Blatt_02

Förderkurs Grundlagen des Bauingenieurwesens 2016/2017
2. Aufgabenblatt:
Grundwissen und Injektivität, Surjektivität und Bijektivität
Schreibweise: logb (a)
. . . Logarithmus von a zur Basis b
lg(a) = log10 (a) . . . Zehnerlogarithmus
ln(a) = loge (a) . . . natürlicher Logarithmus
1. Berechnen Sie ohne Taschenrechner:
a) lg 0.001
√
b) lg 10
√
c) ln(e · 3 e)
d) lg √
5
1
10000
e) log17 1
f) log 1 0.5
2
√ √
5
g) log2 ( 3 2 · 23 )
h) Zusatz: log2+√3 (2 −
√
3)
2. Fassen Sie die Terme zu einem Logarithmus zusammen:
a) 2 ln(u) + 3 ln(v)
1
2
ln(y) − ln(z)
3
5
1
2
c) ln(x) +
3
3
b) ln(x2 ) +
3. Fassen Sie den Ausdruck
1
log4 (8ab ) − a log4 (2) soweit wie möglich zusammen.
b
4. Schreiben Sie die folgenden Terme als Summen und Produkte von Logarithmen:
!
√
a · b2
√
a) ln
4
c
√ !10
√
3
a+ 4b
√
b) lg
10
c
√

√
5
2 · ( 6 y)2

c) ln  q √
u v
5. Zusatz: Für welche x ∈ R gilt (log2 (x))−1 − (log2 (x) − 1)−1 < 1?
6. Berechnen Sie alle reellen Lösungen folgender Gleichungen:
a) log2 (x) =
3
2
1
1
lg(49) − lg(125)
2
3
√
c) ln(x) − ln( x) = 2 ln(2)
b) lg(x) =
d) log16 (x) + log4 (x) + log2 (x) = 7
1
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2
7. Stellen Sie die Funktionen
sin(x), cos(x), tan(x), cot(x)
grafisch dar.
1
ϕ
sin ϕ
cos ϕ
8. Berechnen Sie ohne Taschenrechner:
π
π
a) sin
+ cos
4
4
π
3
b) tan
π
6
c) cot
π
π
d) 2 sin
cos
8
8
π
e) cos
12
f)
sin2
π
37
1
1 1
Hinweis:
= −
12
3 4
+
cos2
π
37
9. Bestimmen Sie alle reellen Zahlen x, die folgende Gleichungen erfüllen und überprüfen Sie Ihr Ergebnis
mit Hilfe geeigneter grafischer Darstellungen
a)
q
1 + cot2 (x) · sin(x) = 1
b) sin(x) + cos(x) = 1
c) cos(3πx) = 2
d)
sin(x) +
1√
3
2
2
+ cos(x) −
10. Stellen Sie die Funktionen
ex − e−x
sinh(x) :=
,
2
grafisch dar.
1
2
2
cosh(x) :=
=0
ex + e−x
2
11. Zeigen Sie, dass folgende Gleichungen gelten:
a) cosh2 (x) − sinh2 (x) = 1
b) sinh(2x) = 2 sinh(x) cosh(x)
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3
x2 + 1
.
x3 + 6x2 + 11x + 6
Die Funktion f lässt sich als Linearkombination der Funktionen
1
1
1
g1 (x) =
, g2 (x) =
und g3 (x) =
x+1
x+2
x+3
12. Sei f (x) =
darstellen. Berechnen Sie diese Darstellung. Hinweis: x3 + 6x2 + 11x + 6 = (x + 1)(x + 2)(x + 3).
13. Es sei die Funktion f (x) = x2 gegeben. Zeichnen Sie die Graphen der folgenden Funktionen und bestimmen Sie jeweils die Lage des Scheitels.
a) f1 (x) := f (2x)
b) f2 (x) := f (x + 3)
c) f3 (x) := f (x) − 2
1
d) f4 (x) := f (x)
2
e) f5 (x) := f (3x + 3)
1
f) f6 (x) := f (3x) + 3
3
1
g) f7 (x) := f − (x − 3) + 2
2
14. Untersuchen Sie folgende Abbildungen auf Injektivität, Surjektivität und Bijektivität. Geben Sie gegebenenfalls die Umkehrabbildung an.
a) f : N2 → N, (x1 , x2 ) 7→ f (x1 , x2 ) := x1 + x2 .
(
b) f : Z → Z,
k 7→ f (k) :=
2k,
1 − 2k,
(
c) f : Z → N,
k 7→ f (k) :=
d) f : R \ {−1} → R,
e) f : R2 → R2 ,
2k,
1 − 2k,
x 7→ f (x) :=
falls k > 0,
falls k ≤ 0.
falls k > 0,
falls k ≤ 0.
x
.
x+1
(x1 , x2 ) 7→ f (x1 , x2 ) := (x1 + x2 , x1 − x2 ).
Zeigen Sie, dass die Umkehrabbildung durch
f −1 (x
1 , x2 )
=
x1 + x2 x1 − x2
,
2
2
gegeben ist.
15. Untersuchen Sie folgende Abbildungen auf Injetivität, Surjektivität und Bijektivität.
a) f : R → R,
x 7→ f (x) = x + |x|
b) f : N → Z,
1
n 7→ f (n) := (−1)n 2n + [(−1)n − 1]
2
c) f : R2 → R2 ,
(x, y) 7→ f (x, y) := (x2 + y + x − 2, x + 3)
16. Aufgabe aus der Klausur Mathematik 1 im Jahr 2013
Welche der folgenden Abbildungen fi sind injektiv, surjektiv, bijektiv?
a) f1 : [0, 1] → [1, 2], x 7→ 1 + x2 .
b) f2 : R2 → R, (x, y) 7→ x − y.
Begründen Sie Ihre Antworten und geben Sie im Fall der Bijektivität die Umkehrabbildung fi−1 an.