial(i+k,k),i=0..n)= binomial(n+k+1,k+1);
(2.3.7)
Dies entspricht genau dem, was wir im Abschnitt "Neue Sicht der Binomialkoeffizienten"
bewiesen haben.
DENKANSTOSS: Wir haben haben gezeigt, dass die Binomialidentitäten die Reihenidentitäten
implizieren. Schau genau hin um die umgekehrte Richtung auch einzusehen.
ÜBUNG [02]:
Leite Formeln für
mit
her.
(Hinweis: Benutze die Formeln für
für
und multipliziere die Binomialkoeffizienten aus, um den Zusammenhang von
diesen mit den Potenzen
zu sehen. Du solltest erkennen, dass die Übung in völliger
Analogie zur Übung im Abschnitt "Neue Sicht der Binomialkoeffizienten" steht.)
Entwicklung rationaler Funktionen in Potenzreihen
MATH: Zur Festlegung einer formalen Potenzreihe muss man im Allgemeinen unendlich viele
Koeffizienten angeben. Oftmals lässt sich eine formale Potenzreihe als Quotient zweier
Polynome darstellen, z. B. ist
der Quotient von und
. Hier ist ein Programm, welches die ersten Koeffizienten einer
solchen formalen Potenzreihe ausrechnet.
> Entw:=proc(f,n::posint)
local g,i,L,a;
L:=NULL;
g:=f;
for i from 0 to n+1 do
a:=subs(x=0,g);
L:=L,a;
g:=simplify((g-a)/x);
end do;
return sort(add(L[i]*x^(i-1),i=1..n), order=plex(x),
ascending);
end proc:
> Entw(1/(1-x^7-x^5+x^12),100);
(2.4.1)
ÜBUNG [03]:
1.) Erkläre die grundlegende Idee des Programms.
2.) Wie muss man das Programm modifizieren, wenn man als Potenzreihe in
darstellen will?
3.) Wende dein modifiziertes Programm auf das obige Beispiel an.
4.) Warum geht es schief? Was kann man tun?
statt in
Formale Potenzreihen und Kombinatorik
MATH: Wir wollen den kombinatorischen Inhalt der obigen Rechnung beleuchten:
> factor(1-x^7-x^5+x^12);
(2.5.1)
> expand((x^4+x^3+x^2+x+1)*(x-1));
expand((x^6+x^5+x^4+x^3+x^2+x+1)*(x-1));
(2.5.2)
Also
> 1/(1-x^7-x^5+x^12) = 1/(1-x^5) * 1/(1-x^7);
(2.5.3)
(2.5.3)
> is(%);
true
(2.5.4)
> Entw(1/(1-x^5),100);
(2.5.5)
> Entw(1/(1-x^7),100);
(2.5.6)
> Entw(1/(1-x^7-x^5+x^12),50);
(2.5.7)
Also ist der Entwicklungskoeffizient von
von
gleich der Anzahl der
Möglichkeiten, als Summe zweier nicht negativer ganzer Zahlen zu schreiben, wobei die erste
durch und die zweite durch teilbar ist.
ÜBUNG [04]:
Finde die kleinste Zahl n
, so dass für alle
die Zahl auf mindestens 2 Arten als
Summe zweier nicht negativer ganzer Zahlen geschrieben werden kann, wobei die erste durch 3
und die zweite durch 5 teilbar ist. (Beweis!)
DENKANSTOSS: Vergleicht man mit dem Summen- und Differenzenoperator aus dem
Abschnitt "Definition von Folgen und einige wichtige Beispiele", kommt man in der Sprache der
formalen Potenzreihen zu der Formulierung:
Differenzenoperator = Multiplikation mit
Summenoperator = Division durch
.
3.) Eulersche Exponential- und Newtonsche Binomialreihe:
formal
Aufbauend auf: "Formale Potenzreihen", "Neue Sicht der Binomialkoeffizienten"
Aufgaben: 3
> restart;
Eulersche Exponentialreihe
MATH: Wir beginnen mit einem Experiment, welches sich mit
beschäftigt.
> for n from 1 to 10 do
expand((1+x/n)^n);
für natürliche Zahlen
>
end do;n:='n':
(3.1.1)
> map(n->coeff((1+x/n)^n,x,2),[$1..100]);
(3.1.2)
> map(n->(n-1)/(2*n),[$1..100]);
(3.1.3)
(3.1.3)
ÜBUNG [01]:
1.) Zeige: Der Koeffizient
von
in
ist
.
2.) Was ist der Grenzwert der Folge
3.) Bestimme den Koeffizient
von
4.) Was ist der Grenzwert der Folge
5) Sei
für
?
in
.
für
?
. Bestimme den Koeffizient
von
6) Was ist der Grenzwert der Folge
bei
MATH: Wir sehen also: Der Koeffizient von
diese Folge gegen
in
.
?
in
ist
und für festes strebt
für gegen unendlich.
