Definition: Eine Menge C ⊂ n heißt konvex, wenn zu je zwei
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Definition: Eine Menge C ⊂ Rn heißt konvex, wenn zu je zwei Punkten ~x1 , ~x2 ∈ C
auch die Verbindungsstrecke zwischen ~x1 und ~x2 in C liegt.
Bemerkung: Der Durchschnitt zweier konvexer Mengen ist wieder konvex.
Definition: Der Epigraph einer Funktion f : Rn → R ist diejenige Teilmenge des
Rn+1 , die aus allen Punkten des Rn+1 besteht, welche über dem Graphen von
”
f“ liegen. D.h.:
(
Epi(f ) =
~x
y
!
~
x
)
n
∈ R , y ∈ R, y ≥ f (~x)
1
Eine auf einer konvexen Teilmenge C des Rn definierte Funktion f : C → R
heißt konvex, falls der Epigraph von f eine konvexe Menge ist.
Die Funktion f heißt konkav, falls die Funktion −f konvex ist.
Proposition: Sei g : C → R eine auf einer konvexen Teilmenge C des Rn definierte
konvexe Funktion. Dann ist für jedes b ∈ R die Menge
Cb = {~x ∈ C|g(~x) ≤ b} konvex.
2
Für das Optimierungsproblem
f (~x) =max!
g1 (~x) ≤
g2 (~x) ≤
..
.
b1
b2
gm (~x) ≤
bm
nennen wir die Menge
C = {~x ∈ Rn | gj (~x) ≤ bj für j = 1, 2, . . . , m}
den zulässigen Bereich des Optimierungsproblems.
Eine Restriktion gj (~x) ≤ bj heißt aktiv im Punkt ~x∗ ∈ C, falls gilt: gj (~x∗ ) = bj .
Die Menge der im Punkt ~x∗ ∈ C aktiven Nebenbedingungen bezeichnen wir
mit Ja (~x∗ ).
Beispiel: Der Zulässige Bereich C eines Optimierungsproblems sei durch folgende
Ungleichungen beschrieben:
x2 + y 2 ≤ 25,
x ≤ 4,
x+y ≥1
Untersuchen Sie für die angegebenen Punkte Pj , ob Sie im zulässigen Bereich
C liegen. Geben Sie für Punkte im zulässigen Bereich die Menge der aktiven
und die Menge der inaktiven Nebenbedingungen an!
P1 (3| − 4),
P2 (−1|2),
P3 (2|2),
3
P4 (4| − 3),
P5 (−3|4),
P6 (0|5)
Definition: Ein Optimierungsproblem
Definition: Ein Optimierungsproblem
f (~x) = max! g1 (~x) ≤ b1
..
.
f (~x) = min! g1 (~x) ≤ b1
..
.
gm (~x) ≤ bm
gm (~x) ≤ bm
heißt konkaves Programm, wenn die
Zielfunktion f eine konkave Funktion und die Nebenbedingugnsfunktionen gj konvexe Funktionen sind.
heißt konvexes Programm, wenn die
Zielfunktion f eine konvexe und die
Nebenbedingugnsfunktionen gj konvexe Funktionen sind.
Bemerkung: Ist
g1 (~x) ≤ b1
..
.
gm (~x) ≤ bm
f (~x) = min!
ein konvexes Programm, so ist
−f (~x) = max!
g1 (~x) ≤ b1
..
.
gm (~x) ≤ bm
ein konkaves Programm. Die beiden Programme haben dieselben Lösungen.
Satz von Kuhn Tucker:
Sei ~x∗ ein lokaler Maximizer für das Optimierungsproblem
f (~x) = max!
g1 (~x) ≤ b1
g2 (~x) ≤ b2
..
.
f (~x) = min!
gm (~x) ≤ bm
m
X
g1 (~x) ≤ b1
g2 (~x) ≤ b2
..
.
gm (~x) ≤ bm
(a) Dann gibt es nichtnegative
Zahlen λ1 , . . . , λm , sodass
gradf (~x∗ ) =
Sei ~x∗ ein lokaler Minimizer für das Optimierungsproblem
λj · grad gj (~x∗ )
j=1
(c) Dann gibt es nichtpositive Zahlen λ1 , . . . , λm , sodass
gradf (~x∗ ) =
m
X
λj · grad gj (~x∗ )
j=1
Außerdem gilt:
λj = 0 für j ∈ Ji (~x∗ )
Außerdem gilt:
λj = 0 für j ∈ Ji (~x∗ )
(b) Wenn ein konkaves Programm
vorliegt, dann ist Bedingung
(a) hinreichend, dass ~x∗ ein
Maximizer des Optimierungsproblems ist.
(d) Wenn ein konvexes Programm
vorliegt, dann ist Bedingung
(c) hinreichend, dass ~x∗ ein Minimizer des Optimierungsproblems ist.
Bemerkung: ~x∗ muss darüber hinaus die constrained qualification“ erfüllen. (S.
”
49)
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