VISUALISIERUNG GROßER GRAPHEN

Vorlesung 11
VISUALISIERUNG GROßER
GRAPHEN
232
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
Informatik, Fakultät für Informatik
Einsatzgebiete fürs Graphenzeichnen
!
!
!
!
  (Spezielle) Landkarten (U-Bahn-Pläne)
  Technische Zeichnungen (CAD, UML-Diagramme)
  Datenrelationen darstellen (soziale Netzwerke)
  Veranschaulichung von Algorithmen
!   Simulationsdaten (Strömungen)
!   ...
[http://www.tepass.de/files/u-bahn_berlin-netz_1.jpg]
[http://84.201.93.40/images/thumb/f/f5/UML-KVM.png/800px-UML-KVM.png]
233
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
Informatik, Fakultät für Informatik
Typus der Eingabeklasse wichtig
!   Graphen mit geringem
Durchmesser lassen sich
meist schlecht zeichnen
!   Vergleiche IMDB-Graphen
und Simulationsgraphen!
Six degrees of Kevin Bacon
[Seok-Hee Hong]
!   Sehr große Graphen
müssen hierarchisch
aufgelöst sein
!   FacebookFreundschaftsgraph hätte
auf Ihrem Bildschirm ca.
30.000 Kanten pro Pixel!
234
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
Paralleles Rechnen, Institut für Theoretische
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Szenario
!   Zeichnen großer ungerichteter Graphen
!   Eingabe: G = (V, E)
!   Ausgabe: 2D- oder 3D- Koordinaten xi für jeden Knoten i 2 V
!   Ziel: Zeichnung gibt gute visuelle Repräsentation der
Konnektivität zwischen den Knoten
!   Übersichtlichkeit
!   Wenige Überschneidungen
!   Unsere Modellierung: Physikalisches System in
Konfiguration mit minimaler Energie
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Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
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Informatik, Fakultät für Informatik
Kräftegesteuerte Algorithmen
Force-directed Algorithms
!   In der Literatur nicht ganz eindeutig
verwandter Begriff
!   Grundsätze:
!   Berechnung von Kräften, die auf die
Knoten wirken
!   Bewegung der Knoten entlang der
Richtung dieser Kräfte
!   Wiederholung der beiden ersten
Operationen, bis das System in einen
Gleichgewichtszustand eintritt
(Äquilibrium)
!
236
[http://www.mindfusion.eu/pictures/
mvcdiagram_anneal_layout.png]
http://sydney.edu.au/engineering/it/~aquigley/avi/
spring.avi
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Das Feder-elektrische Modell
Spring-electrical Model
!   Problemmodellierung:
!   Knoten sind elektrisch geladen
!   Knoten werden durch Federn gegenseitig angezogen
!   Elektrische Kräfte stoßen die Knoten voneinander ab
! Anziehende Kraft zwischen Nachbarn i und j:
!   Proportional zur quadrierten Distanz zwischen i und j
! Fa(i, j) = - ||xi – xj||2 / K * (xi – xj) / ||xi – xj||
!   K ist ein Skalierungsparameter, abhängig von der Größe des
endgültigen Layouts
! Abstoßende Kraft zwischen allen Knotenpaaren:
!   Invers proportional zur Distanz zwischen i und j
!   Fr(i, j) = K2 / ||xi – xj|| * (xi – xj) / ||xi – xj||
237
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Zahlenbeispiel
!   Knoten i: (5, 1)
!   Knoten j: (2, 5)
!   K = 10
! Fa(i, j) = - ||xi – xj||2 / K * (xi – xj) / ||xi – xj||
= - 25 / 10 * (3; -4) / 5
= (-1,5; 2)
!   Translation um -1,5 in x-Richtung und
+2 in y-Richtung (bzw. negiert)
!   Fr(i, j) = K2 / ||xi – xj|| * (xi – xj) / ||xi – xj||
= 100 / 5 * (3; -4) / 5
= (12; -16)
!   Translation um 12 in x-Richtung und
-16 in y-Richtung (bzw. negiert)
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Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
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Energie des Systems und Algorithmus
!   Energie: E(x) = Σ{i, j} 2 E ||xi – xj||3 / 3K – Σi ≠ j K2 ln(||xi – xj||)
!   NB: Es gibt Varianten dieses Modells
!   Eingabe für Algorithmus beliebig:
!   Zufällige Platzierung der Knoten
!   Ein wie auch immer gewähltes initiales Layout
!   Wiederholung von Kraftberechnung und Verschiebung
!   Verschiebung skaliert um abnehmende Schrittlänge
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Algorithmus
! ForceDirectedAlgorithm(G, x, tol)
! converged = false;
! step = initial_step_length;
! while not converged {
!   x0 = x;
! for i 2 V {
!   f = 0;
! for each j 2 N(i) do f := f + Fa(i, j);
! for j ≠ i, j 2 V do f := f + Fr(i, j);
!   xi := xi + step * (f / ||f||);
!  }
! step := update_step_length(step, x, x0);
! if (||x – x0|| < tol * K) converged = true;
!  }
! return x;
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Beispiel
! http://sydney.edu.au/engineering/it/~aquigley/avi/spring.avi
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Diskussion des Algorithmus
!   Funktioniert für kleine Graphen recht gut
!   Mögliche Verbesserung: Adaptive Aktualisierung der
Schrittgröße
!   Für große Graphen ergeben sich Probleme:
!   Problem von vielen lokalen Minima
!   => Multilevel-Ansatz
!   Quadratische Komplexität bei der Berechnung von Fr
!   Wie vermeiden?
