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Theoretische Physik D: Quantenmechanik I

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Theoretische Physik D: Quantenmechanik I
Sommersemester 2009
Inhaltsverzeichnis
1 Grundbegriffe
1.1 Ursprung der Quantenphysik . . .
1.2 Zustände, Observable, Operatoren
1.3 Ort, Impuls, Energie . . . . . . . .
1.4 Tensorprodukt . . . . . . . . . . .
1.5 Zeitentwicklung . . . . . . . . . . .
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1
. 3
. 4
. 21
. 35
. 36
2 Teilchen im Potenzial
41
2.1 V = 0 (freies Teilchen) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.2 Kastenpotential . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3 Harmonischer Oszillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
3 Drehung, Drehimpuls, Spin
57
3.1 Drehungen und ihre Erzeuger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
3.2 Eigenwerte des Drehimpulsoperator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
4 Wasserstoffatom
72
4.1 Zentralpotentiale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
4.2 Wasserstoffatom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
5 Zeitunabhängige Störungstheorie
5.1 Nicht entartete Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.2 Entartete Störungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3 Anwendung: Feinstruktur des Wasserstoffspektrums . . . . . . . . . . . .
80
80
83
86
6 Streutheorie
90
1 Grundbegriffe
Die klassische Physik beschreibt folgende Phänomene nicht korrekt . . .
1
a) . . . in der Physik makroskophischer Systeme
• Energieverteilung der Schwarzkörperstrahlung
• spezifische Wärme bei niedrigen Temperaturen
• Kondensation
• Suprafluidität
• Kohäsion von Festkörpern und Flüssigkeiten
• Gitterschwingungen (Phononen)
• elektrische Leitfähigkeit (Normal-, Halbleiter-, Supraleiter-)
• Ferromagnetismus
b) . . . in der Atom- und Molekülphysik
• Größe und Stabilität der Atome
• Ladungsverteilungen
• Spektren
• Wechselwirkung mit Licht (z.B. Photoeffekt)
• Molekülschwingungen
• chemische Bindungen (z.B. Van-der-Waals-Bindung)
c) . . . in der Kernphysik
• Größe und Stabilität der Kerne
• Wechselwirkung von γ-Strahlen mit Kernen
• radioaktiver Zerfall
• Kernspaltung und -fusion
d) . . . in der Elementarphysik
• Masse, Ladung, Drehimpuls, magnetisches Moment der Elementarteilchen
• Wechselwirkung mit Strahlung (Comptoneffekt)
• Streuung, Zerfall
• Teilchenerzeugung
Die Quantenmechanik (QM) bildet die Grundlage des Verständnisses dieser Phänomene.
2
1.1 Ursprung der Quantenphysik
1901:
Planck: Schwarzkörperstrahlung
E = hν = ~ω, ~ =
h
2π
(1)
h ≈ 6, 6 · 10−35 Js = 4 · 10−15 eVs
e-
ν
Kathode
Abbildung 1: Photoeffekt
1905:
Deutung des Photoeffekts (1) durch Einstein:
E = hν − W
W : Austrittsarbeit, E: unabhängig von der Intensität I des Lichts. Photon mit Energie E = hν, I ∝ Zahl der Phtononen.
→
pγ
→
pγ'
→
pe
→
pe'
Abbildung 2: Comptoneffekt
1924:
Compton-Effekt (2): Impuls der Photonen: 0 = mc2 =
#»
k : Wellenvektor
p
E 2 − #»
p 2 c4
#»
#»
hc| k | = ~ω = E = | #»
p |c =⇒ | #»
p | = ~| k |,
Eγ + Ee = Eγ0 + Ee0
#»
p e + #»
p γ = #»
p 0e + #»
p 0γ
3
(2)
Intens.
abh. vom
Streuwinkel.
Eγ
Eγ'
klassische Physik: e− wird kontinuierlich beschleunigt, ∆E (aus Dopplereffekt)
wächst mit Zeit.
1923:
Broglie: Alle Teilchen haben Wellennatur
#»
#»
p = ~k
~
λ = #» deBroglie − Wellenlänge
|p|
λ ≈ √12,2 Å (nichtrelativistische Teilchen)
E/eV
1927:
1928:
1905:
1913:
Davisson, Gerner: e− an Einkristall gestreut, Laue-Diagramm
G.P. Thomsen / Rupp: Debye-Scherrer
Rydberg-Ritz-Formel für Spektrallinien des H-Atoms
1
1
ν=R
−
, n<m∈N
n2 m2
R: Rydberg-Konstante
N. Bohr: Energie-Quantisierung:
En = −h
R
, n ∈ N.
n2
Bohr-Sommerfeld-Quantisierung: klassische Bahn des e− um Atomkern, HamiltonFunktion
I
H(p, q) = const.
p dq = nh, n = 1, 2, 3, . . .
| {z }
(∗)
(∗) = Bahn im Phasenraum
1.2 Zustände, Observable, Operatoren
klassisch.
Welle
Teilchen
QM
o
Zustand
4
#»
Photon mit Wellenzahlvektor k und Polarisation ε ∈ {εx , εy }:
#» E
#»
#»
Zustand : k , , #»
p = ~ k , E = ~c| k |
Nur Polarisation betrachet
(3)
Doppelbrechender Kristall: Kalkspat
εx
unpolarisiertes Licht
εy
Kalkspat
Polarisationsfilter Pϕ :
polarisiertes Licht in
→
ex cosφ + →
ey sinφ
unpolarisiertes Licht
Polarisationsfilter Pφ
Px := Pϕ=0 , Py := Pϕ= π2
Licht
A
B
Pφ
Px
Beobachtung: Intensität ist bei B gegenüber A um cos2 ϕ abgeschwächt. Das entspricht
dem klassischen Wellenbild.
Teilchenbild : Könnte die Photonenenergie abgeschwächt sein? Nein: E = hω ist gleichgeblieben.
5
statistische Interpretation: Die Wahrscheinlichkeit, dass ein in ϕ-Richtung polarisiertes
Photon Px passiert, ist cos2 ϕ.
Kalkspat:
|εx⟩
|ε⟩
|εy⟩
Kalkspat
Komponenten-Zerlegung:
|εi = α |εx i + β |εy i
(4)
Zustände bilden einen komplexen Vektorraum H. Im Fall von Polarisationszuständen
gilt
dim H = 2.
(5)
Zustandsvektroren nennt man auch Kets. Es beschreibe |εϕ i den Zustand eines in #»
e x cos ϕ+
#»
e y sin ϕ Richtung liniear polarisierten Photons.
|εx⟩
|ε⟩=cosφ |εx⟩ + sinφ |εy⟩
|εy⟩
Kalkspat
Beobachtungen:
• Es klickt entweder Dx oder Dy
• Welcher Detektor anspricht ist nicht vorhersehbar
• Wiederholt man das Experiment oft, so findet man, dass bei N Verscuhen Dx etwa
N cos2 ϕ und Dy etwa N sin2 ϕ anspricht.
6
Die Polarisationsfilter und der Kalkspatkristall vermitteln Abbildungen H −→ H, z.B.
Px : |εϕ i = cos ϕ |εx i + sin ϕ |εy i 7−→ cos ϕ |εx i
(6)
Px |εϕ i = |Px εϕ i = cos ϕ |εx i
(7)
Man schreibt:
Pϕ ist Operator auf dem Vektorraum H:
Pϕ |εx i = cos ϕ |εϕ i
Pϕ :
Pϕ |εy i = sin ϕ |εϕ i
(8)
Es gilt:
h
i
Pϕ |εϕ i = Pϕ cos ϕ |εy i + sin ϕ |εy i
= cos ϕPϕ |εx i + sin ϕPϕ |εy i
= cos2 ϕ |εϕ i + sin2 ϕ |εϕ i
(9 + 10)
= |εϕ i
Mathematischer Exkurs
Allgemein definieren wir für dim H = N < ∞:
1.) Skalarprodukt: Eine Abbildung H × H −→ C, (|ψi , |χi) 7−→ hψ | χi mit:
hψ | λ1 χ1 + λ2 χ2 i = λ1 hψ | χ1 i + λ2 hψχ2 i ,
hψ | χi = hχ | ψi,
(
= 0, |ψi = 0,
hψ | ψi
> 0, |ψi =
6 0.
(11)
(12)
(13)
p
k |ψi k := hψi |ψ heißt Norm von |ψi. Gilt hψ | χi = 0, so heißen |ψi und |χi
orthogonal.
2.) Orthonormalbasis (ONB): Eine endliche Teilmenge { |ei i , . . . |eN i } ⊂ H mit
hei | ej i = δij
(14)
3.) Linearer Operator : Eine Abbildung A : H −→ H, |ψi 7−→ |Aψi = A |ψi mit
A |λ1 ψ1 + λ2 ψ2 i = λ1 |Aψ1 i + λ2 |Aψ2 i
(15)
4.) Zu A hermitesch konjugierter (oder adjungierter) Operator : Ein linearer Operator
A† : H −→ H mit
hχ|Aψi = hA† χ|ψi .
7
(16)
5.) Ein hermitescher (oder selbstadjungierter Operator A ist ein Operator mit
A = A†
(17)
6.) Eigenket (oder Eigenvektor) von A: Ein Ket |ψλ i (λ ∈ C), mit
A |ψλ i = λ |ψλ i
(18)
7.) Existiert ein Operator A−1 , so dass
A−1 A |ψi = AA−1 |ψi ,
|ψi ∈ H
(19)
gilt, so ist A invertierbar und A−1 heißt der zu A inverse Operator.
8.) Gilt U −1 = U † (d.h. U † U = U U † = 1), so heißt U unitär. In diesem Fall gilt also:
hU χ|U ψi = hχ|U † U |ψi = hχ|ψi
9.) Matrixdarstellung: Betrachte eine ONB { | e1 i, . . . | en i }.
aij := hei |A|ej i ,
1 ≤ i, j ≤ N
(20)
definiert die Matrixdarstellung a = (aij )ij von A bzgl. { | e1 i, . . . | en i }.
Eigenschaften dieser Objekte:
a) Dreiecksungleichung:
(
)
<, |χi , |ψi l.u.
k |χi + |ψi k
k |χi + k |ψi
=, |χi , |ψi l.abh.
(22)
b) Schwarzsche Ungleichung:
| hψ|χi | ≤ k |ψi k · k |χi k
(23)
c) Mit A und B ist auch λ1 A + λ2 B ein linearer Operator, wobei
(λ1 A + λ2 B) |ψi := λ1 |Aψi + λ2 |Bψi
d) Für AB definiert durch (AB) |ψi = A(B |ψi), gilt i.A. AB 6= BA.
e) Gilt in einer ONB { | e1 i, . . . , | en i }
|ψi =
N
X
n=1
cn |en i ,
8
|ξi =
N
X
k=1
dk |ek i ,
(24)
so folgt
hχ|A|ψi =
N
X
k,n=1
d∗k cn hek |A|en i
| {z }
(25)
=akn
= d† ac
mit
c = (c1 , . . . , cn )† ,
d = (d1 , . . . , dn )† .
f) Aus 25 folgt:
• a−1 ist Matrixdarstellung von A−1 ,
• a† ist Matrixdarstellung von A†
• ab ist Matrixdarstellung von AB
P
†
• mit |ψλ i = N
n=1 ln |en i in 18 ist l = (l1 , . . . , ln ) EV von a zum Eigenwert λ.
g) Unitärer Basiswechsel: U † U = 1, |e0i i := U |ei i.
=⇒ he0j |e0i i = hU ej |U ei i
= hej | |{z}
U † U |ei i
=1
= hej |ei i = δij
=⇒ { | e01 i, . . . , | e0n i } ist ONB.
Wegen f ) haben hermitesche Operatoren A dieselben Spektraleigenschaften, wie
hermitesche Matrizen: (26)
(i) Es gibt ONB aus Eigenkets { | e1 i, . . . , | en i } und
(ii) alle EW sind reell.
Eigenschaft (i) schreibt man üblicherweise als
A=
N
X
j=1
Die zugehörige Matrix ist a =
zum EW λj ist.
λj |ej i hej | .
(j) (j) † ,
j=1 λj e e
PN
(27)
(j)
(j)
wobei e(j) = (e1 , . . . , eN )† EV von a
Dabei ist Pj = |ej i hej | ein Projektionsoperator:
Pj |ψi = |ej i hψ|ej i = hψ|ej i |ej i ,
=⇒ Pj2 = |ej i hej |ej i hej | = |ej i hej | = Pj
9
(28)
h
i†
Pj† = Pj ⇐= a |ψi hχ| = α∗ |χi hψ| , α ∈ C
(29)
Zuordnung:
ket |ψi
Spaltenvektor c
↔
bra ψ
Zeilenvektor c†
(30)
Aus (6) und (8) finden wir für unsere Polarisationsoperatoren:
Pϕ2 = Pϕ , Pϕ† = Pϕ =⇒ Pϕ Polarisationsoperator
cosφ |εx⟩
|εφ⟩=cosφ |εx⟩ + sinφ |εy⟩
Px
Photonen
Pφ
Statistische Interpretation: Wahrscheinlichkeit, dass für |εϕ i die Polarisation Px gemessen wird ist
(17)
(21)
Wx = cos2 ϕ = | hεx |εy i |2 = hεϕ |εx i hεx |εϕ i = hεϕ |Py |εϕ i
(31)
wobei die Normierung hεϕ |εϕ i = 1 verwendet wird.
Ersetzt man Px durch Py , so findet man
Wy = sin2 ϕ = hε|Py |εϕ i ,
(32)
also
Wx + Wy = 1,
Px + Py = 1 und Px Py = Py Px = 0.
(33)
(33) motiviert die
Messpostulate der QM:
(i) Observable (= messbare physikalische Größen) werden durch selbstadjungierte
Operatoren beschrieben.
(ii) Wiederholt man eine Messung mehrfach an im Zustand |ψi präparierten Teilchen,
so ist der Mittelwert der durch den Operator A beschriebenen Observable durch
den Erwartungswert von A im Zustand |ψi
W =
gegeben
10
hψ|A|ψi
hψ|ψi
(34)
(iii) Die statistische Varianz der wiederholten Messungen ist
σ2 =
hψ|(A − W 1)2 |ψi
hψ|ψi
=W
z }| {
hψ|A2 |ψi − 2W hψ|A|ψi +W 2 hψ|ψi
=
hψ|ψi
(35)
hψ|A2 |ψi − hψ|A|ψi2
.
hψ|ψi
√
Die Stndardabweichung σ := σ 2 heißt Unschärfe von A im Zustand |ψi.
=
Kurzschreibweise:
hAi := W,
(36)
∆A := σ.
Im Fall der Polarisation Px sind die möglichen Messwerte 0 (kein Ansprechen des Detektors) und 1 (Detektor spricht an).
hPx i = hεϕ |Px |εϕ i = cos2 ϕ,
2
(∆Px ) =
hεϕ |Px2 |εϕ i −
2
4
(37)
4
cos ϕ
= cos ϕ − cos ϕ
= cos2 ϕ sin2 ϕ
1
= sin2 (2ϕ)
4
ϕ=0
∆Px = 0
π
2
π
4
∆Px = 0
∆Px = 21
ϕ=
ϕ=
(38)
|εϕ=0 i = |εx i ist Zustand minimaler Unschärfe (EV von Px zum
EW 1)
|εϕ= π2 i = |εy i
Zustand maximaler Unschärfe
Zirkular polarisierte Photonen
|εL⟩
|εR⟩
11
1
|εL i = √ |εx i +
2
1
|εR i = √ |εx i −
2
linkshändiges Photon :
rechtshändiges Photon :
|εL i und |εR i stehen orthogonal:
i
√ |εy i
2
i
√ |εy i
2
1
hεx + iεy |εx + iεy i
2
1
i2
= hεx |εx i + hεy |εy i
2
2
=0
(39)
(40)
hεR |εL i =
(41)
Operatoren:
PL = |εL i hεL |
PR = |εR i hεR |
misst
links − polarisierte
rechts − polarisierte
Polarisation . . .
(42)
. . . bzw. präpariert links-/rechtspolarisierte zirkulare Photonen aus einem unpolarisierten
Lichtstrahl.
Basiswechsel:
1
(|εx i + i |εy i) (hεx | − i hεy |)
2
1
1
i
i
= Px + Py + |εy i hεx | − |εx i hεy |
2
2
2
2
=⇒ Matrixdarstellung bzgl { | εx i, | εy i } ist gegeben durch
1 1 −i
links − zirkularer Polarisationsfilter
pL =
2 i 1
PL = |εL i hεL | =
Es gilt PR = 21 Px + 12 Py − 2i |εy i hεx | + 2i |εx i hεy |
1 1 i
∗
=⇒ pr = pl =
2 −i 1
|εL⟩
|ε⟩
Zähler
2
|εR⟩
12
(44)
(45)
Messung der zirkluaren Polarisation:
1
(43)
1.) |εi = |εL i:
hεL |PL |εL i = hεL |εL i hεL |εL i = 1,
hεL |PR |εL i = hεL |εR i hεR |εL i = 0,
d.h. Zähler 1 klickt immer, 2 nie. Das kann man auch über die Matrixdarstellung
der Operatoren berechnen:
1 1 −i 1 1
1
√
hεL |PL |εL i = √ (1, −i)
2 i 1
2
2 i
1
2
= (1, −i)
= 1,
2i
4
1
1 1
1 1 i
√
hεL |PR |εL i = √ (1, −i)
=0
2 −i 1
2
2 i
{z
}
|
=0
Außerdem gilt für die Unschärfe
hεL |(∆PL,R )2 |εL i = 0.
2.) |εi = |εϕ i, Basis { | εx i, | εy i }:
1 1 −i
cos ϕ
hεϕ |PL |εϕ i = (cos ϕ, sin ϕ)
sin ϕ
2 i 1
−iϕ 1 e
= (cos ϕ, sin ϕ)
2 ieiϕ
1 −iϕ
1
1
= e
(cos ϕ, sin ϕ)
=
i
2
2
|
{z
}
(46)
=eiϕ
Ebenso
hεϕ |PR |εϕ i =
1
2
(47)
=⇒ Jeder Zähler spricht in 50% der Fälle an.
