Lösungshinweise zu¨Ubungsblatt 1

PD Dr. Holger Graf
Mikroökonomik II (Sommer 2012)
Lösungshinweise zu Übungsblatt 1
Aufgabe 1: Duopol mit linearen Kostenfunktionen
Gegeben ist eine Industrie, die aus zwei Unternehmen 1 und 2 besteht, deren Technologie
durch die linearen Kostenfunktionen Ci (xi ) = 10xi (i = 1, 2) beschrieben wird. Die
Marktnachfrage sei p = 300 − 10 · (x1 + x2 ).
a) Ermitteln Sie für das Cournot-Duopol das Marktgleichgewicht (Preis und Menge),
die individuellen Angebotsmengen und Gewinne der beiden Unternehmen, Produzenten- und Konsumentenrente sowie die Wohlfahrt.
b) Ermitteln Sie die Größen aus Teilaufgabe (a) für das Stackelberg-Duopol mit Unternehmen 1 als Stackelberg-Führer und Unternehmen 2 als Stackelberg-Folger.
c) Vergleichen Sie die in Teilaufgaben (a) und (b) ermittelten Größen mit den entsprechenden Werten, die sich bei vollständiger Konkurrenz und im Monopol-Fall
ergeben würden.
Lösungshinweis:
a) Π1 (x1 , x2 ) = (300 − 10(x1 + x2 )) · x1 − 10x1
∂Π1
290 1
⇒
= 300 − 20x1 − 10x2 − 10 = 0 ⇒ x1 = R1c (x2 ) =
− x2
∂x1
20
2
Π2 (x1 , x2 ) = (300 − 10(x1 + x2 )) · x2 − 10x2
∂Π2
290 1
⇒
= 300 − 10x1 − 20x2 − 10 = 0 ⇒ x2 = R2c (x1 ) =
− x1
∂x2
20
2
1
290
1
290
29
−
− x1 ⇒ xc1 =
= xc2
x1 = R1c (R2c (x1 )) =
20
2 20
2
3
320
58
⇒ xc = xc1 + xc2 =
⇒ pc = 300 − 10xc =
3
3
320
29
8410
Πc1 =
− 10
=
= Πc2
3
3
9
16820
⇒ P R = Πc1 + Πc2 =
9
1
320
58
16820
⇒ KR = · 300 −
·
=
2
3
3
9
33640
⇒ W = P R + KR =
9
1
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Mikroökonomik II (Sommer 2012)
290 1
x2 = R2c (x1 ) =
− x1 aus a)
20
2
290 1
c
Π1 (x1 , R2 (x1 )) = 300 − 10 x1 +
− x1
· x1 − 10x1 = 145x1 − 5x21
20
2
29
29
∂Π1
= 145 − 10x1 = 0 ⇒ xs1 = , xs2 = R2c (xs1 ) =
⇒
∂x1
2
4
87
165
⇒ xs = xs1 + xs2 =
⇒ pc = 300 − 10xs =
4
2
165
29
4205 s
165
29
4205
Πs1 =
− 10
=
, Π2 =
− 10
=
2
2
4
2
4
8
12615
⇒ P R = Πs1 + Πs2 =
8
165
87
37845
1
·
=
⇒ KR = · 300 −
2
2
4
16
63075
⇒ W = P R + KR =
16
1 w
w
c)
pw = M C = 10 ⇒ x = 30 − p = 29 ⇒ Πw = (10 − 10)29 = 0 = P R
10
1
⇒ KR = · (300 − 10) · 29 = 4205 ⇒ W = P R + KR = 4205
2
m
