Graphen zeichnen

Prof. Dr. Henning Meyerhenke | Fakultät für Informatik
Szenario
  Zeichnen großer ungerichteter Graphen
  Eingabe: G = (V, E)
  Ausgabe: 2D- oder 3D- Koordinaten xi für jeden Knoten i 2 V
  Ziel: Zeichnung gibt gute visuelle Repräsentation der
Konnektivität zwischen den Knoten
  Übersichtlichkeit
  Wenige Überschneidungen
  Unsere Modellierung: Physikalisches System in
Konfiguration mit minimaler Energie
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Kräftegesteuerte Algorithmen
Force-directed Algorithms
  In der Literatur nicht ganz eindeutig
verwandter Begriff
  Grundsätze:
  Berechnung von Kräften, die auf die
Knoten wirken
  Bewegung der Knoten entlang der
Richtung dieser Kräfte
  Wiederholung der beiden ersten
Operationen, bis das System in einen
Gleichgewichtszustand eintritt
(Äquilibrium)
[http://www.mindfusion.eu/pictures/
mvcdiagram_anneal_layout.png]
http://getspringy.com/demo.html
http://sydney.edu.au/engineering/it/~aquigley/avi/
spring.avi
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Das Feder-elektrische Modell
Spring-electrical Model
  Problemmodellierung:
  Knoten sind elektrisch geladen
  Knoten werden durch Federn gegenseitig angezogen
  Elektrische Kräfte stoßen die Knoten voneinander ab
Anziehende Kraft zwischen Nachbarn i und j:
  Proportional zur quadrierten Distanz zwischen i und j
Fa(i, j) = - ||xi – xj||2 / K * (xi – xj) / ||xi – xj||
  K ist ein Skalierungsparameter, abhängig von der Größe des
endgültigen Layouts
Abstoßende Kraft zwischen allen Knotenpaaren:
  Invers proportional zur Distanz zwischen i und j
  Fr(i, j) = K2 / ||xi – xj|| * (xi – xj) / ||xi – xj||
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Zahlenbeispiel
  Knoten i: (5, 1)
  Knoten j: (2, 5)
  K = 10
Fa(i, j) = - ||xi – xj||2 / K * (xi – xj) / ||xi – xj||
= - 25 / 10 * (3; -4) / 5
= (-1,5; 2)
  Translation um -1,5 in x-Richtung und
+2 in y-Richtung (bzw. negiert)
  Fr(i, j) = K2 / ||xi – xj|| * (xi – xj) / ||xi – xj||
= 100 / 5 * (3; -4) / 5
= (12; -16)
  Translation um 12 in x-Richtung und
-16 in y-Richtung (bzw. negiert)
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Energie des Systems und Algorithmus
  Energie: E(x) = Σ{i, j} 2 E ||xi – xj||3 / 3K – Σi ≠ ϕ K2 ln(||xi – xj||)
  NB: Es gibt Varianten dieses Modells
  Eingabe für Algorithmus beliebig:
  Zufällige Platzierung der Knoten
  Ein wie auch immer gewähltes initiales Layout
  Wiederholung von Kraftberechnung und Verschiebung
  Verschiebung skaliert um abnehmende Schrittlänge
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Algorithmus
ForceDirectedAlgorithm(G, x, tol)
converged = false;
step = initial_step_length;
while not converged {
  x0 = x;
for i 2 V {
  f = 0; // berechne Kraftvektor f
for each j 2 N(i) do f := f + Fa(i, j);
for j ≠ i, j 2 V do f := f + Fr(i, j);
  xi := xi + step * (f / ||f||); // Normalisierung nur einmal pro Knoten
  }
step := update_step_length(step, x, x0);
if (||x – x0|| < tol * K) converged = true; // K ist Teil des Modells
  }
return x;
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Beispiel
http://getspringy.com/demo.html
http://sydney.edu.au/engineering/it/~aquigley/avi/spring.avi
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Diskussion des Algorithmus
  Funktioniert für kleine Graphen recht gut
  Mögliche Verbesserung: Adaptive Aktualisierung der
Schrittgröße
  Für große Graphen ergeben sich Probleme:
  Problem von vielen lokalen Minima
  => Multilevel-Ansatz
  Quadratische Komplexität bei der Berechnung von Fr
  Wie vermeiden?
  => Geometrische Datenstruktur zur Approximation von Fr
  Idee: Für weit entfernte Knoten reicht ein Näherungswert
  Laufzeit dann auf O(n log n + m) gedrückt
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Schnelle Kraft-Approximation
  FD-Algorithmus ist verschachtelte Schleife:
  Außen über jeden Knoten
Fa: Innen über Nachbarn
  Fr: Innen über alle anderen Knoten
  Quadratische Laufzeit für Fr
  Aber: Berechnung der Abstoßungskraft ähnelt n-KörperProblem (Physik)
  Weit entfernte Knoten in gleicher Region als einen Superknoten
verwenden
  Realisiert mit Quadtree / Octree
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Quadtree-Datenstruktur
  Rekursive Datenstruktur, 2D: Quadtree, 3D: Octree
  Auf dieser Folie: Knoten = Knoten des Quadtrees, Punkt = zu
speicherndes Objekt
  Prinzipielle Idee:
  Wurzelknoten repräsentiert Ebene / Raum (bzw. Ausschnitt)
  Fläche des Knotens wird in vier gleich große Rechtecke geteilt,
wenn gewünschte Auflösung noch nicht erreicht
  Mögliches Kriterium: Zahl der Punkte im Knoten
[http://upload.wikimedia.org/wikipedia/
de/a/a7/Quadtree.png]
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Quadtree für die Approximation
  Ist ein Graph-Knoten weit weg für die Kraftberechnung,
genügt ein innerer Baumknoten, es muss kein Blatt sein
  Innerer Baumknoten repräsentiert Menge von Graphknoten