Unschärfe:
1
2
hεϕ |(∆PL,R )2 |εϕ i = hεϕ |PL,R
|εϕ i − hεϕ |PL,R |εϕ i2 =
4
r
1
1
∆PL,R (εϕ ) =
=
4
2
13
(48)
Kopenhagener Interpretation des Messprozesses
Messungen verändern das physikalische Objekt, das der Messung unterzogen wird. Hat
die Messung der Observablen A den Wert λ ergeben, so befindet sich das Objekt nach der
Messung in einem Eigenzustand von A mit Eigenwert λ ( spontane Zustandsreduktion“)
”
Erwartungswerte selbstadjungierter Operatoren A sind reell:
hψ|A|ψi∗ = hψ|A† |ψi = hψ|A|ψi
(49)
Kommutator, Anti-kommutator:
[A, B] := AB − BA
(50)
{A, B} := AB + BA
(51)
Seien A und B selbstadjungiert (A = A† , B = B † ). Dann gilt
[A, B]† = −[A, B],
(52)
†
{A, B} = {A, B}
(53)
Operatoren mit (52) nennt man antiselbstadjungiert.
Betrachte Zustand |ψi mit hAi = hψ|A|ψi und hψ|ψi = 1 und die Verschiebungen“
”
A := A − hAi
(54)
B := B − hBi
Herleitung der Unschärferelation durch schwarzsche Ungleichung (23):
|Aψi · |Bψi ≥ hAψ|Bψi
= hψ|AB|ψi
da A† = A
1
= hψ|[A, B]|ψi + hψ|{A, B}|ψi {z
} |
{z
}
2 |
imaginär⇐(49)
reell⇐(49)
1
≥ hψ|[A, B]|ψi
2
1
= |hψ|[A, B]|ψi|
2
da |z| ≥ |Imz|
(55)
Unschärfe:
(∆A)2 = hψ|(A − hAi)2 |ψi = hAψ|Aψi = k |Aψi k2
Mit (55) folgt:
1
∆A · ∆B ≥ | hψ|[A, B]|ψi | Unschärferelation
2
14
(56)
Gilt [A, B] = 0, so nennt man A und B kommensurabel (=gemeinsam messbar) oder
kompatibel. Es gibt dann eine Basis aus gemeinsamen Eigenkets |αi βj i , αi , βi ∈ R mit
A |αi βj i = αi |αi βj i
B |αi βj i = βj |αi βj i
Für diese Zustände ist ∆A = ∆B = 0.
Die Eigenwerte αi , βj nennt man auch Quantenzahlen von |αi βj i zu A und B.
Stern-Gerlach-Versuch
1922; I.Stern, W. Gerlach: Silber-Atome: paramagnetisch mit magnetischem Moment #»
µ.
z
S
zwei Maxima
der Intensität
47
Ag-Ofen
N
→
B = B(z) →
ez
Detektoren
Kollimator
klassisch:
#»
V = − #»
µB
(pot. Energie)
#»
F = −∇V
(Kraft)
∂B
(Kraftkomponente in z-Richtung)
Fz = µz
∂z
Atome können mit jedem Winkel nach oben oder unten abgelenkt werden.
1925: Goudsmit und Uhlenbeck entdeckten den Elektronenspin (=Eigendrehimpuls)
e #»
#»
µ=
s, e > 0
(57)
mc
Silberatom 47 Ag: #»
µ aus dem 47. e− (in 5s-Schale).
Schematisch:
SGZ
z
y
15
Zwei SGZ hintereinander:
a) Sz = ~2 :
SGZ
SGZ
_
Projektor Pz+ auf Sz= + h_ -Komponente
2
Messung von Sz
Elektron mit Sz =
~
2
Pz +
Pz −
(
|Sz + i
|Sz + i =
0
hSz − |Sz + i = 0
Spin-Operator:
~
|S + i
2 z
~
Sz |Sz − i = − |Sz − i
2
Sz |Sz + i =
(58)
Erwartungswert und Unschärfe:
hSz i = hSz + |Sz |Sz + i =
(∆Sz )2 = hSz + |Sz2 −
~
2
(59)
~2
|S + i = 0
4 z
b)
_
ℏ
Sz=2
_
ℏ
Sx=2
SGX
_
ℏ
Sx=-2
SGZ
→
__ →
→ ∂B
B , ∂x ∝ e
x
α
β
|Sx +i = √ |Sz + i + √ |Sz − i
2
2
hSx+ |Sx+ i = 1, |α|2 + |β|2 = 2
gleich große Komponenten |α| = |β| = 1
Allgemein: |ψi und eiϕ |ψi beschreiben denselben physikalischen Zustand, denn für
alle A gilt:
hψ|A|ψi = heiϕ ψ|A|eiϕ ψi
16
o.B.d.A. wähle Phasen von |Sz + i und |Sz − i so, dass α = β = 1 ist:
1
1
|Sx+ i = √ |Sz + i + √ |Sz − i
2
2
1
1
|Sx− i = − √ |Sz + i + √ |Sz − i
2
2
(60)
Projektoren:
=⇒ px±
Px± = |Sx± i hSx± |
1
1
1
1
= |Sz + i hSs+ | ± |Sz + i hSz − | ± |Sz − i hSz + | + |Sz − i hSz − |
2
2
2
2
(61)
1 1 ±1
(62)
=
2 ±1 1
Spin-Operator :
~
Sx |Six± = ± |Sx+ i
2
(63)
Darstellung bzgl. { | Sz + i, | Sz − i }: (Invertiere (60))
1
|Sz + i = √ [|Sx+ i − |Sx− i]
2
1
|Sz − i = √ [|Sx+ i + |Sx− i]
2
(64)
Es gilt:
1
[hS + |Sx |Sx+ i − hSx− |Sx |Sx+ i − hSx+ |Sx |Sx− i + hSx− |Sx |Sx− i]
2 x
1 ~ ~
=
−
=0
2 2 2
hSz + |Sx |Sz + i =
Ebenso hSz − |Sx |Sz − i = 0.
genau gleich viele
47 Ag-Atome
mit Sx =
~
2
und Sx = − ~2 beobachtet.
1
(hS + | ∓ hS − |) Sx (hSx+ | ± hSx− |)
2 x x
1 ~
~
~
=
−
)=
2 2
2
2
~ 0 1
=⇒ sx =
2 1 0
hSz ± |Sx |Sz ∓ i =
(65) entspricht
~
hSz + |Sx |Sz − i = (1, 0)
2
17
~
0 1
0
= .
1 0
1
2
(65)
(66)
c) Nach SGX nochmal SGZ
Sz =
~
2
und Sz = − ~2 .
Check:
(61)
|ψi = Px+ |Sz + i = |Sx+ i hSx+ |Sz + i =
1
1
1
|Sz + i + |Sz − i = √ |Sx+ i
2
2
2
Nun SGY (Apparatur drehen): x-Achse und y-Achse sind gleichberechtigt. Also:
β
√ |Sz − i
2
(67)
β
√ |Sz − i
2
mit |α| = |β| = 1, hSy± |Sz |Sy± i = 0, hSy+ |Sy− i = 21 |α|2 − |β|2 = 0. Weiter:
1 ∗
α
∗ ~ 0 1
0 = hSy± |Sx |Sy± i = (α , ±β )
±β
2
2 1 0
~
(68)
= ± (α∗ β + β ∗ α)
4
~
= ± Re(α∗ β)
2
Zyklische Vertauschung (x, y, z) → (z, x, y):
α
|Sy+ i = √ |Sz + i +
2
α
|Sy− i = √ |Sz + i −
2
hSy± |Sx |Sy∓ i = hSx± |Sz |Sx∓ i
~ ~
~
(60) 1
=
∓ ∓
=∓
2
2 2
2
(69)
Andererseits mit (67):
1 ∗
α
∗ ~ 0 1
hSy± |Sx |Sy∓ i = (α , ±β )
∓β
1
0
2
2
~
~
= ± (−α∗ β + β ∗ α) = ∓ Im(α∗ β)
4
2
(68)-(70) bedeuten:
Re(α∗ β) = 0, Im(α∗ β) = 1.
(70)
Lösung z.B.: α = 1, β = i. Also:
i
1
|Sy± i = √ |Sz + i ± √ |Sz − i
2
2
(71)
1
|Sz+ i = √ |Sy+ i + |Sy− i
2
i
|Sz− i = √ − |Sy+ i + |Sy− i
2
(72)
Inverse:
Matrixdarstellung:
~
sy =
2
18
0 −i
i 0
(73)
Pauli-Matrizen:
0
σ1 = σx =
1
0
σ2 = σy =
i
1
σ3 = σz =
0
1
0
−i
0
(74)
0
−1
Spin-Operatoren:
sj =
~
σj
2
(75)
Eigenschaften der Pauli-Matrizen: (siehe Aufgabe 6)
σj σk = δjk 1 +
3
X
iεjkl σl
l=1
[σj , σk ] = 2i
3
X
(76)
εjkl σl
l=1
wobei εjkl das Levi-Civita-Symbol ist
σj = σj†
tr σj = 0
(77)
Jede hermitesche 2 × 2-Matrix M lässt sich schreiben als
3
X
M = a0 1 +
al σl
(78)
l=1
Aus (77) folgt
1
a0 = tr M,
2
(79)
da tr 1 = 2. Aus (76) folgt:
tr [M σk ] =
3
X
al tr [σl σk ] =
l=1
3
X
al δlk tr 1
l=1
1
=⇒ al = tr [M, σl ]
2
(80)
(75) / (76) implizieren die Vertauschungsrelationen für die Spinoperatoren:
[Sj , Sk ] = i~
3
X
l=1
19
εjkl Sl
(81)
Wegen [Sj , Sk ] 6= 0 für j 6= k sind verschiedene Spinkomponenten inkommensurabel.
Wegen (siehe (76)) σ12 = σ22 = σ32 = 1 ist jedoch
3
#»
S 2 = Sx2 + Sy2 + Sz2 = ~2 1
4
(82)
#»
[ S 2 , Sj ] = 0, j = 1, 2, 3
(83)
Damit ist
#»
D.h. der Gesamtspin S 2 ändert sich durch Messung von Sx , Sy und Sz nicht.
Seltsame Analogie:
(58)
(58)
(60)
↑ |Sz + i
↓ |Sz − i
|Sx± i =
|Sy± i =
| {z }
Photon
.
|ε i ..
Elektron
x
√1
2
√1
2
[± |Sz + i + |Sz − i]
[|Sz + i ± i |Sz − i]
|εy i · · ·
|εϕ= π4 i, |εϕ= 3π i
4
|εL,R i
(5)
(39)/(40)
Übliche Schreibweise:
|Sz + i = |↑i
|Sz − i = |↓i
spin up
spin down
(84)
Basiswechsel: (U † U = 1)
|e0j i = |U ej i ,
j = 1, . . . , N
(85)
Sei A ein selbstadjungierter Operator mit
A |ej i = λj |ej i
(86)
Welcher Operator entspricht A in der Basis { | ej i }?
(86) =⇒ U A |{z}
U † U |ej i = U λj |ej i
=1
=⇒ U AU † |e0j i = λj |e0j i
=⇒ A0 |e0j i = λj |e0j i
mit
A0 = U AU †
(87)
Erfüllen zwei Operatoren A und A0 die Gleichung (87), so heißen sie unitär äquivalent.
I.d.Fall beschreiben sie die selbe Physik, sie haben insbesondere das selbe Spektrum
{ λj }.
20
Beispiel : U Sx U † = Sz .
Matrixdarstellung von U bzgl. { | ↑i, | ↓i }:
1 1 1
U=√
2 i −i
=⇒ Sz und Sx sind physikalisch äquivalent (EW: − ~2 , ~2 )
Basisunabhänig: Spur eines Operators A:
tr A :=
N
X
j=1
hej |A|ej i
Beweis der Basisunabhänigkeit: Es gilt die Vollständigkeitsrelation:
tr A =
N
X
j,k,l=1
=
X
j,k,l=1
=
N
X
k,l=1
=
N
X
k=1
(88)
PN
0
0
k=1 |ek i hek |
= 1.
hej |e0k i he0k |A|e0l i he0l |ej i
he0k |A|e0l i he0l |ej i hej |e0k i
he0k |A|e0l i he0l |e0k i
he0k |A|e0k i
Es ist also die Spur von A die Summe seiner Eigenwerte:
tr A =
N
X
λj .
(89)
j=1
Ebenso basisunabhängig:
tr An =
N
X
λnj ,
j=1
n∈Z
(90)
1.3 Ort, Impuls, Energie
#»
de Broglie: Elektronen verhalten sich wie Wellen, wobei #»
p = ~k.
Ket für Elektron mit Impuls #»
p:
#» #»
| #»
p i ∼ ei k x = ei
#p» #x»
~
21
(ebeneWelle)
(91)
Eigenwertgleichung:
Idee: Pj ei
#p» #x»
~
= pj ei
#p» #x»
~
Pj | #»
p i = pj | #»
pi,
( #»
p = (p1 , p2 , p3 ))
(92)
ist erfüllt, mit der folgenden Definition:
Pj = −i~
∂
∂xj
(93)
Pj ist ein Differentialoperator. Pj bildet von einem Funktionenraum in einen (evlt.
anderen) Funktionenraum ab. Funktionenräume sind Vektorräume von Funktionenen
f : x 7→ f (x).
(Standard-)Beispiele
1.) C[a, b] = Menge der auf [a, b] stetigen Funktionen f : x ∈ [a, b] 7→ f (x)
C[Rn ] = Menge der auf dem Rn stetigen Funktionen, allgemeiner:
C[T ] = Menge der auf T ⊆ Rn stetigen Funktionen
Klar: Mit f, g ist auch αf + βg mit α, β ∈ C stetig =⇒ C[. . .] ist Vektorraum
2.) C n [T ] = Menge der n-mal stetig-differenzierbaren Funktionen f : x ∈ T 7→ f (x)
C ∞ [T ] = Menge der ∞-oft stetig diff’baren Funktionen . . .
3.) Schwartz-Raum: umfasst Funktionen die selbst und deren Ableitung für |x| → ∞
schneller abfallen als jede Potenz
p dk f ∞
< ∞ ∀p, k ∈ N0
S = S[R] = f ∈ C [R] : sup x
dxk x∈R
2
Bemerkung: x 7→ e−αx ∈ S
(
S[Rn ] =
)
k1 ...kn f
∂
f ∈ C ∞ [Rn ] : sup |x|p k1
< ∞ ∀p, k1 , . . . , kn ∈ N0
∂x1 . . . ∂xknn x∈Rn R
4.) L2 [T ] = Menge aller Funktionen f , für die T |f (x)|2 dx in R existiert = Vektorraum der quadratisch integrablen Funktionen
Es gelten:
• C ∞ [a, b] ⊂ C n [a, b] ⊂ . . . ⊂ C[a, b] ⊂ L2 [a, b],
• S[Rn ] ⊂ C ∞ [Rn ] ⊂ C n [Rn ] ⊂ . . . ⊂ C[Rn ],
aber weder C[Rn ] ⊃ L2 [Rn ] noch C[Rn ] ⊂ L2 [Rn ].
Skalarprodukt (=Innenprodukt):
hf |gi =
Z
f ∗ (x)g(x) dx
T
22
(94)
sinnvoll für 1.) bis 3.)
Die Definitheit (13) ist jedoch für L2 [T ] verletzt, siehe z.B. für f ∈ L2 [R]:
(
1, x = 0
f (x) =
0, sonst
R∞
Es gilt kf k2 = hf |f i = −∞ |f (x)|2 dx = 0, aber f 6= 0.
Trick : f und g heißen äquivalent (f ∼ g), wenn
Z
|f (x) − g(x)|2 dx = 0.
kf − gk2 =
(95)
(96)
T
Also: Zwei Funktionen f, g, die (96) erfüllen werden identifiziert, sie beschreiben die selbe
Physik. Z.B. erfüllt f aus (95) f ∼ 0 = Nullfunktion.
5.) Für T ⊆ Rn :
L2 [T ] = Menge aller Äquivalenzklassen bzgl. (96) in L2 [T ]
(97)
(94) ist ein Skalarprodukt in L2 [T ].
Räume auf denen ein Skalarprodukt definiert ist heißen unitäre Räume oder Innenprodukträume.
D.h. die in 1.), 2.), 3.), 5.) behandelten Räume sind unitäre Räume.
Es sei U ein unitärer Raum und (fn ) = (f1 , f2 , . . .) eine Folge in V (z.B. fn (x) =
1
n sin(nx)). (fn ) heißt Cauchyfolge, wenn es für ε > 0 ein N ∈ N gibt, so dass für alle
m, n ≥ N gilt:
kfm − fn k < ε.
Naiv: (fn ) konvergiert gegen ein f . Problem: f musst nicht unbedingt in U liegen!
Besitzt jede Cauchyfolge (fn ) einen Grenzwert f in V , so heißt V vollständig.
Beispiel mit Zahlenfolgen:
√
14 141 1414
,
, . . . −→ 2 ∈
1, ,
/Q
10 100 1000
|
{z
}
⊂Q
Q ist also nicht vollständig, R hingegen schon.
Gibt es eine Basis von U , die aus höchstens abzählbar vielen Basisvektoren besteht, so
heißt V separabel.
Ein vollständiger separabler unitärer Vektorraum heißt Hilbertraum
Quantenmechanische Zustände entsprechen immer Vektoren (=Kets) in einem Hilbertraum
Die drei wichtigsten Hilberträume:
23
1.) Jeder endlichdimensionale unitäre Vektorraum ist Hilbertraum
2.) L2 [T ] mit Skalarprodukt (94), siehe (97), dim L2 = ∞
3.) quadratisch summierbare Zahlenfolgen:
l2 = {(an ) :
∞
X
n=0
|an |2 < ∞} mit h(an )|(bn )i =
∞
X
a∗n bn
(98)
n=0
Es gilt dim l2 = ∞
Hilberträume gleicher Dimension sind isomorph, insbesondere L2 [T ] ∼
= l2 .
math. Beschreiben in L2 : Wellenmechanik (Schrödinger)
QM :
math. Beschreiben in l2 : Matrizenmechanik (Heißenberg, Jordan)
Basis in L2 [T ] = vollständiges orthonormiertes Funktionensystem{ f0 (x), f1 (x), . . . }, also
Z
a) hfj |fk i =
dn xfj∗ (x)fk (x) = δjk
(100)
T
b) Jedes f ∈ L2 [T ] lässt sich entwickeln als
f (x) =
∞
X
an ∈ C
an fn (x),
n=0
(101)
Nun ist
Z
n
d
T
xfj∗ (x)f (x)
= hfj |i =
∞
X
k=0
an hfj |fk i = aj
(102)
und
(101)
kf k2 = hf |f i =
∞
X
k,n=0
a∗k an hfk |fn i =
Also:
2
f ∈ L [T ] ⇐⇒ hf |f i < ∞ ⇐⇒
∞
X
k=0
∞
X
k=0
|an |2
(103)
|an |2 < ∞ ⇐⇒ (an ) ∈ l2
f 7→ (an ) ist also ein isometrischer (wegen (103)) Isomorphismus zwischen L2 [T ] und l2 .
(an ) ist der ∞-große Koeffizientenvoektor von f bzgl der Basis { fn (x) }
P
Analog: g(x) = ∞
n=0 bn fn (x)
=⇒ hf |gi =
24
∞
X
n=0
a∗n bn
(104)
Lineare Operatoren im Hilbertraum H
Betrachte Operatoren
A:f ∈
D(A)
| {z }
⊂ H −→ Af ∈ H
(105)
Def.−Bereich
z.B. Pj in (93) ist nicht für alle f ∈ L2 defininiert, f muss fast überall diff’bar sein.
Z
Z
~ ∂
n
∗
dn xg ∗ (x)
d xg (x)Pj f (x) =
f (x)
hg|Pj f i =
i ∂xj
T
T
ist sinnvoll für f ∈ D(Pj und g ∈ L2
Physikalische Zustände ψ(x) ∈ L2 heißen Wellenfunktionen.
Erwartungswert einer Messung von Pj :
Z
~ ∂
hψ|Pj |ψi =
dn xψ ∗ (x)
ψ(x)
i ∂xj
T
(106)
Impulsoperator:
#» ~
P =
i
∂ 
∂x
∂
∂y
∂
∂z