> map(k->expand(binomial(n,k)/n^k),[$3..6]);
(3.1.4)
> map(i->limit(i,n=infinity),%);
(3.1.5)
MATH: Wir nehmen dies als Anregung, die formale Potenzreihe
durch
> Exp:=x->Sum(x^k/k!,k=0..infinity);
(3.1.6)
zu definieren. MAPLE kennt sie schon mit Namen:
> convert(Exp(x),sum);
sum(x^k/k!,k=0..infinity);
exp(x);
ex
ex
ex
> convert(exp(x),FormalPowerSeries);
(3.1.7)
(3.1.8)
MATH: Man nennt dies die Eulersche Exponentialreihe. Um ihre fantastischen Eigenschaften
zu studieren, brauchen wir noch etwas Vorbereitung im nächsten Abschnitt.
Newtonsche Binomialreihe
MATH: Vor Euler hatte bereits Newton viele Potenzreihen definiert. Er ließ sich inspirieren
durch die binomische Formel, die wir z. B. für
hier wiedergeben:
> expand((1+x)^5);
(3.2.1)
also allgemein:
> Sum(binomial(n,k)*x^k,k=0..n);
(3.2.2)
> sum(binomial(n,k)*x^k,k=0..n);
n
(3.2.3)
MATH: Newton stellte sich die Frage, was passiert, wenn keine natürliche Zahl ist. Einen Fall
kennen wir schon:
:
> sum(binomial(-1,k)*x^k,k=0..infinity);
1
(3.2.4)
> sum((-1)^k*x^k,k=0..infinity);
1
MATH: Wir müssen uns mit Newton fragen, was
(3.2.5)
ist, wenn zwar k noch eine nicht negative
ganze Zahl ist aber n nur noch irgendeine (reelle oder sogar komplexe) Zahl, z. b.
:
> binomial(-1,3);
factor(expand(binomial(n,3)));
(3.2.6)
MATH:
ist ein Polynom in von Grad , genauer
> map(i->factor(expand(binomial(n,i))),[$0..5]);
(3.2.7)
Die Reihe
> B:=(n,x)->Sum(binomial(n,k)*x^k,k=0..infinity);
(3.2.8)
heißt die Newtonsche Binomialreihe. Maple kennt sie schon:
> convert(B(n,x),sum);
n
Für uns ist sie vorläufig eine formale Potenzreihe in , also ein Element von
durch einen Parameter
indiziert ist.
(3.2.9)
, welches
ÜBUNG [02]:
1.) Zeige: Die Newtonsche Binomialreihe
2.) Faktorisiere dieses Polynom!
ist ein Polynom in vom Grad , falls
.
MATH: Später werden wir sehen, dass die formalen Potenzreihen, die wir hier diskutiert haben,
also die Eulersche Exponentialreihe und die Newtonschen Binomialreihen, für gewisse
konvergieren und die Grenzwerte das sind, was man erwartet. Z. B. für
> B(1/2,x);
(3.2.10)
wird für hinreichend kleine x wirklich den Wert
> convert(B(1/2,x),sum);
(3.2.11)
ergeben. Wir kommen später auf diese Konvergenzfragen zurück
ÜBUNG [03]:
Wir hatten im Abschnitt "Formale Potenzreihen" gesehen:
>
(3.2.12)
> Sum(binomial(i+k,k)*q^i,i = 0 .. infinity)=1/(1-q)^(k+1);
(3.2.12)
Bringe dieses Ergebnis mit der Newtonschen Binomialreihe für ein gewisses in Verbindung.
4.) exp(x)*exp(y)=exp(x+y): formal
Aufbauend auf: "Der Körper der komplexen Zahlen", "Eulersche Exponential- und Newtonsche
Binomialreihe: formal"
Aufgaben: 3
> restart;
Multivariate Potenzreihenringe
MATH: Das Produkt bei formalen Potenzreihen war definiert als
Die Koeffizienten des Produktes sind also
MATH: Dies reicht nicht aus, um
überhaupt nur hinzuschrieben, denn wir haben plötzlich zwei Variablen. Also müssen wir etwas
allgemeiner definieren:
MATH: Eine -wertige Doppelfolge ist eine Abbildung
.
Analog zum Cauchyprodukt für einfache Folgen definiert man das Cauchyprodukt für
Doppelfolgen: Für
ist
definiert durch
Man kürzt auch ab durch
und nennt K
mit der komponentenweisen Addition und der Cauchymultiplikation den
formalen Potenzreihenring
in den zwei Variablen , . Man kann
und
als Teilringe von
auffassen. Ein weiterer wichtiger Teilring ist der
Polynomring
endlich viele
, welcher aus denjenigen
.
