Lösungen Serie 2 (Komplexe Zahlen)

Fachhochschule Nordwestschweiz (FHNW)
Hochschule für Technik
Institut für Geistes- und Naturwissenschaft
Lösungen Serie 2 (Komplexe Zahlen)
Dozent: Roger Burkhardt
Klasse: Studiengang ST
Büro: 4.613
Semester: 2
Modul: Algebra 1
Datum: FS2009
1. Aufgabe
Forme die folgenden komplexen Zahlen in die anderen Darstellungsformen um:
(a)
5π
5π
+ i sin −
z = 3 cos −
4
4
Lösung:
5π
5π
z = 3 cos −
+ i sin −
4
4
5π
= 3e−i 4
5π
5π
= 3 cos −
+ 3i sin −
4
4
√
√
3
3
= −
2+ i 2
2
2
(b)
π
z = 4e−i 4
Lösung:
π
π z = 4 cos −
+ i sin −
4
√4
√
= 2 2 − 2i 2
(c)
√
z = −a − ia 3
a ∈ R+
Lösung:
r
√ 2
(−a) + −a 3 = 2a
|z| =
√ !
−a 3
4
arg (z) = π + arctan
= π
−a
3
4π
4π
z = 2a cos
+ i sin
3
3
2
4π
= 2aei 3
2. Aufgabe
Berechne:
Algebra 1
Lösungen Serie 2 (Komplexe Zahlen)
(a)
z = (i − 1)10
Lösung:
z = (i − 1)10
√ 3π 10
=
2ei 4
√ 10 30π
2
=
ei 4
3π
= 32ei 2
= −32i
(b)
z=
150 + 125i
4 + 3i
Lösung:
150 + 125i 4 − 3i
4 + 3i 4 − 3i
600 + 500i − 450i − 375i2
=
16 + 9
975 + 50i
=
25
= 39 + 2i
z =
(c)
z = ln (1 + i tan (α))
Lösung:
z = ln (1 + i tan (α))
q
i(α+2kπ)
1 + tan2 (α)e
= ln
q
=
1 + tan2 (α) + i (α + 2kπ)
1
+ i (α + 2kπ)
cos (α)
=
(d)
z=
e2+3i
e5−i
2
Lösung:
z =
=
e2+3i
e5−i
2
e(2+3i)−(5−i)
2
e−3+4i
2
=
= e−6+4i
= e−6 cis (4)
= −1. 6202 × 10−3 − 1. 8759 × 10−3 i
Seite 2 / 7
FS 2009
Algebra 1
Lösungen Serie 2 (Komplexe Zahlen)
(e)
z = (−1 + i)5 (1 + i)6
Lösung:
z = (−1 + i)5 (1 + i)6
= ((i + 1) (i − 1))5 (1 + i)
5
= i2 − 1 (1 + i)
= (−2)5 (1 + i)
= −32 − 32i
3. Aufgabe
Bestimme die Lösungsmengen der folgenden Gleichungen:
(a)
√
3
1
z4 = − −
i
2
2
Lösung:
√
1
3
z =
− −
i
2
2
s 4π
4
=
+ 2kπ
cis
3
π kπ
= cis
+
k ∈ {0, 1, 2, 3}
3
2
s
4
(b)
z 4 + iz 2 = 0
Lösung:
z2 z2 + i = 0
z1,2 = 0
√
z3,4 = ± −i
s 3π
= ± cis
2
3π
= ±cis
4
(c)
z 2 + (1 − 2i) z − 2i = 0
Seite 3 / 7
FS 2009
Algebra 1
Lösungen Serie 2 (Komplexe Zahlen)
FS 2009
Lösung:
− (1 − 2i) ±
q
(1 − 2i)2 − 4 (1) (−2i)
z1,2 =
2 (1)
√
2i − 1 ± 1 − 4i + 4i2 + 8i
=
q 2
2i − 1 ±
(1 + 2i)2
=
z1
z2
2
(2i − 1) ± (1 + 2i)
=
2
2i − 1 + 1 + 2i
4i
=
=
= 2i
2
2
2i − 1 − 1 − 2i
−2
=
=
= −1
2
2
4. Aufgabe
Skizziere die nachfolgende Punktemenge in der Gauss’schen Zahlenebene:
|z − i| ≤ |z + 1|
Lösung: Die obige Ungleichung beschreibt alle Punkte die von z0 = i weniger oder