am Schwerpunkt der Menge: xS = (Σj 2 S xj / |S|)
  Abstoßende Kraft von Knoten i zum Superknoten S:
fr(i, S) = K2 |S| / ||xi – xS|| * (xi – xS) / ||xi – xS||
  Aber was bedeutet „weit weg“?
  Eine Möglichkeit (Barnes-Hut-Kriterium): Superknoten ist
weit weg von Knoten i, wenn die Breite dS des Quadrats
(Rechtecks), in dem S liegt, klein ist im Vergleich zur Distanz
von S und i:
dS / ||xi – xS|| · µ
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Verfahren anhand einer Abbildung
  µ ¸ 0 ist Parameter, in der Praxis bewährt: µ = 1.2
  Je kleiner µ, desto genauer die Näherung
  Abbildung: [NS12, S. 531]
Links: Quadtree, rechts: Superknoten mit Verbindung zum Knoten oben in der Mitte bei µ = 1
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Analyse der Quadtree-basierten Berechnung
  Annahme: Punkte sind im Quadtree geeignet verteilt
  Dann: Bau des Quadtrees benötigt O(n log n) Zeit
  Bestimmen aller Superknoten zu einem Graph-Knoten i in
O(log n) Zeit
  => Laufzeit der Bestimmung der abstoßenden Kraft reduziert
sich von O(n2) auf O(n log n)
  Weitere Verbesserung: Approximation zwischen Paaren von
Superknoten, nicht nur zwischen Blatt-Superknoten-Paar
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Einordnung
  Problem 1 umgangen:
  Keine quadratische Komplexität mehr pro Iteration
  Für große Graphen wäre das zu hoher Aufwand
  Problem 2 noch vorhanden:
  Keine wirklich globale Sichtweise
  Viele lokale Minima der Energiefunktion
  Dann meist: Zu schnelle Konvergenz gegen schlechtes Minimum
oder zu langsame Konvergenz
  Multilevel-Ansatz führt häufig zu besseren Minima in
schnellerer Zeit
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Multilevel-Ansatz
  3 Phasen:
  Rekursive Vergröberung
  Initiale Lösung
  Wechsel von Lösungsinterpolation und
lokaler Verbesserung der Interpolation
  Rekursive Vergröberung:
  Erzeugt Hierarchie von Graphen
  Jede gröbere Hierarchieebene hat
weniger Knoten und Kanten
  Trotz Vergröberung bleibt Struktur der
Eingabe (einigermaßen) erhalten
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Rekursive Vergröberung im Detail
  Oft benutzt: Nicht erweiterbares Matching
  Kanten des Matchings und deren Endpunkte werden
zu einem neuen Knoten verschmolzen
  Vorgehen beim Verschmelzen der Kante e = {u, v}:
  Bilde neuen Superknoten x mit w(x) = w(u) + w(v)
  Kante e wird gelöscht
  Kanten von Knoten y ≠ u, v, x werden auf x
„umgebogen“, dabei parallele Kanten verschmelzen und
ihre Gewichte addieren: w(y, x) = w(y, u) + w(y, v) (wobei
nicht existierende Kanten Gewicht 0 haben)
  Übung: Darstellung der Vergröberung als
Matrixoperation
  Alternative: Berechnung unabhängiger Knotenmenge U mit
geeignet gewichteten Kanten zwischen Knoten in U
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Initiales Layout auf gröbstem Graphen
  Zielgraph ist wegen Vergröberung recht klein
  Algorithmus kann beliebig, sollte gut sein
  Zum Beispiel FD-Algorithmus von Folie 277
  Für kleine Graphen gute Lösungen
  Wegen kleiner Größe trifft man hoffentlich globales
Optimum für gröbsten Graphen
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Interpolation und Verbesserung
  Interpolation: Jede verschmolzene Kante e = {u, v}
wird wieder expandiert:
  Die beiden Knoten u und v erhalten die Position ihres
Superknotens x (ggf. leicht „verwackelt“)
  Alte Adjazenzinformation wird wiederhergestellt
  Lokale Verbesserung: Z. B. mit FD-Algo von
Folie 277
  Frage/Übung: Wie lässt sich das Multilevel-Konzept
auf die Partitionierung/das Clustering von Graphen
anwenden? (Aus diesem Kontext stammt die Abbildung zum
Multilevel-Prinzip.)
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Alles auf einen Blick
1) Rekursive
Vergröberung
3) Interpolation
und lokale
Verbesserung
2) Initiales Layout
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Zusammenfassung 1
  Kräftegesteuerter Algorithmus zum Zeichnen von Graphen
  Funktioniert gut für kleine Graphen
  Große Graphen:
  Laufzeit verbessert mit Quadtree bzw. Octree
  Qualität verbessert mit Multilevel-Verfahren
Quadtree ist geometrische Datenstruktur:
  Gruppiert Punkte in derselben Region in einem inneren Knoten
  Moderater Baumabstieg, Schwerpunkt => Distanz-Approximation
  Multilevel-Verfahren:
  3 Phasen: Vergröberung, initiale Lösung, Interpolation und
Verfeinerung
  Bietet mit lokaler Verfeinerung globale und lokale Sicht
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Zusammenfassung 2
  Spektrales Graphenzeichnen
 
 
 
 
 
Eigenvektoren entsprechen Modi von Schwingungen
Niederfrequente vs. hochfrequente EV
Benutzt 2 EV zu den kleinsten positiven EW
Vorherige Motivation: Frequenzbilder
Halls Formulierung: Platzierungsproblem ähnlich zu Clustering
  Schnelle Implementierung mit Multigrid
  Bezug zur Partitionierung?
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