Π (x) = (300 − 10x)x − 10x = 290x − 10x2
∂Πm
⇒
= 290 − 20x = 0
∂x
29
⇒ pm = 300 − 10xm = 155
⇒ xm =
2
29
4205
Πm = (155 − 10)
=
= PR
2
2
29
4205
1
=
⇒ KR = · (300 − 155) ·
2
2
4
12615
⇒ W = P R + KR =
4
b)
2
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Mikroökonomik II (Sommer 2012)
Aufgabe 2: Duopol mit unterschiedlichen Kostenfunktionen
Gegeben ist eine Industrie, die aus zwei Unternehmen 1 und 2 besteht, deren Technologie durch die Kostenfunktionen C1 (x1 ) = 5x1 und C2 (x2 ) = 12 x22 beschrieben wird. Die
Marktnachfrage sei p = 100 − 21 · (x1 + x2 ).
a) Ermitteln Sie für ein Cournot-Duopol das Marktgleichgewicht (Preis und Menge),
sowie die individuellen Angebotsmengen und Gewinne der beiden Unternehmen.
b) Wie verändern der Marktpreis und die individuellen Angebotsmengen der beiden
Unternehmen, wenn die Grenzkosten von Unternehmen 1 um 20% (ceteris paribus)
zunehmen?
c) Ermitteln Sie die Größen aus Teilaufgabe (a) für das Stackelberg-Duopol mit Unternehmen 1 als Stackelberg-Führer und Unternehmen 2 als Stackelberg-Folger.
d) Vergleichen Sie die in Teilaufgaben (a) und (c) ermittelten Größen mit den entsprechenden Werten, die sich bei vollständiger Konkurrenz und im Monopol-Fall
ergeben würden.
Lösungshinweis:
1
a) Π1 (x1 , x2 ) = 100 − (x1 + x2 ) · x1 − 5x1
2
1
∂Π1
1
= 100 − x1 − x2 − 5 = 0 ⇒ x1 = R1c (x2 ) = 95 − x2
⇒
∂x
2
2
1
1 2
1
Π2 (x1 , x2 ) = 100 − (x1 + x2 ) · x2 − x2
2
2
∂Π2
1
1
⇒
= 100 − x1 − x2 − x2 = 0 ⇒ x2 = R2c (x1 ) = 50 − x1
∂x2
2
4
1
1
1
x1 = R1c (R2c (x1 )) = 95 −
50 − x1 ⇒ xc1 = 80, xc2 = 50 − xc1 = 30
2
4
4
1
⇒ xc = xc1 + xc2 = 110 ⇒ pc = 100 − xc = 45
2
1
Πc1 = 45 · 80 − 5 · 80 = 3200, Πc2 = 45 · 30 − · 302 = 900
2
⇒ P R = Πc1 + Πc2 = 4100
1
⇒ KR = · (100 − 45) · 110 = 3025
2
⇒ W = P R + KR = 7125
b) C1 (x1 ) = 6x1 ⇒ xc1 ↓, xc2 ↑, pc ↑, W ↓
3
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c)
Mikroökonomik II (Sommer 2012)
1
x2 = R2c (x1 ) = 50 − x1 aus a)
4
1
1
3
c
Π1 (x1 , R2 (x1 )) = 100 −
x1 + 50 − x1
· x1 − 5x1 = 70x1 − x21
2
4
8
80
280 s
3
∂Π1
= 70 − x1 = 0 ⇒ xs1 =
, x2 = R2c (xs1 ) =
⇒
∂x1
4
3
3
1
