FK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 7/8

FK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 7/8
Markus Sinnl1
[email protected]
http://homepage.univie.ac.at/markus.sinnl
basierend auf Folien von Dr. Ivana Ljubic, Mag. Christian
Spreitzer und Mag. Reinhard Ullrich
1
Sprechstunde: MI, 10-11 Uhr [04/343]
FK WMS: Wirtschaftsmathematik 2, Einheit 7/8
I
Extremalprobleme mit Ungleichungen als Nebenbedingungen
I
I
I
2/18
Konvexität von Mengen
Konkave und konvexe Programme
Satz von Karush-Kuhn-Tucker
Konvexität
Definition:
Eine Menge C im Rn heißt konvex, wenn zu je zwei Punkten ~x1 , ~x2 ∈ C auch die
Verbindungsstrecke zwischen ~x1 und ~x2 ganz in C liegt, d.h.
λ~x1 + (1 − λ)~x2 ∈ C für alle ~x1 , ~x2 ∈ C und λ ∈ [0, 1]
Bemerkung:
I Der Durchschnitt von zwei oder mehreren konvexen Mengen ist konvex.
I Die Vereinigung von zwei konvexen Mengen ist im allgemeinen nicht mehr
konvex.
Proposition:
Sei g : C → R eine auf einer konvexen Teilmenge C des Rn definierte konvexe
Funktion. Dann ist für jedes b ∈ R die Menge
Cb = {~x ∈ C |g (~x ) ≤ b}
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konvex.
Extremalprobleme mit Ungleichungen als
Nebenbedingungen
Der zulässige Bereich eines Optimierungsproblems:
Für das Optimierungsproblem
f (~x ) = max!
g1 (~x )
g2 (~x )
gm (~x )
≤
≤
..
.
≤
b1
b2
bm
nennen wir die Menge
C = {~x ∈ Rn | gj (~x ) ≤ bj für j = 1, 2, . . . , m}
den zulässigen Bereich des Optimierungsproblems.
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Extremalprobleme mit Ungleichungen als
Nebenbedingungen
Bemerkungen:
I Wenn ein Minimierungsproblem F (x) = min! vorliegt, lässt es sich durch
Änderung des Vorzeichens in die max!-Form überführen:
f (x) = −F (x) = max!.
I Die Ungleichungen der Form h(~x ) ≥ bj lassen sich in die Form
g (~x ) = −h(~x ) ≤ −bj
umschreiben.
I Eine Gleichheitsnebenbedingung g (~x ) = bj schreiben wir als:
g (~x ) ≤ bj
und
−g (~x ) ≤ −bj .
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Extremalprobleme mit Ungleichungen als
Nebenbedingungen
(In)Aktive Restriktionen:
Eine Restriktion gj (~x ) ≤ bj heißt aktiv im Punkt ~x ∗ ∈ C , falls gilt:
gj (~x ∗ ) = bj .
Die Indexmenge der im Punkt ~x ∗ ∈ C aktiven Nebenbedingungen bezeichnen wir mit
Ja (~x ∗ ), jene der inaktiven Nebenbedingungen mit Ji (~x ∗ ).
Beispiel:
Der zulässige Bereich C eines Optimierungsproblems sei durch folgende Ungleichungen
beschrieben:
g1 (x, y ) = x 2 + y 2 ≤ 25,
g2 (x, y ) = x ≤ 4,
g3 (x, y ) = −x − y ≤ −1
Untersuchen Sie für die angegebenen Punkte Pj , ob Sie im zulässigen Bereich C
liegen. Geben Sie für Punkte im zulässigen Bereich die Menge der aktiven und die
Menge der inaktiven Nebenbedingungen an!
P1 (3| − 4),
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P2 (−1|2),
P3 (2|2),
P4 (4| − 3),
P5 (−3|4),
P6 (0|5)
Beispiel:
C = {(x, y ) ∈ R2 : x 2 + y 2 ≤ 25 ∧ x ≤ 4 ∧ −x − y ≤ −1}
g1 (x, y ) = x 2 + y 2 ≤ 25,
g2 (x, y ) = x ≤ 4,
g3 (x, y ) = −x − y ≤ −1
I P1 (3| − 4): P1 ∈
/ C , da g3 |P1 = −3 + 4 = 1
I P2 (−1|2): g1 |P2 = 5 < 25, g2 |P2 = −1 < 4, g3 |P2 = −1
⇒ Ja (P2 ) = {3}, Ji (P2 ) = {1, 2}
I P3 (2|2): g1 |P3 = 8 < 25, g2 |P3 = 4, g3 |P3 = −4 < −1
⇒ Ja (P3 ) = {2}, Ji (P3 ) = {1, 3}
I P4 (4| − 3): g1 |P4 = 25, g2 |P4 = 4, g3 |P4 = −1
⇒ Ja (P4 ) = {1, 2, 3}, Ji (P4 ) = {}
I P5 (−3|4): g1 |P5 = 25, g2 |P5 = −3 < 4, g3 |P5 = −1
⇒ Ja (P5 ) = {1, 3}, Ji (P5 ) = {2}
I P6 (0|5): g1 |P6 = 25, g2 |P6 = 0 < 4, g3 |P6 = −5 < −1
⇒ Ja (P6 ) = {1}, Ji (P6 ) = {2, 3}
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Konkaves/Konvexes Programm
Konkaves Programm
Ein Optimierungsproblem
≤ b1
..
