Determinanten (Eigenschaften)

Determinanten (Eigenschaften)
nach G.Strang, MIT OpenCourseWare 18.06 Linear Algebra, Lecture 18
M. Gruber
KW 48
M.Gruber, WS 2012/13
Lineare Algebra
Die Determinantenfunktion
Determinantenfunktion : n n-Matrizen
!R
:
Übliche Notationen:
1.
2
det A
bzw.
det(A)
bzw.
det 4
2.
j j
A
bzw.
a11
:::
n1
:::
a
a
n1
.. . . . ..
a11
..
an1
a
3
02
bzw.
5
nn
:::
a
...
:::
n nn a
..
det @4
a11
:::
n1
:::
a
a
n1
.. . . . ..
a
nn
31
5A
;
1
:
1
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Eigenschaften 1 und 2
Eigenschaft 1 (denitorisch):
det I = 1
Eigenschaft 2 (denitorisch):
Zeilentausch
)
Vorzeichenwechsel
Beispiel.
det [ 01 10 ] =
jPermutationsmatrixj =
8
>
>
>
>
<
>
>
>
>
:
"
1;
1
1
001
det 1 0 0
010
#
= 1;
falls #Vertauschungen gerade
falls #Vertauschungen ungerade
:
2
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Eigenschaft 3 (Linearität pro Zeile)
(denitorisch)
t
Zeile 1
Zeile 2 .
.
.
Zeile n =
t
Zeile
Zeile
.
.
.
Zeile
1
2 n
und
Zeile
1
+ Zeile
Zeile 2
.
.
.
Zeile n
1'
=
Zeile
Zeile
..
.
Zeile
1
2 n
+
Zeile
Zeile
..
.
Zeile
1'
2 n Beispiel.
n
det(I + I ) = det 2I = 2 det I = 2
(daran sieht man auch, dass im allgemeinen
6
n
:
det(A + B ) = det A + det B
ist.)
3
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Eigenschaft 4 (Folgerung)
Zwei Zeilen von
Beweis
ist aber A
Also muss
stimmen überein ) det A = 0:
A
0
In A seien zwei Zeilen identisch. Tauscht man diese identischen Zeilen, erhält man A . Es
0
=
A und daher
det A = 0
det A = det A0 .
det A0 =
Andrerseits ist
det A
wegen Eigenschaft 2.
sein.
Beispiel.
a
c
b
d
=
=
a
c
ac
d
0
+
1
0
1
0
c
0
b
d
+ ad
=
a
c
1
0
0
1
0
0
+
+ bc
a
d
0
0
0
1
1
0
+
c
0
+ bd
b
0
+
0
1
0
1
0
0
=
ad
b
d
bc:
4
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Eigenschaft 5 (Folgerung)
Ziehe
Beweis
j j
A
0
=
Wegen
A
0
gehe
Zeile
t
aus
i
A
von Zeile
durch
j j+( )j j
j j=0 j j=j j
A
A
00
t
ist
A
A
0
00
wobei A
00
6=
k
Addition
i
ab ) det A ändert sich nicht
von
(
t)
i
Zeile
zu
Zeile
k
hervor.
Es
ist
eine Matrix ist, deren i-te und k -te Zeile übereinstimmen.
A .
Bei Elimination ändert sich
Beispiel.
det A
nicht
1
0
0
1
0
0
2
1
0 = 0
1
0 = 1:
1
0
1
3
1
0
5
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Eigenschaft 6 (Folgerung)
A
Beweis
Die Nullzeile ist das
enthält eine Nullzeile ) det A = 0
0-Fache
einer Nullzeile. Wegen Eigenschaft 3 ist somit
Beispiel.
Nullzeile.
rank A
< n
) det
A
= 0
j j = 0 j j = 0
A
A
.
, denn Elimination liefert mindestens eine
6
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Eigenschaft 7 (Folgerung)
d1
0
..
d2
...
...
0
:::
0
Beweis
n
:::
..
...
=
d1 d2
dn
d
Ist der Rang der Matrix < n, dann ist mindestens eines der Diagonalelemente
und rechts vom Gleichheitszeichen steht eine
Ist der Rang der Matrix
=
0
und links
0.
n, dann sind alle di
6= 0
und man kann durch Elimination zu einer
Diagonalmatrix übergehen, ohne den Wert der Determinante zu ändern. Die Diagonalmatrix hat die
Diagonalelemente d1 ; : : : ; dn . Aus dieser zieht man nun Zeile für Zeile den Faktor di heraus und erhält
schlieÿlich für die Determinante den Wert d1
n j j = 1
d
I
d
dn .
7
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Eigenschaft 8 (Folgerung)
A
Beweis
invertierbar
) det 6= 0
A
:
A
singulär
invertierbar
A
= 0:
Direkte Folge von Eigenschaft 7.
A
) det
, det 6= 0
A
:
8
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Eigenschaft 9 (Folgerung)
det AB = det A det B
Beweis
Fall
1:
A singulär. Eine geeignete Elimination erzeugt eine Nullzeile in A. Dieselbe
Elimination erzeugt eine Nullzeile in AB . Damit ist
Fall
2:
A
invertierbar.
j j=j
AB
geeignete
d1 ; : : : ; dn
(alle
über in DB . Es ist
DB
Elimination
erzeugt
und
det AB = 0.
aus
6= 0
j j=j j=
j j = 1 nj j = j jj j
j = j jj j = j jj j
Diagonalelementen
führt AB
Eine
det A = 0
D
B
DB
A B .
).
d
Es
ist
d
A
B
D
D
B
A
d1
eine
Diagonalmatrix
dn .
Dieselbe
D
mit
Elimination
(mit Eigenschaft 3). Damit ist
9
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Eigenschaft 10 (Folgerung)
T
det A
) j j = j jj j
T = T T ) j T j = j T jj T j
j j = j Tj = 1 j j = j Tj =
Beweis
A
Es ist
U
L
A
=
L
LU
A
A
U
L
und
L U
L
U
= det A
(mit Eigenschaft 9).
(mit Eigenschaft 9).
U
Produkt der Diagonalelemente.
Eigenschaft 10 sagt, dass alle Eigenschaften, die bezüglich Spalten
formuliert wurden, auch bezüglich Zeilen gelten.
Bemerkung.
10