!   => Geometrische Datenstruktur zur Approximation von Fr
!   Idee: Für weit entfernte Knoten reicht ein Näherungswert
!   Laufzeit dann auf O(n log n + m) gedrückt
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Schnelle Kraft-Approximation
!   FD-Algorithmus ist verschachtelte Schleife:
!   Außen über jeden Knoten
! Fa: Innen über Nachbarn
!   Fr: Innen über alle anderen Knoten
!   Quadratische Laufzeit für Fr
!   Aber: Berechnung der Abstoßungskraft ähnelt n-KörperProblem (Physik)
!   Weit entfernte Knoten in gleicher Region als einen Superknoten
verwenden
!   Realisiert mit Quadtree / Octree
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Quadtree-Datenstruktur
!   Rekursive Datenstruktur, 2D: Quadtree, 3D: Octree
!   Auf dieser Folie: Knoten = Knoten des Quadtrees, Punkt = zu
speicherndes Objekt
!   Prinzipielle Idee:
!   Wurzelknoten repräsentiert Ebene / Raum (bzw. Ausschnitt)
!   Fläche des Knotens wird in vier gleich große Rechtecke geteilt,
wenn gewünschte Auflösung noch nicht erreicht
!   Mögliches Kriterium: Zahl der Punkte im Knoten
[http://upload.wikimedia.org/wikipedia/
de/a/a7/Quadtree.png]
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Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
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Quadtree für die Approximation
!   Ist ein Graph-Knoten weit weg für die Kraftberechnung,
genügt ein innerer Baumknoten, es muss kein Blatt sein
!   Innerer Baumknoten repräsentiert Menge von Graphknoten
am Schwerpunkt der Menge: xS = (Σj 2 S xj / |S|)
!   Abstoßende Kraft von Knoten i zum Superknoten S:
fr(i, S) = K2 / ||xi – xS|| * (xi – xS) / ||xi – xS||
!   Aber was bedeutet „weit weg“?
!   Eine Möglichkeit (Barnes-Hut-Kriterium): Superknoten ist
weit weg von Knoten i, wenn die Breite dS des Quadrats
(Rechtecks), in dem S liegt, klein ist im Vergleich zur Distanz
von S und i:
dS / ||xi – xS|| · µ
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Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
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Verfahren anhand einer Abbildung
!   µ ¸ 0 ist Parameter, in der Praxis bewährt: µ = 1,2
!   Je kleiner µ, desto genauer die Näherung
!   Abbildung: [NS12, S. 531]
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Analyse der Quadtree-basierten Berechnung
!   Annahme: Punkte sind im Quadtree geeignet verteilt
!   Dann: Bau des Quadtrees benötigt O(n log n) Zeit
!   Bestimmen aller Superknoten zu einem Graph-Knoten i in
O(log n) Zeit
!   => Laufzeit der Bestimmung der abstoßenden Kraft reduziert
sich von O(n^2) auf O(n log n)
!   Weitere Verbesserung: Approximation zwischen Paaren von
Superknoten, nicht nur zwischen Blatt-Superknoten-Paar
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Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
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Einordnung
!   Problem 1 umgangen:
!   Keine quadratische Komplexität mehr pro Iteration
!   Für große Graphen wäre das zu hoher Aufwand
!   Problem 2 noch vorhanden:
!   Keine wirklich globale Sichtweise
!   Viele lokale Minima der Energiefunktion
!   Dann meist: Zu schnelle Konvergenz gegen schlechtes Minimum
oder zu langsame Konvergenz
!   Multilevel-Ansatz führt häufig zu besseren Minima in
schnellerer Zeit
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Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
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Multilevel-Ansatz
!   3 Phasen:
!   Rekursive Vergröberung
!   Initiale Lösung
!   Wechsel von Lösungsinterpolation und
lokaler Verbesserung der Interpolation
!   Rekursive Vergröberung:
!   Erzeugt Hierarchie von Graphen
!   Jede gröbere Hierarchieebene hat
weniger Knoten und Kanten
!   Trotz Vergröberung bleibt Struktur der
Eingabe (einigermaßen) erhalten
249
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
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Rekursive Vergröberung im Detail
!   Oft benutzt: Nicht erweiterbares Matching
!   Kanten des Matchings und deren Endpunkte werden
zu einem neuen Knoten verschmolzen
!   Vorgehen beim Verschmelzen der Kante e = {u, v}:
!   Bilde neuen Superknoten x mit w(x) = w(u) + w(v)
!   Kante e wird gelöscht
!   Kanten von Knoten y ≠ u, v, x werden auf x
„umgebogen“, dabei parallele Kanten verschmelzen und