⇒ xs = xs1 + xs2 = 120 ⇒ pc = 100 − xs = 40
2
2 !
280
280
9800
80
1
80
6400
Πs1 = 40
−5
=
, Πs2 = 40 −
=
3
3
3
3
2 3
9
⇒ P R = Πs1 + Πs2 =
35800
9
1
· (100 − 40) · 120 = 3600
2
68200
⇒ W = P R + KR =
9
d)
pw = M C : pU1 = 5, pU2 = x2 ⇒ pw = 5 = xw
2
w
w
w
w
⇒ x = 200 − 2p = 190 ⇒ x1 = x − xw
2 = 185
25
1 2 25
w
⇒ PR =
⇒ Πw
1 = (5 − 5)185 = 0, Π2 = 5 · 5 − 5 =
2
2
2
1
18075
⇒ KR = · (100 − 5) · 190 = 9025 ⇒ W = P R + KR =
2
2
1
1
1
Πm (x) = 100 − (x1 + x2 ) · (x1 + x2 ) − 5x1 − x22 = 95x1 + 100x2 − x21 − x1 x2 − x22
2
2
2
m
∂Π
= 95 − x1 − x2 = 0
⇒
∂x1
∂Πm
⇒
= 100 − x1 − 2x2 = 0
∂x2
1 m 105
m
m
m
⇒ xm
1 = 90, x2 = 5 ⇒ x = 95, p = 100 − x =
2
2
105
1
Πm = 95
− 5 · 90 − 52 = 4525 = P R
2
2
1
105
9025
⇒ KR = · (100 −
) · 95 =
2
2
4
27125
⇒ W = P R + KR =
4
⇒ KR =
4
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Mikroökonomik II (Sommer 2012)
Aufgabe 3: Allgemeines Oligopol
Gegeben ist ein Cournot-Oligopol mit n symmetrischen Unternehmen, die jeweils mit der
Kostenfunktion C(xi ) = 12 x2i (i = 1, . . . , n) für die variablen Kosten arbeiten. Zusätzlich
treten in jedem Unternehmen Fixkosten in Höhe von f Geldeinheiten auf. Die Preisn
P
Absatz-Funktion ist mit p = 100 −
xi vorgegeben.
i=1
a) Berechnen Sie das Marktgleichgewicht auf diesem Oligopolmarkt und geben Sie
die Marktmenge, den Marktpreis und den Gewinn eines Unternehmens in diesem
Gleichgewicht in Abhängigkeit von n an.
b) Wieviele Unternehmen überleben (d.h. produzieren mit nicht negativem Gewinn)
in diesem Markt bei f = 4?
c) Wieviele Unternehmen überleben bei f = 4 unter vollständiger Konkurrenz?
Lösungshinweis:
X n
1
a) Πi = 100 −
xj − xi xi − x2i − f
j=1,j6=i
2
X
n
∂Πi
xj − 2xi − xi = 0
= 100 −
j=1,j6=i
∂xi
P
100 − j6=i xj
⇒ xi =
3
Symmetrie-Annahme: x̄ = x1 = . . . = xn
100 − (n − 1)x̄
100
100n
x̄ =
⇒ x̄ =
⇒ xc =
3
n+2
n+2
100n
200
pc (n) = 100 − xc (n) = 100 −
=
n+2
n+2
2
20000
200
100
1
100
1 10000
−f =
Π̄c (n) =
·
−
−
−f =
2
n+2 n+2 2 n+2
(n + 2)
2 (n + 2)2
15000
=
−f
(n + 2)2
15000
15000
b) Π̄c (n) = 0 ⇔
=4⇔
= 4 ⇒ m2 = 3750 ⇒ m ≈ 61.24
2
(n + 2)
m2
⇒ n = m − 2 ≈ 59.24

