Teilbarkeit natürlicher Zahlen

Teilbarkeit natürlicher Zahlen
Teiler einer Zahl - Teilermengen
Aufgabe:
Eine Klasse besteht aus 30 Schülern und soll in Gruppen mit gleich vielen Schülern eingeteilt werden.
Welche Möglichkeiten gibt es, wenn kein Schüler übrig bleiben darf?
Anzahl der Schüler
Anzahl der Gruppen
1
30
2
15
3
10
5
6
6
5
10
3
15
2
30
1
T30
T30
In der Tabelle tauchen in jeder Zeile ganz bestimmte Zahlen auf. Diese Zahlen (1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30)
nennt man die Teiler der Zahl 30.
Man hat folgende Abkürzungen vereinbart:
30 ist durch 5 ohne Rest teilbar.
30 ist nicht ohne Rest durch 7 teilbar.
30 : 5 = 6
30 : 7 = 4 + (2 : 7)
Man sagt: 5 ist Teiler von 30
Man sagt: 7 ist nicht Teiler von 30
Abkürzung: 5 │ 30
Abkürzung: 7
30
MERKE:
Alle Teiler einer Zahl bilden zusammen die Teilermenge der Zahl.
Die Teilermenge der Zahl 30 wären also die Zahlen 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30.
Man schreibt abkürzend:
T30 = {1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30}
Alle Teiler einer Zahl systematisch bestimmen:
Bestimme die Teiler der Zahl 36:
36 = 1⋅ 36
36 = 2 ⋅ 18
36 = 3 ⋅ 12
Die Teiler der Zahl 36 sind also geordnet: 1, 2, 3, 6, 12, 18, 36
36 = 6 ⋅ 6
T36 = {1, 2, 3, 6, 12, 18, 36}
Aufgaben:
a.) Bestimme alle Teiler der Zahl 48 und notiere die Teilermenge.
b.) Bestimme alle Teiler der Zahl 70 und notiere die Teilermenge.
c.) Schreibe die Teilermengen von 2 Zahlen auf, die genau 3 Teiler besitzen.
a.) T48 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48}
b.) T70 = {1, 2, 5, 7, 10, 14, 35, 70}
c.) T9 = {1, 3, 9 }
T25 = {1, 5, 25}
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Vielfache einer Zahl - Vielfachmengen
Aufgabe:
In einem Schreibwarengeschäft werden Farbstifte in 12er-Packungen verkauft. Wie viele Farbstifte kann
man kaufen, wenn es nur volle 12er-Packungen gibt?
Anzahl der Packungen
Anzahl der Stifte
1
12
2
24
3
36
4
48
5
60
6
72
7
84
8
96
V12
In der Tabelle tauchen in der zweiten Zeile ganz bestimmte Zahlen auf. Diese Zahlen (12, 24, 36, 48, 60, 72,
84, 96) nennt man die Vielfachen der Zahl 12.
Man hat folgende Abkürzungen vereinbart:
24 ist ein Vielfaches von 12.
Abkürzung: 24 ∈ V12
24 ist ein Element der Vielfachenmenge 12.
27 ist kein Vielfaches von 12.
Abkürzung: 27 ∉ V12
27 ist kein Element der Vielfachenmenge 12.
MERKE:
Alle Vielfachen einer Zahl bilden zusammen die Vielfachenmenge der Zahl.
Die Vielfachenmenge der Zahl 12 wären also die Zahlen 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96…...
Man schreibt abkürzend:
V12 = {12, 24, 36, 48, 60, 72, 84, 96...........}
Wichtig: Jede Vielfachenmenge hat unendlich viele Elemente, man kann also immer nur die ersten Zahlen
einer Vielfachenmenge notieren!
Aufgaben:
a.) Notiere jeweils die ersten 8 Zahlen der Vielfachenmenge V14.
b.) Notiere jeweils die ersten 8 Zahlen der Vielfachenmenge V18.
c.) Notiere jeweils die ersten 8 Zahlen der Vielfachenmenge V35.
a.) V14 = {14, 28, 42, 56, 70, 84, 98, 112.....}
b.) V18 = {18, 36, 54, 72, 90, 108, 126, 144.....}
c.) V35 = {35, 70, 105, 140, 175, 210, 245, 280.....}
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Teilbarkeitsregeln
Aufgabe:
Der Eintritt in einen Zirkus kostet 9 €. An Kasse 1 wurden 962 € und an Kasse 2 wurden 981 € eingenommen. Können die Einnahmen in den beiden Kassen stimmen?