.
gm (~x ) ≤ bm
heißt konkaves Programm, wenn die Zielfunktion f eine konkave Funktion und die
Nebenbedingungsfunktionen gj konvexe Funktionen sind (letzteres stellt sicher, dass
der zulässige Bereich eine konvexe Menge ist).
f (~x ) = max!
g1 (~x )
Konvexes Programm
Ein Optimierungsproblem
≤ b1
..
.
gm (~x ) ≤ bm
heißt konvexes Programm, wenn die Zielfunktion f eine konvexe Funktion und die
Nebenbedingungsfunktionen gj konvexe Funktionen sind (letzteres stellt sicher, dass
der zulässige Bereich eine konvexe Menge ist). .
f (~x ) = min!
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g1 (~x )
Satz von Karush-Kuhn-Tucker
Satz von Karush-Kuhn-Tucker:
Sei ~x ∗ ein lokaler Maximizer für das Optimierungsproblem
f (~x ) = max!
g1 (~x )
g2 (~x )
gm (~x )
≤
≤
..
.
≤
b1
b2
bm
1. Dann gibt es nichtnegative Zahlen λ1 , . . . , λm , sodass
m
X
gradf (~x ∗ ) =
λj · grad gj (~x ∗ )
j=1
Außerdem gelten “complementary slackness” Bedingungen:
gj inaktiv ⇒ λj = 0
bzw.
λj 6= 0 ⇒ gj aktiv
2. Wenn ein konkaves Programm vorliegt, dann ist Bedingung (1) hinreichend
dafür, dass ~x ∗ ein Maximizer des Optimierungsproblems ist.
3. Bemerkung: ~x ∗ muss darüberhinaus die “constraint qualification” erfüllen.
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Satz von Karush-Kuhn-Tucker
Satz von Karush-Kuhn-Tucker:
Sei ~x ∗ ein lokaler Minimizer für das Optimierungsproblem
f (~x ) = min!
g1 (~x )
g2 (~x )
gm (~x )
≤
≤
..
.
≤
b1
b2
bm
1. Dann gibt es nichtpositive Zahlen λ1 , . . . , λm , sodass
m
X
gradf (~x ∗ ) =
λj · grad gj (~x ∗ )
j=1
Außerdem gelten “complementary slackness” Bedingungen:
gj inaktiv ⇒ λj = 0
bzw.
λj 6= 0 ⇒ gj aktiv
2. Wenn ein konvexes Programm vorliegt, dann ist Bedingung (1) hinreichend,
dass ~x ∗ ein Minimizer des Optimierungsproblems ist.
3. Bemerkung: ~x ∗ muss darüber hinaus die “constraint qualification” erfüllen.
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Satz von Karush-Kuhn-Tucker
Constraint qualification:
Dies sind gewisse Kriterien, die die Nebenbedingungen erfüllen müssen, damit der Satz
von Karush-Kuhn-Tucker anwendbar ist. Hinreichend für die Anwendbarkeit des
Satzes ist etwa jede der folgenden Bedingungen:
I Alle Nebenbedingungen (gj )m
j=1 sind linear.
I Alle Nebenbedingungen (gj )m
x ) 6= 0 für alle j und
j=1 sind konvex, es gilt grad gj (~
es gibt ein ~x ∗ , für das keine Nebenbedingung aktiv ist, d.h. gj (~x ∗ ) < bj für alle
j = 1, ..., m.
I Alle Nebenbedingungen sind differenzierbar und die Gradienten grad gj (~x ) sind
linear unabhängig, wobei j durch die Menge Ja (~x ) der in ~x aktiven
Nebenbedingungen läuft.
