Symmetrische und positiv denite Matrizen nach G.Strang, MIT OpenCourseWare 18.06 Linear Algebra, Lecture 25 M. Gruber KW 03 M.Gruber, WS 2012/13 1. Für z = a + ib ist z = a 2. Es gilt 3. Für Konjugation komplexer Zahlen ib die zu z Lineare Algebra konjugiert-komplexe Zahl. (z1 + z2) = z1 + z2 und (z1z2) = z1z2. z = a + ib gilt zz = a2 + b2 = jz j2. 4. Für Vektoren und Matrizen wird die Konjugation komponentenweise durchgeführt, 5. Für 6. x2C n ist x x = P1 T k n x x = jjxjj2. k k jjxjj ist die Länge des Vektors x. 1 M.Gruber, WS 2012/13 Symmetrische reelle Matrizen Lineare Algebra Satz. Eine reelle, symmetrische Matrix hat ausschlieÿlich reelle Eigenwerte. Beweis Sei A reell, AT = A und Ax = x. ( und x können komplex sein.) Linksmultiplikation der Gleichung Ax = x mit xT liefert. (a) xT Ax = xT x. Konjugation und Transposition der Gleichung Ax = x liefert xT A = xT . (A ist reell!) Multipliziert man anschlieÿend von rechts mit x, erhält man (b) xT Ax = xT x. Vergleich von (a) und (b) ergibt: Satz. ist reell. Die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten einer reellen, symmetrischen Matrix sind orthogonal. Beweis Wegen Sei Ax = x und Ay = y 6= muss y T x = 0 sein. mit 6= . Es ist y T x = y T Ax und y T x = y T Ax. 2 M.Gruber, WS 2012/13 Satz. Lineare Algebra Sei A reell und symmetrisch. Hat A n verschiedene Eigenwerte, dann kann eine Eigenvektormatrix Q mit Q Q = I T gewählt werden; es gilt dann A = QQ : T Mit Q = [ q1 ::: q (1) n ] bedeutet (1) A = 1q1q1 + : : : + 1q q ; T T n n (2) d.h. A ist eine Linearkombination paarweise orthogonaler Projektoren. 3 M.Gruber, WS 2012/13 Denition. Positive Denitheit Lineare Algebra Eine reelle symmetrische Matrix ist positiv denit, wenn ihre sämtlichen Eigenwerte positiv sind (äquivalent: wenn ihre sämtlichen Pivotelemente positiv sind). Satz. Die Determinante einer symmetrischen positiv deniten Matrix ist positiv. Dieser Satz ist nicht so einfach umkehrbar: 2 Beispiel. Satz. 6 6 6 4 3 1 0 0 77 3 7. 5 Sind alle Subdeterminanten einer symmetrischen Matrix positiv, dann ist die Matrix positiv denit. 4 M.Gruber, WS 2012/13 Lineare Algebra Vier verschiedene Tests auf positive Denitheit 1. Sind alle Eigenwerte positiv? 2. Sind alle Subdeterminanten positiv? 3. Sind alle Pivots positiv? 4. Ist x Ax > 0 für alle x 6= 0? T 5 M.Gruber, WS 2012/13 Lineare Algebra 3 2 Beispiel. A 65 6 = 64 277 2 3 7 5 (positiv denit). 1. Charakteristische Gleichung 2 det(A 8 |{z} trace A 2. Subdeterminanten berechnen: 3. Pivots berechnen: 5 I ) = 0 lösen: + 11 = 0 |{z} det A " # det 5 )=4 p 5 ) > 0: > 0 und det A = 11 > 0. > 0 und 11=5 > 0. 4. Quadratische Form untersuchen: xT Ax > 0 für x 6= 0? xT Ax = 5x21 + 4x1x2 + 3x22 = x x 2 11 2 5 ( 1 + 5 2) + 5 |{z} |{z} Pivot x22 > 0: Pivot 6 M.Gruber, WS 2012/13 Lineare Algebra 2 Beispiel. 3 62 677 6 7 B = 664 7 5 (nicht positiv denit). 1. Charakteristische Gleichung 2 det(B 13 |{z} trace B 2. Subdeterminanten berechnen: 3. Pivots berechnen: 2 > 0 und I ) = 0 lösen: | 22} = 0 {z det B " # det 2 11 ) 2 f11; 2g ) 6> 0: > 0 und det B = 22 < 0. < 0. 4. Quadratische Form untersuchen: xT Bx > 0 für x 6= 0? xT Bx = 2x21 + 12x1x2 + 7x22 = x x 2 2 ( 1 + 3 2 ) | {z11} |{z} Pivot Pivot x22 6> 0: 7 M.Gruber, WS 2012/13 Lineare Algebra 2 Beispiel. [ n = 3] Ist C 6 2 6 6 6 = 66 1 6 4 1 det(C I ) = " # 2 6 2 6 det 2 = 2, det 64 Pivots: ( 3 1 2)( 3 1 (2 + 177 2 0 7 7 7 7 177 7 5 2 0 3 p 7 = 3, det 5 positiv denit? 2 2))( (2 p 2)) (alle Eigenwerte positiv). C = 4 (alle Subdeterminanten positiv). 4 2, 2 , 3 (alle positiv). Quadratische Form: xT Cx = 2x2 1 2x2 x1 +2x22 +2x23 2x2 x3 = 2(x1 x x 1 2 2 2 ) +2( 3 x x 1 2 2 2 2) + 2. 8