Kasse 1:
Kasse 2:
962 €
981 €
962 € = 900 € + 62 €
981 € = 900 € + 81 €
9 900 und 9 62
w
f
f
Die Einnahmen in Kasse 1 können nicht stimmen.
9 900 und 9 81
w
w
w
MERKE:
Summenregel: Zerlegt man eine Zahl in 2 Summanden und ist jeder dieser Summanden ohne Rest durch
die gleiche Zahl teilbar, dann ist auch die Ausgangszahl ohne Rest durch diese Zahl teilbar.
Übungen dazu:
Überprüfe mit Hilfe der Summenregel:
a.) 9 │ 7281
b.) 8 │ 6450
c.) 7 │ 2133
9 │ 7200 und 9 │ 81
w
w
w
9 teilt 7281 ohne Rest!
8 │ 6400 und 8 │ 50
w
f
f
8 teilt nicht 6450 ohne Rest!
7 │ 2100 und 7 │ 33
w
f
f
7 teilt nicht 2133 ohne Rest!
d.) 6 │ 5478
e.) 12 │ 4872
f.) 11 │ 4447
6 │ 5400 und 6 │ 78
w
w
w
6 teilt 5478 ohne Rest!
12 │ 4800 und 12 │ 72
w
w
w
12 teilt 4872 ohne Rest!
11 │ 4400 und 11 │ 47
w
f
f
11 teilt nicht 4447 ohne Rest!
g.) 8 │ 7264
h.) 9 │ 8134
c.) 12 │ 24722
8 │ 7200 und 8 │ 64
w
w
w
8 teilt 7264 ohne Rest!
9 │ 8100 und 9 │ 34
w
f
f
9 teilt nicht 8134 ohne Rest!
12 │ 24000 und 12 │ 720 und 12 │ 2
w
w
f
f
12 teilt nicht 24722 ohne Rest!
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Teilbarkeitsregel für die Zahl 2:
Eine Zahl ist durch 2 teilbar, wenn sie gerade ist (Endziffer 0, 2, 4, 6, 8)
Teilbarkeitsregel für die Zahl 5:
Eine Zahl ist durch 5 teilbar, wenn die letzte Ziffer der Zahl eine 0 oder eine 5 ist.
Teilbarkeitsregel für die Zahl 10:
Eine Zahl ist durch 10 teilbar, wenn die letzte Ziffer der Zahl eine 0 ist.
Teilbarkeitsregel für die Zahl 4:
Eine Zahl ist durch 4 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern der Zahl durch 4 teilbar sind.
Teilbarkeitsregel für die Zahl 25:
Eine Zahl ist durch 25 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern der Zahl durch 25 teilbar sind (Endziffern 25,
50, 75, 00)
Teilbarkeitsregel für die Zahl 8:
Eine Zahl ist durch 8 teilbar, wenn die letzten drei Ziffern der Zahl durch 8 teilbar sind.
Teilbarkeitsregel für die Zahl 3:
Eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist.
Quersumme: Bildet man die Summe aller Ziffern einer Zahl, so erhält man ihre Quersumme.
Beispiel: Ist die Zahl 2756 ohne Rest durch 3 teilbar?
Die Quersumme von 2756: 2 + 7 + 5 + 6 = 20
20 ist nicht ohne Rest durch 3 teilbar, also ist auch die 2756 nicht ohne Rest durch 3 teilbar!
Teilbarkeitsregel für die Zahl 9:
Eine Zahl ist durch 9 teilbar, wenn die Quersumme der Zahl durch 9 teilbar ist.
Zusammengesetzte Teilbarkeitsregeln
Teilbarkeitsregel für die Zahl 6:
Eine Zahl ist durch 6 teilbar, wenn sie gerade ist und die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist.
Zur Begründung: 6 = 2 ⋅ 3 (Es müssen also die Teilbarkeitsregeln für die 2 und die 3 gelten!)
Teilbarkeitsregel für die Zahl 12:
Eine Zahl ist durch 12 teilbar, wenn die letzten beiden Ziffern der Zahl durch 4 teilbar sind und die Quersumme der Zahl durch 3 teilbar ist.