15000


Π̄c (59) =
−
4
≈
0.03
>
0

(59 + 2)2
⇒ n = 59
15000

c

Π̄ (60) =
− 4 ≈ −0.09 < 0
(60 + 2)2
5
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c)
Mikroökonomik II (Sommer 2012)
100
n+1
1 10000
−f
Π̄(n) = x̄(n)2 − 21 x̄(n)2 − f = 12 x̄(n)2 − f =
2 (n + 1)2
5000
5000
Π̄(n) = 0 ⇔
=4⇔
= 4 ⇒ m2 = 1250 ⇒ m ≈ 35.35
2
(n + 1)
m2
⇒ n = m − 1 ≈ 34.35

5000
2
1

− 4 ≈ 0.08 > 0 
Π̄(34) = 2 x̄(34) − 4 =
352
⇒ n = 34
5000

2
1

− 4 ≈ −0.14 < 0
Π̄(35) = 2 x̄(35) − 4 =
362
p = C 0 (xi ) = xi = x̄ = 100 − nx̄ ⇒ x̄(n) =
6
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Mikroökonomik II (Sommer 2012)
Aufgabe 4: Duopol mit differenzierten Produkten
Berechnen Sie die gleichgewichtigen Preise und Gewinne für ein Duopol aus zwei Unternehmen 1 und 2, die mit konstanten Grenzkosten von c1 = 2 und c2 = 5 arbeiten, für die
folgenden beiden Situationen:
a) im Modell horizontaler Produktdifferenzierung für ein Straßendorf der Länge 1 mit
quadratischen Transportkosten mit einem Satz von 10 pro Längeneinheit.
b) im Modell vertikaler Produktdifferenzierung mit zwei Qualitätsstufen s1 = 1 und
s2 = 2 für Konsumenten mit der Nutzenfunktion
(
qs − p
für q > p/s
U (s, p) =
,
0
sonst
wobei die Qualitätspräferenz der Konsumenten zwischen 1 und 2 gleichverteilt ist.
Lösungshinweis:
a) Indifferenter Konsument wohnt‘bei x, wenn sich Preis + Transportkosten für beide
’
Güter entsprechen:
p1 + 10x2 = p2 + 10(1 − x)2 ⇔ p1 = p2 + 10(1 − 2x + x2 ) − 10x2 = p2 + 10 − 20x
p2 − p1 + 10
p1 − p2 + 10
⇒ (1 − x) =
⇒x=
20
20
p2 − p1 + 10
Π1 (p1 , p2 ) = (p1 − c1 )x = (p1 − 2)
20
p2 − 2p1 + 12
∂Π1 (p1 , p2 )
p2 − p1 + 10 p1 − 2
−
=
=0
=
∂p1
20
20
20
p2 + 12
⇒ p1 = R1h (p2 ) =
= 21 p2 + 6
2
p1 − p2 + 10
Π2 (p1 , p2 ) = (p2 − c2 )x = (p2 − 5)
20
∂Π2 (p1 , p2 )
p1 − 2p2 + 15
p1 − p2 + 10 p2 − 5
−
=
=0
=
∂p2
20
20
20
p1 + 15
⇒ p2 = R2h (p1 ) =
= 21 p1 + 7.5
2
Gleichsetzen der Reaktionsfunktionen:
⇒ p1 = R1h R2h (p1 ) = 12 12 p1 + 7.5 + 6 = 41 p1 + 9.75
⇒ ph1 = 13
⇒ ph2 = R2h (13) = 12 13 + 7.5 = 14
14 − 13 + 10
11
= 11 · 20
= 6.05
20
13 − 14 + 10
9
Πh2 (13, 14) = (14 − 5)
= 9 · 20
= 4.05
20
b) Indifferenter Konsument hat Qualitätspräferenz q ∗ bei gleichem Nutzen von Gut 1
und Gut 2:
p2 − p1
U (s1 , p1 ) = U (s2 , p2 ) ⇔ q ∗ s1 − p1 = q ∗ s2 − p2 ⇒ q ∗ =
= ∆p, qu = 1
s2 − s1
Πh1 (13, 14) = (13 − 2)
7
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Mikroökonomik II (Sommer 2012)
Nachfrage nach beiden Gütern:
qo − q ∗
q ∗ − qu
= p2 − p1 − 1, D2 (p1 , p2 ) =
= 2 − p 2 + p1
∆q
∆q
Π1 (p1 , p2 ) = (p1 − c1 ) · D1 (p1 , p2 ) = (p1 − 2) · (p2 − p1 − 1)
∂Π1 (p1 , p2 )
= (p2 − p1 − 1) − (p1 − 2) = p2 − 2p1 + 1 = 0
∂p1
⇒ p1 = R1q (p2 ) = 12 p2 + 21
Π2 (p1 , p2 ) = (p2 − c2 ) · D2 (p1 , p2 ) = (p2 − 5) · (2 − p2 + p1 )
∂Π2 (p1 , p2 )
= (2 − p2 + p1 ) − (p2 − 5) = p1 − 2p2 + 7 = 0
∂p2
⇒ p2 = R2q (p1 ) = 12 p1 + 27
⇒ p1 = R1q (R2q (p1 )) = 12 21 p1 + 72 + 12 = 14 p1 + 94
⇒ pq1 = 3
D1 (p1 , p2 ) =
⇒ pq2 = R2q (3) =
1
2
·3+
7
2
Πq1 (3, 5) = (3 − 2)(5 − 3 − 1) = 1
Πq2 (3, 5) = (5 − 5)(2 − 5 + 3) = 0
8
=5
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Mikroökonomik II (Sommer 2012)
Aufgabe 5: Kartellinstabilität (Sommer 2004)
Eine bestimmte Anzahl von Unternehmen hat sich informell zu einem Kartell zusammengeschlossen, mit dem Ziel, die auf dem Markt abgesetzte Gesamtmenge gering und damit
den Preis für das Gut hoch zu halten.
a) Warum ist jedes Kartell potentiell instabil? Geben Sie eine kurze, verbal gehaltene