=
~ #»
∇
i
Ortsoperator:
 
X
#»  1 
X = X2 , wobei Xj : ψ(x) ∈ D(Xj ) ⊂ L2 [T ] 7−→ xj ψ(x)
X3
(107)
((108) + (109))
Xj , Pj sind linear und es gelten die Heisenbergschen Vertauschungsrelationen:
[Xj , Pk ] = i~δjk ,
(110)
[Xj , Xk ] = 0 = [Pj , Pk ]
(111)
Nachweis:
[Xj , Pk ]ψ(x) = (Xj Pk − Pk Xj )ψ(x)
~
∂
∂
xj
ψ(x) −
(xj ψ(x))
=
i
∂xk
∂xk
~
∂
∂
∂
=
xj
ψ(x) −
xj − xj
ψ(x)
i
∂xk
∂xk
∂xk
~
= − δjk ψ(x) = i~δjk ψ(x)
i
25
=⇒ [Xj , Pk ] = i~δjk .
#» #»
Beschreibt man einen physikalischen Zustand durch eine Wellenfunktion ψ(x) mit P , X
in (107), (108), so spricht man von der Ortsdarstellung. Für hψ|ψi = 1 ist der Erwartungswert der Ortsmessung


hψ|X1 |ψi
#»
hψ|X|ψi := hψ|X2 |ψi
hψ|X3 |ψi
Z
#»
dn xψ ∗ (x)Xψ(x)
=
(112)
ZT
dn x|ψ(x)|2 x
=
T
= Schwerpunkt“ einer Dichteverteilung |ψ(x)|2
”
−
Wahrscheinlichkeit, das e im Volumen V zu finden:
Z
dn x|ψ(x)|2
p(V ) =
(113)
V
Der zu A adjungierte Operator A† ist vermöge
hA† f |gi = hf |Agi ,
f ∈ D(A† ), g ∈ D(A).
(114)
A heißt hermitesch (oder symmetrisch), wenn
hAf |gi = hf |Agi ,
f, g ∈ D(A).
(115)
D.h. A = A† auf D(A). Gilt (115) und D(A† ) = D(A), so heißt A selbstadjungiert, also
A = A† . Es kann passieren, dass (115) erfüllt ist, aber D(A† ) ⊃ D(A) und A† 6= A,
d.h. (115) ist verletzt für f ∈ D(A), f ∈
/ D(A† ). Dann ist A hermitesch aber nicht
selbstadjungiert.
Impulsoperator in L2 [R]:
~
hf |P gi =
i
Z
−∞
PI
= −~i
=⇒ f hermitesch. Wegen
D(P † .
R∞
∞
−∞
Z
d
g(x)
dx
f ∗ (x)
~
g(x) + [f ∗ (x)g(x)]∞
dx
dx
i|
{z −∞}
dxf ∗ (x)
∞
−∞
=0
dx(P f )∗ (x)g(x) =
hR
∞
−∞
i
dxg ∗ (x)P f (x) ist D(P ) =
Ebenso: X ist selbstadjungiert in L2 [R].
A heißt beschränkt, wenn es eine Zahl κ > 0 gibt, so dass
kAf k ≤ κkf k,
Beispiele
26
f ∈H
(116)
• U unitär =⇒ kU f k = kf k ⇒ κ = möglich.
• X und P sind in L2 [R] unbeschränkt.
Das Spektrum σ eines Operators A besteht aus allen λ ∈ C für die A − λ1 keine beschränkte Inverse besitzt. Für λ ∈
/ σ ist die Resolvente
Rλ (A) = (A − λ1)−1
(117)
definiert und beschränkt.
Jeder Eigenwert gehört zu σ:
(A − λ1)f = 0 =⇒ (A − λ1)−1 existiert nicht
Für A = A† (d.h. selbstadjungiert) gilt:
1.) σ = σp ∪ σc wobei das Punktspektrum bzw. diskretes Spektrum σp die Menge der
Eigenwerte bezeichnet und σc kontinuierliches Spektrum heißt.
2.) σ enthält nur relle λ. Für Imλ 6= 0 und λ ∈
/ σ gilt:
kR(λ)k ≤
1
Imλ
Dabei ist die Norm kAk eines Operators A die kleinste Zahl κ ≥ 0 mit kAf k ≤ κkf k
3.) Zu λ ∈ σc kann man beliebig genaue approximative Eigenvektoren finden:
Zu (jedem) ε > 0 gibt es ein fε ∈ H mitk(A − λ1)fε k < ε
(118)
Beachte:
lim kA − λ1)fε k = 0 ⇐⇒ lim kRλ fε k = ∞
ε→0
ε→0
Veranschaulichung
1.) Ortsoperator X in L2 [R]: Es gilt stets
Xψ(x) = xψ(x) 6= λψ(x)
f ür ψ 6= 0
=⇒ σp = ∅.
Inverses von X − λ1:
Rλ : ψ(x) 7−→
1
ψ(x)
x−λ
Das ist wohldefiniert für λ ∈
/ R. Für λ ∈ R betrachte (siehe Aufgabe 8):
1
ψε (x − λ) = (πε2 )− 4 e−
(x−λ)2
2ε2
27
∈ L2 [R]
(Wellenpakete)
(119)
ε
und
=⇒ σ = σc = R.
kR − λψε (xλ )k −→ ∞, ε −→ 0,
∀λ ∈ R.
Approximative Eigenfunktionen von X:
“Xψε (x − λ) ≈ λψε (x − λ)“,
denn
2 − 21
2
k(X − λ1)ψε (x − λ)k = (πε )
Z
∞
−∞
dx(x − λ)2 e−
(x−λ)2
ε
=
ε2
−→ 0, ε −→ 0.
2
Die Wellenpakete ψε (x − λ) sind also approximative EIgenfunktionen von X zu
λ ∈ R.
2.) Impulsoperator: P =
~ d
2 dx
in L2 [R]. Betrachte
p
ψp (x) = ei ~ x :
R∞
R∞
(91), (93) =⇒ P ψp (x) = pψp (x), jedoch −∞ ψp∗ (x)ψp (x) dx = −∞ 1 = ∞, d.h.
ψp (x) ∈
/ L2 [R].
Approximative Eigenfunktionen zu p ∈ R: Breite Wellenpakete:
p
ψp,ε (x) = ψ 1 (x)ei ~ x
ε
√
ε −ε2 x2
i p~ x
2
2 ∈ L [R],
=e
e
1/4
π
kψp,ε k = 1
(120)
Es gilt:
~ p
P ψp,ε (x) = pψp,ε (x) + ei ~ x
2
ε2
π
1/4
(−ε2 x)e−
ε2 x2
2
√
= pψp,ε (x) + O( εε2 )
=⇒ σc = R
Ein Operator U heißt unitär, wenn er folgende Eigenschaften erfüllt:
1.) D(U ) = H
(121)
28
2.) Der Wertebereich von U ist H, d.h. zu jedem f ∈ H gibt es ein g mit U g = f (122)
3.) hU f |U gi = hf |gi ∀f, g ∈ H ( Längen- und Winkeltreue“)
”
Zu 3.) ist äquivalent, dass hU f |U f i = hf |f i für alle f ∈ H erfüllt ist.
(123)
Beweis:
kf k2 + kgk2 + 2Re hf |gi = kf + gk2
= kU (f + g)k2
= kU f k2 + kU gk2 + 2Re hU f |U gi
d.h. Re hf |gi = Re hU f |U gi. Mit kf + igk analog =⇒ Im hf |gi = Im hU f |U gi
Für einen unitären Operator gilt:
U −1 = U †
und U † ist auch unitär (d.h. (121),(122) sind erfüllt.).
Stetige lineare Abbildungen ϕ : V −→ C heißen Linearformen, lineare Funktionale,
Kovektoren oder Bras:
hϕ|αf + βgi = α hϕ|f i + β hϕ|gi
(124)
=⇒ Die Bras bilden einen Vektorraum, den Dualraum V ∗ .
Ist V ein Hilbertraum H mit Basis { | e1 i, | e2 i, . . . }, so gibt es eine Basis { he1 | , he2 | , . . . }
in H∗ mit hej |ek i = δjk und H ∼
= H∗ mit
X
X
αj |ej i ←→
αj∗ |ej i
(125)
j
j
Für L2 [R] bedeutet dies: Jede Linearform ϕ : f ∈ L2 [R] 7−→ ϕ[f ] ∈ C lässt sich schreiben
als
Z ∞
ϕ[f ] = hϕ|f i =
dxϕ̃∗ (x)f (x)
(126)
−∞
mit einem ϕ̃ ∈ L2 [R].
Ist V kein Hilbertraum, so gilt dies nicht:
Beispiel : V = S[R]. Betrachte
δ : f ∈ S[R] 7−→ δ[f ] = f (0)
Es gilt δ ∈ S ∗ [R], da die Punktauswertung linear und stetig ist.
Symbolische Schreibweise wie in (126):
Z ∞
δ[f ] = f (0) =:
dxδ(x)f (x),
δ(x) = δ−Funktion = δ−Distribution
−∞
29
Dualraum zu S[R]:
S ∗ [R] = Vektorraum der gemäßigten Distributionen
= temperierte Distributionen
= tempered distribitions
( S ∗ [R], L2 [R], S[R] ) ist ein Beispiel für ein Gelfandsches Raumtripel:
S ∗ [R] % L2 [R] % S[R]
Mehr Bras
weniger Kets
(127)
Vorteil: In S ∗ [R] können wir für A = A† jedem λ ∈ σ(A) eine Eigendistribution finden,
ipx
z.B ψp (x) = e ~ ∈
/ L2 [R], aber mit der Zuordnung ψp∗ (x) ↔ hp| gilt:
hp| P = hp| p,
(128)
außerdem ist für alle f ∈ S[R]
Z ∞
Z
∗
hp|f i =
dx ψp (x)f (x) =
−∞
∞
px
dx e− ~ f (x)
(129)
−∞
wohldefiniert und (129) beschreibt eine stetige lineare Abbildung von S[R] auf C.
D.h. ebene Wellen sind gemäßigte Distributionen.
Flexible Notation:
f | g i = h g | f i∗
|{z} |{z}
|{z} |{z}
h
Bra∈S ∗ Ket∈S
∈S
∈S ∗
Achtung: Für f, g ∈ S ∗ [R] ist hf |gi nicht immer definiert. Beispiel: hψp |ψp i =
∞.
R∞
−∞
dx 1 =
verallgemeinerte Eigenfunktionen (Eigenbras) zu X gesucht:
Xψx0 (x) = x0 ψx0 (x)
mit x0 ∈ R.
(130)
Lösung:
ψx0 (x) = δ(x − x0 ) ∈ S ∗ [R]
Auch hier ist hψx0 |ψx0 i =
R∞
−∞
(131)
dx δ(x − x0 )δ(x − x) = ∞ nicht definiert!
Die verallgemeinerten Eigenfunktionen selbstadjungierter
Operatoren A sind vollständig.
P
Die Entwicklung nach Eigenvektoren |f i = λ∈σ |λi hλ|f i wobei A |λi = λ |λi im endlichdimensionalen Fall liest sich nun (im ∞-dimensinalen Fall) wie folgt (für ohne entartete Eigenvektoren):
Z
X
|f i =
|λi hλ|f i +
dλ |λi hλ|f i
(132)
σc
λ∈σp
30
Ortsoperator:
X |ψi = x |ψi
(133)
verallgemeinerte Eigenvektoren: Xδ(x − x0 ) = x0 δ(x − x0 ) bzw. symbolisch X |x0 i =
x0 |x0 i .
Z
dx0 |x0 i hx0 |ψi
(134)
|ψi =
R
entspricht
Z
ψ(x) =
∞
dx0 δ(x − x0 )
| {z }
−∞
|x0 i
Z
∞
| −∞
dx0 δ(x0 − x0 )ψ(x0 ) = ψ(x)
{z
}
hx0 |ψi
Impulsoperator:
P N ei
px
~
px
= p |N {z
ei ~},
N = Normierungskonstante
b=|pi
R∞
Die Entwicklung nach Eigenvektoren |ψi = −∞ dp |pi hp|ψi bedeutet
Z ∞
Z ∞
px0
1
2
i px
dx0 e−i ~ ψ(x0 ) f ür |N |2 =
ψ(x) =
dp e ~ |N |
2π~
| −∞ {z
} | −∞
{z
}
inverse Fouriertrafo
(135)
Fourier−Trafo
Speziell für |ψi = |x0 i:
hp|x0 i = √
px0
1
e−i ~
2π~
Ortseigenzustand in Impulsdarstellung“
”
In (134) mit |ψi = |pi
|pi =
Z
R
0
0
0
(136)
dx |x i hx |pi =
Z
∞
−∞
dx0 |x0 i √
(136)
px0
1
ei ~
2π~
Konsistenzcheck (der Vollständigkeit):
px
1
√
ei ~ = hx|pi
2π~
Z ∞
px0
1
=
dx0 hx|x0 i √
ei ~
2π~
−∞
px
1
=√
ei ~ X
2π~
(137)
in (137) wurde verwendet:
hx|x0 i =
Z
∞
−∞
dx00 δ(x − x0 )δ(x0 − x00 ) = δ(x − x0 )
31
(138)
Normierung der Impulseigenzustände:
Z
0
hp|p i =
p0 x
px
∞
e−i ~ ei ~
√
√
2π~ 2π~
−∞
p p0
1
(2π)δ
=√
−
~
~
2π~
1
p − p0
= δ
~
~
0
= δ(p − p )
(139)
analog zu (138).
Projektion eines Zustandes |ψi auf Ortseigenzustand:
Z ∞
dx0 δ(x − x0 )ψ(x0 ) = ψ(x) = Wellenfunktion in Ortsdarstellung
hx|ψi =
(140)
−∞
Projektion auf Impulseigenzustand:
Z ∞
px
1
e
√
hp|ψi =
e−i ~ ψ(x) =: ψ(p)
2π~
−∞
= Impulsdarstellung
(141)
= Fourier − Transformierte von ψ(x)
Umkehrfunktion
Z
∞
hx|p0 i hp0 |xi dp0
| {z }
−∞
ψ(x) = hx|ψi =
e 0)
=ψ(p
=√
1
2π~
Z
∞
0
i p~x
dp0 e
(142)
e 0)
ψ(p
−∞
Ortsoperator in Impulsdarstellung:
hp|X|ψi =
=
Z
∞
Z−∞
∞
−∞
dp0 hp|X|p0 i hp0 |ψi
0
(143)
0
e 0)
dp hp|X|p i ψ(p
Nun ist
ipx
∞
ipx
e− ~
e ~
hp|X|p i =
x√
dx √
2π~
2π~
−∞
Z ∞
ip0 x
1 ~ ∂
− ipx
~ e ~
=
dx
e
2π~ i ∂p0 −∞
|
{z
}
Z
0
0
2πδ( p−p
)
~
=
~ ∂
δ(p − p0 )
i ∂p0
32
(144)
Einsetzen in (143):
∞
~
∂ e 0
δ(p − p ) −
ψ(p )
hp|X|ψi =
i ∂p0
−∞
~ ∂ e
=−
ψ(p)
i ∂p
P.I.
Z
0
(145)
Impulsoperator in Impulsdarstellung:
e
hp|P |ψi = p hp|ψi = pψ(p)
Zusammenfassung:
Ortsoperator X
Impuloperator P
Ortsdarstellung
xψ(x)
~ ∂
i ∂x ψ(x)
Impulsdarstellung
~ ∂ e
i ∂p ψ(p)
e
pψ(p)
Energie
klassische Mechanik:
QM:
Hamiltonfunktion H(xj , pk )
H(Xj , Pk )
Teilchen im Potenzial:
#»
P2
#» #»
#»
H(X, P ) =
+ V (X)
2m
(146)
Eigenzustände |Ei zum Energieeigenwert E
#» #»
H(X, P ) |Ei = E |Ei
(147)
Energiezustände heißen auch stationäre Zustände. Die diskreten Eigenwerte En (= Elemente von σp , n = 0, 1, 2, . . .) von H ( Energieniveaus“) entsprechen Bindungszuständen
”
|En i, da hEn |En i < ∞. Die uneigentlichen Eigenwerte (= Elemente von σc ) von H entsprechen Streuzuständen |Ei, da hE|Ei = ∞.
Ortsdarstellung:
(147) lautet in der Ortsdarstellung h #»
x |H|Ei = E h #»
x |Ei.
Z
d3 #»
x h #»
x |H| #»
x 0 i h #»
x 0 |Ei = E h #»
x |Ei
| {z }
| {z }
ψE ( #»
x 0)
33
ψE ( #»
x)
(148)
Es gilt
+
* #»
P2
#» #»0
#»
x
+ V (X) x
2m
* #» +
P2 D #» E
#»0
0
= #»
x
x V (X) #»
x
x + #»
2m {z
}
|
#» #»
V ( #»
x) hx | xi
| {z }
#» #»0 x H x =
δ (3) ( #x»− #x»0 )
und
* #» +
Z
P2 D #» E D #» E
1
#»0
0
#»
#»
x
d3 #»
p #»
x P #»
p
p P #»
x
x =
2m 2m
Z
1
d3 #»
p #»
p 2 h #»
x | #»
p i h #»
p | #»
xi
=
2m
(149)
3D-Version von (137):
h #»
x | #»
pi =
i #p» #x»
1
e ~
3/2
(2π~)
(150)
Einsetzen in (149):
* #» +
Z
P2 i #p»( #x»− #x»0 )
1
1
#»0
#»
~
x
x
=
d2 #»
p #»
p 2e
3/2
|
{z
}
2m 2m (2π~)
#»
k=
#p»
~
~2
1
= −
∆
2m (2π)3
|
−~2 ∆e
Z
i #p»( #x»− #x»0 )
~
#»
3 #» i k ( #»
x − #»
x 0)
d ke
{z
δ (3) ( #»
x − #»
x 0)
(151)
}
Einsetzen in (148):
Z
~2
(3) #»
0
(3) #»
0
3 #»0
#»
#»
#»
#»
∆δ ( x − x ) + V ( x )δ ( x − x ) = EψE ( #»
x)
d x ψE ( x ) −
2m
partielle Integration:
Z
~2
3 #»0
0
0
#»
#»
#»
d x −
∆ψE ( x ) + V ( x )ψE ( x ) δ (3) ( #»
x − #»
x 0 ) = EψE ( #»
x ) ⇐⇒
2m
~2
#»
−
∆ + V ( x ) ψE ( #»
x ) = EψE ( #»
x)
(152)
2m
(152) heißt zeitunabhängige Schrödinger-Gleichung. Ihre Lösungen ψ ( #»
x ) sind EnergieE
Eigenfunktionen. Salopp:
HψE ( #»
x ) = EψE ( #»
x ),
H=−
~2
∆ + V ( #»
x ) = Hamilton − Op. in Ortsdarstellung
2m
(153)
34
Impulsdarstellung:
#»2
p
#»
e #»
e #»
+ V (i~∇p ) ψ(
p ) = E ψ(
p)
2m