Seite 4 von 13
Zur Begründung: 12 = 3 ⋅ 4
12 = 2 ⋅ 6 geht nicht, da die beiden Zerlegungszahlen teilerfremd sein
müssen. (Es müssen also die Teilbarkeitsregeln für die 3 und die 4 gelten!)
Teilbarkeitsregel für die Zahl 15:
Eine Zahl ist durch 15 teilbar, wenn ihre letzte Ziffer eine 0 oder 5 ist und die Quersumme der Zahl durch 3
teilbar ist.
Zur Begründung: 15 = 5 ⋅ 3 (Es müssen also die Teilbarkeitsregeln für die 5 und die 3 gelten!)
Teilbarkeitsregel für die Zahl 18:
Eine Zahl ist durch 18 teilbar, wenn sie gerade ist und die Quersumme der Zahl durch 9 teilbar ist.
Zur Begründung: 18 = 2 ⋅ 9 (Es müssen also die Teilbarkeitsregeln für die 2 und die 9 gelten!)
Teilbarkeitsregel für die Zahl 24:
Eine Zahl ist durch 24 teilbar, wenn die letzten 3 Ziffern der Zahl durch 8 teilbar sind und die Quersumme der
Zahl durch 3 teilbar ist.
Zur Begründung: 24 = 8 ⋅ 3 (Es müssen also die Teilbarkeitsregeln für die 8 und die 3 gelten!)
Anwendungsaufgaben zu den Teilbarkeitsregeln:
Betrachte die folgende Tabelle:
Setze ein X in die entsprechende Zelle, falls die Zahl ohne Rest teilbar ist.
ist teilbar durch:
144
2289
4653
8640
34566
77760
46785
327570
232800
1944000
2
3
4
5
6
8
9
10
12
15
18
24
25
(Diese Tabelle wird anfangs aufgeschrieben und nach Besprechung der Teilbarkeitsregeln und der zusammengesetzten Teilbarkeitsregeln nach und nach vervollständigt.)
Lösungen zur Tabelle:
ist teilbar durch:
144
2289
4653
8640
34566
77760
46785
327570
232800
1944000
2
X
X
X
X
X
X
X
3
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
4
X
5
6
X
8
X
9
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
Seite 5 von 13
10
12
X
15
18
24
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
X
25
X
X
Weitere Aufgaben:
1.)
2.)
Ersetze in den nächsten Aufgaben den Platzhalter ⊕ in der Zahl so, dass die Zahl durch die angegebene Zahl teilbar ist. Notiere alle passenden Ziffern in einer Lösungsmenge (L).
a.) 3 │ 4570⊕
L = {2, 5, 8}
b.) 5 │ 312⊕3
L ={
c.) 4 │ 3215⊕
L = {2, 6}
d.) 8 │ 9732⊕
L = {0, 8}
e.) 6 │ 45⊕36
L = {0, 3, 6}
}
Bestimme eine Zahl, die durch 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 teilbar ist. Gib noch drei weitere Zahlen an,
die durch alle diese Zahlen teilbar sind. (Für die schnellen Schüler)
Gemeinsame Teiler und gemeinsame Vielfache
Aufgabe:
In einem Sägewerk sollen zwei Baumstämme mit den Längen 24 m und 32 m in lauter gleichlange Stücke
gesägt werden, ohne dass Abfall entsteht.
a.)
b.)
Wie lang können diese Stücke werden?
Wie lange ist das größtmögliche Stück?
Es geht bei dieser Aufgabe um die Teiler der Zahl 24 und um die Teiler der Zahl 32:
zu a.)
T24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
T32 = {1, 2, 4, 8, 16, 32}
zu b.)
Der größte gemeinsame Teiler von 24 und 32 ist die Zahl 8.
Das Mengendiagramm:
T24
3
12
6
24
T32
1 2
4
8
16
32
MERKE:
Die Zahl 8 ist der größte gemeinsame Teiler der Zahlen 24 und 32. Dazu schreibt man abkürzend:
ggT (24 , 32) = 8
Übung dazu:
Bestimme:
ggT (45 , 75)
15
ggT (35 , 105)
35
ggT (36 , 90)
18
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Ein schnelles Verfahren zur Bestimmung des größten gemeinsamen Teilers:
Bestimme ggT (80 , 144)
Bestimme die Teilermenge der kleineren Zahl:
T80 = {1, 2, 4, 5, 8, 10,16, 20, 40, 80}
Beginne mit dem größten Teiler der Zahl 80 (80) und prüfe, ob dieser auch Teiler der Zahl 144 ist.