Erklärung.
b) Wenn sich alle Unternehmen an die Vereinbarung halten, beträgt der Gewinn des
Kartells 10 Millionen e pro Periode und Unternehmen über einen unendlich langen Zeithorizont. Falls ein Unternehmen von der Kartellvereinbarung abweicht (und
sich alle anderen daran halten), kann es in der gegenwärtigen Periode einen Gewinn
von 11 Millionen e erzielen. Anschließend wird dieses Unternehmen jedoch dadurch
bestraft, dass das Kartell zerfällt und alle Unternehmen nur den Gewinn bei Wettbewerb in Höhe von 1 Million e realisieren können.
Berechnen Sie den Gegenwartswert des Gewinns (Diskontfaktor δ ∈ 0, 1) für das Unternehmen, wenn sich alle Unternehmen an die Vereinbarung halten und wenn das
betrachtete Unternehmen von der Vereinbarung abweicht und anschließend bestraft
wird.
c) Lohnt es unter den in b) geschilderten Umständen von der Kartellvereinbarung
abzuweichen, wenn δ = 0.9 gilt? Geben Sie eine ökonomische Begründung für Ihr
Ergebnis. Welche Annahme ist entscheidend?
Lösungshinweis:
a) Ein Kartell ist deswegen instabil, da für jedes einzelne Unternehmen der Anreiz besteht, die Kartellvereinbarung zu brechen und mehr Output zu produzieren, solange
die anderen Unternehmen ihre reduzierten Mengen beibehalten, da jedes einzelne
Unternehmen mit seiner produzierten Menge nur einen geringen Einfluss auf den
Preis ausübt.
b) Gegenwartswert des Kartellgewinns:
k
Π =
∞
X
δ t · 10 =
t=0
10
1−δ
Gegenwartswert des Gewinns bei Abweichung und anschließender Bestrafung:
∞
X
1·δ
ab
Π = 11 +
δ t · 1 = 11 +
1−δ
t=1
c) Abweichung lohnt sich, wenn
δ
10
>
⇔ 11 · (1 − δ) + δ > 10 ⇔ δ < 0.1
1−δ
1−δ
Dies ist hier nicht der Fall, da der Diskontfaktor mit 0.9 größer als 0.1 ist.
Bei einem relativ großen Diskontfaktor fällt die langfristige Gewinnreduktion um
10 − 1 = 9 Millionen e während der (unendlich langen) Bestrafungsperiode so stark
ins Gewicht, dass der kurzfristige Gewinnzuwachs von 11−10 = 1 Million e während
der Abweichungsperiode überkompensiert wird.
Die entscheidende Annahme besteht darin, dass von einem unendlichen Zeithorizont
ausgegangen wird.
Πab > Πk ⇔ 11 +
9
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Mikroökonomik II (Sommer 2012)
Aufgabe 6: Optimale F&E-Tätigkeit
Betrachtet werden 5 identische Unternehmen (i = 1, ..., 5), die auf einem Markt konkurrieren. Die Nachfragefunktion in diesem Markt sei:
−ε
p(Q) = σQ
mit Q =
5
X
qi ,
σ, ε > 0
i=1
Jedes der 5 Unternehmen kann die Stückkosten durch Einsatz von F&E-Ausgaben senken.
Die Stückkosten ci seien unabhängig von der Ausbringungsmenge qi und nur durch den
Einsatz von F&E-Ressourcen ri reduzierbar. Es gelte:
ci (ri ) = βri−α ,
α, β > 0.
Der Faktorpreis für F&E sei 1.
a) Geben Sie die Bedingungen erster Ordnung für die Profitmaximierung eines Unternehmens j, j ∈ (1, . . . , 5), an und interpretieren Sie diese ökonomisch.
b) Die Parameter der Nachfragefunktion und Kostenfunktion seien wie folgt gegeben:
α = 0.1, β = 1, σ = 100 und ε = 1.
Berechnen Sie das optimale Niveau der eingesetzten F&E-Ressourcen rj∗ , das optimale Outputniveau qj∗ , den Profit des Unternehmens j, den gesamten Marktoutput
Q∗ und den Marktpreis p∗ .
c) Berechnen Sie die F&E-Intensität des Unternehmens j und interpretieren Sie diese
Größe.
d) Interpretieren Sie die Parameter α und ε ökonomisch! (Hinweis: Berechnen Sie die
Elastizitäten der entsprechenden Funktionen.)
Lösungshinweis:
(a) πj (qj , rj ) = p(Q)qj − cj (rj )qj − rj