∂/∂px

#»
mit ∇p = ∂/∂py 
∂/∂pz
(154)
praktisch für lineare Potenziale V ( #»
x ) = α #»
x und für Streuprobleme.
1.4 Tensorprodukt
2 Hilberträume H = [|e1 i , |e2 i , . . .] und H0 = [|e01 i , |e02 i , . . .].
Tensorprodukt H ⊗ H0 = |ej i ⊗ |e0k i
(155)
dabei werden die |ej i ⊗ |e0k i auch oft mit |ej i |e0k i oder |ej e0k i bezeichnet.
Für dimH = N, dimH0 = N 0 ist dim [H ⊗ H0 ] = N · N 0 . Für
X
X
|αi =
αk |ek i und |α0 i =
αl0 |e0l i
k
l
ist
|αi ⊗ |α0 i =
X
k,l
αk αl0 |ek i ⊗ |e0l i
(156)
Nicht jedes Element von H ⊗ H0 lässt sich schreiben als |αi ⊗ |α0 i. Allgemein gibt es für
|λi ∈ H ⊗ H0 Zahlen αkl ∈ C, so dass
X
|λi =
αkl |ek i ⊗ |e0l i .
(157)
kl
Bras:
(hβ| ⊗ hβ 0 |)(|αi ⊗ |α0 i) = hβ|αi hβ 0 |α0 i
!
!
X
X
βl0∗ αl0 ,
βk∗ αk
=
k
l
f ür |βi =
X
l
βl |el i
(158)
Zu Operatoren A auf mathcalH, A0 auf H0 sind
A⊗1
und 1 ⊗ A0
Operatoren auf H ⊗ H0 mit
(A ⊗ 1)(|αi ⊗ |α0 i) = |Aαi ⊗ |α0 i und
(1 ⊗ A0 )(|αi ⊗ |α0 i = |αi ⊗ |A0 α0 i
Salopp schreibt man A (bzw. A0 ) statt A ⊗ 1 (bzw. 1 ⊗ A0 ).
35
(159)
Insbesondere gilt
[A, A0 ] = 0,
(160)
denn AA0 |αi |α0 i = |Aαi |A0 α0 i = A0 A |αi |α0 i
Anwendung: H = [|↑i , |↓i] beschreibt Spin-Freiheitsgrad (ist innerer Freiheitsgrad) und
H0 = L2 [R] beschreibt äußere Freiheitsgrade (z.B. Orts-Wellenfunktion). Beliebiger Zustand |χi in H ⊗ H0 für H0 = [|ψ1 i , |ψ2 i , . . .]:
(157)
|χi =
=
X X
k=↑,↓
X
l
l
αkl |ki ⊗ |ψl i
α↑l |↑i ⊗ |ψl i +
X
l
(161)
α↓l |↓i ⊗ |ψl i
= |↑i ⊗ |ψ↑ i + |↓i ⊗ |ψ↓ i
Pauli-Spinor = zwei-komponentige Wellenfunktion
ψ↑ ( #»
x)
(h↑| ⊗ h #»
x |) |Xi (158),(161) h #»
x |ψ↓ i
=
=
(162)
ψ↓ ( #»
x)
(h↓| ⊗ h #»
x |) |Xi
h #»
x |ψ↓ i
R
Interpretation: V d3 #»
x | hx|ψ↑ i |2 = Wahrscheinlichkeit im Volumen V ein Elektron mit
~
Sz = 2 zu finden.
1.5 Zeitentwicklung
Klassische Mechanik : Symmetrien
Noether−Thm
=⇒
Erhaltungsgrößen.
#»
z.B. Symmetrie unter Translationen #»
x 7→ #»
x + #»
a =⇒ Impuls #»
p erhalten ( ddtp = 0).
QM :
#»
p
~
ist Generator der Translationen:
i
#» #»
ap
T #»
;
a = e~
#»
#» #»
T #»
a ψ( x ) = ψ( x + a ) (siehe A7c)
(163)
Analogie zwischen klassischer Mechanik und QM:
Symmetrie bzgl. t 7→ t + ∆t =⇒ Hamiltonfunktion H ist zeitlich konstant:
M (t0 + t, t0 )ψ( #»
x , t0 ) = ψ( #»
x , t0 + t)
bzw. M (t0 + t, t0 ) |ψ, t0 i = |ψ, t0 + ti
dH
dt
= 0.
(164)
mit dem Zeitentwicklungsoperator (= Translationsoerator in der Zeit)
i
M (t0 , t, t0 ) = e− ~ tH
36
f ür
dH
=0
dt
(165)
Differenziell:
i~
∂
∂
(164)
ψ( #»
x , t0 + t) = i~ M (t0 + t, t0 )ψ( #»
x , t0 )
∂t
∂t
i
∂
= i~ e− ~ tH ψ( #»
x , t0 )
∂t
i
x , t0 )
= He− ~ tH ψ( #»
#»
= Hψ( x , t + t)
0
Für t0 = 0:
∂
ψ( #»
x , t) = Hψ( #»
x , t) bzw.
∂t
∂
i~ |ψ, ti = H |ψ, ti
∂t
i~
(166) heißt zeitabhängige Schrödinger-Gleichung. Für
mehr äquivalent. (166) stimmt auch für dH
dt 6= 0.
dH
dt
(166)
6= 0 sind (165) und (166) nicht
Gilt [H(t1 ), H(t2 )] = 0 für alle t1 , t2 , so
i
M (t0 + t, t0 ) = e− ~
R t0 +t
t0
dt0 H(t0 )
(167)
Zeitgeordnetes Produkt:
T A(t1 )B(t2 ) = T B(t2 )A(t1 ) = θ(t1 − t2 )A(t1 )B(t2 ) + θ(t2 − t1 )B(t2 )A(t1 )
(
A(t1 )B(t2 ), t1 > t2
=
B(t2 )A(t1 ), t1 < t2
(168)
Analog T A(t1 )B(t2 )C(t3 ) = θ(t1 − t2 )θ(t2 − t3 )A(t1 )B(t2 )C(t3 ) + θ(. . .) . . . Für t1 = t2
ist T A(t1 )B(t2 ) i.a. nur für A = B definiert.
Anwendung:
tZ0 +t
tZ0 +t
dt1
t0
tZ0 +t
dt2 T H(t1 )H(t2 ) =
t0
d
(169) =
dt
Zt1
dt1
t0
dt2 H(t1 )H(t2 ) +
dt2 H(t2 )H(t1 ) (169)
t0
tZ0 +t
t1
tZ0 +t
dt2 T H(t0 + t)H(t2 ) +
t0
dt1 T H(t1 )H(t0 + t)
(170)
t0
Regel:
d
dt
Daraus folgt:
tZ0 +t
Z
t
0
Z
dt
a
t
00
0
00
Z
t
dt f (t )g(t ) =
b
00
00
Z
t
dt f (t)g(t ) +
Z˙
d
(169) = H(t0 + t) · 2
dt
t0 +t
dt1 H(t1 )
t0
Dabei ist die Zeitordnung trivial wegen t0 + t ≥ t1 .
37
dt0 f (t0 )g(t)
a
b
(171)
zeitgeordnete Exponentialreihe = Dyson-Reihe
Z
t0 +t
T exp
t0
Z t0 +t
Z t0 +t
∞
X
1
dtk T A(t1 ) . . . A(tk )
dt1 . . .
A(t0 ) dt0 := 1 +
R! t0
t0
(172)
k=1
Gilt [A(t), A(t0 )] = 0, so ist T exp = exp
d
T exp
dt
Z
t0 +t
t0
Z t0 +t
Z
∞
X
1 h t0 +t
dtn T A(t0 + t)A(t2 ) . . . A(tn )
dt2 . . .
A(t ) dt =
n! t0
t0
n=1
Z t0 +t
Z t0 +t
Z t0 +t
dtn T A(t1 )A(t0 + t) . . . A(tn )
dt3 . . .
+
dt1
0
t0
t0
t0
+ ...
Z t0 +t
Z
+
dt1 . . .
t0
= A(t0 + t)
∞
X
n=1
1
(n − 1)!
t0 +t
dtn−1 T A(t1 ) . . . A(tn−1 )A(t0 + t)
t0
t0 +t
Z
Z
t0 +t
dt1 . . .
t0
dtn−1 T A(t1 ) . . . A(tn−1 )
t0
Mit n → n + 1 findet man
Z t0 +t
Z t0 +t
d
0
0
0
0
T exp
dt A(t ) = A(t0 + t)T exp
dt A(t )
dt
t0
t0
(173)
Sehr praktisch für gekoppelte Differntialgleichung:
c˙1 = A11 (t)c1 + . . . + A1n (t)cn
..
.
c˙n = An1 (t)c1 + . . . + Ann (t)cn ,
also #»
c˙ = A(t) #»
c . Lösung:
#»
c (t) = T exp
t
Z
dt A(t ) #»
c (0),
0
0
(174)
0
(173)
denn #»
c˙ (t) = A(t) T exp
|
Z
0
t
dt A(t ) #»
c (0).
{z
}
0
0
#»
c (t)
Im allgemeinen Fall ist
i
M (t0 + t, t0 ) = T exp −
~
38
Z
t0 +t
t0
dt H(t ) ,
0
0
i
(175)
(173)
∂
denn i~ ∂t
M (t0 + t, t0 ) = H(t0 + t)H(t0 + t, t0 ).
∂
ψ( #»
x , t) =
Bemerkung uzm Vorzeichen in (165) bzw. (166): Erfüllt ψ( #»
x , t) die Gleichung i~ ∂t
#»
#»
∗
Hψ( x , t), so erfüllt ψ ( x , t) die zeitgespiegelte Schrödinger-Gleichung:
∂
−i~ ψ ∗ ( #»
x , t) = Hψ ∗ ( #»
x , t))
∂t
| {z }
(176)
∂
i~ ∂(−t)
Das Vorzeichen in (165) ist zunächst
willkürlich. Zum relativen Vorzeichen zu (163):
i #p» #x»
p2
#»
∂
~
freies Teilchen: ψp ( x , t = 0) = e
= T #»
x · 1. Es gilt i~ ∂t ψp = 2m ψp .
i
=⇒ ψp ( #»
x , t) = e− ~ Et ψp ( #»
x , 0)
mit E =
#» #»
i
p2
2m
= e ~ ( p x −Et)
(177)
= ebene Welle
Das relative Vorzeichen ist so gewählt, dass Wellenfronten in #»
p -Richtung (und nicht in
(− #»
p )-Richtung ) laufen.
Ein Standard-Lösungsweg der zeitabhängigen Schrödinger-Gleichung:
|ψ(t)i =
X
H |ψ, ti =
X
n
n
cn (t) |En i +
i~
dH
dt
σc
cn (t)En |En i +
und
hat für
Z
dE c(E, t) |Ei
Z
mit H |Ei = E |Ei
dE c(E, t)E |Ei
∂
|ψ, ti = H |ψ, ti
∂t
= die Lösung
|ψ, ti =
X
n
cn (0)e
− ~i En t
|En i +
Z
i
dE c(E, 0)e− ~ Et ,
σc
d.h.
i
cn (t) = cn (0)e− ~ En t
i
c(E, t) = c(0)e− ~ Et
∂
Energie-Eigenzustände: i~ ∂t
|E, ti = E |E, ti:
i
|E, ti = e− ~ Et |Ei
|{z}
|E,0i
39
(178)
1 = hE, t | E, ti = hE | Ei
stationäre Zustände.
Schrödinger Bild :
∂
i~ |ψ, ti = H |ψ, ti =⇒ |ψ, ti = U (t, 0) |ψ, 0i
(179)
∂t
h
i
Rt
mit U (t, 0) = T exp − ~i 0 dt0 H(t0 ) . Zeitentwicklung steckt in den Zuständen, nicht
in den Operatoren, die jedoch eine explizite“ von außen vorgegebene Zeitabhängigkeit
#» ”
haben könne. (Bsp. Magnetfeld B(t) im Labor → H(t))
Heisenberg-Bild :
|ψiH = U † (t, 0) |ψ, tiS
| {z }
=U (0,t)
(180)
(179)
= U † (t, 0)U (t, 0) |ψ, 0iS
= |ψ, 0iS
AH (t) = U † (t, 0)AS (t)U (t, 0)
(181)
d
d
i
(193) i
A(t) =
H(t)AH (t) + U † (t, 0)
AS (t) U (t, 0) − AH (t)H(t)
dt
~
dt
~
∂
i
= − [H, AH (t)] + AH (t),
~
∂t
d
d
†
wobei dt AH (t) = U (t, 0) dt AS (t) U (t, 0).
(182)
Aus (182) folgt nach HS (t) = HH (t) = H(t). (182) ist die Bewegungsgleichung im
Heisenbergbild.
klassische Mechanik ~i [, ] → Poisson-Klammer
(182) für AH = XH und AH = PH , H =
P2
2m
+ V (XH )
i
X˙H (t) = [H, X(t)]
~
i P2
=
, XH
~ 2m
A7b i
=
(−i~)PH
~m
i
= PH ,
m
i
P˙H (t) = [H, PH ]
~
i
= [V (XH ), PH ]
~
∂V (XH )
A7b
= −
∂XH
40
(183)
(184)
(183), (184) entsprechen den Lösungen der Hamilton’schen Bewegungsgleichungen.
2 Teilchen im Potenzial
2.1 V = 0 (freies Teilchen)
H=
P2
2m
p2
2m
(185)
|p, ti = e− ~ Et |pi = e− 2m~ t |pi
|{z}
(186)
0 ip2 t
p p, t = e− 2m~ δ(p − p0 )
(187)
H |p, ti = E |p, ti
mit E =
∂
Zeitentwicklung i~ ∂t
|p, ti = E |p, ti
ip2
i
|p,0i
Impulsdarstellung:
Gauß’sches Wellenpaket
e t = 0) = hp | Φ, t = 0i :=
Φ(p,
2d2
π~2
e−
(p−p0 )2 d2
~2
Φ(p, t) = hp | Φ, ti
D Ht E
= p e− ~ Φ, t = 0
E
D Ht = ei ~ p Φ, 0
2 P t
i 2m~
= e
p Φ, 0
=e
ip2 t
− 2m~
ip2 t
− 2m~
(188)
(189)
hp | Φ, 0i
e 0)
Φ(p,
2 1/4
2d
(p − p0 )2 d2
p2 t2
(188)
=
exp −
−i
π~2
~2
2m~
=e
Ortsdarstellung:
Z
1
e t)e ~i px
dp Φ(p,
ϕ(x, t) = √
2π~
2 1/4 Z
i
p2 t
(p − p0 )2 d2
d
(189)
=
dp exp
px −
−
2π 3 ~4
~
2m
~2
"
#
2 1/4 Z
d
1
b 2 b2
=
dp exp −a p −
+ 2 −c
2π 3
~
a
a
41
(190)
mit
a=
d2
t
+i
,
~2
2m~
b=
d2 p0
x
+i ,
~2
2~
c=
d2 p20
~2
(191)
Variablentransformation: p0 = p − ab .
Im p'
Im (-ba_ )
trägt nicht bei
für Re →∞
{
alter
{
}Integrationsweg
neuer
trägt nicht bei
für Re →∞
Re p'
Integrand analytisch ohne Singularitäten im Gebiet zwischen altem und neuem Integrationsweg. Residuensatz =⇒
(190)
ϕ(x, t) =
d2
2π 3
1/4
1
~
Z
|
∞
−∞
b2
02
dp exp −ap +
−c
a
{z
}
√ π h b2 i
0
a
exp
a
−c
d
1
b2
d
1
b2 a∗
2
|ϕ(x, t)| = √
exp 2Re
−c
=√
exp 2Re 2 − c
a
|a|
2π~2 |a|
2π~2 |a|
(192)
(193)
Mit
v=
p0
m
und
∆(t) =
t~
2md2
(194)
ist
|a|2 =
d4
t2
d4 +
=
−
1 + ∆(t)2
4
2
2
4
~
4m ~
~
(195)
und
b2 a∗
(x − vt)2
2 Re 2 − c = −
|a|
2d(1 + ∆(t2 ))
(196)
Einsetzen von (195) und (196) in (193):
1
1
(x − vt)2
|ϕ(x, t)| = √ p
exp − 2
2d (1 + ∆(t)2 )
d 2π 1 + ∆(t)2
2
(197)
Das Wellenpaket bewegt sich nach rechts mit Geschwindigkeit v und zerfließt, d.h. die
”
Breite ∝ d(1 + ∆t) wächst linear mit t.
42
t1
t2 > t1
Zerfließen ist Folge der Impulsunschärfe in (189) analog zu einer Ladung Schrotkugeln.
Aus (197) finden wir
hXi = hϕ, t | X | ϕ, ti =
2
(∆X) =
rD
mit Aufgabe 8, wobei b =
∞
Z
dx x|ϕ(x, t)|2 = vt
E
p
ϕ, t X 2 − hXi2 ϕ, t = d 1 + ∆(t)2
√
(198)
−∞
(199)
2d(1 + ∆(t)).
hP i und (∆P )2 findet man am einfachsten aus (189):
Z ∞
hP i =
dp p|ϕ(p,
e t)|2
−∞
1/2 Z ∞
−2(p − p0 )2 d2
2d2
dp p exp −
=
π~2
~2
−∞
2 1/2 Z ∞
2d
2p02 d2
0
0
=
dp (p + p0 ) exp − 2
π~2
~
−∞
(189)
(200)
= p0
= unabhängig von t
~
(∆P )2 = P 2 − p20 =
mit Aufgabe 8
2d
(201)
(199), (201) =⇒
∆X∆P =
~p
1 + ∆(t)2
2
(202)
=⇒ minimale Unschärfe für t = 0.
2.2 Kastenpotential
Betrachte
V (x) = −V0 θ(a − |x|),
43
V0 > 0
(203)
V(x)
-a
a
x
-V0
Anwendung:
• abgeschirmte Störstellen in Halbleitern
• Kernphysik
Dimensionsloser Parameter:
√
2mV0 a
(204)
~
Bindungszustände ψn (x): Hψn (x) = En ψn (x), also
(
)
En ψn (x),
|x| > a
~2 d2
(205)
−
ψn (x) =
2m dx2
(En + V0 )ψn (x), |x| < a