Verfahre dann entsprechend mit dem nächstkleineren Teiler (40) usw., bis du einen Teiler gefunden
hast, der auch in die Zahl 144 passt. Diese ist dann der ggT.
Ist 80 Teiler von 144?
Ist 40 Teiler von 144?
Ist 20 Teiler von 144?
Ist 16 Teiler von 144?
nein
nein
nein
ja
ggT (80 , 144) = 16
Bestimme ggT (40 , 57)
T40 = {1, 2, 4, 5, 8, 10, 40}
T57 = {1, 3, 19, 57}
2
T40
4
5 8
T57
3
1
10 40
19
57
ggT (40 , 57) = 1
MERKE:
Zwei natürliche Zahlen, die nur 1 als gemeinsamen Teiler haben, bezeichnet man als teilerfremd zueinander.
Das kleinste gemeinsame Vielfache
Aufgabe:
Jan ist ein guter Leichtathlet. Er hat seinen Freund Tim zum Training mitgenommen. Sie starten gemeinsam
und laufen Runden im Stadion. Jan braucht für eine Runde 60 Sekunden, Tim 75 Sekunden.
Nach wie vielen Sekunden überrundet Jan seinen Freund?
Es geht bei dieser Aufgabe um die Vielfachen von 60 und 75.
V60 = {60, 120, 180, 240, 300 , 360, 420, 480, 540, 600 ,.....}
V75 = {75, 150, 225, 300 , 375, 450, 525, 600 , 675, 750,.....}
300, 600, 900, 1200, 1500…. sind die gemeinsamen Vielfachen der Zahlen 60 und 75.
300 ist das kleinste gemeinsame Vielfache von 60 und 75.
Man schreibt abkürzend:
kgV (60 , 75) = 300
Nach 300 Sekunden überrundet Jan seinen Freund Tim. Jan hat dann 5 Runden gelaufen, Tim erst 4 Runden.
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Ein schnelles Verfahren zur Bestimmung des kleinsten gemeinsamen Vielfachen:
Bestimme kgV (80 , 60)
Beginne mit der größeren Zahl (80) und prüfe, ob diese Vielfaches der Zahl 60 ist. Verfahre dann
entsprechend mit dem nächsten Vielfachen von 80 (160) usw., bis du ein Vielfaches von 80 gefunden hast, das auch Vielfaches von 60 ist. Dieses ist dann das kgV.
Ist 80 Vielfaches von 60?
Ist 160 Vielfaches von 60?
Ist 240 Vielfaches von 60?
nein
nein
ja
kgV (80 , 60) = 240
oder:
V80 = {80, 160, 240 ,.....}
Überprüfe nun, welche der Zahlen auch Vielfaches von 60 ist.
Die erste Zahl, die diese Bedingung erfüllt ist 240, also kgV(80 , 60) = 240
Übungen dazu:
Bestimme:
kgV (50 , 90)
450
kgV (12 , 15)
60
kgV (24 , 72)
72
kgV (8 , 9)
72
Primzahlen und Primfaktorenzerlegung
Aufgabe:
Notiere Zahlen, die genau 2 Teiler besitzen.
T2 = {1, 2}
T7 = {1, 7}
T13 = {1, 13}
T19 = {1, 19}
Notiere nun alle Zahlen von 1 bis 50, die genau 2 Teiler besitzen (für schnelle Schüler bis 100):
2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89, 97 (25 Zahlen!)
MERKE:
Zahlen, die genau 2 Teiler besitzen, nämlich die Zahl 1 und sich selbst, bezeichnet man als Primzahlen.
Die einzige gerade Primzahl ist die Zahl 2.
Primfaktorenzerlegung:
Aufgabe: Zerlege die Zahl 150 so in Faktoren (Primfaktoren), dass nur noch Primzahlen zu erkennen sind.
150 = 3 ⋅ 50
50 = 5 ⋅ 10
10 = 2 ⋅ 5
50 ist keine Pr imzahl, also :
10 ist keine Pr imzahl, also :
Ende, da 2 und 5 Pr imzahlen sind.
150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5
150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 52
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oder:
150 = 10 ⋅ 15
10 = 5 ⋅ 2
15 = 3 ⋅ 5
10 ist keine Pr imzahl, 15 ist keine Pr imzahl, also :
Ende, da 3 und 5 Pr imzahlen sin d.