I.
 ∂p(Q) ∂Q 
∂π

= p(Q) + qj 
 ∂Q ∂qj  − cj (rj ) = 0
∂qj
|{z}
=1
∂π
= −c0j (rj )qj − 1 = 0
∂rj
Interpretation:
II.
– Der gewinnmaximale Output der Unternehmen wird so festgelegt, dass der Grenzerlös gleich den Grenzkosten entspricht, wobei die Grenzkosten vom F&E Einsatz
rj abhängen.
– Die Unternehmen investieren so lange in F&E bis der zusätzliche Ertrag durch die
Stückkostenreduktion den Kosten der F&E-Tätigkeit entspricht.
– Die Lösung dieser beiden Bedingungen erfolgt hierbei simultan.
10
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Mikroökonomik II (Sommer 2012)
qj ∂p(Q) Q
aus I: p(Q) 1 +
− cj (rj ) = 0
p(Q) ∂Q Q
qj 1
⇔ p(Q) 1 −
= cj (rj )
Q εQ,p
rj cj (rj )
qj − 1 = 0
cj (rj ) rj
cj (rj )qj
⇔ εc,r
−1=0
rj
rj 1
⇔
cj (rj ) =
qj εc,r
− c0j (rj )
aus II:
Einsetzen:
rj 1
qj 1
=
p(Q) 1 −
Q εQ,p
qj εc,r
rj
qj 1
⇔
= εc,r 1 −
p(Q)qj
Q εQ,p
Interpretation:
– Die Forschungsintensität eines Unternehmens, definiert als der Anteil der F&EAusgaben rj am Umsatz p(Q)qj , nimmt in dem Maße ab, wie die relative Unternehmensgröße zunimmt.
– Je größer die technologischen Möglichkeiten zur Kostenreduktion desto höher ist die
Forschungsintensität.
– Je größer die Preiselastizität der Nachfrage, desto höher ist die Forschungsintensität.
(b) α = 0.1,
β = 1,
σ = 100,
ε=1
max π(rj , qj ) = 100Q−1 qj − rj−0.1 qj − rj
rj ,qj
∂π
= 100Q−1 − 100Q−2 qj − rj−0.1 = 0
∂qj
∂π
II.
= 0.1rj−1.1 qj − 1 = 0 ⇔ qj = 10rj1.1
∂rj
100 100qj
Q = 5qj
−
= rj−0.1
2
5qj
25qj
20
4
−
= rj−0.1
qj
qj
16
= rj−0.1
qj
16
qj = 10rj1.1
= rj−0.1
10rj1.1
I.
rj∗ = 1.6
qj∗ ≈ 16.77
11
PD Dr. Holger Graf
Mikroökonomik II (Sommer 2012)
Einsetzen in die Gewinnfunktion:
πj (qj∗ , rj∗ ) = 100 · (5qj )−1 qj − rj−0.1 qj − rj
16.77
= 20 −
− 1.6
1.60.1
πj∗ = 2.4
Q∗ = 5 · qj = 83.85
p(Q∗ ) = 100 · 83.85−1 ≈ 1.19
(c) F&E Intensität:
rj
1.6
=
= 0.08
p(Q)qj
1.19 · 16.77
(d) Preiselastizität der Nachfrage:
∂Q(p) p
1
εQ,p = −
=
∂p Q(p)
εp,Q
Q
∂p(Q) Q
= εσQ−ε−1
εp,Q = −
=ε
∂Q p(Q)
σQ−ε
1
⇒ εQ,p =
ε
ε ist die inverse Preiselastizität der Nachfrage.
Elastizität der Stückkostenreduktion:
∂c(r) r
εc,r = −
NR: c(r) = βr−α
∂r c(r)
∂c(r)
r
= −αβr−α−1
= αβr−α−1
∂r
c(r)
1
=α
= αβr−α
| {z } c(r)
=c(r)
α ist die Elastizität der Stückkostenreduktion.
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