besteht mit
für alle bis auf
> expand((1-x)*(1-y));
(4.1.1)
ist invertierbar in
, aber nicht in
:
> (1-x)*(1-y)*sum(x^i,i=0..infinity)*sum(y^i,i=0..infinity);
(4.1.2)
> normal(%);
1
(4.1.3)
exp(x)*exp(y)=exp(x+y): formal
MATH: Jetzt können wir die Gleichung
im formalen Potenzreihenring
verstehen: Sie ist äquivalent zu den unendlich vielen
Polynomgleichungen in
gegeben durch
für
ganz. Dies ist aber einfach der binomische Lehrsatz:
> Sum(x^k/k! * y^(n-k)/(n-k)!,k=0..n)=(x+y)^n/n!;
is(convert(lhs(%),sum)=rhs(%));
true
(4.2.1)
Wir haben gesagt, dass wir in formale Potenzreihen aus
keine beliebigen
einsetzen
dürfen, sondern nur die . Analog können wir auch keine beliebigen
in formale
Potenzreihen aus
einsetzen, sondern nur
. Wir können allerdings andere
Potenzreihen einsetzen:
MATH: Ist
und
, so
kann man in einsetzen und
ist eine Potenzreihe aus
. Das Einsetzen
ist ein Algebrenhomomorphismus.
DENKANSTOSS: Formuliere die entsprechende Aussage für
BEISPIEL: Fasse folgende Potenzreihe als Element von
> Sum(a[i]*x^i, i=0..infinity);
.
auf.
(4.2.2)
Setze für die Potenzreihe ein:
> subs(x=y, Sum(a[i]*x^i, i=0..infinity));
(4.2.3)
ÜBUNG [01]:
Bestimmte die ersten
Potenzreihe
Koeffizienten der Reihe, die entsteht wenn man in
für die
einsetzt.
ÜBUNG [02]:
Zeige:
1.)
2.)
in
für
.
in
.
Erste Anwendung: Additionstheoreme
MATH: Wir können den Körper der komplexen Zahlen für einsetzen und somit
als
Element von
auffassen. Multiplizieren wir mit der vierten Einheitswurzel , wird Maple
wach:
> convert(exp(I*x), trig);
(4.3.1)
> convert(cos(x), FormalPowerSeries);
(4.3.2)
> convert(sin(x), FormalPowerSeries);
(4.3.3)
> convert(exp(I*x), FormalPowerSeries);
(4.3.4)
ÜBUNG [03]:
Kommentiere die letzten vier Befehle im Lichte von
> map(k->I^k,[$0..20]);
(4.3.5)
und begrüde damit die Gleichheit
.
>
MATH: Jetzt haben wir keine Schwierigkeiten mehr, die Additionstheoreme für sinus und
cosinus zu behalten:
> convert(exp(I*(x+y)),trig);
(4.3.6)
> expand(convert(exp(I*x), trig)*convert(exp(I*y), trig));
(4.3.7)
Hieraus liest man einfach ab:
> cos(x+y)=expand(cos(x+y));
(4.3.8)
> sin(x+y)=expand(sin(x+y));
(4.3.9)
5.) B(n,x)*B(m,x)=B(n+m,x): formal (freiwillig)
Lernziele: Anwendung der Potenzreihen und Polynome in zwei Variablen aus dem letzten
Abschnitt, Beweis der Funktionalgleichung, einfache Beispiele
Aufbauend auf: "exp(x)*exp(y)=exp(x+y): formal"
Aufgaben: 2 freiwillige
> restart;
> B:=(n,x)->Sum(binomial(n,k)*x^k,k=0..infinity);
(5.1)
Die Bearbeitung der Aufgaben in diesem Abschnitt ist freiwillig.
B(n,x)*B(m,x)=B(n+m,x): formal
> B(n,x);
(5.1.1)
> B(n,x)*B(-n,x);
(5.1.2)
> convert(%,sum);
1
(5.1.3)
MATH: Hinter dieser letzten Berechnung verstecken sich unendlich viele Identitäten für
Biniomialpolynome. Die erste Identität ist der Koeffizient von , welcher sich berechnet als
> binomial(n,0)*binomial(-n,0);
1
(5.1.4)
ÜBUNG [01]:
Schreibe alle Identitäten allgemein hin.
>
MATH: Es gilt
.
Hier ein Vergleich der Koeffizienten von
:
> map(k->factor(expand(add(binomial(n,k-i)*binomial(m,i),i=0..
k))),[$0..4]);
(5.1.5)
> map(k->factor(expand(binomial(n+m,k))),[$0..4]);
(5.1.6)
MATH: Hinter jeder der Identitäten
für
verbergen sich unendlich viele Identitäten für Binomialpolynome:
für alle
ganz.
Zum Beweis gehen wir so vor: Für jedes feste fasse beide Seiten als Polynome in und
z. B. für
:
> factor(expand(binomial(n+m,3)));
auf,
(5.1.7)
Weiter wissen wir, dass
für natürliche Zahlen n und m immer richtig ist, eine sehr triviale Folgerung aus dem
binomischen Lehrsatz. Haben wir
für alle
, also sind die beiden Seiten als Polynome in und
gleich.
ÜBUNG [02]:
Fasse
als Potenzreihe in auf und gib explizit eine Formel für ihre Koeffizienten an.