150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5
150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 52
oder:
150 = 2 ⋅ 75
75 = 5 ⋅ 15
15 = 3 ⋅ 5
75 ist keine Pr imzahl, also :
15 ist keine Pr imzahl, also :
Ende, da 3 und 5 Pr imzahlen sind.
150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5
150 = 2 ⋅ 3 ⋅ 52
MERKE:
Zerlegt man eine Zahl auf verschiedene Weisen in ihre Primfaktoren, so erhält man am Ende stets die gleiche Zerlegung.
Systematisches Vorgehen:
Zerlege die Zahl 500 in ihre Primfaktoren:
Welche kleinste Pr imzahl ist in 500 enthalten : 2 also :
500 = 2 ⋅ 250
250 ist keine Pr imzahl, also :
250 = 2 ⋅ 125
125 ist keine Pr imzahl, also :
125 = 5 ⋅ 25
25 ist keine Pr imzahl, also :
25 = 5 ⋅ 5
Ende, da 5 eine Pr imzahl ist.
500 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 5
500 = 22 ⋅ 53
Zerlege die Zahl 240 in ihre Primfaktoren:
Welche kleinste Pr imzahl ist in 240 enthalten : 2 also :
240 = 2 ⋅ 120
120 ist keine Pr imzahl, also :
120 = 2 ⋅ 60
60 ist keine Pr imzahl, also :
60 = 2 ⋅ 30
30 = 2 ⋅ 15
15 = 3 ⋅ 5
30 ist keine Pr imzahl, also :
15 ist keine Pr imzahl, also :
Ende, da 3 und 5 Pr imzahlen sin d.
240 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5
240 = 24 ⋅ 3 ⋅ 5
oder andersherum gefragt:
a.) Von welcher Zahl ist 22 ⋅ 3 ⋅ 52 die Primfaktorenzerlegung?
22 ⋅ 3 ⋅ 52 = 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5 = 4 ⋅ 3 ⋅ 25 = 300
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b.) Von welcher Zahl ist 2 ⋅ 32 ⋅ 52 ⋅ 7 die Primfaktorenzerlegung?
2 ⋅ 32 ⋅ 52 ⋅ 7 = 2 ⋅ 9 ⋅ 25 ⋅ 7 = 3150
Weitere Aufgaben zur Primfaktorenzerlegung:
Zerlege die folgenden Zahlen in ihre Primfaktoren und bestimme mit Hilfe dieser Zerlegung Teiler der jeweiligen Zahl:
a.) 630
b.) 700
c.) 400
630 = 2 ⋅ 315
315 = 3 ⋅ 105
105 = 3 ⋅ 35
35 = 5 ⋅ 7
700 = 2 ⋅ 350
350 = 2 ⋅ 175
175 = 5 ⋅ 35
35 = 5 ⋅ 7
400 = 2 ⋅ 200
200 = 2 ⋅ 100
100 = 2 ⋅ 50
50 = 2 ⋅ 25
25 = 5 ⋅ 5
630 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7
700 = 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 7
400 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5
2
2
2
630 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7
700 = 2 ⋅ 5 ⋅ 7
400 = 24 ⋅ 5 2
Teiler der Zahl :
2⋅3 = 6
2 ⋅ 3 ⋅ 3 = 18
2 ⋅ 5 = 10
2 ⋅ 5 ⋅ 7 = 70
usw.
Teiler der Zahl :
2 ⋅ 7 = 14
2 ⋅ 2 ⋅ 7 = 28
5 ⋅ 7 = 35
5 ⋅ 5 ⋅ 7 = 175
usw.
Teiler der Zahl :
2⋅2 = 4
2 ⋅ 2 ⋅ 5 = 20
2 ⋅ 5 ⋅ 5 = 50
2 ⋅ 2 ⋅ 5 ⋅ 5 = 100
usw.