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Satz von Karush-Kuhn-Tucker
Bemerkung:
Die KKT-Bedingungen lassen sich aus der Lagrange-Funktion ableiten:
L(x1 , x2 , . . . , xn , λ1 , . . . , λm ) = f (~x ) −
m
X
j=1
Die folgenden Gleichungen müssen erfüllt sein:
∂L
∂L
= 0, . . . ,
=0
∂x1
∂xn
und
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∂L
∂L
≥ 0, . . . ,
≥0
∂λ1
∂λm
λj (gj (~x ) − bj ).
Satz von Karush-Kuhn-Tucker - Beispiel
Beispiel:
Angenommen, die Kosten der Produktionsfaktoren betragen 1 Euro pro Einheit Arbeit
und Kapital in der Cobb-Douglas Funktion:
1
1
f (x, y ) = x 2 y 4 ,
maximiere die Produktion, wenn insgesamt b Euro für die Produktionsfaktoren zur
Verfügung stehen.
Optimierungsproblem:
1
1
f (x, y )
=
x 2 y 4 = max!
g (x, y )
=
x +y ≤b
Bereich für Optimierung: Ω = {(x, y ) ∈ R2 : x > 0 ∧ y > 0}
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Beispiel:
1
1
f (x, y ) = x 2 y 4 ,
g (x, y ) = x + y ≤ b,
3
Hf (x, y ) =
Df = {(x, y ) ∈ R2 : x > 0 ∧ y > 0}
1
− 41 x − 2 y 4
1 − 21 − 34
x
y
8
1 − 12 − 43
x
y
8
3 12 − 47
− 16
x y
!
I Hauptminoren:
I
I
3
1
∆1 = − 14 x − 2 y 4 < 0 auf Df
1 −1 − 23
> 0 auf Df
∆2 = 32
x y
I Somit ist Hf überall auf Ω negativ definit und f global konkav.
I Da f konkav und g konvex, handelt es sich um ein konkaves Programm.
I Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen:
1 −1 1
x 2y4 −λ
2
1 1 −3
x2y 4 −λ
4
x +y
=
0
=
0
≤
b
I Für λ = 0 wäre x + y < b erlaubt, jedoch ist λ = 0 nicht möglich!
I Die Substitution x = b − y transformiert die ersten beiden Gleichungen in
(b − y )− 2 y 4
1
1
=
2λ
(b − y ) y
− 34
=
4λ
1
2
I Dies führt zu
1
1
1
3
2(b − y )− 2 y 4
=
(b − y ) 2 y − 4
2y
=
y
=
b−y
b
3
1
4
2b
3
und λ =
.
3
64b
I Da ein konkaves Programm vorliegt, ist dies der eindeutige Maximizer des
Problems.
I Optimale Lösung besteht also in einer Aufteilung der Mittel im Verhältnis 2:1
auf die Produktionsfaktoren x und y .
und somit x =
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Satz von Karush-Kuhn-Tucker - Beispiel
Beispiel:
Prüfe, ob der Punkt P = (4, 3) ein lokaler (der globale) Minimizer des gegebenen
Problems ist:
−(4x + 3y )2
→
min!
x2 + y2
2x + y
≤
≥
25
4
Satz:
Eine stetige Funktion nimmt auf einem abgeschlossenen und beschränkten Bereich
stets ein globales Maximum und ein globales Minimum.
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f (x, y ) = −(4x + 3y )2 = min!,
g1 (x, y ) = x 2 + y 2 ≤ 25,
g2 (x, y ) = −2x − y ≤ −4
Ist P = (4, 3) ein lokaler Minimizer (der globale Minimizer) des Problems?
I Zeige, dass die KKT-Bedingungen erfüllt sind, d.h. dass es nichtpositive Zahlen
λ1 und λ2 gibt, sodass
grad f (x, y ) = λ1 grad g1 (x, y ) + λ2 grad g2 (x, y )
I Bei P ist g1 aktiv und g2 inaktiv, d.h. λ2 = 0 (complementary slackness).
−8(4x + 3y )
−8 · 25
I grad f (x, y ) =
⇒ grad f |P =
−6(4x + 3y )
−6 · 25
2x
8
I grad g1 (x, y ) =
⇒ grad g1 |P =
2y
6
I Es ist also grad f |P = −25 · grad g1 |P ⇒ KKT-Bedingungen für Minimizer sind
erfüllt.
I Da aber f konkav, g1 , g2 konvex und ein Minimizer gesucht wird, ist dies noch
nicht hinreichend (kein konvexes Programm). Es ist daher eine nähere
Untersuchung des Punktes P nötig!
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Die Niveaulinie von f durch P = (4, 3) schneidet den zulässigen Bereich nur im Punkt
P und liegt sonst außerhalb des zulässigen Bereichs. Offenbar ist P jener Punkt im
zulässigen Bereich mit dem kleinsten Funktionswert und damit globaler Minimizer des
Problems.
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