ihre Gewichte addieren: w(y, x) = w(y, u) + w(y, v) (wobei
nicht existierende Kanten Gewicht 0 haben)
!   Übung: Darstellung der Vergröberung als
Matrixoperation
!   Alternative: Berechnung unabhängiger Knotenmenge U mit
geeignet gewichteten Kanten zwischen Knoten in U
250
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
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Initiales Layout auf gröbstem Graphen
!   Zielgraph ist wegen Vergröberung recht klein
!   Algorithmus kann beliebig, sollte gut sein
!   Zum Beispiel FD-Algorithmus von Folie 239
!   Für kleine Graphen gute Lösungen
!   Wegen kleiner Größe trifft man hoffentlich globales
Optimum
251
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
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Interpolation und Verbesserung
!   Interpolation: Jede verschmolzene Kante e = {u, v}
wird wieder expandiert:
!   Die beiden Knoten u und v erhalten die Position ihres
Superknotens x
!   Alte Adjazenzinformation wird wiederhergestellt
!   Lokale Verbesserung: Z. B. mit FD-Algo von Folie
239
!   Frage/Übung: Wie lässt sich das Multilevel-Konzept
auf die Partitionierung von Graphen anwenden? (Aus
diesem Kontext stammt die Abbildung auf den Folien 248 und 252.)
252
Graphenalgorithmen und lineare Algebra Hand in Hand
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Alles auf einen Blick
1) Rekursive
Vergröberung
3) Interpolation
und lokale
Verbesserung
2) Initiales Layout
253
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Zusammenfassung 1
!   Kräftegesteuerter Algorithmus zum Zeichnen von Graphen
!   Funktioniert gut für kleine Graphen
!   Große Graphen:
!   Laufzeit verbessert mit Quadtree bzw. Octree
!   Qualität verbessert mit Multilevel-Verfahren
! Quadtree ist geometrische Datenstruktur:
!   Gruppiert Punkte in derselben Region in einem inneren Knoten
!   Moderater Baumabstieg, Schwerpunkt => Distanz-Approximation
!   Multilevel-Verfahren:
!   3 Phasen: Vergröberung, initiale Lösung, Interpolation und
Verfeinerung
!   Bietet mit lokaler Verfeinerung globale und lokale Sicht
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Der Algorithmus von Hall
!   Halls Erkenntnis:
Charakterisierung vieler Abfolge- und Platzierungsprobleme:
Minimierung der quadrierten Distanzen zwischen Lokationen
!   In unserem Szenario:
minx Σ{i, j} 2 E w(i, j) * ||xi – xj||2 u. d. NB Σl=1|V| xl2 = 1
!   Aufgabe: Notieren Sie die Zielfunktion in Matrixschreibweise!
255
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Wdh.: Spektrales Graphenzeichnen
!   Zielfunktion: minx xT L x
!   L ist gewichtete Laplace-Matrix
!   => Verwende die 2 EV mit den kleinsten positiven EW als
Koordinaten
!   Vorteil:
Bei guter Implementierung gute Laufzeit
!   Nachteil:
Bei sehr dünnen Graphen Qualität unter Durchschnitt
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Multigrid und Multilevel
!   Wie bestimmt man die beiden EV schnell?
!   Kombination aus Multilevel und Multigrid!
! Multigrid:
!   Numerischer Löser, LGS und Eigenprobleme
!   Ähnliche Idee mit Hierarchie wie bei Multilevel-Verfahren
!   Aber: Operatoren sind andere als beim eben vorgestellten
Verfahren
!   Grundlegende Multigrid-Idee:
!   Hochfrequenter Fehler kann schnell geglättet werden
!   Niederfrequente Fehler werden durch Restriktion auf gröberen
Graphen wieder hochfrequent
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Multigrid-Operatoren
!   Restriktion und Interpolation: Matrizen R und P mit R = PT
!   Definition der Interpolationsgewichte nach unterschiedlichen
Methoden
!   Immer das Ziel: Interpolationsschema muss Konvergenz
gewährleisten
!   Glättung mit Jacobi- oder Gauss-Seidel-Splitting-Methoden
!   Behandeln wir nicht im Detail
!   Analogie: Diffusion iterativ ähnlich zu Jacobi, löst LGS mit LaplaceMatrix
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Multigrid und Multilevel
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Zusammenfassung 2
!   Spektrales Graphenzeichnen
!   Benutzt 2 EV zu den kleinsten positiven EW
!   Vorherige Motivation: Frequenzbilder
!   Nun: Platzierungsproblem, das in 1D dem Partitionierungsproblem
sehr ähnelt
!   Schnelle Implementierung mit Multigrid
!   Bezug zur Partitionierung?
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