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Teiler und Vielfache
1.) Bestimme alle möglichen Ziffern für den Platzhalter #, so dass die folgenden Behauptungen wahr sind:
a.) 4 teilt 6753#4
e.) 5 teilt 8976#
b.) 9 teilt 32#40
f.) 3 teilt #7844
c.) 2 teilt nicht 4578#
g.) 9 teilt nicht 564#4
d.) 3 teilt nicht 345#6
h.) 25 teilt 378#5
2.) Setze Kreuze an die entsprechenden Stellen der folgenden Teilbarkeitstabelle:
ist teilbar durch
540
8640
9000
2592
34560
46785
144
10125
2160
2
3
4
5
6
8
9
10
12
15
18
24
25
a.) Berechne eine Zahl, die mit Sicherheit durch 12, 15 und 25 teilbar ist.
b.) Berechne eine Zahl, die mit Sicherheit durch 5, 9, 13 und 19 teilbar ist.
3.) Bestimme die gemeinsamen Teiler und den größten gemeinsamen Teiler (ggT) der folgenden Zahlen:
a.) 105 und 165
b.) 126 und 216
c.) 91 und 104
4.) Bestimme die gemeinsamen Vielfachen und das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) der folgenden
Zahlen:
a.) 12 und 14
b.) 25 und 35
c.) 24 und 32
5.) In einem Neubau ist jedes Stockwerk 2,55 m hoch, das Erdgeschoss 2,89 m. Es sollen überall Treppen
mit gleich hohen Stufen eingebaut werden.
a.) Wie hoch ist die höchstmögliche Stufe?
b.) Das Haus soll insgesamt 5 Stockwerke plus Erdgeschoss besitzen. Wie viele Stufen müssen
eingebaut werden?
6.) Silke und Petra schwimmen mehrmals die 25 m - Bahn im Hallenbad. Sie starten gleichzeitig. Silke
braucht für eine Bahn 32 Sekunden, Petra 36 Sekunden.
a.) Nach welcher Zeit schlagen die Mädchen zum ersten Mal gemeinsam am Beckenrand an?
b.) Wie viele Bahnen ist jedes der Mädchen dann geschwommen?
7.) Der Betrieb auf einer Buslinie beginnt morgens um 6.00 Uhr. Die Busse der Linie 1 fahren alle 15 Minuten, die Busse der Linie 2 alle 25 Minuten vom Busbahnhof ab.
Um wie viel Uhr fahren die Busse der Linie 1 und der Linie 2 wieder gemeinsam vom Busbahnhof ab?
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Teiler und Vielfache (Lösungen)
zu 1.)
a.) L = {0,2,4,6,8}
b.) L = {0,9}
c.) L = {1,3,5,7,9}
d.) L = {1,2,4,5,7,8}
e.) L = {0,5}
f.) L = {1,4,7}
g.) L = {2,8}
h.) L = {1,4,7}
zu 2.)
ist teilbar durch
540
8640
9000
2592
34560
46785
144
10125
2160
2
X
X
X
X
X
X
X
3
X
X
X
X
X
X
X
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4
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5
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6
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8
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9
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10
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12
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15
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18
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24
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X
X
X
X
X
X
25
X
X
a.) 12 ⋅ 15 ⋅ 25 = 4500
b.) 5 ⋅ 9 ⋅ 13 ⋅ 19 = 11115
zu 3.)
a.) ggT(105 , 165) = 7
T105 = {1,3,5,7,35,105}
b.) ggT(126 , 216) = 14
c.) ggT(91, 104) = 13
T126 = {1,2,3,6,9,14,21,42,63,126}
T91 = {1,7,13,91}
zu 4.)
a.) kgV(12 , 14) = 84
V14 = {14,28,42,56,70,84...}
b.) kgV(25 , 35) = 175
V35 = {35,70,105,140,175....}
c.) kgV(24 , 32) = 96
V32 = {32,64,96.....}
zu 5.)
a.) T288 = {1,2,3,4,6,8,9,12,16,18,24,32,36,48,72,96,144,288}
Die Stufenhöhe 16 cm ist geeignet.
b.) 288 cm ⋅ 7 = 2016 cm
2016 cm : 16 = 126 Stufen
zu 6.)
a.) V36 = {36,72,108,144,180,216,252,288....}
Sie schlagen nach 288 Sekunden = 4 Minuten 48 Sekunden gemeinsam an.
b.) Silke hat dann 9 und Petra 8 Bahnen geschwommen.
zu 7.)
a.) 450 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 5
2
450 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5
2
d.) 720 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5
4
2
720 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5
b.) 870 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 29
870 = 2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 29
e.) 825 = 3 ⋅ 5 ⋅ 5 ⋅ 11
825 = 3 ⋅ 52 ⋅ 11
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c.) 320 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 5
320 = 26 ⋅ 5
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