gleichweit entfernt sind wie vom Punkt z1 = −1. Dies ergibt folgendes Bild
5. Aufgabe
Bestimme das Produkt aller Lösungen der Gleichung z 6 = 1. Lösung:
• Die komplexen Wurzeln:
√
6
zk =
1
p
6
cis (2kπ)
=
kπ
= cis
3
Seite 4 / 7
k ∈ {0, 1, 2, 3, 4, 5}
Algebra 1
Lösungen Serie 2 (Komplexe Zahlen)
FS 2009
• Das Produkt:
5
Y
zk = z0 z1 z2 z3 z4 z5
k=0
=
=
=
=
4π 5π
π 2π
+π+
+
cis 0 + +
3
3
3
3
cis (5π)
cis (π)
−1
6. Aufgabe
Beweise die folgende Gleichung:
|z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 2 |z1 |2 + |z2 |2
Lösung: Setzen wir
z1 = x1 + iy1
z2 = x2 + iy2
Dann erhalten wir:
|z1 + z2 |2 + |z1 − z2 |2 = 2 |z1 |2 + |z2 |2
q
q
q
q
2
2
2
2
2
2
2
2
= 2
x21 + y12 + x22 + y22
(x1 + x2 ) + (y1 + y2 ) +
(x1 − x2 ) + (y1 − y2 )
2x21 + 2x22 + 2y12 + 2y22 = 2x21 + 2x22 + 2y12 + 2y22
7. Aufgabe
Es gilt:
eix = cos(x) + i sin(x) ⇒ cos(x) =
eix − e−ix
eix + e−ix
, sin(x) =
2
2i
Berechne:
(a)
sin(i) =?
Lösung:
2
sin(i) =
=
=
=
Seite 5 / 7
2
ei − e−i
2i
e−1 − e1
2i
− sinh(1)
i
i sinh(1)
Algebra 1
Lösungen Serie 2 (Komplexe Zahlen)
FS 2009
(b)
cos(1 + i) =?
Lösung:
cos(1 + i) =
=
=
=
=
ei(1+i) + ei(−1−i)
2
−1 i
e e + e1 e−i
2
e−1 (cos(1) + i sin(1)) + e1 (cos(1) − i sin(1))
2
1
−1
cos(1) (e + e ) − i sin(1) (e1 − e−1 )
2
cos(1) cosh(1) − i sin(1) sinh(1)
(c)
2π
=?
sin 5cis
3
Lösung:
2π
2π
2π
sin 5cis
= sin 5 cos
+ i5 sin
3
3
3
√ !
5
5 3
= sin − + i
2
2
√ i − 52 +i 5 2 3
√ −i − 52 +i 5 2 3
−e
2i √
√
5 3
5
− 5 2 3 −i 52
e
− e 2 ei 2
e
=
2i
√
√
5 3
−523
e
cos 52 − i sin 52 − e 2 cos 52 + i sin 25
=
2i
√ √ 5√ 3
5√3
5 3
5 3
5
−
− cos 2 e 2 − e 2 − i sin 52 e 2 + e− 2
=
2i
√ !
√ !
5
5 3
5
5 3
= − sin
cosh
− i cos
sinh
2
2
2
2
=
e
(d)
tan(−3i) =?
Lösung:
tan(−3i) =
sin(−3i)
cos(−3i)
3i2 −e−3i2
=
−e
2i
e3i2 +e−3i2
2
3
−3
e −e
(e3 + e−3 )
= −i tanh(3)
= −i
Seite 6 / 7
Algebra 1
Lösungen Serie 2 (Komplexe Zahlen)
FS 2009
8. Aufgabe (*)
Erstelle eine Java-Klasse Complex welche
• Komplexe Werte speichert (in arithmetischer Form),
• geeignete Konstruktoren besitzt,
• Methoden für die Kenngrössen (Betrag, Argument, Realteil, ...) zur Verfügung
stellt,
• Methoden für die Grundrechenarten zur Verfügung stellt,
• eine toString-Methode für die Ausgabe in den verschiedenen Darstellungsformen aufweist.
Lösung:
Siehe Beilage!
Seite 7 / 7