I ̈ M TU B Prof. Dr. Peter Friz Dr. Christian Bayer Übungen zur Finanzmathematik I 2. Aufgabenblatt vom 23. Oktober 2009 Aufgabe 5. (5 Punkte) 1. Seien P, Q1 und Q2 Wahrscheinlichkeitsmaße auf dem messbaren Raum (Ω, F ) mit Q1 Q2 sowie Q2 P. Zeigen Sie, dass Q1 P und dQ1 dQ1 dQ2 = . dP dQ2 dP 2. Sei nun (Ω, F ) = (R, B(R)) und P = N(0, 1), Q = N(µ, σ2 ), σ > 0. Bestimmen Sie dQ dP ! 3. Sei (Ω, F ) ein endlich erzeugter messbarer Raum (d.h., F ist eine von einer endlichen Familien von Mengen erzeugte σ-Algebra). Gegeben seien zwei Wahrscheinlichkeitsmaße P und Q darauf. Wann gilt dQ Q P? Bestimmen Sie in dem Fall die Radon-Nikodym-Dichte dP . Aufgabe 6. (5 Punkte) Das folgende Marktmodell wird als Trinomialmodell bezeichnet. Sei Ω = {ω1 , ω2 , ω3 } (mit der Potenzmenge als σ-Algebra) und sei P ein Wahrscheinlichkeitsmaß mit p j B P({ω j }) > 0, j = 1, 2, 3. Wir betrachten ein risikoloses Instrument (mit Zinssatz r) sowie ein risikobehaftetes Instrument mit Preis π1 zum Zeitpunkt 0 und Preis S = S(ω) zum Zeitpunkt 1. O. B. d. A. nehmen wir an, dass u B S(ω1 ) > m B S(ω2 ) > d B S(ω3 ). 1. Wann ist das Trinomialmodell arbitragefrei? 2. Charakterisieren Sie im arbitragefreien Fall die Menge P aller risikoneutralen Maße! Aufgabe 7. (5 Punkte) Man betrachte ein arbitragefreies Marktmodell mit einem riskanten Asset S mit Preis π1 zum Zeitpunkt 0 sowie einem risikolosen Asset mit Zinssatz r > 0. Bezeichne CK eine (europäische) Call-Option auf das riskante Asset mit Strike-Preis K > 0. π(CK ) sei ein arbitragefreier Preis der Option zum Zeitpunkt 0. Man zeige (ohne Zuhilfenahme des Fundamentalsatzes), dass π1 − K 1+r + ≤ π(CK ) ≤ π1 . Aufgabe 8. (5 Punkte) Im Modell von Aufgabe 7 zeige man für 0 < K1 ≤ K2 und 0 ≤ λ ≤ 1: 1. π(CK1 ) ≥ π(CK2 ), 2. K2 −K1 1+r ≥ π(CK1 ) − π(CK2 ), 3. λπ(CK1 ) + (1 − λ)π(CK2 ) ≥ π(CλK1 +(1−λ)K2 ). ( Arbitragefreiheit“ – im Zusammenhang mit dem Preis einer Option – bezieht sich hier jeweils auf einen ” Markt, dem alle relevanten Optionen hinzugefügt wurden.) Abgabe am 30. Oktober 2009 vor der Übung.