00

ψn (x) ist unstetig bei |x| = a mit Sprung ± V0
Lösung von (205) für |x| > a:
=⇒ ψn0 (x) ist stetig mit Knick bei |x| = a


ψn (x) ist stetig
ξ=
ψn (x) ∼ sin(qx),
cos(qx)
nicht
Streuzustände.
(
) normierbar
κn x
Nn e ,
x < −a
En < 0: ψn (x) =
(206) Paritätsope0 −κn x
Nn e
, x>a
√
2m(−En )
mit κn =
und Normierungskonstante Nn , Nn0
~
rator = Raumspiegelungsoperator:
En > 0:
Pψ(x) = ψ(−x)
(207)
In unserem Fall:
HPψ(x) = Hψ(−x)
~2 d2
+ V (x) ψ(−x)
= −
2m dx2
~2
d2
PHψ(x) = −
+ V (−x) ψ(−x)
2m d(−x)2
= Hψ(−x) wegen V (−x) = V (x)
=⇒ [H, P] = 0
(208)
44
=⇒ Es gibt eine Basis aus gemeinsamen Eigenfunktionen von H und P.
P 2 = 1 =⇒ Eigenwerte ± 1
(209)
gerade Funktionen (EW 1): Pψ(x) = ψ(−x) = ψ(x):
ψ(x)
ungerade Funktionen (EW -1): Pψ(x) = ψ(−x) = −ψ(x)
ψ(x)
x
gerade Lösungen: Nn = Nn0 in (206).
oszillierend ψn (x) = Cn cos(qn x) für |x| ≤ a mit
p
2m(En + V0 )
qn =
~
(210)
(206) und (210) =⇒ −V0 < E < 0
Exponentielle Lösung (E < −V0 ) in |x| ≤ a erfüllen nicht die Stetigkeit von ψn (x) und
ψn0 (x) bei x = ±a.
Stetigkeit: (206), (210) =⇒
!
ψn (a) = Nn e−κn a = Cn cos(qn a)
ψn0 (a) = −Nn κn e
−κn a !
= −Cn qn sin(qn a)
45
(211)
(212)
−(212)
(211)
= κn = qn tan(qn a)
κn
= tan(qn a)
qn
=⇒
(213)
Wegen
(204)
ξ2 =
a2
2mV0
~2
a2
2m(V0 + E − E)
~2
(206) 2 2
= a qn + κ2n
=
bedeutet (213)
p
ξ 2 − (qn a)2
tan(qn a) =
.
qn a
(214)
(214) bestimmt qn a und damit E.
tan(qa)
√
q0
ξ 2 −(qa)2
aq
q2
q4
π
π
2
3
2π
2π
ξ
5
2π
qa
Zahl der geraden Lösungen:
ξ
ng =
+1
π
(215)
Energie-EW
(210)
En =
~2 qn2
− V0
2m
(216)
Insbesondere E0 existiert immer und
−V0 < En <
~2 π 2
8ma2
ungerade Lösungen: Nn = −Nn0 in (206) und
ψn (x) = Sn sin(qn x)
46
(217)
Stetigkeitsbedingungen liefern analog zu (211) bis (213):
p
ξ 2 − (qn a)2
κn
=
− cot(qn a) =
qn
qn a
√
(218)
cot(qa)
ξ 2 −(qa)2
aq
q1
q3
π
π
2
3
2π
ξ
2π
qa
5
2π
Ungerade Lösungen gibt es also nur für ξ ≥ π2 , also
π2
2mV0 a2
>
~2
4
Lsg:
1
ψn (x)
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
x0
n=0
n=1
n=2
n=3
-1
Zustand
n=0
n=1
n=2
qn a ∈
[0, π2 ]
[ π2 , π]
[π, 32 π]
Symmetrie
gerade
ungerade
gerade
Knotenzahl
0
1
2
47
4
2.3 Harmonischer Oszillator
Betrachte
H=
P2
mω 2 X 2
+
,
2m
2
(219)
d.h. Federkonstante κ = mω 2 .
Algebraische Lösung (H. Born, N. Wiener):
r
~
x0 =
mω
"
=⇒ H =
~ω
|{z}
char. Energie
(220)
1 P 2 x20 1
+
2 ~2
2
X
x0
2 #
Vernichtungsoperator (= Absteigeoperator), annihilation op:
1
X
P x0
a= √
+i
~
2 x0
Erzeugungsoperator (= Aufsteigeoperator), creation op
1
P x0
X
†
a =√
−i
~
2 x0
(221)
(222)
(223)
Es gilt für den Kommuator:
1i
X
X
[a, a ] =
P x0 ,
, P x0
−
2~
x0
x0
(110) 1 i
=
(−i~ − i~) = 1
2~
†
(224)
Besetzungszahl-Operator:
N a† a
(225)
(222) und (223) liefern:
1 X
P x0
X
P x0
N=
−i
+i
2 x0
~
x0
~
2
2
1
P x0
i
2 2
X x0 + 2 + [x, P ]
=
2
~
~
H
1
=
−
~ω 2
1
=⇒ H = ~ω(N + )
2
48
(226)
Also: Eigenzustände von H sind Eigenzustände von N und umgekehrt.
mit n ∈ R wegen N = N †
N |ni = n |ni
(227)
|ni ist ein Eigenket zum Eigenwert n.
n = n hn|ni
= hn | N | ni
E
D = n a† a n
(228)
= han | ani
= k|anik2
†
≥0
[N, a ] = [a† a, a† ]
= a† [a, a† ] + [a† , a† ] a
| {z } | {z }
=1
(229)
=0
= a†
[N, a] = [a† , N ]†
†
= −a†
(230)
= −a
Betrachte a |ni:
N a |ni = ([N, a] + aN ) |ni
= −a |ni + an |ni
(231)
= (n − 1)a |ni
=⇒ a |ni ist Eigenket zu N mit Eigenwert n − 1 oder a |ni = 0.
Ist a |ni = 0, so ist N |ni = a† a |ni = 0 =⇒ n = 0,
N |0i = 0
Achtung: |0i =
6
(232)
0
.
|{z}
Nullvektor
Aus (231) folgt durch vollsändige Induktion, dass ak |ni Eigenvektor zu N mit Eigenwert
n − k ist, außer wenn k − n ∈ N. Wegen (228) muss für Eigenwerte n − k ≥ 0 sein. Wäre
n∈
/ N0 , so könnten wir mit hinreichend großem k Gleichung (228) verletzen
=⇒ n ∈ N0
Konstruktion der Eigenkets:
Zwei Möglichkeiten:
49
(233)
1.) Der Grundzustand |0i ist nicht entartet
2.) Der Grundzustand ist entartet
Welche Möglichkeit realisiert ist, hängt vom Hilbertraum H ab.
(229) =⇒ N a† |ni = a† N |ni + [N, a† ] |ni
| {z } | {z }
a†
n|ni
a† |ni
| {z }
= (n + 1))
EZ zu N mit EW n+1
Normierung:
ka† |ni k2 = ha† n|a† ni
= hn|aa† |ni
= hn| [a, a† ] |ni + hn| |{z}
a† a |ni
| {z }
=N
=1
=1+n
=⇒ |n + 1i =
√ 1 a† |ni
n+1
ist normiert
(234)
Im Fall 1 (nichtentarteter Grundzustand |0i) definierten wir rekursiv:
(234) 1
|ni = √ a† |n − 1i
n
1
a†2 |n − 2i
=p
n(n − 1)
1
= √ a†n |0i
n!
(235)
Weiter
(234) 1
a |ni = √ aa† |n − 1i
n
1 †
1
= √ [a, a† ] |n − 1i + √ |{z}
a a |n − 1i
n | {z }
n
=N
=1
(236)
1
= √ n |n − 1i
n
√
= n |n − 1i
Zuammenfassung von (234) und (236):
a† |ni =
a |ni =
√
√
n + 1 |n + 1i
n |n − 1i
50
(237)
und
an |ni =
√
n! |0i
(238)
Haben wir im Fall 1 mit (235) alle EZ gefunden? Ja!
Beweis: Angenommen, es gibt außer |ni in (235) einen weiteren Ket |n0 i mit N |n0 i =
n |n0 i und hn|n0 i = 0, so ist n entartet. Wegen (231) ist an |n0 i EZ von N zu n = 0. Da
n = 0 nicht entartet ist, folgt:
√
an |n0 i = eiϕ n! |0i
(239)
1 †n n 0
1
=⇒
a a |n i = eiϕ √ a†n |0i
n!
n!
(235)
= eiϕ |ni
1 D 0 †n n 0 E
n a a n = eiϕ hn0 |ni
n! |
{z
}
=⇒
k|an n0 ik2
Ann.
= 0
=⇒ an |n0 i = 0. Wid. zu (239)
Im Fall 2 haben wir Grundzustände
|0, λi , λ = Entartungsindex
Analog findet man:
1
|n, λi = √ a†n |0, λi
n!
sind alle EZ zum Eigenwert n von N .
Wegen (226) sind die Energieeigenwerte
1
En = ~ω(n + ),
2
V (x)
~ω
3
2
1
E2
E1
E0
Streuzustände gibt es nicht!
51
n ∈ N0
(240)
H = L2 [R], Ortsdarstellung.
(237)
a |0i = 0
Also
1
0 = hx | a | 0i = √
2
(222)
X
P x0
x +i
x0
~
x
x0 ~ d
0 = √1
+i
hx | 0i
~ i dx | {z }
2 x0
ψ0 (x)
=⇒
d
x
ψ0 (x)0
+
dx x20
(241)
(241) ist eine DGL 1. Ordnung. Standard-Lösungsweg:
Ansatz:
e
=⇒
f (x)
d
x
ψ0 (x) = 0
+
dx x20
hd
x i
− f 0 (x) + 2 ef (x) ψ0 (x) = 0
dx
x
| {z 0}
=0
Wähle f 0 (x) =
x
,
x20
also f (x) =
1
2
2
x
x0
2
2
1
x
d
−1 x
2 x0
=⇒
e
ψ0 (x) = 0, also ψ0 (x) = Ce 2 x0
dx
Normierung:
2
1 = h0 | 0i = |C|
√
Z
∞
−
dx e
x
x0
2
−∞
√
= |C|2 x0 π
− 12
Wähle C = (x0 π)
=⇒ Grundzustand-Wellenfunktionen:
√
ψ0 (x) = (x0 π)
1
− 12 − 2
e
x
x0
2
Übrigen: n > 0
1 D †n E
1 1
x
d n
ψn (x) = hx | ni = √
xa 0 = √ √
− x0
ψ0 (x)
dx
n!
n! 2n x0
(235)
Dimensionslose Variable
ξ :=
52
x
x0
(242)
Damit gilt:
d n
1 1
ξ−
ψn (x0 ξ) = √ √
ψ0 (x0 ξ)
dξ
n! 2n
√
1
d n − ξ2
1 1
(242)
= (x0 π)− 2 √ √ n ξ −
e 2
dξ
n! 2
√
ξ2
1
= (x0 πn!2n )− 2 Hn (ξ)e− 2
(243)
d n − ξ2
Hn (ξ) := e ξ −
e 2
dξ
(244)
mit
ξ
2
Operator-Identität:
ξ2
Aξ := e− 2
ξ−
d
dξ
ξ2
e2 =−
d
,
dξ
(245)
denn:
2
Aξ ψ(ξ) = e
− ξ2
ξ2
= e− 2
=−
(245) =⇒
2
ξ
d
e 2 ψ(ξ)
ξ−
dξ
2
ξ
ξ2
ξ2 d
ξe 2 ψ(ξ) − ξe 2 ψξ − e 2
ψ(ξ)
dξ
d
ψ(ξ)
dξ
2
dn
d n ξ2
− ξ2
n
(−1)
= Aξ = e
ξ−
e2
dξ n
dξ
n
Einsetzen von (245) in (244):
Hn (ξ) = (−1)n eξ
2
dn −ξ2
e
dξ n
(246)
ist die Definitions-Gleichung der Hermite-Polynome:
H0 (ξ) = 1
H1 (ξ) = 2ξ
H2 (ξ) = 4ξ 2 − 2
H3 (ξ) = 8ξ 3 − 12ξ
H4 (ξ) = 16ξ 4 − 48ξ 2 + 12
H5 (ξ) = 32ξ 5 − 160ξ 3 + 120ξ
53
(247)
Aus δnm = hn|mi =
tionen
R∞
−∞
Z
Aus
dxß, kψn (x)∗ ψm (x) folgen mit (243) die Orthogonalitätsrela∞
2
dξ e−ξ Hn (ξ)Hm (ξ) =
√
π2n n!δnm
(248)
−∞
P∞
n=0 |ni hn|
= 1 folgt die Vollständigkeitsrelation
∞
X
ψn (x)ψn∗ (x0 )
=
n=0
∞
X
n=0
hx|ni hn|xi
(249)
= hx|x0 i
= δ(x − x0 )
Mit (243)
∞
X
Hn (ξ)Hn (ξ 0 ) =
n=0
√
2
πn!2n eξ δ(ξ − ξ 0 )
(250)
Weitere Eigenschaftende:
Erzeugende Funktionen:
−t2 −itξ
e
∞
X
1 n
=
t Hn (ξ)
n!
(251)
n=0
Hermitescher DGL:
klassische Physik:
QM:
d
d2
− 2ξ + 2n Hn (ξ) = 0
dξ 2
dξ
niedrigste Energie
...
Ein Zustand mit E = 0 würde ∆X∆P ≥
~
2
(252)
E=0
E0 = ~ω
2 ”Nullpunktsenergie
verletzen.
Inverse von (222)/(223):
x0
X = √ (a + a† )
2
i
P = √ (a† − a)
2
(253)
(254)
Damit folgt:
E
D (253) x0
hn | X | ni = √ n a + a† n
2
h
i
√
(237) x0 √
= √
n hn | n − 1i + n + 1 hn | n + 1i
| {z }
| {z }
2
=0
= 0.
54
=0
(254)
Ebenso hn | P | ni = 0
(∆X)2 = n X 2 n
E
2 D (253) x0
=
n (a + a† )2 n
2
E D Ei
x20 h 2 D †
=
n a n + n aa + a† a n + n a† n
2 | {z } |
{z
} | {z }
=0
=0
=hn | [a,a† ]+2N | ni=1
(255)
x20
[hn | ni + 2 hn | N | ni]
2
x2
= 0 (2n + 1)
2 (∆P )2 = n P 2 n
=
~2
hn|(a† − a)2 |ni
2x20
E
~2 D = − 2 n a† a + aa† n
2x0
hbar2
=
(2n + 1)
2x20
~
=⇒ ∆X∆P = (2n + 1)
2
(254)
= −
(256)
(257)
=⇒ Grundzustand |0i hat minimale Unschärfe
1
ψn (x)
0
-4
-3
-2
-1
0
1
2
3
x
x0
4
n=0
n=1
n=2
n=3
-1
√
klassisch: Aufenthalt nur dort, wo E ≥ V ist, also xx0 ≤ 2n + 2 für den n-ten Energiezustand En .
55
QM: |ψn (x)|2 > 0 auch für |x| >
√
2n + 2
Zeitentwicklung
i
Schrödinger − Bild : |n, ti = e− n En t |ni
Heisenberg − Bild : a(t = 0) = a
(258)
Aus (182) folgt
i
d
a = [H, a]
dt
~
1
(226)
= iω N + , a
2
= iω[N, a]
(259)
(239)
= −iωa
Außerdem
a(t) = a(0)eiωt
(260)
a† (t) = a† (0)eiωt
Also
(253) x0
=⇒ X(t) = √ (ae−iωt + a† eiωt )
2
i
x0 h
†
†
√
=
(a + a ) cos(ωt) + (a − a)i sin(ωt)
2
x2
(253),(254)
=
X cos(ωt) + 0 P sin(ωt)
~
1
(220)
= X cos(ωt) +
P sin(ωt)
mω
(261)
wobei X = X(0) und P = P (0).
Analog:
P (t) = P cos(ωt) − mωX sin(ωt)
=⇒ klassische Bewegungsgleichung des harmonischen Oszillators
Welche Zustände zeigen die Schwingungen des klassischen Oszillators?
Nicht die Energie-Eigenzustände:
hn | X(t) | ni
(181),(165)
=
E
D i
i
n e ~ Ht Xe− ~ Ht n
i
i
= e ~ En t hn | X | ni e− ~ En t
= hn | X | ni ,
56
(262)
jedoch
hλ | X(t) | λi =
√
2x0 A cos(ωt − λ)
für sogenannte kohärente Zustände |λi.
Nachtrag zum Thema Heisenberg-Bild:
P2
+ V (X)
2m
(183), (189) implizieren für jeden Zustand ψ:
H=
d
1
hψ | X | ψi =
hψ | P | ψi
dt
m ∂V d
ψ
hψ | P | ψi = − ψ dt
∂x d2
d hP i
∂
=⇒ m 2 hXi =
=−
V (X)
dt
dt
∂x
(263)
(263) heißt Ehrenfest’sches Theorem.
Damit hψ | X | ψi die klassischen Bewegungsgleichung erfüllt, muss
∂V ψ = ∂ V (hψ | X | ψi)
ψ ∂x ∂x
(264)
gelten. (264) gilt sogar für alle |ψi ∈ H, wenn V höchstens quadratisch ist.
3 Drehung, Drehimpuls, Spin
3.1 Drehungen und ihre Erzeuger
passive Drehung in R3 um Achse #»
n (mit #»
n 2 = 1) mit Winkel ϕ:
Aufgabe 6e): Vektor #»
a ∈ R3 wird in a# » gedreht, wobei
ϕ
#»
#» #» #»
#» #»
a# »
ϕ = cos ϕ a + (1 − cos ϕ)( a · n ) n − sin ϕ( n × a )
(265)
#» = ϕ #»
Kurznotation: ϕ
n beschreibt die Drehung.
#»
Suche Matrix R( ϕ) ∈ R3×3 mit
#»
a# »
ϕ = R(ϕ) a
f ür alle #»
a ∈ R3
57
(266)
(265) =⇒
aϕk = cos ϕak + (1 − cos ϕ)
(266)
=
3
X
3
X

