Symmetrische und positiv de nite Matrizen

Symmetrische und positiv denite Matrizen
nach G.Strang, MIT OpenCourseWare 18.06 Linear Algebra, Lecture 25
M. Gruber
22.12.2009
M.Gruber, WS 2009/2010
1. Für
z = a + ib ist z = a
2. Es gilt
3. Für
Konjugation komplexer Zahlen
Lineare Algebra
ib die zu z konjugiert-komplexe Zahl.
(z1 + z2) = z1 + z2 und (z1z2) = z1z2.
z = a + ib gilt zz = a2 + b2 = jz j2.
4. Für Vektoren und Matrizen wird die Konjugation komponentenweise durchgeführt,
5. Für
6.
x 2 Cn ist xT x = 1kn xk xk = jjxjj2.
P
jjxjj ist die Länge des Vektors x.
1
M.Gruber, WS 2009/2010
Satz.
Symmetrische reelle Matrizen
Lineare Algebra
Eine reelle, symmetrische Matrix hat ausschlieÿlich reelle Eigenwerte.
Beweis Sei
A reell, AT = A und Ax = x. ( und x können komplex sein.)
Linksmultiplikation der Gleichung
Ax = x mit xT
Konjugation und Transposition der Gleichung
liefert. (a) xT Ax = xT x.
Ax = x liefert xT A = xT . (A ist reell!)
Multipliziert man anschlieÿend von rechts mit x, erhält man (b) xT Ax = xT x.
Vergleich von (a) und (b) ergibt:
Satz.
ist reell.
Die Eigenvektoren zu verschiedenen Eigenwerten einer reellen, symmetrischen
Matrix sind orthogonal.
Beweis Sei
Wegen
Ax = x und Ay = y mit 6= . Es ist y T x = y T Ax und y T x = y T Ax.
6= muss y T x = 0 sein.
2
M.Gruber, WS 2009/2010
Satz.
Sei
Lineare Algebra
A reell und symmetrisch.
Hat A n verschiedene Eigenwerte, dann kann eine Eigenvektormatrix Q mit QT Q =
gewählt werden; es gilt dann
Mit
d.h.
I
A = QQT :
(1)
A = 1q1q1T + : : : + 1qnqnT ;
(2)
Q = [ q1 ::: qn ] bedeutet (1)
A ist eine Linearkombination paarweise orthogonaler Projektoren.
3
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Denition.
Positive Denitheit
Lineare Algebra
Eine reelle symmetrische Matrix ist positiv denit, wenn ihre sämtlichen
Eigenwerte positiv sind (äquivalent: wenn ihre sämtlichen Pivotelemente positiv sind).
Satz.
Die Determinante einer symmetrischen positiv deniten Matrix ist positiv.
Dieser Satz ist
nicht so
einfach umkehrbar:
2
3
Beispiel.
Satz.
6
6
6
4
1
0
0 77
7.
35
Sind alle Subdeterminanten einer symmetrischen Matrix positiv, dann ist die
Matrix positiv denit.
4
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Lineare Algebra
Vier verschiedene Tests auf positive Denitheit
1. Sind alle Eigenwerte positiv?
2. Sind alle Subdeterminanten positiv?
3. Sind alle Pivots positiv?
4. Ist xT Ax >
0 für alle x 6= 0?
5
M.Gruber, WS 2009/2010
2
Lineare Algebra
3
5 277
7 (positiv denit).
Beispiel. A =
2 35
6
6
6
4
1. Charakteristische Gleichung
2
det(A I ) = 0 lösen:
p
8 + |{z}
11 = 0 ) = 4 5 ) > 0:
|{z}
trace A
det A
" #
det 5 > 0 und det A = 11 > 0.
Pivots berechnen: 5 > 0 und 11=5 > 0.
Quadratische Form untersuchen: xT Ax > 0 für x 6= 0?
2. Subdeterminanten berechnen:
3.
4.
xT Ax = 5x21 + 4x1x2 + 3x22 = |{z}
5 (x1 + 52 x2)2 +
Pivot
11
5
|{z}
x22 > 0:
Pivot
6
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Lineare Algebra
2
3
2 677
7 (nicht positiv denit).
6 75
6
Beispiel. B = 664
1. Charakteristische Gleichung
2
det(B
I ) = 0 lösen:
13 | {z22} = 0 ) 2 f11; 2g ) 6> 0:
|{z}
trace B
det B
" #
det 2 > 0 und det B = 22 < 0.
Pivots berechnen: 2 > 0 und 11 < 0.
Quadratische Form untersuchen: xT Bx > 0 für x 6= 0?
2. Subdeterminanten berechnen:
3.
4.
xT Bx = 2x21 + 12x1x2 + 7x22 = |{z}
2 (x1 + 3x2)2 | {z11} x22 6> 0:
Pivot
Pivot
7
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Lineare Algebra
2
2
Beispiel. [n = 3] Ist C = 1
0
6
6
6
6
6
6
6
4
det(C
1
2
1
3
p
0 77
7
17777 positiv denit?
5
2
p
I ) = 2 ( 2)(3 (2 + 2))( (2
2)) (alle Eigenwerte positiv).
" #
6 2
177
7 = 3, det C = 4 (alle Subdeterminanten positiv).
det 2 = 2, det 664
1 25
Pivots: 2, 32 , 43 (alle positiv).
Quadratische Form: xT Cx = 2x21 2x2 x1 +2x22 +2x23 2x2 x3 = 2(x1 21 x2 )2 +2(x3 21 x2 )2 + x22 .
xT Cx ist positiv für x 6= 0.
8