Symmetrische und positiv de nite Matrizen

Symmetrische und positiv denite Matrizen
nach G.Strang, MIT OpenCourseWare 18.06 Linear Algebra, Lecture 25
M. Gruber
KW 03
M.Gruber, WS 2012/13
1. Für
z = a + ib ist z = a
2. Es gilt
3. Für
Konjugation komplexer Zahlen
ib die zu z
Lineare Algebra
konjugiert-komplexe Zahl.
(z1 + z2) = z1 + z2 und (z1z2) = z1z2.
z = a + ib gilt zz = a2 + b2 = jz j2.
4. Für Vektoren und Matrizen wird die Konjugation komponentenweise durchgeführt,
5. Für
6.
x2C
n
ist
x x = P1
T
k
n
x x = jjxjj2.
k
k
jjxjj ist die Länge des Vektors x.
1
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Symmetrische reelle Matrizen
Lineare Algebra
Satz.
Eine reelle, symmetrische Matrix hat ausschlieÿlich reelle Eigenwerte.
Beweis
Sei
A reell, AT
=
A und Ax = x. ( und x können komplex sein.)
Linksmultiplikation der Gleichung
Ax = x mit xT
liefert. (a)
xT Ax = xT x.
Konjugation und Transposition der Gleichung
Ax = x liefert xT A = xT . (A ist reell!)
Multipliziert man anschlieÿend von rechts mit
x, erhält man (b) xT Ax = xT x.
Vergleich von (a) und (b) ergibt:
Satz.
ist reell.
Die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten einer reellen, symmetrischen
Matrix sind orthogonal.
Beweis
Wegen
Sei
Ax = x und Ay = y
6= muss y T x = 0 sein.
mit
6= . Es ist y T x = y T Ax und y T x = y T Ax.
2
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Satz.
Lineare Algebra
Sei A reell und symmetrisch.
Hat A n verschiedene Eigenwerte, dann kann eine Eigenvektormatrix Q mit Q Q = I
T
gewählt werden; es gilt dann
A = QQ :
T
Mit Q = [
q1 ::: q
(1)
n ] bedeutet (1)
A = 1q1q1 + : : : + 1q q ;
T
T
n
n
(2)
d.h. A ist eine Linearkombination paarweise orthogonaler Projektoren.
3
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Denition.
Positive Denitheit
Lineare Algebra
Eine reelle symmetrische Matrix ist positiv denit, wenn ihre sämtlichen
Eigenwerte positiv sind (äquivalent: wenn ihre sämtlichen Pivotelemente positiv sind).
Satz.
Die Determinante einer symmetrischen positiv deniten Matrix ist positiv.
Dieser Satz ist nicht so einfach umkehrbar:
2
Beispiel.
Satz.
6
6
6
4
3
1
0
0 77
3
7.
5
Sind alle Subdeterminanten einer symmetrischen Matrix positiv, dann ist die
Matrix positiv denit.
4
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Lineare Algebra
Vier verschiedene Tests auf positive Denitheit
1. Sind alle Eigenwerte positiv?
2. Sind alle Subdeterminanten positiv?
3. Sind alle Pivots positiv?
4. Ist
x Ax > 0 für alle x 6= 0?
T
5
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Lineare Algebra
3
2
Beispiel.
A
65
6
= 64
277
2
3
7
5
(positiv denit).
1. Charakteristische Gleichung
2
det(A
8
|{z}
trace A
2. Subdeterminanten berechnen:
3. Pivots berechnen:
5
I ) = 0 lösen:
+
11 = 0
|{z}
det A
" #
det 5
)=4
p
5
) > 0:
> 0 und det A = 11 > 0.
> 0 und 11=5 > 0.
4. Quadratische Form untersuchen: xT Ax > 0 für x 6= 0?
xT Ax = 5x21 + 4x1x2 + 3x22 =
x
x
2
11
2
5 ( 1 + 5 2) + 5
|{z}
|{z}
Pivot
x22 > 0:
Pivot
6
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Lineare Algebra
2
Beispiel.
3
62
677
6
7
B = 664
7
5
(nicht positiv denit).
1. Charakteristische Gleichung
2
det(B
13
|{z}
trace B
2. Subdeterminanten berechnen:
3. Pivots berechnen:
2
> 0 und
I ) = 0 lösen:
|
22} = 0
{z
det B
" #
det 2
11
) 2 f11; 2g ) 6> 0:
> 0 und det B =
22
< 0.
< 0.
4. Quadratische Form untersuchen: xT Bx > 0 für x 6= 0?
xT Bx = 2x21 + 12x1x2 + 7x22 =
x
x
2
2 ( 1 + 3 2 ) | {z11}
|{z}
Pivot
Pivot
x22 6> 0:
7
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Lineare Algebra
2
Beispiel. [
n = 3] Ist C
6 2
6
6
6
= 66 1
6
4
1
det(C
I ) =
" #
2
6 2
6
det 2 = 2, det 64
Pivots:
(
3
1
2)(
3
1
(2 +
177
2
0 7
7
7
7
177
7
5
2
0
3
p
7 = 3, det
5
positiv denit?
2
2))(
(2
p
2))
(alle Eigenwerte positiv).
C = 4 (alle Subdeterminanten positiv).
4
2, 2 , 3
(alle positiv).
Quadratische Form: xT Cx = 2x2
1
2x2 x1 +2x22 +2x23
2x2 x3 = 2(x1
x
x
1
2
2 2 ) +2( 3
x
x
1
2
2
2 2) + 2.
8