!
am nm
n=1
nk − sin ϕ 
3
X

εklm nl am 
m,l=1
#»
[R( ϕ)]
km am
m=1
=⇒
#»
[R( ϕ)]
km = cos ϕδkm + (1 − cos ϕ)nk nm − sin ϕ
3
X
εklm nl , d.h.
(267)
l=1

cos ϕ + (1 − cos ϕ)n21
(1 − cos ϕ)n1 n2 + sin n3 (1 − cos ϕ)n1 n3 − sin ϕn2
#» = (1 − cos ϕ)n n − sin ϕn
cos ϕ + (1 − cos ϕ)n22
(1 − cos ϕ)n2 n3 + sin ϕn1 
R( ϕ)
1 2
3
(1 − cos ϕ)n1 n3 + sin ϕn2 (1 − cos ϕ)n2 n3 − sin n1
cos ϕ + (1 − cos ϕ)n23
(268)

Spezialfall: Drehung um z-Achse: #»
n = (0, 0, 1)>
  

0
cos ϕ sin ϕ 0
R  0  = − sin ϕ cos ϕ 0
ϕ
0
0
1
(269)
#» > R( ϕ)
#» = 1 mit det R( ϕ)
#» = 1. Auch: Alle Matrizen
Drehmatrizen sind orthogonal: R( ϕ)
>
T mit R R = 1 und det R = 1 sind Drehmatrizen.
Bestimmung von ϕ und #»
n aus R(ϕ):
• #»
n ist Eigenvektor zum EW 1
#» #»
R( ϕ)
n = #»
n
(270)
#» berechnet werden:
• ϕ kann über die Spur von R( ϕ)
#» (267)
tr R( ϕ)
= cos ϕ |{z}
tr 1 +(1 − cos ϕ)
=3
X
n2k = 1 + 2 cos ϕ
| k{z }
=1
Die Menge aller Drehmatrizen bildet eine Lie-Gruppe.
Definitionseigenschaften einer Lie-Gruppe
1.) Es gibt ein Einselement 1:
#» = 1R( ϕ)
#» = R( ϕ)
#»
R( ϕ)1
58
(271)
# ») · R(ϕ
# ») ist Drehmatrix und in R(ϕ
# ») = R(ϕ
# »)R(ϕ
# ») ist ϕ
# » eine stetige Funk2.) R(ϕ
1
2
3
1
2
3
# » und ϕ
# » (sogar analytisch)
tion von ϕ
1
2
# ») ist Drehmatrix
3.) R−1 (ϕ
1
#
»
# »)R(ϕ
# ») = R(ϕ
# ») R(ϕ
# »)R(ϕ
# »)
4.) R(ϕ1 )R(ϕ
2
3
1
2
3
Die Lie-Gruppe der Drehung im R3 heißt SO(3). Dabei steht S“ für speziell“, d.h.
”
”
det R = 1, O“ für orthogonal“ und 3 für den R3 .
”
”
Infinetissimale Drehung: δϕ 1 in (267):
R(δϕ #»
n ) = 1 + δϕi #»
n · ω = 1 + iδϕ
3
X
nl ω (l)
(272)
l=1
wobei
(l)
iωkm = −εklm
(273)
also


0 0 0
iω (1) = 0 0 1 ,
0 −1 0


0 0 −1
iω (2) = 0 0 0 
1 0 0


0 1 0
iω (3) = −1 0 0
0 0 0
(274)
(275)
(276)
Die ω (l) heißen Generatoren der SO(3).
Aufbau einer endlichen Drehung aus infinitesimalen Drehungen: δϕ =
h
ϕ #»iN
[R(δϕ #»
n )]N = 1 + i #»
nω
N
h iN
#» #»
#» #»
#» = lim R ϕ #»
n
= eiϕ n ω = ei ϕ ω
=⇒ R( ϕ)
N →∞
N
ϕ
N.
Dann:
(277)
das ist eleganter als (267).
Alternativ: Euler-Winkel:
R(α, β, γ) = R(αe#»z )R(β e#»y )R(γ e#»z )
(278)
Die Generatoren der SO(3) erfüllen:
h
3
i
X
ω (j) , ω (k) = i
εjkl ω (l)
l=1
59
(279)
Beweis:
h
i
ω (j) , ω (k)
ln
=
3 h
X
m=1
(273)
= −
(j)
(k)
(k)
(j)
ωlm ωmn
− ωlm ωmn
3
X
i
(εljm εmkn − εlkm εmjn )
m=1
= −(δlk δjn − δln δjk − δlj δkn + δln δjk )
=−
=i
3
X
εjkm εlmn
m=1
3
X
εjkm ωl n(m)
m=1
Der von { ω (1) , ω (2) , ω (3) } aufgespannte Vektorraum heißt Lie-Algebra so(3).
#» #»
Also: #»
q ω ∈ so(3) =⇒ ei q ω ∈ SO(3).
Allgemein: Ein Satz { ω (1) , . . . , ω (n) } von Matrizen oder linearen Operatoren bildet eine
Lie-Algebra, wenn
X
[ω (j) , ω (k) ] = i
fjkl ω (l)
(280)
l
mit fjkl ∈ C.
Die Zahlen fjkl heißen Strukturkonstanten der Lie-Algebra bzw. Lie-Gruppe
#» #»
{ ei q ω } ist dann Lie-Gruppe.
0
Betrachte: ω (j) −→ ω (j) mit
0
[ω (j) , ω (k) ] = i
X
0
fjkl ω (l) ,
l
eine sogenannte Darstellung der Lie-Algebra.
#» #»0
# » #»
# » #»
# » #»
Die Matrizen ei ϕ ω bilden eine Darstellung der Lie-Gruppe: Aus eiϕ1 ω eiϕ2 ω = eiϕ3 ω
# » #»0 # » #»0
# » #»0
folgt eiϕ1 ω eiϕ2 ω = eiϕ3 ω
Darstellung der so(3) mit 2 × 2 Matrizen:
1
0
ω (j) −→ ω (j) = σj
2
denn wegen (76) ist
3
X
1
1
σl
[ σj , σk ] = i
εjkl
2
2
2
l=1
60
(281)
Betrachte nun
#»
#» σ
SU(2) := {ei ϕ 2 } = {U ∈ C2×2 : U † U = 1 und det U = 1}
#»
#» σ
ei ϕ
2
(282)
beschreibt eine Drehung der Spin-Einstellung |Si = α |↑i + β |↓i
#» #»
#»
x −→ #»
x 0 = ei ϕ ω #»
x
(175)
i
#» #»
|Si −→ |Si0 = e ~ ϕ S |Si entspricht
0
#»
#» σ
α
α
α
iϕ
−→
=e 2
0
β
β
β
D #» E D i #» #» #» i #» #» E
0 0
Konsistenzcheck: S10 #»
a S S2 = S1 e− ~ ϕ S #»
a 0 S e ~ ϕ S S2
D #» E
Aufgabe 6e) S1 #»
a S S2 ist unabhängig vom Koordinatensystem.
(283)
x2
x
'
2
'
x1
δφ
x1
(265)
#»
#» × #»
x −→ #»
x 0 = R(δϕ) #»
x = #»
x − δϕ
x
#»
ψ( #»
x ) −→ ψ 0 ( #»
x 0 ) = ψ( #»
x ) − ψ( #»
x 0 + δ ψ × #»
x 0 ) + O(δϕ2 )
#»
#» × #»
= ψ( #»
x 0 ) + (δ ϕ
x 0 ) · ∇ψ( #»
x 0)
#»
#»
= ψ( #»
x 0 ) + ( #»
x 0 × ∇ψ)δ ϕ
i #» #»
= ψ( #»
x 0) + δ ϕ
· x × P ψ( #»
x 0)
~
i #» #» #»0
= ψ( #»
x 0) + δ ϕ
· Lψ( x )
~
mit
#» #»
L =X ×P
Bahndrehimpuls
(284)
Endliche Drehung
i #» #»
#» #»
x)
ψ 0 (R( ϕ)
x ) = e ~ ϕ L ψ( #»
61
(285)
bedeutet:
Lj = εjkl Xk Pl
(286)
[Lj , Lk ] = i~εjkl Ll
(287)
Mit [Xk , Pl ] = i~δkl findet man
(Aufgabe 18), so dass
Lj
~
tatsächlich (279) erfüllt.
Gesamtdrehimpuls
#» #» #»
J = L + S,
(288)
wobei
[Lj , Sk ] = 0,
(289)
[Jj , Jk ] = iεjkl Jl
(290)
3.2 Eigenwerte des Drehimpulsoperator
3
i X
h #»
[Jk [Jk , Jm ] + [Jk , Jm ]Jk ]
J 2 , Jk =
k=1
(250)
= i~
3
X
εkml
|{z}
k,l=1 antisym.
(Jk Jl + Jl Jk )
|
{z
}
(291)
sym. bzgl. Austausch
k und l
=0
Casimir-Operator
#»
=⇒ gemeinsame Eigenkets von J 2 und J3
#»
J 2 |λmi = λ~2 |λmi
J3 |λmi = m~ |λmi
(292)
Es gilt
D
#» E
λm J 2 λm ≥ 0 =⇒ λ ≥ 0
(293)
Leiteroperatoren: J± = J1 ± iJ2 , also
†
J±
= J∓
Dann:
62
(294)
a) [J3 , J± ] = [J3 , J1 ] ± i[J3 , J2 ] = (iJ2 ± J1 )~ = ±J± ~
(295)
b) [J+ , J− ] = 2J3 ~
(296)
#»2
c) J = J+ J− + J32 − J3 ~ = J− J+ + J32 + J3 ~
(297)
#»2
d) [ J , J± ] = 0
(298)
#»2
#»2
#»2
Wegen (298) ist J J± |λmi = J± J |λmi = J± λ~ |λmi. =⇒ J± |λmi ist EZ zu J mit
EW λ~2 oder J± |λmi = 0.
(285)
J3 J± |λmi = J± J3 |λmi ±J± ~ |λmi
| {z }
~m|λmi
(299)
= (m ± 1)~J± |λmi
=⇒ J± |λmi ist EZ zu J3 mit EW (m ± 1)~ oder J± |λmi = 0.
0 ≤ kJp m |λmik2 = hλm | J∓ J± | λmi
(297)
#»
= hλm| J 2 − J32 ∓ J3 ~|λmi
= λ − m2 ∓ m
(300)
(301)
=⇒ λ ≥ m2 ± m =⇒ λ ≥ |m|(|m| + 1) ≥ 0 (302) =⇒ Es gibt für jedes λ ein maximalex
m:
j := mmax
(303)
J+ |λji = 0
(304)
|λji heißt Zustand höchsten Gewichts:
=⇒
(301)
0 = kJ+ |λjik2 = λ − j 2 − j
=⇒
λ = j(j + 1)
(305)
Analog für mmin und J− |λmmin i:
(305)
0 = λ − m2min + mmin = j(j + 1) − m2min + mmin
=⇒ mmin = −j
(306)
m nimmt also die Werte
−j, −j + 1, . . . j − 1, j
63
(307)
an. =⇒
2j ∈ N0 , also
1
3
j = 0, , 1, , 2, . . .
2
2
(308)
Bessere Notation:
#»
J 2 |jmi = j(j + 1)~2 |jmi
J3 |jmi = m~ |jmi
(309)
und der Zustand höchsten Gewichts ist |jji.
Eigenwerte des Bahndrehimpuls:
#» #» #»
L = X × P =⇒ Quantenzahlen l, ml
Spektrum gegenüber (308) weiter eingeschränkt.
x0 Pj
1 Xj
√
aj :=
+i
~
2 x0
1
a+ := √ (a1 + ia2 )
2
1
+
+
a+
+ := √ (a1 − ia2 )
2
1
a− := √ (a1 − ia2 )
2
1
+
+
a+
− := √ (a1 + ia2 )
2
(310)
(311)
(dabei ist x0 beliebiger Parameter mit [x0 ] =Länge) erfüllen (vgl (224))
+
[a+ , a+
+ ] = [a− , a− ] = 1
(
(312)
Auf- und Absteigeoperatoren) und
[a+ , a− ] = 0
(313)
Weiter
(386)
L3 = X1 P2 − X2 P1
(310) ~ +
+
+
=
(a1 + a+
1 )(a2 − a2 ) − (a2 + a2 )(a1 − a1 )
2i
~ +
= [a1 a2 − a1 a+
2]
i
(311)
+
= ~[a+
− a− − a+ a+ ]
= ~(N− − N+ )
64
(314)
mit Besetzungszahloperator N+ und N− .
(235) =⇒ EW von N± sind ganzzahlig
=⇒ L3 hat nur ganzzahlige EW
ml = −l, −l + 1, . . . , −1, 0, 1, . . . l − 1, l
(315)
=⇒ Die Quantenzahl l in der EW-Gleichung (vgl. (309))
#»
L 2 |lml i = ~2 l(l + 1) |lml i
(316)
(300) =⇒ J− |jmi ∝ |j m − 1i
(317)
ist ebenfalls ganzzahlig.
Normierung:
(301) ∧ (305) =⇒ kJ− |jmi k2 = j(j + 1) − m(m − 1)
Wähle
1
J− |j mi
|j m − 1i := p
j(j + 1) − m(m − 1)
(318)
Condor − Shortley − Phasenkonvention
”
1
|j m + 1i := p
J+ |j mi
j(j + 1) − m(m + 1)
(319)
1
|l ml − 1i := p
L− |l ml i
l(l + 1) − ml (ml − 1)
(320)
Analog
mit L± = L1 ± iL2 .
Graphisch:
L3
65
Ortsdarstellung: Polarkoordinaten r, ϑ, ϕ:
3 h
h #» #»i X
#»i
2
X ,L =
Xj2 , L
j=1
3 n
o
X
#»
#»
=
Xj [Xj , L] + [Xj , L]Xj
(321)
j=1
(A18b)
=
Eigenfunktionen:
0
h #»
r |l mi := hr ϑ ϕ | l mi
(m steht für ml )
D
#» E
#»
r | l mi
r L 2 l m = ~l(l + 1) h #»
h #»
r | L | l mi = ~m h #»
r | l mi
(322)
3
In der Ortsdarstellung bedeutet (321):
#»
[r2 , L] = 0,
#»
d.h. L enthält keine Ableitungen nach r.
=⇒ Wir suchen nach Eigenfunktionen, die nicht von r abhängen: h #»
r | l mi = Ylm (ϑ, ϕ)
(323)
#»
L 2 Ylm (ϑ, ϕ) = ~2 l(l + 1)Ylm (ϑ, ϕ)
L3 Ylm (ϑ, ϕ) = ~mYlm (ϑ, ϕ)
(324)
wobei Lj ein Differentialoperator bzgl. ϑ und ϕ ist. Mit Ylm (ϑ, ϕ) ist auch f (r)Ylm (ϑ, ϕ)
mit beliebigen f (r) eine Lösung von (324).
∂
1 ∂
1
∂
#»
∇ = e#»r
+ e#»
+ e#»
ϕ
ϑ
∂r
r ∂ϑ
r sin ϑ ∂ϕ
(325)
#» #»
mit #»
x = re#»r , e#»r × e#»
ϑ = eϑ = eϕ usw.
#» ~ #» #»
L = X ×∇
i
1 ∂
~ #» ∂
#»
eϕ
− eϑ
=
i
∂ϑ
sin ϑ ∂ϕ





− sin ϕ
− cot ϑ cos ϕ
~ 
∂
∂

cos ϕ 
=
+  − cot ϑ sin ϕ 
i
∂ϑ
∂ϕ
0
1
66
(326)
=⇒
#»
L 2 = −~2 ∆ϑ,ϕ
(327)
wobei
∆ϑ,ϕ
1 ∂ ∂
=
sin ϑ ∂ϕ ∂ϑ
∂
1
∂2
sin ϑ
+
∂ϑ
sin2 ϑ ∂ϕ2
(328)
Laplace-Operator in Kugelkoordinaten:
∆=
∂2
2 ∂
1
+
+ 2 ∆vartheta,ϕ .
2
∂r
r ∂r r
(326) =⇒
~ ∂
i ∂ϕ
L3 =
(324) =⇒
(329)
~ ∂
Ylm (ϑ, ϕ) = ~mYlm (ϑ, ϕ)
i ∂ϕ
=⇒
Ylm (ϑ, ϕ) = eimϕ Ylm (ϑ, 0)
(330)
Aus (326) finden wir
∂
∂
+ i cot ϑ
L± = L1 ± iL2 = h exp ±iϕ ±
∂ϑ
∂ϕ
(331)
Aus L+ |l li = 0 folgt
∂
∂
0 = L+ Yll (ϑ, ϕ)
=
~ exp iϕ
+ i cot ϑ
Yll (ϑ, ϕ)
∂ϑ
∂ϕ
∂
= exp i(l + 1)ϕ
− l cot ϑ
Yll (ϑ, 0)
∂ϑ
(331),(330)
(332)
Lösungsweg wie (241) −→ (242) =⇒
Yll (ϑ, 0) = Cl (sin ϑ)l
(333)
Normierung:
Z
1=
π
Z
2π
dϑ sin ϑ
0
0
dϕ |Ylm (ϑ, ϕ)|2
(334)
(333) =⇒
2l + 1 1 2l
|Cl | =
m
4π ?l l
(320) p
L− Ylm (ϑ, ϕ) =
l(l + 1) − m(m − 1)~Yl,m−1 (ϑ, ϕ)
2
67
(335)
(336)
Mit (330) und (331):
∂
∂
Ylm (ϑ, 0)
alm exp {i(n − 1)ϕ} Yl,m−1 (ϑ, 0) = exp −iϕ −
+ i cot ϑ
∂ϑ
∂ϕ
=⇒
∂
alm Yl,m−1 (ϑ, 0) = −
− m cot ϑ Ylm (ϑ, 0)
∂ϑ
Standardtrick:
∂
+ m cot ϑ (sin ϑ)−m sinm Ylm (ϑ, 0)
alm Yl,m−1 (ϑ, 0) = −
∂ϑ
∂
= −(sin ϑ)−m (sin ϑ)m Ylm (ϑ, 0),
∂ϑ
denn
(337)
∂
(sin ϑ)−m = −m(sin ϑ)−m−1 cos ϑ = −m(sin ϑ)−m cot ϑ
∂ϑ
also
∂
+ m cot ϑ (sin ϑ)−m = 0.
∂ϑ
Mit t := cot ϑ, sin2 ϑ = 1 − t2 ist
∂
dt d
d
=
= − sin ϑ
∂ϑ
dϑ dt
dt
und (337) ist
d
(sin ϑ)m Ylm (ϑ, 0)
dt
n−1 d
n
(1 − t2 ) 2 Ylm (ϑ, 0)
= (1 − t2 )− 2
dt
alm Yl,m−1 (ϑ, 0) = (sin ϑ)−(m+1)
=⇒ Rekursionsformel:
i
n−1
m
1 d h
(1 − t2 ) 2 Yl,m−1 =
(1 − t2 ) 2 Ylm (ϑ, 0)
|
{z
} alm dt |
{z
}
fl,m−1 (t)= a 1
d
lm dt
(338)
flm(t)
Anfangsbedingung m = l aus (333):
l
Yll (ϑ, 0) = Cl (1 − t2 ) 2
l
=⇒ fl l(t) = (1 − t2 ) 2 Yll (ϑ, 0) = Cl (1 − t2 )l
68
(339)
Lösung von (338)
1 d
fll (t),
all dt
1 d
(332)
fl,l−2 (t) =
fl,l−1 (t)
al,l−1 dt
fl,l−1 (t) =
(340)
=
flm (t) =
(340)
1 d2
fll (t),
al,l−1 al l dt2
1
1
dl−m
fll (t)
all · · · al,m+1 dtl−m
(338), (339) =⇒
Ylm (ϑ, 0) =
l−m
m d
Cl
(1 − t2 )− 2 l−m (1 − t2 )l
all · · · al,m−1
dt
Die Lösung schreibt man üblicherweise als
Ylm (ϑ, 0) = Clm Plm (t)
(341)
mit
Clm = (−1)m
2l + 1 (l − m)!
4π (l + m)!
1/2
(342)
und den zugeordneten Legendre-Funktionen
Plm (t) = (−1)l+m
(l + m)! 1
dl−m
2 −n
2
(1
−
t
)
(1 − t2 )l
(l − m)! 2l l!
dtl−m
(343)
(l − m)! m
P (t)
(l + m)! l
(344)
Eigenschaften:
Pl−m (t) = (−1)m
also (via m −→ −m in (343)):
Plm (t)
n
1
= l (1 − t2 ) 2
2 l!
d
dt
l+m
(t2 − 1)l
(345)
Die
Ylm (ϑ, ϕ) = Clm Plm (cos ϑ)eimϕ
(346)
heißen Kugelflächenfunktionen. Es gilt
∗
Ylm (ϑ, ϕ) = (−1)m Ylm
(ϑ, ϕ)
69
(347)
Physik
Y00 = √14π
q
3
Y11 = − 8π
sin ϑeiϕ
q
3
cos ϑ
Y10 = 4π
∗
Y1−1 =q−Y11 = sin ϑe−iϕ
15
2
iϕ
32π sin ϑe
q
15
sin ϑ cos ϑeiϕ
Y21 = − 8π
q
5
Y20 = 16π
(3 cos2 ϑ − 1)
∗
Y2,−1 = −Y21
∗
Y2,−2 = −Y22
Chemie
s-Orbital
p-Orbitale
Y22 =
d-Orbitale
Normierung: hl0 m0 | l mi = δll0 δmm0 =⇒
Z
dΩ Yl∗0 m0 (ϑ, ϕ)Ylm (ϑ, ϕ) = δll0 δmm0
Vollständigkeit: 1 =
P∞ Pl
∞ X
l
X
l=0 m=−l
l=0
m=−l
(348)
|l mi hl m| =⇒
∗
(ϑ, ϕ)Ylm (ϑ0 , ϕ0 ) = δ(Ω − Ω0 ) =
Ylm
δ(ϑ − ϑ0 )δ(ϕ − ϕ0 )
sin ϑ
(349)
|Ylm (ϑ, ϕ)|2 dΩ ist die Aufenthaltswahrscheinlichkeit im Raumwinkelelement dΩ um
(ϑ, ϕ) für Elektron mit Drehimpuls −QZ(l, n)
l = 0, m = 0:
l = 1, m = 1:
70
l = 1, m = 0:
l = 2, m = 2:
l = 2, m = 1:
l = 2, m = 0:
Parität:
P : ψ( #»
r ) 7−→ ψ(− #»
r)
Für ψ( #»
r ) = f (r)Ylm (ϑ, ϕ) ist ψ(− #»
r ) = f (r)Ylm (π − ϑ, ϕ + π)
71
Aus (346) und (343):
Ylm (π − ϑ, ϕ + π) = (−1)l Ylm (ϑ, ϕ)
(350)
=⇒ Die Parität von Ylm ist (−1)l .
4 Wasserstoffatom
4.1 Zentralpotentiale
#»
V (X) = V (R)
(351)
√
mit R2 = X12 + X22 + X32 und V (R) = V (r) = V ( #»
x 2 ) in der Ortsdarstellung.
In beliebiger Darstellung:
Z
V (R) =
Rotationsinvarianz:
i
R3
#» #»
d #»
x | #»
xiV
i
p #» X 2 h #»
x|
#» #»
e ~ ϕ J V (R)e− ~ ϕ J = V (R)
Infinitesimal:
i #» #»
i #»
1 + ϕ J V (R) 1 − ϕ = V (R) + O(ϕ2 )
~
~
=⇒
h #»
i
J , V (R) = 0.
(352)
#» i
J, P 2 = 0,
(353)
[J, H] = 0
(354)
|E j mi
(355)
Auch
h
also
Energieeigenkets:
#»
Ist V (R) zusätzlich auch von S unabhängig (?), so ist [S, V (R)] = 0, also auch (wegen
#» #» #»
L = J − S)
h #»
i
L, V (R) = 0
72
So können wir die Energieeigenkets mit
|E l ml s ms i
(356)
bezeichnen.
(354) =⇒ [H, J± ] = 0. Aus H |E j mi = E |E j mi folgt also
HJ± |E j mi = J± H |E j mi = EJ± |E j , mi
=⇒
H |E j m ± 1i = E |E j m ± 1i
=⇒ E hängt nicht von m ab.
#»
Zunächst [ S , V (R)] = 0
P2
+ V (R),
2m
|E l ml s ms i = |E l ml i ⊗ |s ms i
H=
(357)
Spin-Entartung: E hängt nicht von ms = ± 12 ab.
H |E l ml i = E |E l ml i
mit ψElml ( #»
r ) = h #»
r | E l ml i =⇒
~2
−
r ) = EψElml ( #»
r)
∆ + V (r) ψElml ( #»
2m
(358)
bzw. mit (327), (329):
1 #»2
L
r2
(359)
∂2
2 ∂
+
.
∂r2 r ∂r
(360)
P 2 = −~2 ∆ = Pr2 +
wobei
Pr2
2
= −~
Radialimpuls
Pr =
~
i
∂
1
+
∂r r
(361)
erfüllt
Pr† = Pr ,
~
[Pr , R] = 1
i
73
(362)
(358) bedeutet also
1 2
1 #»2
P +
L + V (r) ψElml ( #»
r ) = EψElml ( #»
r)
2m r
2mr2
(363)
#»
L 2 ψElml ( #»
r ) = ~2 l(l + 1)ψElml ( #»
r)
(364)
ψElml ( #»
r ) = fEl (r)Ylml (ϑ, ϕ)
(365)
Mit
folgt (siehe Text (324)):
und (363) wird zu
1 2 ~2 l(l + 1)
Pr +
+
V
(r)
fEl (r)Ylml (ϑ, ϕ) = EfEl (r)Ylml (ϑ, ϕ)
2m
2mr2
Und mit (360):
2
∂
2 ∂
~2 l(l + 1)
~2
+
+
+ V (r) fEl (r) = EfEl (r)
−
2m ∂r2 r ∂r
2mr2
(366)
=⇒ tatsächlich keine ml -Abhängigkeit.
In (366) o.B.d.A. fEl (r) reell:
Trick: UEl (r) := rfEl (r), dann
∂2
∂ h
U
(r)
=
El
∂r2
∂r
i
∂
∂r
fEl (r) + r fEl (r)
∂r
∂r
| {z }
=1
∂
∂2
fEl (r) + r 2 fEl (r)
∂r
2
∂r
∂
2 ∂
=r
+
fEl (r)
∂r2 r ∂r
=2
und (366) wird zu
~2 ∂ 2
~2 l(l + 1)
−
+
+ V (r) UEl (r) = EUEl (r).
2m ∂r2
2mr2
(367)
Das entspricht 1-dim Schrödinger-Gleichung mit
VEff (r) = V (r) +
~2 l(l + 1)
2
| 2mr
{z }
Zentrifugalpotenzial
Jedoch r ≥ 0. d3 #»
r = r2 dr dΩ.
74
(368)
Bindungszustände:
∞>
Z
∞
r
0
2
2
dr fEl
(r)
Z
=
∞
0
2
dr UEl
(r)
=⇒
√
|UEl (r)| r −→ 0 f ür r −→ ∞
(369)
Nun r −→ 0:
Zwei Fälle:
r→0
1.) U (0) 6= 0 =⇒ f (r) ∼ 1r =⇒
~2
~2 (3) #»
1
r→0
−
∆ + V (r) f (r)Ylml (ϑ, ϕ) ∼ −
δ ( r ) + V (r) Ylml (ϑ, ϕ)
2m
2m
r
=⇒ V (r) hat δ (3) ( #»
r )-singulären Anteil.
2.) UEl (0) = 0 =⇒ V (r) hat keinen δ (3) ( #»
r )-singulären Anteil
Für die Meisten Potenziale gilt
r2 V (r) −→ 0 f ür r −→ 0,
so dass Veff (r) in (368) für r −→ 0 vom Zentrifugalpotenzial dominiert ist, sofern l 6= 0.
r −→ 0 :
d2 UEl l(l + 1)
−
UEl = 0
dr2
r2
reguläre Lösung:
r→∞
UEl (r) ∼ rl+1 f ür l 6= 0
(370)
irreguläre Lösung:
UEl (r) ∼ r−l
im Widerspruch zu UEl (0) = 0.
4.2 Wasserstoffatom
Es gilt mp = 1800me .
V (r) = −
γ
r
(371)
mit
γ=
e2
=
4πε0
| {z }
SI−
Einheiten
75
hcα
|{z}
in jedem
Einheitensystem
(372)
α≈
1
137
heißt Sommerfeld’sche Feinstrukturkonstante.
Bindungszustände: E < 0:
Welllenfunktion:
(365),(367)
ψElml ( #»
r)
=
fEl (r)Ylml (ϑ, ϕ)
= rUEl (r)Ylm (ϑ, ϕ)
(373)
Die Radialgleichung in (367) wird mit
ρ = κr,
2m|E|
, κ > 0,
κ2 =
~2
2mγ
ρ0 = 2
~ κ
(374)
zu
−
d2
l(l + 1) ρ0
−
+
−
1
UEl (ρ) = 0
dρ2
ρ2
ρ
(375)
ρ→0
Asymptotik: UEl (rho) ∼ ρl+1 , siehe (370).
Für ρ → ∞ wird (375) zu
d2 UEl (ρ)
− UEl (ρ) = 0
dρ2
=⇒
ρ→∞
UEl (ρ) ∼ e−ρ
(376)
U (ρ) = ρl+1 e−ρ W (ρ)
(377)
ρW 00 (ρ) + 2(l + 1 − ρ)W (ρ) + [ρ0 − 2(l + 1)] W (ρ) = 0
(378)
Ansatz:
Einsetzen in (315):
Lösung mit Potenzreihenansatz:
W (ρ) =
∞
X
ak ρk
(379)
k=0
Ideal für Potenzreihenansatz:
θ=ρ
76
d
,
dρ
(380)
denn θρk = kρk (gleiche Potenz)
ρ2
d2
= θ(θ − 1) = θ2 − θ
dρ2
(381)
(378) wird zu
[θ(θ − 1) + 2(l + 1 − ρ)θ + (ρ0 − 2(l + 1))ρ] W (ρ) = 0
Einsatzen von (349(:
∞
X
k=0
ak ρk [k(k − 1) + 2(l + 1 − ρ)k + (ρ0 − 2(l + 1)ρ)] = 0
(382)
Koeffizienten von ρk+1 :
[(k + 1)k + 2(l + 1)(k + 1)] ak+1 + [−2k + ρ0 − 2(l + 1)] ak = 0 f ür k ≥ 0
(383)
Der Koeffizient von ρ0 in (382) ist 0 =⇒ a0 beliebig.
(383) =⇒
ak+1 =
2(k + l + 1) − ρ0
ak
(k + 1)(k + 2l + 2)
(384)
Noch mehr Asymptotik:
Entweder die Reihe bricht ab, oder (384) bedeutet
ak+1
aK
k→∞ 2k
k! .
also ak ∼
k→∞
∼
2
k
=⇒
W
ρ→∞
∼ e2ρ
Widerspruch zu (376).
=⇒ Die Reihe muss abbrechen!
(384) =⇒ Es gibt ein N ∈ N0 mit
ρ0 = 2(N + l + 1),
(385)
so dass in (384) aN +1 = 0 und
W (ρ) =
N
X
ak ρk .
(386)
k=0
Die Hauptquantenzahl n = N + l + 1 erfüllt wegen N ≥ 0, l ≥ 0, N, l ∈ N0 :
n ∈ N.
77
(387)
Also wegen (385)
ρ0 = 2n.
(388)
(374) =⇒
2mγ 2
~2 ρ0
Mit (388) sind die Eigenwerte durch die Balmerformel
E=
En = −
mγ 2
,
2~n2
n = 1, 2, 3, . . .
(389)
gegeben.
(372) =⇒
1
me4
2
2
2(4πε0 ) ~ ~2
mc2 α2
jedes System :
EN = −
2 n2
Statt |E l ml i schreibt man |n l mi. Wegen (385), (387) ist
SI − System :
En = −
l ≤ n − 1.
(390)
(391)
l heißt auch Nebenquantenzahl und ml (was |ml | ≤ l erfüllt) magnetische QZ.
Speziell fürs Coulomb-Potenzial V (r) = − γr : En hängt nicht von l ab.
Ursache: Runge-Lenz-Vektor ist Erhaltungsgröße.
Die DGL (378) lautet in der Variablen t = 2ρ:
d2 W
dW
+ [2l + 1 + 1 − t]
+ [n + l − (2l + 1)] W = 0
2
dt
dt
(392) heißt Laguerre’sche DGL. Die Lösungen
t
t
W ( ) = L2l+1
n+l (t)
2
heißen zugeordnete Laguerre-Polynome.
(392)
(393)
Es gilt:
Lsr (t)
d 2 t d r −t r
= −
e
e e ,
dt
dt
(394)
explizit:
L11 (t) = −
d t −t
e −e t + e−t = 1
dt
1
L12 (t) = t2 − 3t + 3
2
t3
L33 (t) = − + 3t2 − 15t + 20
6
78
(395)
Die Radialfunktionen fEl (r) in (373) ist also mit (377) und (393):
fnl (r) = fEn l (r) = Nnl (2κr)l e−κr L2l+1
n+l (2κr)
(396)
Normierungsfaktor:
(n − l − 1)!(2κ3 )
2n [(n + l)!]3
(397)
mγ
1
=
~n
an
(398)
~2
~2
=
≈ 0, 529 · 10−10 m
mγ
mcα
(399)
2
Nnl
κ hängt von n ab:
κ=
mit dem Bohr’schen Radius:
a=
Nullstellen:
0:
1:
2:
f10 (r) = 2a− /2 e− /a
r −r
−3/2
f20 (r) = 2(2a)
1−
e 2a
2a
r
1
3 r
f21 (r) = √ (2a)− /2 e− 2a
a
3
3
r
(400)
Anzahl der Knoten: N = n − l − 1 ( radiale QZ“).
”
Die Wahrscheinlichkeit, das Elektron zwischen r und r + dr anzufinden ist p(r) dr mit
2
(r).
p(r) = r2 fnl
n = 1, l = 0
n = 2, l = 0
n = 2, l = 1
0
größeres n =⇒ größeres hRi
hrinl := hn l , m | R | n l mi
Z ∞
3
=
r3 dr fnl
(r)
0
=
a 2
3n − l(l + 1)
2
79
(401)
5 Zeitunabhängige Störungstheorie
5.1 Nicht entartete Störungstheorie
H = H0 + H1
(402)
E
E
(0)
(0) (0)
H0 n
= En n
(403)
H |ni = En |ni
(404)
Gelöst:
Gesucht:
H1 sei klein gegen H0 , genauer:
D
E
(0)
m(0) H1 n(0) |En(0) − Em
.
(0)
(405)
(0)
insbesondere, Nichtentartung von |N i, d.h. Em 6= En für n 6= m und |ni ist Bindungszustand.
Störungstheorie: Lösen von (404) durch Entwickeln in
(0) m H1 n(0)
(0)
(0) En − Em Zweckmäßig: reeller Parameter λ und
H = H0 + λH1
(406)
Organisation der Störungstheorie in Potenzen von λ.
Störungsreihe:
En = En(0) + λEn(1) + λ2 En(2) + . . .
|ni = |n(0) i + λ |n(1) i + λ2 |n(2) i + . . .
(407)
|ni ist unnormiert: I.a. hn|ni =
6 1.
(407) ist Potenzreihenansatz für (404)
(H0 + λH1 ) |n(0) i + λ |n(1) i + . . . = (En(0) + En(1) + . . .) |ni(0) + λ |n(1) i + . . .
(408)
80
Wir lösen (408) für alle λ
λ0
H0 |n(0) i = En(0) , also(403
λ1
H1 |n(0) i + H0 |n(1) i = En(1) |n(1) i + En(0) |n(0) i
λ2
(409)
H1 |n(1) i + H0 |n(2) i = En(2) |n(2) i + En(1) |n(1) i + En(0) |n(2) i
(410)
Entwickeln nach ungestörten EZ:
|n(1) i =
X
k
E
D
|k (0) i k (0) n(1) , usw
(411)
(1)
Zur Bestimmung der Entwicklungskoeffizienten k (0) n(1) und von En multiplizieren
wir (409) mit |k (0) i:
D
E
D
E
D
E
(0)
(0) (0)
(1)
(1)
(0) (0)
(0)
(0) (1)
k H1 n
+ k |H0 |n
= En k n
+En k n
(412)
|
{z
}
|
{z
}
(0)
Ek hk(0) | n(0) i
δkn
Für k = n liefer (412) die erste Korrektur zu Energie:
D
E
(0)
(1)
(0) En = n H1 n
(413)
Für k 6= n folgt aus (412):
E k (0) H n(0) D
1
(0) (1)
=
k n
(0)
(0)
En − Ek
(414)
Jedoch hn(0) |n(0) i ist unbestimmt!
Wir wählen
D
E
n(0) n(1) = 0
(415)
Also mit (411):
(0) E X
k H1 n(0)
(1)
(0)
=
|k i
n
(0)
(0)
En − Ek
k6=n
(0)
(0)
(0)
(416)
(0)
(Ek 6= En für k 6= n; für k 6= k 0 ist aber Ek = Ek0 erlaubt, solange k, k 0 6= n)
In höheren Ordnungen können wir auch
D
E
n(0) n(k) = 0, k ≥ 1
(417)
0
fordern, denn zu jeder Lösung |n(k) i von (408) ist auch |n(k) i = |n(k) i + α |n(0) i Lösung
von (408) zur Ordnung λk .
D
E D
E
D
E
(0) (k)
(0) (k)0
(0) (0)
0 = n n
= n n
+ α n n
81
=⇒
E
D
0
α = − n(0) n(k)
Aus (410) finden wir dann:
E
E D
E
D
D
n(0) H1 n(1) + n(0) H0 n(2) = En(2) n(0) n(0)
| D {z |
{z
}
E}
=1
(0)
En
n(0) n(2)
{z
}
|
=0
=⇒
E
D
En(2) = n(0) H1 n(1)
(0) H1 k (0) k (0) H1 n(0)
(416) X n
=
(0)
(0)
En − Ek
k6=n
X k (0) H1 n(0) 2
=
(0)
(0)
En − Ek
k6=n
(418)
Intepretation: Währscheinlichkeit, ein im Zustand |n(0)i präpariertes System nach Einschalten im Zustand |k (0) i =
6 |n(0) i anzutreffen:
(0) 2
k n Pn→k(0) =
|hn | ni|2
(0) 2
k n =
(419)
|1 + O(λ2 )|2
(0) λH1 n(0) 2 (416) k
=
1 + O(λ2 )
2
(0)
(0) En − Ek k (0) λH1 n(0) nennt man auch Übergangsamplitude und Pn→k(0) Übergangswahrscheinlichkeit.
(2)
Zu En in (418) tragen Zustände mit beliebig hoher Energie bei.
k
H1
H1
n
Ist Ek > hn | H | ni, der Zustand also klassisch unerreichbar, so spricht man von einem
virtuellen Effekt.
82
(0)
Mit Präzisionsmessungen kann man Zustände |k (0) i erforschen, selbst wenn Ek
Experiment unerreichbar ist.
fürs
Wichtig für Teilchenphysik.
5.2 Entartete Störungstheorie
En (0) sei N -fach entartet
H0 |n(0) αi = En(0) |n(0) α
mit α = 1, . . . , N i
Entarteter N -dimensionaler Unterraum:
h
i
(0)
E := { | n αi }
D
E
n(0) α n(0) β = δαβ
(420)
(421)
(422)
Jede Linearkombination
|n(0) γi =
N
X
α=1
|n(0) αi cαγ
(423)
(0)
mit cαγ ∈ C ist ebenfalls Eigenket von H0 zu En .
Wir wählen denselben Ansatz wie im nichtentarteten Fall in Gl. (404), (406)-(411).
Mit der Entartung |ni −→ |nγi wir (409) zu:
(H0 − En(0) ) |n(1) γi = −(H1 − En(1) ) |n(0) γi
Linksmultiplikation mit |n(0) βi ergibt
D
E
0 = − n(0) β H1 − En(1) n(0) γ
(424)
also ist (423):
N
X
α=1
cαβ hn(0) β|H1 |n(0) αi = En(1) cβγ
(425)
Matrixdarstellung:
D
h1βα = n
(0)
E
β H1 n(0) α
(426)
(425) =⇒
N
X
h1βα Cαγ = En(1) cβγ
α=1
83
(427)
Eigenwertproblem einer N × N Matrix. =⇒
det h1 − En(1) = 0
(428)
(428) hat N Lösungen Enγ (1) , die nicht alle verschieden sein müssen. Die zugehörigen
Eigenvektoren (siehe (427)) sind


c1γ
 c2γ 


#»
(429)
c γ :=  .  , γ = 1, . . . , N
.
 . 
cN γ
0
0
mit ( #»
c γ )† #»
c γ = δγγ 0 . Der Basiswechsel zwischen |n(0) αi und |n(0) γi in (423) diagonalisiert wegen (427) also h1 , die Matrix C = (cαβ ) ist unitär.
(427) bedeutet
(2)
C † h1 C = diag En(1)
,
.
.
.
,
E
nN
1
D.h. (423) diagonalisiert mit (427) die Störung H1 im Unterraum E:
D
E
0
0
(1)
n(0) γ H1 n(0) γ 0 = Enγ
δγγ 0
(430)
(431)
=⇒ Bedingung (405) überlistet.
Wir beobachten, dass H1 die N -fache Entartung i.a. aufhebt (oder reduziert)
}
N
λ
0
(1)
Im Fall Enγ wird jedoch aus (428) bestimmt. (416) wird nun zu:
|n
(1)
γi =
X
|k(0) i∈E
0
|n(1) γi =
X
k6=n
|k
(0)
|k (0) i
i
(0) k H1 n(0) γ
(0)
(0)
En − Ek
D
E
(0)0
(0)
k H1 n γ
(0)
(0)
En − Ek
+
N
X
γ 0 =1
γ 0 6=γ
+
X
γ 0 =1
γ 0 6=γ
84
D
E
0
0
0
|n(0) γi n(0) γ 0 n(0) γ 0
(432)
E
0
0
0
|n(0) γi n(0) γ 0 n(0) γ 0
D
D
E
0
0
Neu: Komponenten n(0) γ 0 n(1) γ !
(410) entspricht im entarteten Fall:
0
0
0
0
0
(2) (1)
(1) (1)
H1 |n(1) γi + H0 |n(2) γi = Enγ
|n γi + Enγ
|n γi + En(0) |n(2) γi
(433)
0
Multiplikation mit |n(0) γ 0 i
E
E
D
D
0
0
0
(2)
δγγ 0 +
n(0) γ 0 H1 n(1) γ + En(0) n(0) γ 0 n(2) γ = Enγ
E
D
(1)
(0)0 0 (1)0
Enγ n γ n γ +
{z
}
|
(434)
=0 f ür x=x0 wg. (415)
E
D
0
0
En(0) n(0) γ 0 n(2) γ
Für γ = γ 0 :
(434)
(1)
Enγ
= hn(0) γ|H1 |n(1) γi
D
E
(0) (0)0 2
n
γ
k
H
1
(432) X =
(0)
(0)
En − Ek
k6=n
Der zweite (432) trägt nicht bei wegen
D
E (431)
0
0
(1)
n(0) γ H1 n(0) γ 0 = δγγ 0 Enγ
=0
(435)
f ür γ = γ 0 .
Für γ 6= γ 0 liefert (434):
D
E D
E
0
0
0
0
(1)
Enγ
n(0) γ 0 n(1) γ = n(0) γ 0 H1 n(1) γ
D
ED
E
(0)0 γ 0 H k (0)
(0) H n(0)0 γ
n
k
X
1
1
(432)
=
(0)
(0)
En − Ek
k6=n
ED
E
X D
(0) 0
(0)0 0 (0) (1) (1)0
+
n γ H1 n γ
n γ n γ
{z
}
γ 00 6=γ |
(436)
(1)
Enγ 0 δγ 0 γ 00
=
E
(0) D (0) (0) 0 (0)0
n
γ
H
k
k
H
n
γ
1
X
1
(0)
k6=n
(1)
+ Enγ 0
D
(0)
En − Ek
E
0
0
n(0) γ 0 n(1) γ
(1)
(1)
Ist die Entartung aufgehoben, also Enγ 6= Enγ 0 , so liefert (436) uns die fehlenden Komponenten in (432).
E
D
ED
(0)0 γ 0 H k (0)
(0) H n(0)0 γ
D
E
n
k
X
1
1
1
0
0
(437)
n(0) γ 0 n(1) γ = (1)
(1)
(0)
(0)
Enγ − Enγ 0 k6=n
En − Ek
85
(1)
Für Zustände, die auch inerster Ordnung Störungstheorie entartet bleiben (d.h. Enγ =
(1)
Enγ 0 für 1 ≤ γ, γ 0 ≤ N 0 ≤ N ) muss man nun im entarteten Unterraum den Operator
H1
X k (0) k (0) (0)
k6=n
(0)
En − Ek
H1
(438)
(siehe (436)) diagonalisieren.
(2)
(2)
Gilt Enγ 6= Enγ , so liefert die Ordnung λ3 die Koeffizienten in (437).
Das Verfahren kann man zu beliebig hohen Ordnungen treiben.
5.3 Anwendung: Feinstruktur des Wasserstoffspektrums
#» #» #»
J =L+S
(288)
[Lj , Sk ] = 0
(289)
|l ml s ms i
(439)
#»
#»
Gemeinsame EZ von L 2 , L3 , S , S3 :
Auch:
h #» #» i h #» #» i
J 2, L 2 = J 2, S 2 = 0
#»
#» #»
=⇒ Betrachte Basis aus gemeinsamen EZ von J 2 , J3 , L 2 , S 2 :
|j m l si
(440)
Wegen J3 = L3 + S3 ist |l ml s ms i EZ von J3 zum EW m = ml + ms :
J3 |l ml s ms i = (L3 + S3 ) |l ml s ms i = (ml + ms ) |l ml s ms i
D.h. |j m l si in (440) ist LInearkombination aus |l ml s ms i mit m = ml + ms .
X
|j m l si =
|l ml s ml i hl ml s ms | j m l si
|
{z
}
(441)
(442)
Clebsch−Gordan−Koeff.
j = mmax = max (ml + ms ) ≤ mlmax + msmax = l + s
|ml |≤l
|ms |≤s
(443)
Betrachte L3 = Js − S3 und ms → −ms
l = mlmax ≤ mj max − msmax ≤ j + s
(444)
(443) und (444) (und die spezielle Betrachtung von l = 0) =⇒
|l − s| ≤ j ≤ l + s
86
(Auswahlregel)
(445)
d.h. CG-Koeffizienten, die (445) verletzen, sind gleich null.
Ausgehend von |j j l si = |l l s si berechnet man die CG-Koeffzienten in (442) mit Hilfe
von J− = L− + S− .
Wasserstoff:
H = H0 + H1
Relativistische Korrekturen:
H1 = H1 L#» · S#» + H1kin + H1pot
1 #» #» γ
S · L 3 heißt Spin − Bahn − Kopplung
H1 L#» · S#» =
2m2 c2
R
#» #» 1 h #» #» #»2 #»2 i 1 h #»2 #»2 #»2 i
S·L =
L+S −L −S =
J −L −S
2
2
(446)
(447)
(448)
Die Eigenkets |n j m l si von H0 erfüllen
H0 |nj m l si = En(0) |nj m l si
(449)
mit
(390)
En(0) =
mc2 α2
2n2
Die Störung H1 L#» · S#» ist in der Basis { |nj m l si } im entarteten Hilbertraum bereits
diagonal, denn
1 #» #» #»2 0 0 0 0
(448) γ
0
0
0
0
nj m l s H1 L#» · S#» nj m l s =
nj m l s 3 J − L − S nj m l s
4m2 c2
R
3
γ
j(j + 1) − l(l + 1) −
δjj 0 δll0 δmm0 δss0
=
4m2 c2
4
1 · nj m l s 3 nj m l s
R
(450)
Frr l ≥ 1:
3
γ~2
3
1
j(j + 1) − l(l + 1) −
=
2
2
4m c
4
r nl
(1)
En L#» · S#»
(451)
wobei
1
r3
Z
=
∞
dr
0
nl
2 (r)
fnl
2
(396)
= 3 3
r
a n l(l + 1)(2l + 1)
(452)
Einsetzen in (451) liefert:
(1)
En L#» · S#» =
γ~2
2 2 3 3
|2m c{zn a }
(389),(399)
=
(
1
− (j+1)(2j+1)
,
1
j(2j+1) ,
(0) α2
n
−En
87
l=j+
l=j−
1
2
1
2
6= 0
(453)
für l = 0 ist j = s = 12 , also j(j + 1) − l(l + 1) − 34 = 0. =⇒
|
{z
}
= 34
(1)
En L#» · S#» = 0
In (446) folgt H1kin aus:
p
E=
f ür l = 0
(454)
m2 c4 + p2 c2
= mc2 +
(455)
1
p2
− p4 m3 c2 + . . .
2m 8
1 P4
8 m3 c2
1
pP 2 2
=−
2mc2 2m
1 γ 2
=−
H
+
0
2mc2
R
H1kin = −
(456)
Wegen
h
h
#» i
#» i h
#» i
H1kin , J 2 = [H1kin , J3 ] = H1kin , L 2 = H1kin , J 2 = 0
(457)
ist H1kin in der Basis { |j m l si } diagonal. =⇒
(1)
En kin = hnj m l s | H1kin | nj m l si .
Weiter
(1) (456)
En kin =
1
−
2mc2
1
1
nj m l s H02 + 2γH0 + γ 2 2
R
R
nj m l s
(458)
Wir benötigen
1 1
nj m l s nj m l s =
R
an2
1 1
nj m l s 2 nj m l s = 2 3
R
a n (l + 21 )
(459)
=⇒
(1)
En kin
(
2γ
γ2
+ 2 En(0) + 2 2
an
a n (l + 12 )
(
)
2
2
2 1
α
α
α
(389),(399)
=
−En(0) − 2 + 2 −
4n
n
n l + 12
(
)
2
3
1
(0) α
= −En
−
n 4n l + 12
"
(
#
1
2
− j+1
, l = j + 21
3
(0) α
= −En
+
n 4n
− 1j ,
l = j − 21
1
=−
2mc2
2
En(0)
88
)
(460)
(461)
Summe aus (461) und (453):
(1)
En L#» · S#»
(1)
En kin
+
"
3
1
−
n 4n j +
α
−En(0)
=
#
f ür l ≥ 1
1
2
(462)
Für l = 0 folgt aus (460) und (454):
(1)
(1)
(1)
En L#» · S#» + En kin = En kin = −En(1)
α2 3
−2
n 4n
(463)
Letzter Term in (446):
Ortsdarstellung:
~2
∆V (r)
8m2 c2
π~2 γ (3) #»
=
δ (x)
2m2 c2
= nj m l s H1pot nj m l s
H1pot =
(1)
En pot
(464)
π~2 γ
|fnl (0)|2
2m2 c2
mc2 α4
=
δl0
2n3 α2
(0)
= −En
−
δl0
n
=
(465)
Summe von (463) und (465):
(1)
En L#» · S#»
+
(1)
En kin
+
(1)
En pot

2
3

(0) α


−En n 4n − 1 ,
#
"
=
2
α
3
1

(0)


−En n 4n − j + 1 ,
2
f ür l = 0,
(466)
f ür l 6= 0
denn l = 0 impliziert j = 21 .
Also gilt mit (465), (466) unabhängig von l:
(0)
(1)
(1)
En(1) = −En L#» · S#» + En pot + En kin
"
#
2
3
1
(0) α
= −En
−
n 4n j + 12
(467)
Energie-Niveaus:
Enj =
En(0)
+
En(1)
j
"
mc2 α2
α2
=−
1
−
2 n2
n2
89
3
n
−
4 j+
!#
1
2
(468)
α ≈ 5, 4 · 10−5 =⇒ Feinstruktur.
Relativistische Wellengleichung des Elektron: Dirac-Gleichung
Exakt lösen für das Wasserstoff-Atom, Quantenahl j, l, s sind keine guten Quantenzahlen.
6 Streutheorie
Detektor
ϑ:Streuwinkel
Teilchenstrahl
Stoßparameter b
z
Streuer
Streuer: Ursprung aus dem Ubekannten, zu erforschendes Potenzial.
# »
Einlaufender Teilchenstrahl: Stromdichte jein ( #»
x ):
#» #»
dN = j dF dt
(469)
#»
Teilchen strömen in der Zeit dt durch das Flächenelement dF (= #»
n dF ).
Für große r = | #»
x | verhalten sich die Teilchen fast wie freie Teilchen (gerade Trajektorien). Dann ist die Definition des differenziellen Wirkungsquerschnitts bzw. diff. Streudσ
sinnvoll:
querschnitt dΩ
dσ
1 dN
=
dΩ
jein dΩdt
(470)
jaus
dF=r²dΩ
ϑ
90
Zugehörige Unterlagen
2 - (sin(α)) · 0 1 - Mathematisches Institut der Universität Bonn
2 - (sin(α)) · 0 1 - Mathematisches Institut der Universität Bonn
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